精品解析：江苏省南京市第一中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

南京一中2024～2025学年度第一学期期中考试检测卷 高一数学 命题人: 汪倩倩 赵慧 校对人：汪倩倩 赵慧 审核人: 童欣 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：求出集合后可求. 【详解】[方法一]：直接法 因为，故，故选：B. [方法二]：【最优解】代入排除法 代入集合，可得，不满足，排除A、D； 代入集合，可得，不满足，排除C. 故选：B. 【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法； 方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解． 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用分式不等式以及充分不必要条件的集合表示，可得答案. 【详解】由，可得或， 又集合是集合或的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A 3. 下列各组函数表示相同函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相同函数的定义一一判定即可. 【详解】对于A项，两函数的对应关系不同，故A错误； 对于B项，，两函数定义域不一样，故B错误； 对于C项，的定义域为，的定义域为， 两函数定义域不一样，故C错误； 对于D项，，与， 两函数定义域一样，对应关系一样，故D正确. 故选：D. 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数奇偶性和单调性即可求解. 【详解】因为， 所以为奇函数， 当时，为减函数，为增函数，故为增函数，故B选项正确. 故选：B. 5. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式和可得． 【详解】由题意得：，解得：， 由，解得：， 故函数的定义域是， 故选：C. 6. 设，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数的运算性质和换底公式直接求得. 【详解】由题意得：． 故选：D． 7. 若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”.已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“函数”的定义可得值域为，再求分段函数的值域，由集合的包含关系列出不等式组，求解即可. 【详解】由题意可知的定义域为，值域为， 而，，所以的值域为. 当时，单调递增，此时值域为； 当时，，抛物线开口向上，对称轴为直线， 故此时单调递增，值域为. 因此，解得. 故选：C. 8. 已知函数，方程，，则方程的根的个数是 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据方程解出或，，再画出函数的图象，根据图象交点个数确定方程的实数根. 【详解】，即或， 如图，画出函数的图象 由图象可知时，有2个交点，当，时有3个交点， 所以共有5个交点，故选D. 【点睛】本题考查了数形结合求解方程实数根的问题，函数的零点是对应方程的实数根，同时也是函数图象和轴的交点，求的实数根也可转化为求和的图象的交点个数. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设集合，，，，则下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】分别求出集合，再利用集合之间的关系判断即可. 【详解】由题意得，， ，， 我们先化简集合，集合可化为， 所以，故A正确，而点在直线上， 则成立，故C正确，因为是数集， 是点集，二者一定无交集， 故成立，故D正确， 因为是数集，是点集， 二者一定无交集，故不成立，故B错误. 故选：ACD 10. 已知函数为定义在上的偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 在上单调递减 D. 的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据偶函数定义域特征求解；对B，利用偶函数性质代入运算得解；对C，举反例说明判断；对D，换元令， 得，，求出在上的值域，再根据偶函数对称性可得的值域. 【详解】对于A，因为是定义在上的偶函数，所以，解得，故A正确； 对于B，由，， ，故B正确； 对于C，，，则， 所以函数在上不满足单调递减，故C错误； 对于D，由，，令，则，且， ，， ，即， 由偶函数对称性可知，的值域为.故D正确. 故选：ABD. 11. 若a，，，则下列说法正确的有（ ） A. 的最小值为4 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式依次判断即得. 【详解】由a，，，可得， 对于A，，当且仅当，即取等号，所以，同理，故，故A错误； 对于B，∵，当且仅当，即时取等号， ∴，即的最大值为，故B正确； 对于C，，当且仅当，即时取等号，故的最小值为，故C正确； 对于D，由题可得，， ∴， 而，当且仅当，即时取等号， ∴，即的最大值是，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合中只有一个元素，则的所有可能取值组成的集合为______. 【答案】 【解析】 【分析】分和两种情况讨论，当时，即可得解. 【详解】集合表示关于的方程的解集， 因为集合中只有一个元素， 当，即，解得，此时，符合题意； 当，则，解得或， 当时，时，符合题意； 综上可得的所有可能取值组成的集合为. 故答案为： 13. 已知关于x的方程（其中p，q均为实数）有两个不等实根，.若，满足，则p的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据根与系数的关系及判别式建立不等式求解. 【详解】由题意，，即，且， 因为， 所以，则， 由可得，即， 解得或， 故答案为： 14. 已知，且，，则___． 【答案】4 【解析】 【分析】令，即可得到，解出，即可得到，再由，得到，从而得到，解得即可. 【详解】，且，即， 设，则， ，解得或（舍去），即， ， ， ， ，解得或（舍去）， 所以． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求下列各式的值． （1） （2） 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】（1）利用指数幂的运算性质和对数的运算性质可得结果. （2）利用对数的运算性质化简可得结果. 【小问1详解】 原式 . 【小问2详解】 原式 . 16. 已知全集，集合，. （1）若，求和； （2）若，求m的取值范围. 【答案】（1）；或； （2） 【解析】 【分析】（1）首先分别求解两个集合，再代入集合的运算公式，即可求解； （2）首先判断，再讨论和两种情况，根据端点值列不等式，即可求解. 【小问1详解】 ，解得：， 即， 当时，，所以， 或，或； 【小问2详解】 由，则， 当时，，得， 当时，，解得：， 所以的取值范围是. 17. 已知定义在上的函数（其中）. （1）若关于的不等式的解集为，求实数的值； （2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）3；（2） 【解析】 【分析】（1）先因式分解得到，再根据关于的不等式的解集为，由求解. （2）将不等式对任意恒成立，根据，转化为求解. 【详解】（1）， 因为关于的不等式的解集为， 所以， 解得 （2）因为不等式对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 因为， 所以 所以，对任意恒成立， 而，当且仅当 ，即 时，取等号， 所以 ， 所以的取值范围. 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法以及一元二次不等式恒成立问题，基本不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题. 18. 2023年10月20日，国务院新闻办举办了2023年三季度工业和信息化发展情况新闻发布会工业和信息化部表示，2023年前三季度，我国新能源汽车产业发展保持强劲的发展势头．在这个重要的乘用车型升级时期，某公司科研人员努力攻克了动力电池单体能量密度达到300Wh/kg的关键技术，在技术水平上使得纯电动乘用车平均续驶里程超过460公里．该公司通过市场分析得出，每生产x千块动力电池，将收入万元，且，该公司每年最多生产1万块此种动力电池，预计2024年全年成本总投入2.5x万元，全年利润为万元．由市场调研知，该种动力电池供不应求．（利润＝收入－成本总投入） （1）求函数的解析式； （2）当2024年动力电池的产量为多少块时，该企业利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当2024年动力电池的产量为7000块时，该企业利润最大，最大利润是207.5万元． 【解析】 【分析】（1）根据已知函数模型得出函数解析式； （2）分别利用二次函数性质和基本不等式求出分段函数两段的最大值，然后比较可得． 【小问1详解】 由题意得， ∵， ∴当时，， 当时，， 综上所述，函数的解析式为． 【小问2详解】 由（1）得， 当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴； 当时， ， 当且仅当，即时，， ∵， ∴的最大值为207.5， 故当2024年动力电池的产量为7000块时，该企业利润最大，最大利润是207.5万元． 19. 已知函数 （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）若函数在上的最小值为7，求实数的值. 【答案】（1）当时，函数是奇函数；当时既不是奇函数也不是偶函数. （2）或. 【解析】 【分析】（1）分和两种情况，利用函数奇偶性的定义分析判断即可； （2）分，，和四种情况结合二次函数的单调性，从而可求出函数的最小值，然后列方程求解即可. 【小问1详解】 若，则，定义域关于原点对称， ，故是奇函数； 若，则不是奇函数， 又，故不是偶函数， 所以既不是奇函数也不是偶函数. 综上，当时，函数是奇函数；当时既不是奇函数也不是偶函数. 【小问2详解】 ①当时，， 对称轴为， 所以函数在上单调递增. 所以，即， 解得（舍）或； ②当时，， 对称轴为， 所以函数在上单调递增， 所以， 即（舍去）； ③当时，， 对称轴为， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 因为， 当时，，所以，即， 得，均舍； 当时，，则，即， 得（舍去），； ④当时，， 因为，则此时，函数在上单调递减，在上单调递增， ，得，均舍. 综上，或. 【点睛】关键点点睛：此题考查函数的奇偶性的判断，考查由函数的最值求参数，第（2）问解题的关键是分情况讨论去掉绝对值，转化为二次函数的闭区间的最值问题，考查分类讨论思想和计算能力，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京一中2024～2025学年度第一学期期中考试检测卷 高一数学 命题人: 汪倩倩 赵慧 校对人：汪倩倩 赵慧 审核人: 童欣 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列各组函数表示相同函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 6. 设，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”.已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，方程，，则方程的根的个数是 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设集合，，，，则下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数为定义在上的偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 在上单调递减 D. 的值域为 11. 若a，，，则下列说法正确的有（ ） A. 的最小值为4 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合中只有一个元素，则的所有可能取值组成的集合为______. 13. 已知关于x的方程（其中p，q均为实数）有两个不等实根，.若，满足，则p的取值范围是________. 14. 已知，且，，则___． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求下列各式的值． （1） （2） 16. 已知全集，集合，. （1）若，求和； （2）若，求m的取值范围. 17. 已知定义在上的函数（其中）. （1）若关于的不等式的解集为，求实数的值； （2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围. 18. 2023年10月20日，国务院新闻办举办了2023年三季度工业和信息化发展情况新闻发布会工业和信息化部表示，2023年前三季度，我国新能源汽车产业发展保持强劲的发展势头．在这个重要的乘用车型升级时期，某公司科研人员努力攻克了动力电池单体能量密度达到300Wh/kg的关键技术，在技术水平上使得纯电动乘用车平均续驶里程超过460公里．该公司通过市场分析得出，每生产x千块动力电池，将收入万元，且，该公司每年最多生产1万块此种动力电池，预计2024年全年成本总投入2.5x万元，全年利润为万元．由市场调研知，该种动力电池供不应求．（利润＝收入－成本总投入） （1）求函数的解析式； （2）当2024年动力电池的产量为多少块时，该企业利润最大？最大利润是多少？ 19. 已知函数 （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）若函数在上的最小值为7，求实数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $