精品解析：湖南省常德市汉寿县第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

湖南省常德市汉寿县第一中学2024—2025学年 高二上学期10月月考数学试卷 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则的子集个数是（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】先分别化简两集合，确定并集中元素个数，根据子集个数的计算公式，即可得出结果. 【详解】因为， ， 因此， 所以的子集个数是. 故选：C. 【点睛】本题主要考查求集合的子集个数，熟记并集的概念，子集个数的计算公式，涉及一元二次不等式的解法，属于基础题型. 2. 的值（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式代入，即可求解. 【详解】 故选：C 【点睛】本题考查两角差的正弦公式. 熟记两角和与差的正弦、余弦公式. 3. 已知单位向量是平面内的一组基底，且，若向量与垂直，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用数量积的定义和性质即可得的值. 【详解】为单位向量且， 所以，，， 向量与垂直，所以， 即， 即， 解得. 故选:A 4. 如果不共线向量满足，那么向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算律可得，由此可得结果. 【详解】，， ，即向量与的夹角为. 故选：C. 5. 复数z的共轭复数满足，则复数z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴 D. y轴 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数除法运算求出，进而求出复数z作答. 【详解】依题意，， 因此复数，在复平面内对应的点位于y轴上. 故选：D 6. 已知圆锥（为圆锥的顶点，为圆锥底面的圆心）的轴截面是等边三角形，为底面圆周上的三点，且为底面圆的直径，为的中点．若三棱锥的外接球的表面积为，则圆锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设底面半径为r，根据圆锥的轴截面是等边三角形，得到三棱锥的外接球的半径为r，由三棱锥的外接球的表面积为，解得，设外接球的半径为R，球心为，在求得半径即可. 【详解】解：如图所示： 因为圆锥的轴截面是等边三角形， 设底面半径为r，则圆锥的高为，且， 所以三棱锥的外接球的半径为r， 又因为三棱锥的外接球的表面积为， 所以，解得，则圆锥的高为，且， 设圆锥的外接球的半径为R， 如图，设外接球的球心为，在中，， 解得， 所以圆锥的外接球的表面积为其表面积为． 故选：A． 7. 已知，且，则的概率为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先列举出所有的基本事件，再找到满足条件的基本事件，根据古典概型概率公式计算即可． 【详解】由题基本事件空间中的元素有：（1,6），（2,5），（3,4），（4,3），（5,2），（6,1）， 满足题意的有（1,6），（2,5），（3,4），（4,3），则的概率为=. 故选：B． 【点睛】古典概型中基本事件数的探求方法： (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目. 8. 分别标有数字的张卡片，从这张卡片中随机抽取张卡片，则取出的张卡片上的数字之和为奇数的取法数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用列举法求解即可 【详解】由题意知，从这4张卡片中随机抽取2张卡片， 取出的2张卡片上的数字之和为奇数包括 ，共有4种结果. 故选：C. 二､多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑. 9. 已知事件与，且，则下列结论正确的是（ ） A. 如果与互斥，那么 B. 如果与相互独立，则 C. 如果与相互独立，那么 D. 如果与相互独立，那么 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A，由A与互斥得概率加法公式可求；对B，由独立事件的概率乘法公式可求；对CD，由对立事件的概率求法可解. 【详解】对A，与互斥，则，A对； 对B，与相互独立，则，B对； 对C、D，A与相互独立， ， 故C对D错； 故选：ABC 10. 如图，已知在棱长为2的正方体中，点E，F，H分别是，，的中点，点G是上的动点，下列结论正确的是（ ） A. 平面ABH B. 平面 C. 直线EF与所成的角为30° D. 三棱锥的体积最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，根据得到，，，四点共面，在平面ABH上；B选项，通过证明BD⊥面得到，通过证明⊥面得到，最后即可证明面；C选项，取AD中点I，根据得到EF与所成角为∠IFE，然后用余弦定理求角即可；D选项，根据题意得到当G位于点时，三棱椎的体积最大，然后求体积即可. 【详解】 因为为正方体，所以，则，，，四点共面，即在平面ABH上，故A错； 连接BD，AC，，，， 在正方体中，，面ABCD，平面， ∴， ∵，AC，⊂面， ∴BD⊥面， 又⊂面， ∴， 又∵，面，平面， ∴． ∵，，⊂面， ∴⊥面， ∵平面， ∴， 又，，，BD⊂面， ∴面，故B正确； 取AD中点I，连接FI，EF，EI，， 在中，∵F，I分别为，DA的中点， ∴， 又， ∴， ∴EF与所成角为∠IFE， 在中，，，， ∴， ∴EF与所成的角为30°，故C正确； 当G位于点时，三棱锥的体积最大， 故，故D正确. 故选：BCD. 11. 下列关于空间向量的命题中，是真命题的是（ ） A. 若三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们一定不共面 B. 若，则，的夹角是锐角 C. 不相等的两个空间向量的模可能相等 D. 若，是两个不共线的向量，且且，则构成空间的一个基底 【答案】AC 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理即可判断AD；对B，举例即可反驳；根据空间向量定义即可判断C. 【详解】选项A，由空间向量基本定理可知正确； 选项B，当且，时，，故B错误； 选项C，由空间向量定义可知正确； 选项D，由空间向量基本定理可知，与，共面，则不能构成空间的一个基底，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 一艘船以每小时10海里的速度向东航行，船在处发现灯塔在北偏西方向，灯塔在北偏东方向，行驶4小时后，船到达处，测得灯塔在处的正北方向，灯塔在处的北偏西方向，则M、N两处灯塔间的距离为__________海里. 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件得到角度关系，然后证明四点共圆，然后通过以及三角函数的定义即可求得结果. 【详解】如图所示，在点的正北方向任取一点， 由于该船向正东方向航行了海里，故的长度是海里. 而分别在的正北方向，故. 根据题目条件我们又有，，， 故，这说明四点共圆. 于是. 由，， 我们有，. 两式相除，即有，所以海里. 故答案为：. 13. 如图，中，，为边上的一点，，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用正弦定理得，进而得，并利用余弦定理求解. 【详解】在△BCD中应用正弦定理有：， 则， ， 则， 在△ACD中，由余弦定理有： . 故答案为： 14. 为估计某草场内兔子的数量，使用以下方法：先随机从草场中捕捉兔子100只，在每只兔子的尾巴上作上记号后放回草场.再随机从草场中捕捉60只，若尾巴上有记号的兔子共有10只，估计此草场内约有兔子__________只. 【答案】 【解析】 【分析】利用简单随机抽样，结合样本估计总体可解. 【详解】假设草场约有n只兔子，则，则. 故答案为：600. 四､解答题：本大题共 5 小题，共 80 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知的定义域为[]. （1）求的最小值. （2）中，，，边a的长为6，求角B大小及的面积. 【答案】（1）最小值； （2）. 【解析】 【分析】（1）先化简的解析式可得: .将看作一个整体，根据的范围求出的范围，再利用正弦函数的性质便可得函数的最小值； （2）在△ABC中，已知两边及一边的对角，故首先用正弦定理求出另两个角，再用三角形面积公式可得其面积. 【小问1详解】 ，得， 所以时，函数. 【小问2详解】 中，，，，故， 再由知，故，于是， 从而的面积 16. 已知向量，满足，，， （1）用k表示，并求与的夹角的最大值；【注：若，则，当且仅当时取等号】 （2）如果，求实数k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的运算表示出，利用基本不等式求出数量积的取值范围，再利用向量的数量积公式表示出夹角余弦，求出夹角的取值范围． （2）因为两向量平行（共线）所以两向量的夹角为或，再利用向量的数量积公式列出等式，通过计算即可求出所求实数的值． 【小问1详解】 即 ， 此时 【小问2详解】 ，与夹角为或 又，. 17. 某学校为增强学生自主学习意识，现向全校学生进行中午学习时长的调查，得到一个样本，按时长分成，，，，，得到的频率分布直方图如图所示，已知时长在内的人数为5. （1）若用分层抽样的方法从时长在，内的学生中抽取6名参加座谈，再从这6名学生中随机抽取2名发言，求这2名发言学生中至少有1名时长在内的概率； （2）在（1）的条件下，记抽取的2名发言者分别为甲、乙，学校给甲、乙各随机派发价值50元，80元，100元的图书一本，求甲获得的图书价值不比乙获得图书价值高的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得到抽取的人数分别为4人和2人，记为，和，利用列举法，结合古典摡型，即可求解； （2）给甲、乙各随机派发价值50元，80元，100元的图书一本，记为，结合列举法，结合对立事件的概率，即可求解. 【小问1详解】 解：由于，内的学生比例为，故抽取的人数分别为4人和2人. 若分别记为，，，，和，，从这6名学生中随机抽取2名学生， 这样的样本点为共有15种情况. 其中2名发言学生都不在中的情况只有一种，故事件的概率为. 【小问2详解】 解：给甲、乙各随机派发价值50元，80元，100元的图书一本，记为， 则这样的样本点共有9个： 其中甲比乙高的分别是： 甲80元乙50元；甲100元乙50元；甲100元乙80元这样三种情况， 所以甲获得的图书价值不比乙获得图书价值高的概率为. 18. 已知甲、乙两个盒子都装有4个外形完全相同的小球．甲盒中是3个黑色小球（记为）和1个红色小球（记为），乙盒中是2个黑色小球（记为）和2个红色小球（记为） ． （1）若从甲、乙两个盒子中各取1个小球，共有多少种不同的结果？请列出所有的结果； （2）若从甲、乙两个盒子中各取1个小球，求取出的2个小球中至少有一个是黑色的概率． 【答案】（1） 共16种不同结果，总体记为， 则,． （2） 【解析】 【分析】（1）用列举法列出所有可能结果； （2）利用古典概型的概率公式计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 记 “取出的2个小球中至少有一个是黑色”， 则，， 故． 19. 如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，，侧面是等腰直角三角形，，平面平面，点，分别是棱，的中点. （1）证明：平面平面. （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1）因为，分别是棱，的中点，所以，所以平面， 因为点是的中点，所以，又因为，所以， 所以四边形是平行四边形，所以，，所以平面， 因为，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得平面，平面，再利用面面平行的判定定理即可得到结论； （2）因平面平面，则平面，利用，即可得到结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，所以，又因为平面平面， 所以平面；又因为，， 所以. 【点睛】本题考查平面与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，属于基础题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省常德市汉寿县第一中学2024—2025学年 高二上学期10月月考数学试卷 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则的子集个数是（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 2. 的值（ ） A. B. C. D. 3. 已知单位向量是平面内的一组基底，且，若向量与垂直，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4. 如果不共线向量满足，那么向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 复数z的共轭复数满足，则复数z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴 D. y轴 6. 已知圆锥（为圆锥的顶点，为圆锥底面的圆心）的轴截面是等边三角形，为底面圆周上的三点，且为底面圆的直径，为的中点．若三棱锥的外接球的表面积为，则圆锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，且，则的概率为 A. B. C. D. 8. 分别标有数字的张卡片，从这张卡片中随机抽取张卡片，则取出的张卡片上的数字之和为奇数的取法数为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑. 9. 已知事件与，且，则下列结论正确的是（ ） A. 如果与互斥，那么 B. 如果与相互独立，则 C. 如果与相互独立，那么 D. 如果与相互独立，那么 10. 如图，已知在棱长为2的正方体中，点E，F，H分别是，，的中点，点G是上的动点，下列结论正确的是（ ） A. 平面ABH B. 平面 C. 直线EF与所成的角为30° D. 三棱锥的体积最大值为 11. 下列关于空间向量的命题中，是真命题的是（ ） A. 若三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们一定不共面 B. 若，则，的夹角是锐角 C. 不相等的两个空间向量的模可能相等 D. 若，是两个不共线的向量，且且，则构成空间的一个基底 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 一艘船以每小时10海里的速度向东航行，船在处发现灯塔在北偏西方向，灯塔在北偏东方向，行驶4小时后，船到达处，测得灯塔在处的正北方向，灯塔在处的北偏西方向，则M、N两处灯塔间的距离为__________海里. 13. 如图，中，，为边上的一点，，，，则__________． 14. 为估计某草场内兔子的数量，使用以下方法：先随机从草场中捕捉兔子100只，在每只兔子的尾巴上作上记号后放回草场.再随机从草场中捕捉60只，若尾巴上有记号的兔子共有10只，估计此草场内约有兔子__________只. 四､解答题：本大题共 5 小题，共 80 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知的定义域为[]. （1）求的最小值. （2）中，，，边a的长为6，求角B大小及的面积. 16. 已知向量，满足，，， （1）用k表示，并求与的夹角的最大值；【注：若，则，当且仅当时取等号】 （2）如果，求实数k的值． 17. 某学校为增强学生自主学习意识，现向全校学生进行中午学习时长的调查，得到一个样本，按时长分成，，，，，得到的频率分布直方图如图所示，已知时长在内的人数为5. （1）若用分层抽样的方法从时长在，内的学生中抽取6名参加座谈，再从这6名学生中随机抽取2名发言，求这2名发言学生中至少有1名时长在内的概率； （2）在（1）的条件下，记抽取的2名发言者分别为甲、乙，学校给甲、乙各随机派发价值50元，80元，100元的图书一本，求甲获得的图书价值不比乙获得图书价值高的概率. 18. 已知甲、乙两个盒子都装有4个外形完全相同的小球．甲盒中是3个黑色小球（记为）和1个红色小球（记为），乙盒中是2个黑色小球（记为）和2个红色小球（记为） ． （1）若从甲、乙两个盒子中各取1个小球，共有多少种不同的结果？请列出所有的结果； （2）若从甲、乙两个盒子中各取1个小球，求取出的2个小球中至少有一个是黑色的概率． 19. 如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，，侧面是等腰直角三角形，，平面平面，点，分别是棱，的中点. （1）证明：平面平面. （2）求三棱锥的体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $