广东省广州三校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题

2024-2025学年上学期期中三校联考 高二数学 本试卷共4页，共19小题，满分150分，考试用时120分钟。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知为纯虚数，则在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2.在2小时内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加，停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量随时间变化的 图象是 A． B． C． D． 3.设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为 A． B． C． D． 4.设且则 A． B． C． D. 5.在平行六面体中，为与的交点，若，，．则下列向量中与相等的向量是 A． B． C. D. 6．已知点关于直线的对称点为，经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为 A． B. C. D. 7.在平面直角坐标系中，已知点，.若直线上存在两个不同的点，使得，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 8.已知，都是定义在上的函数，对任意满足，且，则下列说法正确的是 A． B．函数的图象关于点对称 C． D．若，则 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．对任意实数下列命题中正确的是 A．“”是“”的充要条件 B．“是无理数”是“都是无理数”的既不充分也不必要条件 C．“”是“”的充分不必要条件 D．“”是“”的必要不充分条件 10．已知函数的图象关于点中心对称，则 A． B．在区间有两个零点 C． 直线是曲线的对称轴 D．在区间单调递增 11.两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，动点分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记． A. B.三棱锥的外接球的表面积为 C.当的长最小时，平面与平面夹角的余弦值 D.当的长最小时,直线到平面的距离 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分. 12．2023年6月4日神舟十五号载人飞行任务取得圆满成功，费俊龙、邓清明、张陆这三位航天员在空间站上工作了186天，此次神舟十五号载人飞船返回，是我国空间站转入应用与发展阶段后的首次返回任务，掀开了中国航天空间站的历史新篇章.为科普航天知识，某校组织学生参与航天知识竞答活动，某班8位同学成绩如下：7，6，8，9，8，7，10，，若去掉，该组数据的第25百分位数保持不变，则整数的值可以是_____. （写出一个满足条件的值即可）． 13.圆内有一点，过点的直线与圆交于两点，且弦被点平分，则直线的方程____. 14.已知函数的值域是，若，则的取值范围是_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分)在一个盒子中有2个白球,3个红球,甲、乙两人轮流从盒子中随机地取球，甲先取,乙后取,然后甲再取，…,每次取1个,取后不放回,直到2个白球都被取出来后就停止取球． (1)求2个白球都被甲取出的概率； (2)求将球全部取出才停止取球的概率． 16.(本小题满分15分)已知分别为三个内角的对边，且 (1)求； (2)若为边上的中线，，，求的面积． 17.(本小题满分15分)已知的三个顶点分别为，，，直线经过点. (1)求外接圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于,两点，且，求直线的方程； (3)若是圆上的两个动点，当最大时，求直线的方程. 18.(本小题满分17分)如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在点，使得平面? 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19.(本小题满分17分)常用测量距离的方式有3种．设，定义欧几里得距离，定义曼哈顿距离，定义余弦距离，其中（为坐标原点）． (1)若,求之间的欧几里得距离和余弦距离； (2)若点在函数的图象上且，点的坐标为，求的最小值； (3)若，求的取值范围. 高二数学试卷 第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年上学期期中三校联考 高二数学参考答案 一．单选题 二．多选题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C D A A B C D BD ABD ACD 三．填空题 12. 7（8，9，10均可） 13. . 14. 四、解答题：本题共5小题，共73分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 解：（1）若2个白球都被甲取出记为事件，三种情况：…………1分 ①第一次甲取出白球，第二次乙取出红球，第三次甲取出白球，结束取球，其概率为； ……2分 ②第一次甲取出白球，第二次乙取出红球，第三次甲取出红球，第四次乙取出红球，第五次甲取白球， 其概率为； …………3分 ③第一次甲取出红球，第二次乙取出红球，第三次甲取出白球，第四次乙取出红球，第五次甲取白球， 其概率为； …………4分， 故． …………5分 所以2个白球都被甲取出的概率为 …………6分 （2）若将球全部取出才停止取球记为事件，则最后一次即第5次取出的一定是白球．…………7分 四种情况：①第1次和第5次取出的是白球，另外3次取出的是红球，其概率为； ………8分 ②第2次和第5次取出的是白球，另外3次取出的是红球，其概率为； …………9分 ③第3次和第5次取出的是白球，另外3次取出的是红球，其概率为； …………10分 ④第4次和第5次取出的是白球，另外3次取出的是红球，其概率为； …………11分 故． …………12分 所以将球全部取出才停止取球的概率为 …………13分 16. 解：(1)acos C＋asin C－b－c＝0， 由正弦定理得sin Acos C＋sin Asin C＝sin B＋sin C， …………1分 即sin Acos C＋sin Asin C＝sin(A＋C)＋sin C， …………2分 又sin C≠0，所以化简得sin A－cos A＝1， …………3分 所以sin(A－30°)＝. …………4分 在△ABC中，0°＜A＜180°，所以A－30°＝30°， …………5分 得A＝60°. …………6分 (2)在△ABC中，因为cos B＝，所以sin B＝. …………7分 所以sin C＝sin(A＋B)＝×＋×＝. …………8分 由正弦定理得，. …………10分 设a＝7x，c＝5x(x＞0)，则在△ABD中，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos B， …………12分 即＝25x2＋×49x2－2×5x××7x×，解得x＝1，所以a＝7，c＝5 …………14分 故S△ABC＝acsin B＝10. …………15分 17. 解：（1）设圆的方程为，，…………1分 则，解得，…………3分 则圆的方程为， …………4分 即圆的标准方程为； …………5分 （2）由（1）得圆心，半径， 又，可知圆心到直线的距离，…………6分 当直线斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为，成立；…………7分 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 圆心到直线的距离， 解得，则直线方程为，即；…………9分 综上，直线方程为或. …………10分 (3)由D(1,4)在圆M外，当DE，DF与圆相切时（E，F不重合），∠EDF取的最大值 …………11分 此时DM的中点为， …………12分 所以以DM为直径的圆的方程为 …………13分 即① 又圆M的方程为② 1 -②： …………14分 所以直线EF的方程为 …………15分 18. 解：（1）∵平面平面，且平面平面， 且，平面，∴平面， …………2分 ∵平面，∴，又，且，平面， ∴平面； …………4分 （2）取中点为，连接，又∵，∴．则， ∵，∴，则， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系…………6分 则，，，，则，，，， 设为平面的一个法向量，则由，得，令，则． 设与平面的夹角为， 则； …………10分 直线与平面所成角的正弦值 …………11分 （3）假设在棱上存在点点，使得平面. 设，， …………12分 由（2）知，，，，则，， ， …………14分 由（2）知平面的一个法向量． 若平面，则，解得，又平面， …………16分 故在棱上存在点点，使得平面，此时. …………17分 19. 解：（1）， …………1分 因，则 …………3分 (2) 点在函数的图象上且，点的坐标为， 故， …………6分 当时，，函数在,上单调递减，故， 当且仅当时取等号； …………7分 当时，．令，由于，故；………8分 当时，，函数在,上单调递增， 故， 当且仅当时取等号． ……9分 综上可知，的最小值为2． ………10分 （3）因， ………11分 令则，即与有交点， 也即半圆与直线有交点， ………13分 如图，先计算直线与半圆相切和经过点时的情况. 由圆心到直线的距离 解得，，由图知此时，即； 又由，代入点，解得，. 由图知，要使两者有交点，需使此时， 因 ，则有； 所以的取值范围是 ………17分 高二数学答案 第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$