宁夏回族自治区银川一中2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

银川一中2024/2025学年度(上)高二期中考试 数 学 试 卷 命题教师：田进瑞 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．椭圆的焦点坐标为 A． B． C． D． 2．直线的一个方向向量是 A. B. C. D. 3．若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面和平面的位 置关系是 A． 平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．重合 4．已知双曲线：的一条渐近线方程是，长轴的长度为， 则双曲线的标准方程为 A． B. C. D. 5．已知圆经过点，则圆在点处的切线方程为 A． B． C． D． 6．已知椭圆的左右焦点分别是，焦距为，若直线 与椭圆交于点，且满足 ，则椭圆的离心率是 A． B． C． D． 7．已知椭圆，过右焦点且倾斜角为的直线交椭圆于，两点，设 的中点为，则直线的斜率为 A． B． C． D． 8．光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的 一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出．如图，一个光 学装置由有公共焦点，的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经 与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，如图，此光线从点发 出，经两次反射后又回到了点，历时秒；若，则与的离心率之比为 A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．如图，正方体的棱长为，为的中点，为的中点．则 A． B．直线平面 C．直线与平面所成角的正切值为 D．点到平面的距离是 10．已知圆：，直线：，则 A．直线恒过定点 B．存在实数，使得直线与圆没有公共点 C．当时，圆上恰有两个点到直线的距离等于 D．圆与圆恰有两条公切线 11．已知椭圆的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，是椭圆上异于，的一点，且为坐标原点，记，的斜率分别为，，设为的内心，记，，的面积分别为，，，则 A． B．的离心率为 C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于，那么点与两个焦点所构成的三角形的周长等于______． 13．已知过定点的动圆与定圆：相内切，则动圆的圆心的轨迹方程为_________． 14．已知椭圆的两焦点分别为，，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．本小题分 已知关于直线对称，且圆心在轴上． 求的标准方程； 已经动点在直线上，过点引的切线，求的最小值． 16．本小题分 已知椭圆的长轴长为，离心率，过右焦点的直线交椭圆于、两点． 求椭圆的方程．   当直线的斜率为时，求的面积． 17．本小题分 如图，四棱锥的底面是平行四边形，，，，点是线段包括端点上的动点． 若，求证平面平面； 平面和平面的夹角为，直线与平面 所成角为，求的值． 18．本小题分 已知双曲线的方程为，实轴长和离心率均为． 求双曲线的标准方程及其渐近线方程 过且倾斜角为的直线与双曲线交于，两点，求的值为坐标原点． 19．本小题分 设椭圆的右顶点为，离心率为，且以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切． 求椭圆的方程； 设直线上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点异于点，直线与轴相交于点，若的面积为，求直线的方程； 是轴正半轴上的一点，过椭圆的右焦点和点的直线与椭圆交于，两点，求的取值范围． 高二期中数学试卷 第1页(共2页) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024/2025高二（上）数学期中试卷答案 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9.   10.   11.   12.   13.   14.   15. 解：由题意知关于直线对称， 所以圆心在直线上，即：， 又因为圆心在轴上，所以：， 得：，，所以：． 故的标准方程为：． 因为是的切线， 所以，当最小时，取得最小值， 的最小值即为点到直线的距离，该距离为， 所以的最小值为．   16. 解：由已知，椭圆方程可设为， 长轴长为，离心率， ，， 故所求椭圆方程为． 因为直线过椭圆右焦点，且斜率为， 所以直线的方程为， 设，，且， 由，得， 解得，， ．   17. 解：Ⅰ证明略 向量法 几何法均可 （2）以点为原点，直线、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，， 设点，，，，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 平面的一个法向量为 ， ， ，均为锐角，． 18. 解：由离心率， 又，， 又长轴长， 所以，所以， 故双曲线的标准方程为， 其渐近线方程为 直线的倾斜角为，故其斜率为， 又过点，过点，   的方程为， 设，， 则由得， ，，   ．    19. 解： 由题意可得， 且点到直线的距离 又，解得， 所以椭圆的方程为． 设直线方程为，，与直线的方程联立 可得点，， 联立直线方程和椭圆方程消去，整理得， 解得，，可得， 由，， 则直线方程，令，解得，即， 所以有， 整理得，解得或， 所以直线的方程为或或或． 设直线的方程为，其中，，， 联立，得， ，，， ， 当点在椭圆及外部，即时，，， ； 当点在椭圆内部，即时，，， ， 令，则， ， 综上所述，的取值范围为．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$