北京市西城区育才学校2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024—2025学年度第一学期 北京市育才学校九年级数学学科期中考试试卷 一、选择题（每小题2分，共16分） 1. 一副扑克牌中有“黑桃”、“红桃”、“梅花”、“方块”四种花色，其中外轮廓既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过点的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况是( ) A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数 D. 无法确定 4. 将抛物线向上平移5个单位长度得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，平分，交于点O．以点C为圆心，长为半径作，则与的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 6. 学习了旋转后，小毓将图案绕某点以相同角度连续旋转若干次，设计出一个外轮廓为正五边形的图案（如图），则不可能为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为的直径，弦交于点E，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比，下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图： 当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为．下列描述正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 二、填空题（每小题2分，共16分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为______． 10. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为______． 11. 已知的半径为5，若点P在内，则__________5（填“>”，“=”或“<”）． 12. 请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式_______. 13. 2024年6月27日，“探秘古蜀文明——三星堆与金沙”展览在北京大运河博物馆开幕．据了解，开幕第一周的参观人数为4万人，第三周的参观人数增加到万人．设参观人数的周平均增长率为x，则可列方程为__________． 14. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，若，，则∠C的度数为_______． 15. 斛是中国古代的一种量器.据《汉书 .律历志》记载：“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆” . 如图所示， 问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的边长为________尺． 16. 若二次函数的部分图象如图所示，以下四个结论：①；②；③；④关于x的不等式的解集是．其中正确结论的序号的是__________． 三、解答题（共68分，17-22题，每题5分，23-26题，每题6分，27-28题，每题7分） 17. 解方程：． 18. 已知t是方程的一个根，求代数式的值． 19. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点． （1）该抛物线的顶点坐标为__________； （2）求该抛物线的表达式； （3）将该抛物线向上平移__________个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点． 20. 如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点M，交⊙O于点C．若⊙O的半径为10，OM：MC＝3：2，求AB的长． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为，求的值． 22. 下面是小明设计的“作圆的内接等腰直角三角形”的尺规作图过程. 已知：⊙O. 求作：⊙O的内接等腰直角三角形ABC. 作法：如图， ①作直径AB； ②分别以点A, B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于M 点； ③作直线MO交⊙O于点C，D； ④连接AC，BC． 所以△ABC就是所求的等腰直角三角形. 根据小明设计的尺规作图过程，解决下面的问题： （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明. 证明：连接MA，MB． ∵MA=MB，OA=OB， ∴MO是AB的垂直平分线． ∴AC= ． ∵AB是直径, ∴∠ACB= ( ) (填写推理依据) ． ∴△ABC是等腰直角三角形． 23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2x＋c的部分图象经过点A(0，－3)，B(1，0) ． (1)求该抛物线的解析式； (2)结合函数图象，直接写出y＜0时，x的取值范围． 24. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将绕点O顺时针旋转得到，点A旋转后的对应点为． （1）画出旋转后的图形； （2）直接写出点的坐标： （3）求点B经过的路径的长（结果保留）． 25. 如图，排球运动场的场地长，球网高度，球网在场地中央，距离球场左、右边界均为．一名球员在场地左侧边界练习发球，排球的飞行路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分，某次发球，排球从左边界的正上方发出，击球点的高度为．当排球飞行到距离球网时达到最大高度．小毓建立了平面直角坐标系（1个单位长度表示）．求得该抛物线的表达式为． 根据以上信息，回答下列问题： （1）画出小毓建立的平面直角坐标系； （2）判断此次发球是否有效，并说明理由．（注：排球过球网且落在对方场地内为发球有效） 26. 在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和（2，n）在抛物线上． （1）若m＝0，求该抛物线的对称轴； （2）若mn＜0，设抛物线的对称轴为直线， ①直接写出的取值范围； ②已知点（－1，y1），（，y2），（3，y3）在该抛物线上．比较y1，y2，y3的大小，并说明理由． 27. 如图，在△ABC中，，，延长CB，并将射线CB绕点C逆时针旋转90°得到射线l，D为射线l上一动点，点E在线段CB的延长线上，且，连接DE，过点A作于M． （1）依题意补全图1，并用等式表示线段DM与ME之间的数量关系，并证明； （2）取BE的中点N，连接AN，添加一个条件：CD的长为_______，使得成立，并证明． 28. 对于平面直角坐标系中第一象限内的点和图形，给出如下定义： 过点作轴和轴的垂线，垂足分别为M，N，若图形中的任意一点满足且，则称四边形是图形的一个覆盖，点为这个覆盖的一个特征点． 例： 已知，，则点为线段的一个覆盖的特征点． （1）已知：，，点， ① 在，，中，是的覆盖特征点的为___________； ② 若在一次函数的图像上存在的覆盖的特征点，求的取值范围． （2）以点D（3，4）为圆心，半径为作圆，在抛物线 上存在⊙的覆盖的特征点，直接写出的取值范围__________________． 2024—2025学年度第一学期 北京市育才学校九年级数学学科期中考试试卷 一、选择题（每小题2分，共16分） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、填空题（每小题2分，共16分） 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】1 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】y＝x2＋1． 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】30度## 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】②③④ 三、解答题（共68分，17-22题，每题5分，23-26题，每题6分，27-28题，每题7分） 【17题答案】 【答案】 【18题答案】 【答案】5 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【20题答案】 【答案】 【21题答案】 【答案】（1） 证明：∵， ∴该方程总有两个实数根； （2） 【22题答案】 【答案】（1）△ABC就是所求的等腰直角三角形. （2）BC，90°，直径所对的圆周角是直角 【23题答案】 【答案】（1）；（2） 【24题答案】 【答案】（1） 即为所求： （2） （3） 【25题答案】 【答案】（1） 如图所示： （2） 发球无效．理由： 根据题意得：点B的横坐标为3， 当时，， ∴排球能过球网． 当时，， ∴排球出右边界， ∴发球无效． 【26题答案】 【答案】（1）； （2）①； ②．理由如下： 由题意可知，抛物线过原点． 设抛物线与x轴另一交点的横坐标为x´． ∵抛物线经过点(1，m)，(2，n)，mn＜0 ∴1＜x＜2． ∴． 设点（－1，y1）关于抛物线的对称轴的对称点为． ∵点（－1，y1）在抛物线上， ∴点也在抛物线上． 由 得． ∵， ∴1＜2t＜2． ∴2＜2t＋1＜3． ∴． 由题意可知，抛物线开口向下． ∴当时，y随x的增大而减小. ∵点（，y2），，（3，y3）在抛物线上，且， ∴ 【27题答案】 【答案】 （1）补全图形如下图， DM与ME之间的数量关系为DM=ME． 证明：连接AE，AD， ∵ ∠BAC=90°，AB=AC， ∴ ∠ABC=∠ACB=45°． ∴ ∠ABE=180°-∠ABC=135°． ∵ 由旋转，∠BCD=90°， ∴ ∠ACD=∠ACB+∠BCD=135°． ∴ ∠ABE=∠ACD． ∵ AB=AC，BE=CD， ∴ △ABE ≌ △ACD． ∴ AE=AD． ∵ AM⊥DE于M， ∴ DM=EM． （2） 证明：连接AD，AE，BM． ∵ AB=AC=1，∠BAC=90°， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ 由（1）得DM=EM， ∴ BM是△CDE的中位线． ∴ ，BM∥CD． ∴ ∠EBM=∠ECD=90°． ∵ ∠ABE=135°， ∴ ∠ABM=135°=∠ABE． ∵ N为BE中点， ∴ ． ∴ BM=BN． ∵ AB=AB， ∴ △ABN ≌ △ABM． ∴ AN=AM． ∵ 由（1），△ABE ≌ △ACD， ∴ ∠EAB=∠DAC，AD=AE． ∵ ∠BAC=∠DAC+∠DAB=90°， ∴ ∠EAD=90°． ∵ DM=EM， ∴ ． ∴ ． 【28题答案】 【答案】（1）①， ；②m≥-1且m≠0；（2）或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $