精品解析：北京市北京师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期10月期中考试数学试题

北京师大附中2024-2025学年（上）高三期中考试 数学试卷 班级：________姓名：________学号：________ 考生须知 1．本试卷有三道大题，共6页.考试时长120分钟，满分150分. 2．考生务必将答案填写在答题卡上，在试卷上作答无效. 3．考试结束后，考生应将答题卡交回. 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 将的图象向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 设函数的极值点为，且，则可以是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，点P是的中点，则（ ） A. B. 4 C. D. 6 8. 已知是递增的等比数列，其前n项和为，满足，，若，则的最小值是（ ） A. 6 B. 7 C. 9 D. 10 9. 设，函数若恰有一个零点，则c的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式．如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有个小球……依此类推，最底层有个小球，共有n层，由“隙积术”可得这些小球的总个数为．若由小球堆成的某个长方台形垛积共8层，小球总个数为240，则该垛积的第一层的小球个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 若复数，则复数z的模________． 12. 已知为等差数列，为其前n项和．若，，则________． 13. 在中，．则的值是________；的最大值是________． 14. 设函数 ①当时，________； ②若恰有2个零点，则a的取值范围是________． 15. 已知函数，.给出下列四个结论： ①当时，函数有最小值； ②，使得函数在区间上单调递增； ③，使得函数没有最小值； ④，使得方程有两个根且两根之和小于. 其中所有正确结论的序号是___________. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 如图，在三角形中，，，平分交于点，． （1）求的值； （2）求的长度； （3）求的面积． 17. 已知函数的最小正周期为． （1）若，，求的值； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，确定的解析式，并求函数的单调递增区间． 条件①：的最大值为2； 条件②：的图象关于点中心对称； 条件③：的图象经过点． 注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分． 18. 为研究中国工业机器人产量和销量的变化规律，收集得到了年工业机器人的产量和销量数据，如下表所示． 年份 产量万台 销量万台 记年工业机器人产量的中位数为，销量的中位数为．定义产销率为“”． （1）从年中随机取年，求工业机器人的产销率大于的概率； （2）从年这年中随机取年，这年中有年工业机器人的产量不小于，有年工业机器人的销量不小于．记，求的分布列和数学期望； （3）从哪年开始的连续年中随机取年，工业机器人的产销率超过的概率最小．结论不要求证明 19. 已知椭圆过点和. （1）求椭圆的方程； （2）过点作直线交椭圆于不同的两点，直线交轴于点，直线交轴于点.若，求直线的方程. 20. 已知函数． （1）若，求函数的零点： （2）若，证明：函数是上的减函数； （3）若曲线在点处的切线与直线平行，求a的值． 21. 已知为有穷数列．若对任意的,都有（规定）,则称具有性质．设． （1）判断数列是否具有性质？若具有性质,写出对应的集合; （2）若具有性质,证明:; （3）给定正整数,对所有具有性质的数列,求中元素个数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京师大附中2024-2025学年（上）高三期中考试 数学试卷 班级：________姓名：________学号：________ 考生须知 1．本试卷有三道大题，共6页.考试时长120分钟，满分150分. 2．考生务必将答案填写在答题卡上，在试卷上作答无效. 3．考试结束后，考生应将答题卡交回. 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简集合，然后根据交集的定义计算. 【详解】由题意，，， 根据交集的运算可知，. 故选：A 2. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用“分段法”来确定正确答案. 【详解】，， ， 所以. 故选：C 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解. 【详解】因为可得： 当时，，充分性成立； 当时，，必要性不成立； 所以当，是的充分不必要条件. 故选：A. 4. 将的图象向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数平移变换结论求解. 【详解】将的图象向右平移个单位长度，得到的图象， 故选：D． 5. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将不等式转化为两个函数，在同一坐标系下作出两个函数的图象，由图像可得结果. 【详解】因为，所以，即， 令，且均为增函数，则不等式为， 在同一坐标系下作出两个函数的图象，如图所示， 又当时， 当时，， 所以由图像可知：的解集为：， 故选：B. 6. 设函数的极值点为，且，则可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数以及零点存在性定理来判断出正确答案. 【详解】的定义域是， ，在区间上单调递增， ，所以存在， 使得，且在区间上在单调递减， 在区间上在单调递增，所以是的极小值点， 所以. 故选：B 7. 在中，，点P是的中点，则（ ） A. B. 4 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算计算可得； 【详解】解：如图建立平面直角坐标系，则，，， 所以，，所以 故选：C 8. 已知是递增的等比数列，其前n项和为，满足，，若，则的最小值是（ ） A. 6 B. 7 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】求得等比数列的首项和公比，由此化简并求得正确答案. 【详解】设等比数列的公比为， ，或（舍去）， 所以. 由，， ，所以的最小值为. 故选：B 9. 设，函数若恰有一个零点，则c的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意利用函数与方程的思想，可将图象平移，以及对参数进行分类讨论即可得出其取值范围. 【详解】画出函数的图象如下图所示： 函数可由分段平移得到， 易知当时，函数恰有一个零点，满足题意； 当时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意； 当时，图象往下平移，当时，函数有两个零点； 当时，恰有一个零点，满足题意，即； 综上可得的取值范围是. 故选：D 10. 北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式．如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有个小球……依此类推，最底层有个小球，共有n层，由“隙积术”可得这些小球的总个数为．若由小球堆成的某个长方台形垛积共8层，小球总个数为240，则该垛积的第一层的小球个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】转化题给条件为，再由皆为正整数分类讨论即可求解. 【详解】由题意知，，于是得最底层小球的数量为，即，. 从而有， 整理得， ， ， ，， 由于皆为正整数，所以 （i）当时，， 当时，， （iii）当时，， （iv）当时， 只有符合题意，即的值为2. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题主要考查新文化背景下的数列问题，确定是解决本题的关键. 分类讨论与验证的严谨性：在分类讨论中，每一个可能的值都需要进行仔细的验证，确保没有遗漏任何符合条件的解. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 若复数，则复数z的模________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数运算求得正确答案. 【详解】， . 故答案为： 12. 已知为等差数列，为其前n项和．若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】求得等差数列的公差，进而求得. 【详解】设等差数列的公差为， 则， 所以. 故答案为： 13. 在中，．则的值是________；的最大值是________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】利用余弦定理求得，从而求得；利用三角恒等变换的知识求得的最大值. 【详解】由，得， 所以为锐角，且. ， ，，所以当，即时， 取得最大值为. 故答案为：； 14. 设函数 ①当时，________； ②若恰有2个零点，则a的取值范围是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①根据函数解析式求得.②对进行分类讨论，根据零点的个数求得的取值范围. 【详解】①，时，， 所以， 所以. ②，令，可得: 当时，， 所以或， 当或时，方程在上有唯一解， 当或时，方程在上的解为或， 当时，， 所以当时，， 当时，方程在上无解， 综上，当时，函数有两个零点， 当时，函数有两个零点， 当时，函数有三个零点， 当时，函数有两个零点， 因为恰有2个零点，所以或， 所以a的取值范围是. 故答案为：； 15. 已知函数，.给出下列四个结论： ①当时，函数有最小值； ②，使得函数在区间上单调递增； ③，使得函数没有最小值； ④，使得方程有两个根且两根之和小于. 其中所有正确结论的序号是___________. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用函数的最值与单调性的关系可判断①③的正误；利用函数的单调性与导数的关系可判断②的正误；取，利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理可判断④的正误. 【详解】对于①，当时，，则， 由可得，由可得或， 此时，函数的增区间为、，减区间为， 当或时，，当时，， 故函数在处取得最小值，①对； 对于②，， 令，其中，则， 所以，函数在上单调递增，所以，， 则， 由可得， 构造函数，其中， 则， 令，其中，则， 所以，函数在上单调递减， 故当时，，则，即在上单调递减， ，则，解得，②对； 对于③，，， 因为函数在上单调递增， ，，所以，存在，使得， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，对任意的实数，函数有最小值，③错； 对于④， 令，不妨令，即取， 由③可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，则，， 所以，存在，使得， 此时函数的零点之和为，④对. 故答案为：①②④. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 如图，在三角形中，，，平分交于点，． （1）求的值； （2）求的长度； （3）求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意，利用正弦定理，结合角的取值范围，可得答案； （2）由题意，求得三角形的内角，结合等腰三角形的性质，可得答案； （3）利用三角形的面积公式，结合正弦的差角公式，可得答案. 【小问1详解】 在中，由正弦定理得， 所以， 因为，所以； 【小问2详解】 由（1）得， 由题设，，则，即为等腰三角形， 所以． 【小问3详解】 ， 所以的面积． 17. 已知函数的最小正周期为． （1）若，，求的值； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，确定的解析式，并求函数的单调递增区间． 条件①：的最大值为2； 条件②：的图象关于点中心对称； 条件③：的图象经过点． 注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2），单调递增区间， 【解析】 【分析】（1）根据条件，代入，即可求解； （2）根据三角函数的性质，选择条件，代入后，即可求解函数的解析式，利用三角恒等变换，代入函数单调递增区间，即可求解. 【小问1详解】 因为，，则，且，则. 【小问2详解】 因为函数的最小正周期为，则， 若选①②，则，且， 且，则，则，则， 所以； 若选择①③，则，且，则， ，则，则，则， 所以； 若选择②③，由②可知，， 由③可知，，则， 所以. ， 令，， 得，， 所以函数的单调递增区间是，. 18. 为研究中国工业机器人产量和销量的变化规律，收集得到了年工业机器人的产量和销量数据，如下表所示． 年份 产量万台 销量万台 记年工业机器人产量的中位数为，销量的中位数为．定义产销率为“”． （1）从年中随机取年，求工业机器人的产销率大于的概率； （2）从年这年中随机取年，这年中有年工业机器人的产量不小于，有年工业机器人的销量不小于．记，求的分布列和数学期望； （3）从哪年开始的连续年中随机取年，工业机器人的产销率超过的概率最小．结论不要求证明 【答案】（1） （2） （3）2018年和年 【解析】 【分析】（1）按古典概型的概率计算求解. （2）先根据中位数的概念确定，的值，在确定，的所有可能值，进一步得的所有可能的取值，再求的分布列. （3）计算产销率，可直接得到结论. 【小问1详解】 记事件为“工业机器人的产销率大于”． 由表中数据，工业机器人的产销率大于的年份为年，年，年，年，共年． 所以． 【小问2详解】 因为，， 所以的所有可能的取值为；的所有可能的取值为． 所以的所有可能的取值为． ，，． 所以的分布列为： 故的数学期望． 【小问3详解】 2018年和年． 19. 已知椭圆过点和. （1）求椭圆的方程； （2）过点作直线交椭圆于不同的两点，直线交轴于点，直线交轴于点.若，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）两个点代入解方程即可. (2)斜率不存在单独算出是否成立；斜率存在时把设出来与椭圆联立，韦达定理求出两根之和与两根之积用斜率来表示，然后用两个根表示，化简求值即可. 【小问1详解】 将点坐标代入椭圆的方程，得解得,所以椭圆的方程为： 【小问2详解】 若直线的斜率不存在，即直线为时，和重合，和点重合，分别为椭圆的上下顶点，此时，符合题意. 若直线斜率存在，设直线的方程为，且，联立方程得，，即或 ，所以直线的方程为，取得，同理可得 由得，即，所以，即，即 即，因为，所以得，即，经检验符合题意，此时直线为 综上所述，直线的方程为或. 20. 已知函数． （1）若，求函数的零点： （2）若，证明：函数是上的减函数； （3）若曲线在点处的切线与直线平行，求a的值． 【答案】（1）2 （2） 当时，定义域为. 所以. 令，则 当时，恒成立，所以在上单调递减， 所以当时，都有. 所以在上恒成立，所以函数是上的减函数. （3）0. 【解析】 【分析】（1）直接解方程即可求出零点； （2）利用导数证明函数的单调性； （3）先由在点处的切线与直线平行，得到，用图像法求出a=0. 【小问1详解】 当时，. 令，解得：x=2. 即函数的零点是2. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 . 所以. 因为在点处的切线与直线平行， 所以. 即. 记，则. 当时，，所以单调递减；当时，，所以单调递增. 而，所以a=0是方程的唯一解. 故a=0. 21. 已知为有穷数列．若对任意的,都有（规定）,则称具有性质．设． （1）判断数列是否具有性质？若具有性质,写出对应的集合; （2）若具有性质,证明:; （3）给定正整数,对所有具有性质的数列,求中元素个数的最小值． 【答案】（1）不具有性质,具有性质, （2） “”等价于“证明两个元素至少有一个在中”, 假设两个元素均不在中, 则有 不妨设, 若, 则由, 可得, 与矛盾, 故, 同理, 从而, 所以, 与具有性质矛盾, 所以假设不成立,即; （3） 【解析】 【分析】(1)根据性质的定义,观察到,可得不具有性质,根据,可以发现中相邻两项及首尾两项的差的绝对值均小于等于1,故具有性质,根据定义代入求值,即可得出; (2) “”等价于“证明两个元素至少有一个在中”,利用反证法假设两个元素都不在中,通过范围推出矛盾即可. (3) 设中元素个数最小值为,根据新定义可得,以此类推可得,由(2)中的结论可得,即可得,再进行验证即可. 【小问1详解】 解:由题知, 即 因为, 所以不具有性质, 由于, 即 因为 故具有性质, 因为 故; 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设 规定时,, 时,, 则, 所以, 考虑数列, , 由题设可知,他们均具有性质, 设中元素个数最小值为, 所以, 所以, 由(2)知,从而, 当时,令, 当时,令, 此时均有, 所以中元素个数的最小值为. 【点睛】思路点睛:此题考查数列与集合结合的新定义问题,属于难题,关于新定义题的思路有: (1)找出新定义有几个要素,找出要素分别代表什么意思; (2)由已知条件,看所求的是什么问题,进行分析,转换成数学语言; (3)将已知条件代入新定义的要素中; (4)结合数学知识进行解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $