江苏省无锡市惠山区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

九年级数学期中试卷评分标准 2024.11 命题人：濮铮虹 电话：17768502056 审核人：邵逸凡 电话：17768505065 1、 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D C B A B C D D B 2、 填空题 11. 5 12. 500 13. 5 14. 100° 15. 2.6 16. 17. 3+ 18. ， 3、 解答题 19. 计算（8分）： （1）2cos30°- tan60°+ sin45°cos45° = ………………3分 =……………………………………4分 （2）sin30°+ tan30°+ 2cos60° = ……3分 =…………………………4分 20.解方程（8分） （1）x2﹣3x＝0 解：x(x﹣3)＝0 ………………………………2分 ………………………………4分 （2） x2﹣4x﹣2＝0． 解： x2﹣4x＝2………………………………5分 x2﹣4x+4＝2+4……………………………6分 （x2﹣2）2＝6………………………………7分 …………………8分 21.（1）证明：∵DE⊥AB于点E，∠C＝90°，∴∠AED＝∠C＝90°， ∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC…………………………………………………… 5分 （2）解：∵△ADE∽△ABC， ∴＝，………………………………………………………………………… 7分 ∵AC＝4，AB＝5，AD＝3， ∴＝，∴AE＝…………………………………………………………… 10分 22.解：（1）如图，△A1B1C1为所作；………………………………………………5分 （2）△ABC的面积是　3.5 ……………………………………………………7分 （3）△A1B1C1的面积是　14　…………………………………………………10分 23.（1）证明：∵∠P＝∠C，而∠1＝∠C，∴∠1＝∠P， ∴CB∥PD；…………………………………………………………………………4分 （2）解：连接OC，……………………………………………………………………5分 ∵∠1＝30°，∴∠P＝30°， ∵CD⊥AB，∴＝，…………………………………………………………8分 ∴∠BOC＝2∠P＝60°，∴△BOC为等边三角形， ∴OB＝BC＝3，∴⊙O的直径为6．……………………………………………10分 24.（1）证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD，∴，∴∠ABD＝∠DAC， ∵∠ADB＝∠ADM， ∴△ADM∽△BDA，…………………………………………………………………3分 ∴，∴AD2＝DM⋅DB；……………………………………………………4分 （2）解：∵AC为直径，∴∠ABC＝∠ADC＝90°， ∵在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，∴，……………………5分 ∵BD平分∠ABC， ∴， ∴，∴AD＝CD， 在Rt△ADC中，AD＝CD，AC＝5，∴，……………………………7分 作CE⊥BD于E， ， 在Rt△BCE中，∠CBE＝45°，BC＝3， ∴，……………………………………………………………………8分 在Rt△DCE中，，， ∴，…………………………………………………………9分 ∴．………………………………………………10分 25.解：（1）设该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为x， 由题意得：64（1+x）2＝100，……………………………………………………2分 解得x＝0.25＝25%或x＝﹣2.25＜0（不符合题意，舍去），……………………4分 答：该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为25%；………………5分 （2）设售价应上涨a元，则每周的销售量为（400﹣20a）千克， 由题意得：（8+a﹣6）（400﹣20a）＝2240，……………………………………7分 解得a＝6或a＝12，………………………………………………………………9分 ∵为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元/千克， ∴8+a＜15， 解得a＜7， 所以a＝6， 答：售价应上涨6元．……………………………………………………………10分 26. 解：（1）如图，过点D作AB的垂线，交AB的延长线于点F， 过点D作DM⊥CE，垂足为M． 由题意可知：CD＝50米，DM＝30米．…………………………………………2分 在Rt△CDM中，由勾股定理得：CM2＝CD2﹣DM2， ∴CM＝40米，………………………………………………………………………3分 ∴斜坡CB的坡度＝DM：CM＝3：4 ……………………………………………4分 （2）设DF＝4a米，则MN＝4a米，BF＝3a米， ∵∠ACN＝45°，∴∠CAN＝∠ACN＝45°， ∴AN＝CN＝（40+4a）米， ∴AF＝AN﹣NF＝AN﹣DM＝40+4a﹣30＝（10+4a）米． 在Rt△ADF中， ∵DF＝4a米，AF＝（10+4a）米，∠ADF＝53°， ∴tan∠ADF，∴， ∴解得a，………………………………………………………………………8分 ∴AF＝10+4a＝10+30＝40（米）， ∵BF＝3a米， ∴AB＝AF﹣BF＝40（米）．……………………………………………10分 答：基站塔AB的高为米． 27.（1）证明：，，， ，且，， ，， ；………………………………………………………………………3分 （2）解：如图2，连接， ，， ， 在正方形中，， ，， ，………………………………………………………………………5分 ， ， ；………………………………………………………………………6分 （3）解：如图3，连接，过点作于点， 四边形是正方形， ，，，， 四边形是正方形， ，，， ，， ，，， ，………………………………………………………………………8分 ，， ，， 设，则，， ， ，………………………………………………………9分 ，解得：（舍去），， ．……………………………………………………………………………10分 28.（1）证明：由题意得 EF＝GF， ，FH＝FH， 证明△EFH≌△GFH（SAS）， ∴EH＝GH．…………………………………………………………………………2分 （2）解：如图1，过点E作ET⊥AB于点T． ∵AC＝AD，AB为边CD上的中线， ∴AB⊥CD，CB＝BD＝4．…………………………………………………………3分 由题意得， ∴，……………………………………………………………………4分 ∴， ∴TE＝2t， 故点E到AB的距离是2t．……………………………………………………………5分 （3）解：如图2，当点G落在边AB上时，EF⊥AB， ∴EF∥CB， ∴△AEF∽△ACB， ∴ ∵，CB＝4， ∴AB＝8，………………………………………………………………………………6分 ∴，解得t＝1，……………………………………………………………7分 ∴FG＝EF＝2t＝2，BF＝4t＝4＝CB， ∴∠BFC＝45°． ∴点H与点C重合， ∴，…………………………………………………………8分 （4）点G在△ACD区域（含边界）内的时长为秒……………………………10分 九年级数学 ( - 1 - ) （共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$九年级数学 - - （共 8页）1 九年级数学期中试卷 2024.11 注意事项： 1.答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答 题卡的相应位置上。 2.答选择题必须用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的选项标号涂黑.如需改动，请用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案.答非选择题必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔作答。写在 答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效。 3.作图必须用 2B 铅笔，并请加黑加粗、描写清楚。 4.请把试题的答案写在答卷上，不要写在试题上。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题所给出的 四个选项中，只有一项是正确的。） 1．2sin30°＝（ ） A．1 2 B．1 C． 3 D．2 2.下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A．x﹣2y＝1 B．�2 + 3 = 2 � C．mx2+4＝0 D．x2+x+1＝0 3.已知⊙O的半径为 5，点 P到圆心 O的距离为 6，那么点 P与⊙O的位置关系是（ ） A．点 P在⊙O上 B．点 P在⊙O内 C．点 P在⊙O外 D．无法确定 4.若 � � = 3 4 ，则下列等式错误的是（ ） A．4a＝3b B．a：4＝b：3 C．� = 3 4 � D．�+� � = 7 4 5.关于 x的一元二次方程 ax2﹣x+1＝0有实数根，则 a的取值范围是（ ） A．a≤ 1 4 且 a≠0 B．a≤ 1 4 C．a≥ 1 4 且 a≠0 D．a≥ 1 4 6.如图，若点 D是线段 AB 的黄金分割点（AD＞BD），AB＝4，则 AD的长是（ ） A．3 B．2 5 − 2 C．6 − 2 5 D．2 5 − 1 （第 6题图） （第 7题图） 7.如图，已知∠1＝∠2，添加下列的一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ） A． �� �� = �� �� B．∠B＝∠D C． �� �� = �� �� D．∠C＝∠AED 8.我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具— 九年级数学 - - （共 8页）2 —筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 O为圆心的圆，已知圆心 O在水面 的上方，⊙O的半径长为 5米，⊙O被水面截得的弦 AB长为 8米，点 C是运行轨道 的最低点，则点 C到弦 AB的距离为（ ） A．5米 B．4米 C．3米 D．2米 9.如图，在正方形 ABCD中，点 E是 CD边上一点，连接 AE与对角线 BD交于点 P， 过点 P作 PF⊥AE交 BC于点 F，连接 AF交 BD于点 G，下列四个结论：①AP＝PF； ②DE+BF＝EF；③PB﹣PD＝ 2BF；④S△APG＝ 1 2 S△AEF．其中正确结论个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 10.如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，P是半径 OA上的一动点，PC⊥AB交⊙O于点 C，在半径 OB上取点 Q，使得 OQ＝CP，DQ⊥AB交⊙O于点 D，点 C，D位于 AB 两侧，连接 CD交 AB于点 F，点 P从点 A出发沿 AO向终点 O运动，在整个运动过 程中，△CFP与△DFQ的面积和的变化情况是（ ） A．一直减小 B．一直不变 C．先变大后变小 D．先变小后变大 （第 8题图） （第 9题目） （第 10题图） 二、填空题（本大题共 8小题，每小题 3 分，共 24 分。） 11.已知 m，n是一元二次方程 x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则 m+n﹣mn的值为 ． 12.在比例尺是 1：500的图纸上，测得一块长方形的土地长 5厘米，宽 4厘米，这块地 的实际面积是 平方米． 13.已知直角三角形的两条直角边分别为 6、8，则它的外接圆半径 R＝ ． 14.如图，点 A，B，C，D在⊙O上，∠CAD＝30°，∠ABD＝50°，则∠ADC＝ ． （第 14 题图） （第 15 题图） 15.如图，小军在 A时测量某树的影长时，日照的光线与地面的夹角恰好是 60°，当他 在 B时测量该树的影长时，日照的光线与地面的夹角是 30°，若两次测得的影长之 差 DE为 3m，则树的高度为 m． （结果精确到 0.1，参考数据： 2 ≈ 1.414， 3 ≈ 1.732） 九年级数学 - - （共 8页）3 16.如图，点 E，点 F 分别在菱形 ABCD的边 AB， AD上，且 AE DF ，BF 交DE于 点G，延长 BF 交CD的延长线于点H ，若 3AF DF  ，则 HG BG 的值为 ． 17.如图，已知⊙P与 x轴交于点 A（﹣4，0），B（2，0），与 y轴的正半轴交于点 C．若 ∠ACB＝45°，则点 C的纵坐标为 ． 18.如图，在等腰 ABC 中， 2 3AB AC cm  ， 120BAC  ，AD BC 于点 D，点 P 是 BC边上的一个动点，以 AP为边向右作 APQ ABC ∽ ，连接DQ，则 AD=______, DQ的最小值为 cm． （第 16题图） （第 17题图） （第 18题图） 三、解答题（本大题共 10 小题，共 96 分。解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤） 19．（本题满分 8 分）计算 （1）2cos30°- tan60°+ sin45°cos45° （2）sin30°+ 3tan30°+ 2cos60° 20．（本题满分 8 分）解方程 （1）x2﹣3x＝0 （2）x2﹣4x﹣2＝0． 21.（本题满分 10 分）如图，△ABC中，∠C＝90°，点 D在 AC上，DE⊥AB于点 E． （1）求证：△ADE∽△ABC； （2）AC＝4，AB＝5且 AD＝3，求 AE的长． 九年级数学 - - （共 8页）4 22.（本题满分 10 分）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是 1 个单位 长度，△ABC的顶点都在格点上． （1）以原点 O为位似中心，在第三象限内画出将△ABC放大为原来的 2倍后的位似 图形△A1B1C1； （2）△ABC的面积是 ． （3）△A1B1C1的面积是 ． 23.（本题满分 10 分）如图，AB是⊙O的直径，弦 CD⊥AB于点 E，点 P在⊙O上， ∠1＝∠C， （1）求证：CB∥PD； （2）若 BC＝3，∠C＝30°，求⊙O的直径． 九年级数学 - - （共 8页）5 24.（本题满分 10 分）如图，四边形 ABCD内接于⊙O，BD平分∠ABC，交 AC于点 M． （1）如图 1，求证：AD2＝DM⋅ DB． （2）如图 2，若 AC经过圆心 O，且 AB＝4，BC＝3，求 BD的长． 25.（本题满分 10 分）“户太八号”葡萄是西安市葡萄研究所通过奥林匹亚芽变选育而 成，近年来被广泛种植，某葡萄种植基地 2022年种植了 64亩，到 2024年的种植面 积达到 100亩． （1）求该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率； （2）某超市调查发现，当“户太八号”的售价为 8元/千克时，每周能售出 400千克， 售价每上涨 1元，每周销售量减少 20千克．已知该超市“户太八号”的进价为 6元/ 千克，为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过 15元/千克．若使 销售“户太八号”每周获利 2240元，则售价应上涨多少元？ 九年级数学 - - （共 8页）6 26.（本题满分 10 分）随着我国科学技术的不断发展，5G移动通信技术日趋完善，某 市政府为了实现 5G网络全覆盖，2021～2025年拟建设 5G基站 3000个，如图，在 斜坡 CB上有一建成的 5G基站塔 AB，小明在坡脚 C处测得塔顶 A的仰角为 45°， 然后他沿坡面 CB行走了 50米到达 D处，D处离地平面的距离为 30米且在 D处测 得塔顶 A的仰角 53°．（点 A、B、C、D、E均在同一平面内，CE为地平线）（参考 数据：sin53°≈ 45，cos53°≈ 3 5，tan53°≈ 4 3） （1）求坡面 CB的坡度； （2）求基站塔 AB的高． 九年级数学 - - （共 8页）7 27.（本题满分 10 分） （1）问题背景：如图 1， 90ACB ADE    ，AC BC ，AD DE ，求证： ABE ACD ∽ ； （2）尝试应用：如图 2，E为正方形 ABCD外一点， 45BED  ，过点 D作DF BE ， 垂足为 F ，连接CF ，若 2CF  ，求 BE 的值； （3）拓展创新：如图 3，四边形 ABCD是正方形，点 F 是线段CD上一点，以 AF 为对 角线作正方形 AEFG，连接DE， BG ．当 1DF  ， 5AEDFS 四边形 时，求DE的长． 九年级数学 - - （共 8页）8 28.（本题满分 10 分） 如图，在△ACD中，AC＝AD＝4 5，CD＝8，AB为边 CD上的中线．点 E从点 A出发， 以每秒 2 5个单位长度的速度沿 AC向终点 C运动，同时点 F从点 B出发，以每秒 4个 单位长度的速度沿 BA向终点 A运动，连接 EF，将线段 EF绕点 F逆时针旋转 90°得 到线段 FG，∠EFG的平分线交△ACD的边于点 H，连接 GH和 EH．设点 E的运动时 间为 t（t＞0）秒． （1）求证：EH＝GH； （2）求点 E到 AB的距离；（用含 t的代数式表示） （3）当点 G落在边 AB上时，求 tan∠BGH的值； （4）直接写出点 G在△ACD区域（含边界）内的时长．