河南省南阳市第十中学校2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷

2024年高二春期第一次月考试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题(共40分) 1．已知等差数列中，，公差，则（    ） A．29 B．32 C．26 D．35 2．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21…叫做三角数，它有一定的规律性，则第100个数是（    ） A．4950 B．4949 C．5050 D．5151 3．等比数列4+x，10+x，20+x的公比为（    ） A． B． C． D． 4．变量x，y具有较强的线性相关性，且x，y的数据如表所示，若变量x，y的回归直线方程是，则的值是（    ） x 16 12 8 4 y 24 34 38 64 A．73.6 B．71.2 C．71 D．76.4 5．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．54 B．27 C．18 D．9 6．设正项等比数列的前n项和为，若，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 7．已知为等差数列的前n项和，若，，则当取得最大值时，n的取值为（    ） A．7 B．9 C．16 D．18 8．已知数列满足，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题(共20分) 9．已知数列的前项和为，且，则（    ） A． B．数列为等差数列 C．数列为等差数列 D．为奇数时， 10．等差数列的前项和记为，若a1＞0，S10＝S20，则成立的是（　　） A．d＜0 B．a16＜0 C．Sn的最大值是S15 D．当且仅当Sn＜0时，n＝32 11．已知数列满足，，，则（    ） A．121是数列中的项 B． C．是等比数列 D．存在， 12．下列说法正确的是（    ） A．若，若函数为偶函数，则 B．数据7，5，3，10，2，6，8，9的上四分位数为8 C．已知，，若，则，相互独立 D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到依据的独立性检验（），可判断与有关且犯错误的概率不超过0.05 三、填空题(共20分) 13．某校团委对“学生性别和喜欢网络游戏是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢网络游戏的人数占男生人数的，女生喜欢网络游戏的人数占女生人数的，若有的把握但没有的把握认为是否喜欢网络游戏和性别有关，则被调查的学生中男生可能有______人. 附表： ，其中. 0.050 0.010 3.841 6.635 14．数列是等差数列，且，，那么______. 15．若等差数列其前项和为，，，则数列的前2021项和为___________. 16．已知在数列中，，且，设，若，则正整数m的最大值为______. 四、解答题(共70分) 17．在等差数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)记为等差数列的前n项和，求使不等式成立的n的最小值. 18．已知等差数列和各项均为正数的等比数列满足，，，． (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 19．甲、乙、丙、丁四人合资注册一家公司，每人出资50万元作为启动资金投入生产，到当年年底，资金增长了50%．预计以后每年资金年增长率与第一年相同．四人决定公司从第一年开始，每年年底拿出60万元分红，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底公司分红后的剩余资金为万元． (1)求，，并写出与的关系式； (2)至少经过多少年，公司分红后的剩余资金不低于1200万元？ （年数取整数，参考数据：，） 20．某工厂统计2022年销售网点数量与售卖出的产品件数的数据如下表： 销售网点数x（单位：个） 17 19 20 21 23 售卖出的产品件数y（单位：万件） 21 22 25 27 30 假定该工厂销售网点的个数与售卖出的产品件数呈线性相关关系， (1)求2022年售卖出的产品件数y（单位：万件）关于销售网点数x（单位：个）的线性回归方程； (2)根据（1）中求出的线性回归方程，预测2022年该工厂建立40个销售网点时售卖出的产品件数. 参考公式：，. 21．已知数列满足，且， (1)求、的值； (2)猜想的表达式，并用数学归纳法证明． 22．已知数列的首项，且满足． (1)求证：数列为等比数列； (2)若，数列前项的和为，求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【分析】直接根据等差数列的通项公式进行基本量的求解. 【详解】依题意，对于等差数列，，故. 故选：A 2．C 【分析】设该三角数为数列，通过规律可得到，即可求解 【详解】设该三角数为数列，则，，，，， 所以根据规律可得第100个数是 故选：C 3．D 【分析】利用等比中项的性质求出，再求解公比. 【详解】因为4+x，10+x，20+x为等比数列， 故，化简得20=4x，解得， 公比， 故选：D. 4．C 【分析】根据回归直线必过样本数据中心点求解即可. 【详解】因为，， 所以，解得． 故选：C． 5．B 【分析】由等差数列通项公式可得，再利用等差数列的前项和公式即可得解. 【详解】， . 故选：B. 6．B 【分析】根据等比数列满足的条件求得公比，将化为，利用基本不等式即可求得答案. 【详解】由题意知正项等比数列满足， 设的首项和公比分别为 ， 则，即， 则， 故， 当且仅当，即时取等号， 故选：B 7．B 【分析】由已知结合等差数列的性质和前项和公式，可推得，，从而得解． 【详解】因为等差数列中，，， 所以，，即，， 所以，，所以，， 由为等差数列，得时，；时，， 所以当时，取得最大值． 故选：B． 8．A 【分析】利用退一作差法求得，求得的表达式，结合二次函数的性质求得的取值范围. 【详解】由， 当时，， 当时，由得， 两式相减并化简得， 也符合上式，所以， 令， 为常数， 所以数列是等差数列，首项， 所以， 对称轴为， 由于对任意的恒成立， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故选：A 【点睛】与前项和有关的求通项的问题，可考虑利用“退一作差法”来进行求解，和类似.求解等差数列前项和最值有关的问题，可结合二次函数的性质来进行求解. 9．AC 【分析】对于AB，利用递推式直接求出即可判断；对于C，利用递推式得到，从而得以判断；对于D，同理可得，再结合选项C中的结论，利用等差数列的前项和公式即可得解. 【详解】对于A，因为， 所以，则，故A正确； 对于B，因为，，所以不是等差数列，故B错误； 对于C，因为，所以， 两式相减，得，所以为等差数列，故C正确； 对于D，因为，所以， 两式相减，得，所以数列的奇数项为等差数列，公差为， 又由选项C知，的偶数项也为等差数列，公差为，， 当为奇数时， ，故D错误. 故选：AC. 10．ABC 【分析】根据等差数列的通项公式，前项和公式，结合条件，逐项进行判断即可求解. 【详解】设等差数列的公差为d，由S10＝S20，得10a1+45d＝20a1+190d，即2a1+29d＝0， 又a1＞0，所以d＜0，故选项正确； 由2a1+29d＝0，得a1+14d+a1+15d＝0，即a15+a16＝0，所以a15＞0；a16＜0， 即是递减数列，且n≤15时，an＞0；当n≥16时，an＜0，所以选项和正确． 因为，所以选项错误． 故选：ABC 11．ABC 【分析】由递推关系式可知，通过构造等比数列可求得数列的通项公式为，即可计算并判断出ABC正确；再利用不等式进行放缩可得出对于任意的，，可得D错误. 【详解】由可得，，又， 所以是首项为，公比为3的等比数列，即C正确； 所以，由等比数列通项公式可得，即； 当时，，所以121是数列中的第五项，即A正确； 由可得，；即B正确； 易知，当时，， 所以，当时，； 当时，， 即对于任意的，，所以不存在，， 即D错误. 故选：ABC 12．ACD 【分析】根据正态分布的特点，百分位数的求解，事件独立和独立性检验的判断方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：因为为偶函数，即， 可得：，故可得，故A正确； 对B：将个数据按照从小到大的顺序排序：2,3,5,6,7,8,9,10， 故，故上四分位数为，故错误； 对：根据题意，，即， 即，故相互独立，C正确； 对D：，根据独立性检验，可判断与有关且犯错误的概率不超过0.05，故正确. 故选：. 13．45，50，55，60，65 【分析】设男生有人，可得列联表，计算，由可求得的范围，结合为的整数倍可得结果. 【详解】设男生有人，由题意可得列联表如下， 喜欢 不喜欢 合计 男生 女生 合计 若有的把握但没有的把握认为是否喜欢网络游戏和性别有关，则； ， ， 解得，又为的整数倍， 所以被调查的学生中男生可能人数为，50，55，，65. 故答案为：45，50，55，60，65. 14． 【分析】根据等差数列的通项公式，进而写出数列的通项公式，可得答案. 【详解】解：令，因为，， 所以，，则的公差为， 所以，故， 所以. 故答案为：. 15． 【分析】先根据等差数列的通项公式和求和公式可列出关于和的方程组，解出和的值，即可得到数列的通项公式，即求出数列的通项公式，再利用裂项相消法求出前2021项和． 【详解】解：由题意，设等差数列的公差为， 则，解得． ∴数列的通项公式为． ∴． 设数列的前项和为， 则 ． ∴数列的前2021项和为． 故答案为：． 16．1010 【分析】由数列的递推公式可得，进而得到，由此化简得到，利用不等式的性质结合即可求解. 【详解】由，，得，且，即数列为严格递增数列， 由知：，进而得到，于是.， 因为，所以 . 由，得，解得，所以正整数m的最大值为1010. 故答案为：1010 17．(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列公式得到，，得到通项公式. （2）计算，解不等式得到答案. 【详解】（1）等差数列中，，，故，， 故. （2），，即，解得， 故的最小值为 18．(1)，； (2). 【分析】（1）根据给定条件，求出等比数列的公比，再求出等差数列的公差，即可求出通项作答. （2）由（1）的结论，利用错位相减法求和作答. 【详解】（1）设正项等比数列的公比为，由得：， 即有，而，解得，， ，则等差数列的公差，， 所以和的通项公式是，. （2）由（1）知，， 则， 于是得， 两式相减得：， 所以 19．(1)240，300， (2)至少经过7年，公司分红后的剩余资金不低于1200万元 【分析】（1）根据题设条件可得. （2）由（1）中的递推关系可得，结合题设条件可得关于的不等式，从而可得至少经过7年，公司分红后的剩余资金不低于1200万元. 【详解】（1）由题意得，投入生产的启动资金共有50×4＝200万元， ， ， ． （2）由（1）知 ， 而也满足该式，故. 令，所以， 因为：，，即． 所以至少经过7年，公司分红后的剩余资金不低于1200万元． 20．(1)； (2)约万件. 【分析】（1）由参考公式可算出销售网点数x（单位：个）的线性回归方程； （2）将代入由（1）算得的回归方程可得答案. 【详解】（1）由题，可得， ， ， . 则，. 故回归方程为：. （2）将代入回归方程，则. 故2022年该工厂建立40个销售网点时售卖出的产品件数约万件. 21．(1)，； (2)，理由见解析 【分析】（1）赋值法求出、的值； （2）猜想出，利用数学归纳法证明出结论. 【详解】（1）令得：，即， 故， 令得：，即，解得：， （2）猜想， 证明如下：显然满足要求， 假设当时，成立， 则当时，， ，即， 即， 其中， 故 ， 故， 综上：. 22．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将条件两边同时取倒数，然后两边同时减1，可证明等比数列. （2）利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）由，得， 即， 即， 所以数列为等比数列，首项，公比 （2）由（1）得， ① ② ①-②，得 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$