精品解析：广东省珠海市城东中学2024—2025学年上学期九年级数学期中考试

广东省珠海市城东中学2024—2025学年上学期九年级数学期中考试 说明： 1．全卷共4页，满分120分，考试用时120分钟． 2．答案写在答题卷上，在试卷上作答无效． 3．用黑色字迹钢笔或签字笔按各题要求写在答题卷上，不能用铅笔和红色字迹的笔． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分）每小题给出四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1. 下列方程为一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 对于二次函数y=﹣x2﹣1的二次项系数a，一次项系数b，常数项c描述正确的是（ ） A. a=﹣1，b=﹣1，c=0 B. a=﹣1，b=0，c=1 C. a=﹣1，b=0，c=﹣1 D. a=1，b=0，c=﹣1 3. 判断方程的根的情况是（　　） A. 有一个实根 B. 有两个相等实根 C. 有两个不等实根 D. 没有实根 4. 下列运动形式属于旋转的是（ ） A. 荡秋千 B. 飞驰的火车 C. 传送带移动 D. 电梯的运行 5. 方程的解为（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（ ） A. y＝2（x+3）2+4 B. y＝2（x+3）2﹣4 C. y＝2（x﹣3）2﹣4 D. y＝2（x﹣3）2+4 7. 二次函数的图象与轴的交点是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 8. 我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得（ ） A. B. C. D. 9. 根据下列表格中的对应值，判断一元二次方程的一个解的取值范围是（ ） 0 0.5 1 1.5 2 2 0.25 A. B. C. D. 10. 二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图，则下列说法正确的有（ ） ①abc＞0；②2a-b=0；③a-b+c≥am2+bm+c；④当x＜1时，y＞0；⑤9a-3b+c=0 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（共5感，每题3分，共15分） 11. 已知一元二次方程的一个根为，则的值为__________． 12. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到（分别与对应），则的度数为______度． 13. 若一元二次方程经过配方，变形为的形式，则n的值为_______． 14. 已知二次函数的图象如图所示，则时，对应的的取值范围为______． 15. 已知抛物线的图象如图①所示，现将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图②，当直线与图象②恰有三个公共点时，则的值为________． 三、解答题（一）（共3题，每题7分，共21分） 16. 解方程： 17. 请将二次函数化为形式，并写出它的对称轴和顶点坐标． 18. 如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，的顶点均在格点上，点A、B、C的坐标分别是、． （1）将绕点逆时针旋转后得到，请在图中作出，则点的坐标是（______，______）； （2）连接，则的面积为______． 四、解答题（二）（共3题，每题9分，共27分） 19. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数的取值范围； （2）若方程两实数根分别为，且满足，求实数的值． 20. 2022年北京冬季奥运会吉祥物“冰墩墩”憨态可掬，深受老百姓喜爱． （1）据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产个“冰墩墩”，为增大生产量，该工厂平均每月生产量增长率相同，四月份该工厂生产了个“冰墩墩”，求该工厂平均每月生产量增长率是多少？ （2）已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售个，每个盈利元，调查发现：每下降元，每天可多售件．如果每天总盈利要达到最大值，则每个“冰墩墩”应降价多少元？ 21. 阅读材料：二次函数的应用 小明在学习过程中遇到一个问题：下列两个两位数相乘的运算中（两个乘数的十位上的数都是，个位上的数的和等于），猜想其中哪个积最大，并说明理由． ，，，……，，， 小明结合已学知识做了如下尝试： 设两个乘数的积为，其中一个乘数的个位上的数为，则另一个乘数个位上的数为， 根据题意得： …… （1）问题解决：请帮助小明判断以上问题中哪个积最大并求出这个最大的积； （2）问题拓展：下列两个三位数相乘的运算中（两个乘数的百位上的数都是，十位上的数与个位上的数组成的数的和等于），用以上方法猜想其中哪个积最大，并说明理由． ，，，……，，， 五、解答题（三）（共2题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现配方法可以求二次三项式的最值：他们对最值问题产生了浓厚兴趣，决定进行深入的研究．下面是该学习小组收集的素材，汇总如下．请根据素材帮助他完成相应任务： 关于最值问题的探究 素材1 “主元法”是指在有多个字母的代数式或方程中，选取其中一个字母为主元（未知数），将其它字母看成是常数，这样可以把一些陌生的代数式或方程转化为我们熟悉的代数式或方程．例如：当时，方程可以看作关于x的一元二次方程．但若把a看成“主元”，x看作常数，则原方程可化为：．这就是一个关于a的一元一次方程了． 素材2 对于一个关于x的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的最值外，还有其他的方法，比如：令．然后移项可得：再利用根的判别式来确定y的取值范围，这一方法称为判别式法． 问题解决 任务1 感受新知：用判别式法求的最小值； 任务2 探索新知：若实数x、y满足．求的最大值．对于这一问题，该小组的同学有大致的思路，请你帮助他们完成具体计算：首先令，则，将代入原式得________．若将新得到的等式看作关于字母x的一元二次方程，利用判别式可得的最大值为__________； 任务3 应用新知：如图，在平行四边形中，，．记，，当最大时，求此时b的值． 23. 如图1，二次函数的图象交坐标轴于点，，点为轴上一动点． （1）求二次函数的表达式； （2）过点作轴分别交线段，抛物线于点，，连接．当时，求的面积； （3）如图2，将线段绕点逆时针旋转90得到线段． ①当点在抛物线上时，求点的坐标； ②点在抛物线上，连接，当平分时，直接写出点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省珠海市城东中学2024—2025学年上学期九年级数学期中考试 说明： 1．全卷共4页，满分120分，考试用时120分钟． 2．答案写在答题卷上，在试卷上作答无效． 3．用黑色字迹钢笔或签字笔按各题要求写在答题卷上，不能用铅笔和红色字迹的笔． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分）每小题给出四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1. 下列方程为一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，且未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； B、，是一元二次方程，符合题意； C、未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； D、未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：B． 2. 对于二次函数y=﹣x2﹣1的二次项系数a，一次项系数b，常数项c描述正确的是（ ） A. a=﹣1，b=﹣1，c=0 B. a=﹣1，b=0，c=1 C. a=﹣1，b=0，c=﹣1 D. a=1，b=0，c=﹣1 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的定义，可得答案． 【详解】对于二次函数y=-x2-1的二次项系数a=-1，一次项系数b=0，常数项c=-1， 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题关键． 3. 判断方程的根的情况是（　　） A. 有一个实根 B. 有两个相等实根 C. 有两个不等实根 D. 没有实根 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，求出，根据结果判断即可． 【详解】∵，， ∴ ∵， ∴这个一元二次方程没有实数根． 故选：D． 4. 下列运动形式属于旋转的是（ ） A. 荡秋千 B. 飞驰的火车 C. 传送带移动 D. 电梯的运行 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转“把一个平面图形绕平面内某一点转动一个角度，叫做图形的旋转”，熟记旋转的定义是解题关键．根据旋转的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、荡秋千，是属于旋转，则此项符合题意； B、飞驰的火车，是属于平移，则此项不符合题意； C、传送带移动，是属于平移，则此项不符合题意； D、电梯的运行，是属于平移，则此项不符合题意； 故选：A． 5. 方程的解为（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，根据直接开平方法可得，再求解即可．解题的关键是掌握形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成的形式，那么可得． 【详解】解：∵， ∴， 即或， ∴，． 故选：A． 6. 把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（ ） A. y＝2（x+3）2+4 B. y＝2（x+3）2﹣4 C. y＝2（x﹣3）2﹣4 D. y＝2（x﹣3）2+4 【答案】A 【解析】 【详解】解：把抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数解析式为y=2（x+3）2+4． 故选A． 7. 二次函数的图象与轴的交点是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数与x轴的交点坐标，求出当函数值为0时自变量的值即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，解得或， ∴二次函数的图象与轴的交点是和， 故选：D． 8. 我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用每组安排比赛的场数=每组邀请球队数每组邀请球队数，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：， 故选：D． 9. 根据下列表格中的对应值，判断一元二次方程的一个解的取值范围是（ ） 0 0.5 1 1.5 2 2 0.25 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，利用表格中的数据，确定出方程的范围即可． 【详解】解：根据表格中的对应值， 得时，， 得时，， 判断一元二次方程的解的取值范围是， 故选B． 10. 二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图，则下列说法正确的有（ ） ①abc＞0；②2a-b=0；③a-b+c≥am2+bm+c；④当x＜1时，y＞0；⑤9a-3b+c=0 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】①根据抛物线开口方向、对称轴、与y轴的交点即可判断；②根据抛物线的对称轴方程即可判断；③根据x=-1时函数有最大值可以得到判断；④根据抛物线与x轴的交点可以得出判断．⑤根据抛物线y=ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x=-1可得抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3，0），即可判断； 【详解】解：①观察图象可知：a＜0，由图象可知抛物线对称轴为直线x=-1，即=-1，得b＜0，由图象与y轴的交点可得c＞0， ∴abc＞0，所以①正确； ②由图象可知抛物线对称轴为直线x=-1，即=-1，解得b=2a，即2a-b=0，所以②正确； ③由图象可知x=-1时函数有最大值，因为x=-1时y=a-b+c，所以a-b+c≥am2+bm+c，③正确； ⑤∵由图象可知抛物线y=ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x=-1， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（-3，0）， 即当x=-3时，y=0，即9a-3b+c=0，所以⑤正确； ④由⑤知抛物线与x轴的两个交点为（1，0）、（-3，0）， 所以当-3<x＜1时，y>0；当x≤-3或x≥1时，y≥0，所以④错误； 所以①②③⑤正确， 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 二、填空题（共5感，每题3分，共15分） 11. 已知一元二次方程的一个根为，则的值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解的定义把代入方程得到关于m的方程，然后解此一次方程即可． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为， ∴， ∴， 故答案为：3． 12. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到（分别与对应），则的度数为______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，根据旋转的性质得到，，再由角的和差关系即可得到答案． 【详解】解：由旋转的性质可得，， ∴， 故答案为：． 13. 若一元二次方程经过配方，变形为的形式，则n的值为_______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法的应用，由方程知，只要加上一次项系数一半的平方，再减去这个数即可完成配方． 【详解】解：由题意得 ：， 即： 即． 故． 故答案为：10． 14. 已知二次函数的图象如图所示，则时，对应的的取值范围为______． 【答案】或． 【解析】 【分析】先观察图象确定抛物线和x轴交点的横坐标，即可求出时，x的取值范围． 【详解】解：观察图象可知，抛物线与x轴的交点的横坐标分别为（1，0）、（2，0），且开口向上， ∴当时，x的取值范围为：或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，解不等式，解题的关键是熟练利用数形结合的思想进行解题． 15. 已知抛物线的图象如图①所示，现将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图②，当直线与图象②恰有三个公共点时，则的值为________． 【答案】或 【解析】 【分析】先求出翻折部分的解析式，利用数形结合找出当y=x+b经过点A或者y=x+b与y=-x2+2x+3相切时，直线y=x+b与新图象恰好有三个不同的交点，①当直线y=x+b经过点A（-1，0）时，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出b值；②当y=x+b与y=-x2+2x+3相切时，将一次函数解析式代入抛物线解析式中，利用根的判别式Δ=0，即可求出b值．综上即可得出结论 【详解】解：将抛物线=x2-2x-3的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，则翻折上来的部分解析式为y=-x2+2x+3． ∵直线y=x+b平行于y=x， ∴当y=x+b经过点A或者y=x+b与y=-x2+2x+3相切时，直线y=x+b与新图象恰好有三个不同的交点． ①当直线y=x+b经过点A（-1，0）时，0=-1+b， ∴b=1； ②当y=x+b与y=-x2+2x+3相切时， 只有一组公共解， 即方程x2-x+b-3=0中判别式等于0， ∴△=（-1）2-4（b-3）=0， ∴b=． 综上，b=1或b=． 故答案为：或 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，根据题意画出如图，找出新图象与直线y=x+m有三个不同公共点的条件是解题的关键． 三、解答题（一）（共3题，每题7分，共21分） 16. 解方程： 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查的是利用配方法解方程，把方程化为可得，再进一步解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得：，． 17. 请将二次函数化为形式，并写出它的对称轴和顶点坐标． 【答案】，对称轴为直线，顶点坐标为． 【解析】 【分析】本题主要考查了把二次函数化为顶点式，求二次函数顶点坐标和对称轴，先利用配方法把二次函数解析式化为顶点式，再由二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为即可得到答案． 【详解】解： ， ∴二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为． 18. 如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，的顶点均在格点上，点A、B、C的坐标分别是、． （1）将绕点逆时针旋转后得到，请在图中作出，则点的坐标是（______，______）； （2）连接，则的面积为______． 【答案】（1） 如图，即为所求 （2）5 【解析】 【分析】本题考查作图——旋转变换，网格中三角形的面积，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）利用割补法求三角形的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， 则 四、解答题（二）（共3题，每题9分，共27分） 19. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数的取值范围； （2）若方程两实数根分别为，且满足，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，根的判别式： （1）根据题意可得，据此计算求解即可； （2）由根与系数的关系得到，则可根据已知条件得到，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵方程两实数根分别为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）． 20. 2022年北京冬季奥运会吉祥物“冰墩墩”憨态可掬，深受老百姓喜爱． （1）据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产个“冰墩墩”，为增大生产量，该工厂平均每月生产量增长率相同，四月份该工厂生产了个“冰墩墩”，求该工厂平均每月生产量增长率是多少？ （2）已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售个，每个盈利元，调查发现：每下降元，每天可多售件．如果每天总盈利要达到最大值，则每个“冰墩墩”应降价多少元？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（1）设该工厂平均每月生产量的增长率为，根据题意可得方程解方程即可解答； （2）设每个“冰墩墩”降价元，每天的总利润为元，根据题意可得总利润与每个“冰墩墩”降价之间的函数关系式即可解答． 【小问1详解】 解：设该工厂平均每月生产量的增长率为， 依题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：该工厂平均每月生产量的增长率为． 【小问2详解】 解：设每个“冰墩墩”降价元，每天的总利润为元， ∴每个盈利元，平均每天可多售出个， 依题意得：， 当时， 最大元， 答：每个冰墩墩降元时，每天总利润最大为元． 【点睛】本题考查了一元二次方程与实际问题，二次函数与实际问题，掌握二次函数的性质是解题的关键． 21. 阅读材料：二次函数的应用 小明在学习过程中遇到一个问题：下列两个两位数相乘的运算中（两个乘数的十位上的数都是，个位上的数的和等于），猜想其中哪个积最大，并说明理由． ，，，……，，， 小明结合已学知识做了如下尝试： 设两个乘数的积为，其中一个乘数的个位上的数为，则另一个乘数个位上的数为， 根据题意得： …… （1）问题解决：请帮助小明判断以上问题中哪个积最大并求出这个最大的积； （2）问题拓展：下列两个三位数相乘的运算中（两个乘数的百位上的数都是，十位上的数与个位上的数组成的数的和等于），用以上方法猜想其中哪个积最大，并说明理由． ，，，……，，， 【答案】（1）最大，为7225； （2）的积最大，理由： 设两个乘数的积为，其中一个乘数十位上的数与个位上的数组成的数为，则另一个乘数十位上的数与个位上的数组成的数为，依题意， 得： 抛物线的对称轴为： 而对称轴在自变量取值范围内（且为整数） 当时，的积最大． 【解析】 【分析】（1）由，求解抛物线的对称轴，从而得到抛物线的顶点的横坐标，于是可得函数的最大值； （2）设两个乘数的积为，其中一个乘数十位上的数与个位上的数组成的数为，则另一个乘数十位上的数与个位上的数组成的数为，从而可得函数关系式为：：，再求解抛物线的对称轴为：，再利用二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解： ， 抛物线的对称轴为： 而对称轴在自变量取值范围内（且为整数） 当时，， 所以：最大，最大积为7225． （2）略 【点睛】本题考查的是列二次函数关系式，二次函数的性质与二次函数的最值，二次函数的应用，掌握以上知识是解题的关键． 五、解答题（三）（共2题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现配方法可以求二次三项式的最值：他们对最值问题产生了浓厚兴趣，决定进行深入的研究．下面是该学习小组收集的素材，汇总如下．请根据素材帮助他完成相应任务： 关于最值问题的探究 素材1 “主元法”是指在有多个字母的代数式或方程中，选取其中一个字母为主元（未知数），将其它字母看成是常数，这样可以把一些陌生的代数式或方程转化为我们熟悉的代数式或方程．例如：当时，方程可以看作关于x的一元二次方程．但若把a看成“主元”，x看作常数，则原方程可化为：．这就是一个关于a的一元一次方程了． 素材2 对于一个关于x的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的最值外，还有其他的方法，比如：令．然后移项可得：再利用根的判别式来确定y的取值范围，这一方法称为判别式法． 问题解决 任务1 感受新知：用判别式法求的最小值； 任务2 探索新知：若实数x、y满足．求的最大值．对于这一问题，该小组的同学有大致的思路，请你帮助他们完成具体计算：首先令，则，将代入原式得________．若将新得到的等式看作关于字母x的一元二次方程，利用判别式可得的最大值为__________； 任务3 应用新知：如图，在平行四边形中，，．记，，当最大时，求此时b的值． 【答案】任务1：；任务2：，；任务3：． 【解析】 【分析】任务1：令，将其看作关于x的一元二次方程，利用判别式列出不等式求解即可； 任务2：令，将代入，将其看作关于字母的一元二次方程，利用判别式求的k得范围，即可确定的最大值； 任务3：过点B作，根据题意可得，，，利用勾股定理得，令，则有，将其看成关于a的一元二次方程，利用判别式求得y得范围，可知最大值，则有，结合代入消元法求解即可． 【详解】任务1： 解：根据素材中的判别式法，令．整理得． 关于x的一元二次方程，， 解得：．故y的最小值为． 任务2： 解：令，则． 将代入，得． 把看作是关于x的一元二次方程，则， 解得 则 的最大值为． 故答案为：，． 任务3： 如图，过点B作，点E为垂足． 根据题意，，，． 在，， 在中， 即 整理得，， 令，则，代入上式得到一个关于b的一元二次方程：． 解不等式得，则k的最大值为26，即的最大值为26． 把代入得． 解方程得，， 故当最大时，． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的判别式、解一元一次不等式、勾股定理、含度角的直角三角形以及解一元二次方程，解题的关键是理解题目给定的求解方式，并利用解不等式和解方程的思想进行作答． 23. 如图1，二次函数的图象交坐标轴于点，，点为轴上一动点． （1）求二次函数的表达式； （2）过点作轴分别交线段，抛物线于点，，连接．当时，求的面积； （3）如图2，将线段绕点逆时针旋转90得到线段． ①当点在抛物线上时，求点的坐标； ②点在抛物线上，连接，当平分时，直接写出点P的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）①或；②或． 【解析】 【分析】（1）根据点的坐标以及已知条件，将的坐标代入即可求得的值，进而求得抛物线的解析式； （2）依题意根据（1）的解析式求得的坐标，进而求得，据此求得，根据进而求得的坐标，根据即可求得的面积； （3）①过作轴，分点在轴上方和下方两种情况讨论，证明，设，将点的坐标代入（1）中抛物线解析式中即可求得点的坐标情形2，方法同情形1； ②分当不平行于轴和轴两种情况讨论，当当不平行于轴时，过点作交于点,过点作于点，证明进而可得的坐标，当轴时，结合已知条件即可求得的坐标． 【详解】（1）二次函数的图象经过 解得 （2）由，令 解得 当时， ,则 ； （3）如图，当点在轴下方时，过点作于点， 由，令， 解得 ， ， 将线段绕点逆时针旋转90得到线段， ，， 设， 点在抛物线上， 解得（舍） 当点在轴上方时，如图， 过点作于点，设 同理可得 点在抛物线上， 解得（舍去）， 综上所述，或； ②当不平行于轴时，过点作交于点,过点作于点，如图， 平分，， ， , ， 当不平行于轴时，重合， ， 当轴时，如图， 此时 则 综上所述，当平方时，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴交点，正切的定义，三角形全等的性质与判定，分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $