山东省青岛市四区县（胶州、平度、黄岛、城阳）2024-2025学年高二上学期期中学业水平检测数学试题

高二数学试题 第 1页（共 4页） 2024－2025学年度第一学期期中考试 高 二 数学 2024.11 本试卷共 4页，19题．全卷满分 150分．考试用时 120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并 将条形码粘贴在答题卡指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，请将答题卡上交。 一、单项选择题：本大题共 8小题．每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．已知数列{ }na 的通项公式为 ( 1) n n na    ，则该数列是 A．摆动数列 B．递减数列 C．递增数列 D．常数数列 2．已知数列{ }na 的前 n项和为 2 2 1n n nS    ，则 1 7a a  A．18 B．17 C．16 D．15 3．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设 A =“第1枚正面朝上”，B =“第 2枚正面朝上”， 则 A与 B的关系为 A．相互独立 B．互为对立 C．互斥 D．相等 4．一组数据按从小到大的顺序排列为1,3, 4, ,6,7,9x ，若该组数据的中位数与平均数相同， 则该组数据的第 60百分位数是 A．3 B．4 C．5 D．6 5．已知数列{ }na 为各项均为正数的等比数列， 2a 和 6a 是方程 2 9 10 0x x   的两个根， 则 1 2 7lg lg lga a a    A． 5 2 B．3 C． 7 2 D． 4 6．已知事件 ,A B互斥， ,A B都不发生的概率为 1 4 ，且 ( ) 3 ( )P A P B ，则 ( )P A  A． 1 3 B． 2 3 C． 7 16 D． 9 16 7．已知{ }na 为等差数列，若 4 6 8+ 2πa a a  ，则 3 9tan( )a a 的值为 A． 3 3 B． 3 C． 3 3  D． 3 高二数学试题 第 2页（共 4页） 8．若4个数据的平均值为6，方差为5，现加入数据8和10，则这6个数据的方差为 A． 7 3 B． 13 3 C．17 3 D． 6 二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某地区组织高中创新作文大赛，从5000名考生的参赛成绩中随机选取100个成绩进行 统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中90分以上视为优秀，则 A． a的值为0.030 B．抽取的考生中成绩在区间[80,90)有15人 C．5000名考生中约有10名成绩优秀 D．估计考生成绩的平均分小于中位数 10．已知数列{ }na 满足 1 2 2 32 3 ( 1)[ ] 2n a a a n n na     ，则 A．数列{ }na 为等差数列 B． 2 12n n na a a   C． 1 1 2 n i ia  D．数列{( 1) }n na 的前 2n项和为 22n n 11．连续两次抛掷同一颗骰子，记第一次向上的点数为 p，第二次向上的点数为 q，设 [ ]pA q  ，其中[ ]x 表示不超过 x的最大整数，则 A． 1( ) 2 P p q  B． 1( 7) 6 P p q   C．事件 7p q  与 3A  互斥 D．事件 1q  与 0A  相互对立 三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 12．在数列{ }na 中， 1 1a  ， 1 1ln(1 )n na n a    ，则{ }na 的通项公式为 ． 13．袋中装有形状大小完全相同的5个小球，其中 2个白球， 2个红球，1个黄球．先后 从中不放回的抽取两个小球，若每抽到一个白球、红球、黄球分别得1、0、 1 分， 则两次得分之和为0分的概率为 ． 14．质点每次都在四边形 ABCD的顶点间移动，每次到达对角顶点的概率是它到达每个 相邻顶点概率的两倍，若质点的初始位置在 A点，则经过 2次移动到达C点的概率为 ______，经过 n次移动到达C点的概率为_________． （注：第一空 2分，第二空3分） 高二数学试题 第 3页（共 4页） 四、解答题：本大题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 记 nS 为数列{ }na 的前 n项和，已知 1 1a  ，{ }n n S a 是公差为 1 2 的等差数列． （1）求数列{ }na 的通项公式； （2）令 2 nan nb a  ，求数列{ }nb 的前 n项和 nT ． 16．（15分） 已知空气质量指数 (AQI)不超过100为“优良”等级，某市统计了 40天的空气质量指 数，并将数据整理如下图表： 空气质量指数 (AQI) 频数（天） 频率 0 20x  4 0.10 20 40x  6 0.15 40 60x  m t 60 80x  n 0.25 80 100x  8 0.20 100 120x  4 0.10 合计 40 1.00 请根据以上信息，解答以下问题： （1）直接写出 , ,m n t的值，并把频率分布直方图补充完整； （2）估计该市这 40天空气质量指数 (AQI)的平均数； （3）在选取的样本中，从空气质量指数 (AQI)在区间[80 120)， 的两组指数中按分层抽样抽 取6个，再从这6个中抽取 2个，求这 2个空气质量指数都是“优良”等级的概率． 17．（15分） 已知数列{ }na 的首项 1 1a  ，且满足 1 2 n n n aa a   ． （1）求证：数列 1{ +1} na 为等比数列； （2）若数列{ }na 的前 n项和为 nS ，求证： 2nS  ． 0.005 0 20 6040 80 100 120 0.0075 0.010 0.0125 (AQI) 频率 组距 高二数学试题 第 4页（共 4页） 18．（17分） 甲乙两支足球队进入某次杯赛决赛，比赛采用“主客场比赛制”，具体赛制如下： 若某队两场比赛均获胜或一胜一平，则获得冠军；若某队两场比赛均平局或一胜一负， 则通过点球大战决出冠军．现假定甲队在主场获胜的概率为 p，平局的概率为 2 p ，其中 0 1p  ；甲队在客场获胜和平局的概率均为 2 p ；点球大战甲队获胜的概率为 p，且不 同对阵的结果互不影响． （1）若甲队先主场后客场，且 1 2 p  ， （ⅰ）求甲队通过点球大战获得冠军的概率； （ⅱ）求甲队获得冠军的概率； （2）除“主客场比赛制”外，也经常采用在第三方场地的“单场比赛制”：若某队比赛获 胜则获得冠军；若为平局，则通过点球大战决出冠军．假定甲队在第三方场地获胜 的概率为 2p ，平局的概率为 2 p ，点球大战甲队获胜的概率为 p．问哪种赛制更有 利于甲队夺冠？ 19．（17分） 已知数列{ }na 满足 210 naa a   L ， *( 3, N )n n  ，且对于每个1 ji n   ， 至少有一个 i ja a 或 j ia a 仍是{ }na 中的项． （1）若 3n  ， 2 3a  ，求 1a 和 3a ； （2）若 4n  ， 2 3a  ，求 4 3a a ； （3）若{ }na 的最后一项为 2024，求数列{ }na 的前 n项和 nS ． 2024一2025学年度第一学期期中考试高二数学参考答案 一、单项选择题：本大题共8小题.每小题5分，共40分. 1-8:ABAD CCBC 二、多项选择题：本大题共3小题.每小题6分，共18分. 9.AD; 10.ACD; 11.BC; 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 3 11 12.a =1+Inn 13. 14. 8'4+(之.（住：第一空2分，第二室3分 四、解答题：本大题共6小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 解：（①）由圈意9=1+-)=”+ 2 …2分 所以2Sn=(n+1)an,当n≥2时，2Sm-1=na-1, …3分 两式作差得2an=(n+1)an-naa-1,(n-1)am=nan-1, 4分 所以=二，则数列巴}为常数数列， …5分 n n-1 且==l,所以a,=n …6分 (2）bn=an2=n…2”,… …7分 所以Tn=12+222+3.23+…+n…2”,①… 8分 2Tn=122+2…23+324++(n-1)-2"+n24,②… ……9分 ①-②得 -Tn=2+22+23+…+2"-n-2"H …11分 20-22）-n-2=-2-(-0小-21… …2分 1-2 所以Tn=(n-1)-2+2…。 …13分 频率 16.(15分) 组距 解：(1)由题意n=40×0.25=10, 0.0125 m=40-(4+6+10+8+4)=8, 0.010 8 1=8=0.20 0.0075 40 补充直方图如下： 0.005 020406080100120(AQI 4444444144444444444441444404444444444444…54444444444484”*44分 (2)由直方图得，该市这40天空气质量指数(AQD的 高二数学参考答案第1页（共3页） 平均数为10×0.10+30×0.15+50×0.20+70×0.25+90×0.20+110×0.10=62…8分 (3)由题意，[80,100)与100,120)得频数之比为2：1， 所以区间[80,120)的两组指数中按分层抽样抽取6个， 区间[80,100)中有4个，区间[100,120)中有2个，… 10分 “优良”等级为区间[80,100)中的4个数据记为1,2,3,4，区间[100,120)中的2个数据记为a,b, 从这6个抽取2个所有可能的情况为 (1,2),(1,3),1,4),(2,3),(2,4),(3,4),(1,ad,(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b) (4,a),(4,b),(a,b),共15种情况，… …13分 其中空气质量指数都是“优良”等级有6种，……14分 故这2个空气质量指数都是“优良”等级的概率为 62 …15分 55 17.(15分) 解：()已知a1=2+a, 0,,两边取倒数得1=2+= 么十1，…2分 所以1+1=2+0，又+1=2，… …5分 an a 所以数列{十1}为首项为2公比为2的等比数列… …7分 a 2)由0)知，1+1=2x2=2”,所以a,= …8分 2"-1 当n=1时，S,=a1= 1 =1<2…9分 2-1 1 1 当n22时，a,22”-2-2×2-22可 ……1分 11,1 1-() 所以Sn=a1+a2+…+an<1+。+ 24 2 201-(分9<2 …14分 综上所述，Sn<2… ……15分 18.(17分) 解：(1)（i)记甲队通过点球大战获得冠军为事件A,… …………1分 此事件包含甲队主胜客负、主负客胜、主平客平，然后点球获胜， (-(PQ-P+Q-3p-p+iP:p-Q-P 111 3 ……3分 因为p=),所以P0=xx=3, ……4分 24216 所以甲队通过点球大战获得冠军的概率为 …5分 16 (i)记甲队获得冠军为事件B, 高二数学参考答案第2页（共3页） 事件B包含甲队点球获胜、主胜客胜、主胜客平、主平客胜，…6分 3 所以PB)pp+PP+PP+PPp-pp …8分 2 4 所以甲队获得冠军的概率为…l0分 (2)由题意，记在“单场比赛制”下，甲队获得冠军为事件C, 事件C包含甲队胜、甲队平同时点球胜， 3 所以PC)=p+2Pp=D， ……1门分 因为0<p+方P<1,所以0<p<子此时0<p2+兮P<号满足题意， 1 …13分 9 PB-pC=p-2p-3p=p2-3p=p6-6P…15分 422 42 4 因为0<p<号，寻p>0,5-6P>0,所以P8)-PC)=P6-6P>0, 21 故“主客场比赛制”比“单场比赛制”更利于甲夺冠…17分 19.(17分) 解：(1)由题知，an+an=2an>an所以an+anE{an},故an-an=0∈{an} 又0≤a1<a2<…<an,所以4=0…2分 同理a2+a3e{an},故a3-a2∈{an},又0<a-a2<a3 所以a3-2=a2=3,a3=6…3分 (2)由(1)知a1=0,a2+43=44,或者43-a2=42…4分 当42+a3=a4时，a4-a3=a2=3;…5分 当a3-a2=a2时，43=6，此时a4-43=42=3,或a4-a3=a3=6,…6分 即a=9,或a4=12, 经验证，a4=12时，a4+a2{an},a4-a2生{an}, 此时数列{an}不合题意；…7分 a4=9时符合要求，故一3的值为3…8分 (3)由(1)知a1=0,又因为0≤a1<a2<…<an, 所以0≤an-an<an-an-1<an-an-2…<am-a1，… …9分 又因为an-4+an>an(0=1,2,…,n-),所以an+an年{an},an-an-∈{an}…l11分 所以an-an=a1,an-0n-1=a2,…,an-a1=an…l3分 所以Sn=a1+a2+…+an=(an-an)+(an-an）+…+(an-a) =0n-Sn…15分 所以S。=2a,=1012n…z …17分 2 高二数学参考答案第3页（共3页）