7.2 三角函数概念（十六大题型）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第一册）

7.2 三角函数概念 课程标准 学习目标 （1）通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等． （2）能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式，提升逻辑推理素养. （3）借助单位圆中三角函数的定义推导出六组诱导公式，提升直观想象和数学抽象素养. （1）通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数. （2）借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号. （3）根据三角函数的定义推导同角三角函数的基本关系式； （4）理解诱导公式的推导过程. 知识点01 三角函数定义 设是一个任意角，它的终边与半径是的圆交于点，则，那么： （1）做的正弦，记做，即； （2） 叫做的余弦，记做，即； （3）叫做的正切，记做，即． 知识点诠释： （1）三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关．我们只需计算点到原点的距离，那么，，． （2）三角函数符号是一个整体，离开的、、等是没有意义的，它们表示的是一个比值，而不是、、与的积． 【即学即练1】（2024·四川达州·高一四川省万源中学校考阶段练习）若角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 知识点02 三角函数在各象限的符号 三角函数在各象限的符号： 在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 知识点诠释： 口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第四象限余弦值为正． 【即学即练2】（2024·高一课时练习）已知是第二象限角，则（　　） A． B． C． D． 知识点03 单位圆中的三角函数线 圆心在原点，半径等于1的圆为单位圆．设角的顶点在圆心，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于，过作垂直轴于，作垂直轴于点．以为原点建立轴与轴同向，与的终边（或其反向延长线）相交于点（或），则有向线段、、（或）分别叫作的余弦线、正弦线、正切线，统称为三角函数线．有向线段：既有大小又有方向的线段． 知识点诠释： 三条有向线段的位置： 正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段； 余弦线在轴上； 正切线在过单位圆与轴的正方向的交点的切线上； 三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外． 【即学即练3】（2024·高一校考课时练习）利用三角函数线比较大小 (1)与； (2)与； (3)与. 知识点04 同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系： （2）商数关系： 知识点诠释： （1）这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角（使得函数有意义的前提下）关系式都成立； （2）是的简写； （3）在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“”的选取． 【即学即练4】（2024·新疆和田·高一校考阶段练习）已知是第四象限角，且，那么tanθ的值为 知识点05 诱导公式 诱导公式一： ， ， ，其中 诱导公式二： ， ， ，其中 诱导公式三： ， ， ，其中 诱导公式四： ，． ，，其中 知识点诠释： （1）要化的角的形式为（为常整数）； （2）记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”； （3）必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”； （4）；． 【即学即练5】（2024·北京·高一北京市十一学校校考期末）已知，且，化简并求的值. 题型一：三角函数的定义 【典例1-1】（2024·高一·河北保定·开学考试）已知角的终边经过点，则角的值可能为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2024·高一·福建莆田·期末）对任意且，函数的图象都过定点，且点在角的终边上，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 利用三角函数的定义求值的策略 （1）已知角的终边在直线上求的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种： 方法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值． 方法二：在的终边上任选一点，P到原点的距离为（）．则，．已知的终边求的三角函数值时，用这几个公式更方便． （2）当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． （3）若终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种情况处理． 【变式1-1】（2024·高一·山东威海·期末）下列角的终边落在射线上的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·高一·广东广州·期中）已知终边经过点，则可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024·高一·安徽蚌埠·期末）已知点在角终边上，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】（2024·高一·上海宝山·期末）已知角终边上一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 题型二：判断三角函数值的符号 【典例2-1】（2024·高一·江西南昌·阶段练习）若是第一象限角，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2024·高一·上海松江·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 三角函数值在各象限内的符号也可以用下面的口诀记忆： “一全正二正弦，三正切四余弦”，意为：第一象限各个三角函数均为正；第二象限只有正弦为正，其余两个为负；第三象限正切为正，其余两个为负；第四象限余弦为正，其余两个为负． 【变式2-1】（2024·高一·安徽马鞍山·阶段练习）下列函数值其结果为负值的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·高一·上海·专题练习）已知角是第四象限角，则下列各式中一定为正的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2024·高一·福建莆田·阶段练习）当为第四象限角时，（    ） A．1 B． C．3 D． 【变式2-4】（2024·高一·北京海淀·阶段练习）已知，则函数的值可能是（    ） A．1 B． C．4 D． 题型三：确定角所在象限 【典例3-1】（2024·高一·福建龙岩·阶段练习）已知点在第二象限，则角的终边位置在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【典例3-2】（2024·高一·安徽·期末）若，则为（    ） A．第一、二象限角 B．第二、三象限角 C．第一、三象限角 D．第一、四象限角 【方法技巧与总结】 确定角所在象限的步骤 （1）判断该角的某些三角函数值的符号； （2）根据角的 三角函数值的符号，确定角所在象限． 【变式3-1】（2024·高一·四川内江·期中）若， 则的终边在（ ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限或在轴的非负半轴上 D．第二、四象限或在轴的非负半轴上 【变式3-2】（2024·高一·江苏盐城·开学考试）如果，且，则是（    ） A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角 【变式3-3】（2024·高一·江西新余·阶段练习）已知点在第二象限，则角的终边在第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【变式3-4】（2024·高一·上海·单元测试）若，且，则角是第（    ）象限的角. A．一 B．三 C．一或三 D．二或四 题型四：三角函数线的应用 【典例4-1】（2024·高一·全国·课后作业）把，，，由小到大排列为 ． 【典例4-2】（2024·高一·江苏·专题练习）依据三角函数线作出如下四个判断： ①；②；③；④． 其中判断正确的有 （填序号）． 【方法技巧与总结】 三角函数线是几何图形来表示数，即用几何方法表示三角函数值，是数形结合的有利工具，因此在三角证明求值等问题中，常会有意想不到的作用． 【变式4-1】（2024·高一·全国·课后作业）若，且，，利用三角函数线，得到的取值范围是 . 【变式4-2】（2024·高一·上海浦东新·期中）已知角，则的大小关系为 ． 【变式4-3】（2024·高一·全国·课后作业）已知，则的取值范围是 ． 【变式4-4】（2024·高一·全国·课后作业）若，则的取值范围是 ． 题型五：圆上的动点与旋转点 【典例5-1】（2024·高一·辽宁·阶段练习）质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆周上顺时针作匀速圆周运动，同时出发.P的角速度为3rad/s，起点为射线与圆的交点；Q的角速度为5rad/s，起点为圆与x轴正半轴交点，则当质点Q与P第二次相遇时，Q的坐标为（    ） A． B． C． D． 【典例5-2】（2024·高一·江苏无锡·阶段练习）质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针做匀速圆周运动，同时出发.的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点，的角速度大小为，起点为角的终边与圆的交点，则当与重合时，的坐标不可以为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 利用三角函数的定义求解 【变式5-1】（2024·高一·山西忻州·开学考试）在直角坐标系中，若点从点出发，沿圆心在原点，半径为3的圆按逆时针方向运动到达点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2024·高一·湖南益阳·期末）在直角坐标系中，一个质点在半径为2的圆O上，以圆O与x正半轴的交点为起点，沿逆时针方向匀速运动到P点，每转一圈，则后的长为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2024·高一·河南洛阳·期中）点为圆与轴正半轴的交点，将点沿圆周顺时针旋转至点，当转过的弧长为时，点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【变式5-4】（2024·高一·江西南昌·期末）在平面直角坐标系中，若点P从出发，沿圆心在原点，半径为2的圆按逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标是（    ） A． B． C． D． 题型六：已知某个三角函数值求其余的三角函数值 【典例6-1】（2024·高三·上海·阶段练习）已知，且，则 . 【典例6-2】（2024·高一·全国·课后作业）已知，且为第三象限角，则 ． 【方法技巧与总结】 利用同角三角函数基本关系式求值的常用技巧： （1）巧用“1”进行变形，如等． （2）平方关系式需开方时，应慎重考虑符号的选取． 【变式6-1】（2024·高一·上海·随堂练习）已知，则 . 【变式6-2】（2024·高一·湖南邵阳·阶段练习）已知是第三象限角，且.求的值. 【变式6-3】（1）已知，且是第四象限的角．求及； （2）已知，求及． 题型七：已知的值，求关于、的齐次式的值问题 【典例7-1】（2024·高一·全国·课后作业）已知，求下列各式的值． (1)； (2)． 【典例7-2】（2024·高一·上海·随堂练习）已知求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 【方法技巧与总结】 ①减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切，如涉及、的齐次分式问题，常采用分子分母同除以（），这样可以将被求式化为关于的式子，从而完成被求式的求值； ②在求形如的值，注意将分母的1化为代入，转化为关于的表达式后再求值． 【变式7-1】（2024·高一·上海·课后作业）已知，求： (1)； (2). 【变式7-2】（2024·高一·上海·阶段练习）已知，求下列各式的值 (1) (2) 【变式7-3】（2024·高一·上海·期中）已知.求： (1)的值； (2)求的值. 【变式7-4】（2024·高一·辽宁沈阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边为的非负半轴，终边经过点. (1)求与的值： (2)求的值. (3)求的值. 题型八：与关系的应用 【典例8-1】已知，，求和． 【典例8-2】（2024·高一·全国·课后作业）若，，则 ． 【方法技巧与总结】 三角函数求值中常见的变形公式 （1），，三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们的关系是：；. （2）求或的值，要根据的范围注意判断它们的符号． 【变式8-1】（2024·高一·四川遂宁·阶段练习）已知，，则= ，= ． 【变式8-2】（2024·高一·全国·课后作业）若，则，且的值为 ． 【变式8-3】（2024·高一·湖南怀化·期末）已知，，则 . 【变式8-4】（2024·高一·辽宁大连·阶段练习）若，且，则 . 【变式8-5】（2024·高一·辽宁大连·阶段练习）已知，是关于的方程的两根，则实数等于 . 【变式8-6】（2024·高一·湖南株洲·阶段练习）已知，，求的值． 题型九：利用同角关系化简三角函数式 【典例9-1】化简： (1)； (2). 【典例9-2】（2024·高一·全国·专题练习）化简： 【方法技巧与总结】 化简要求 （1）项数尽量少；（2）次数尽量低；（3）分母、根式中尽量不含三角函数；（4）尽量不含根式；（5）能求值的尽可能求值． 【变式9-1】（2024·高一·安徽六安·开学考试）化简 (1) (2) (3) 【变式9-2】（2024·高一·全国·随堂练习）化简与求值 (1)； (2)． 题型十：利用同角关系证明三角恒等式 【典例10-1】证明下列恒等式： (1)； (2)． 【典例10-2】（2024·高一·甘肃兰州·期末）求证： (1)； (2). 【方法技巧与总结】 证明三角恒等式时，可以从左边推到右边，也可以从右边推到左边，本着化繁就简的原则，即从较繁的一边推向较简的一边；还可以将左、右两边同时推向一个中间结果；有时候改证其等价命题更为方便．但是，不管采取哪一种方式，证明时都要“盯住目标，据果变形”．化简证明过程中常用的技巧有：弦切互化，运用分式的基本性质变形，分解因式，回归定义等． 【变式10-1】（2024·高一·全国·随堂练习）求证： (1)； (2)； (3)． 【变式10-2】（2024·高一·全国·随堂练习）求证： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式10-3】（2024·高一·全国·课后作业）证明：. 【变式10-4】（2024·高一·江苏·课后作业）求证：. 题型十一：利用诱导公式求解给角求值问题 【典例11-1】（2024·高一·福建龙岩·阶段练习） ． 【典例11-2】（2024·高一·广西梧州·期中）化简： ． 【方法技巧与总结】 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 （1）“负化正”：用公式一或三来转化． （2）“大化小”：用公式一将角化为到间的角． （3）“小化锐”：用公式二或四将大于的角转化为锐角． （4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 【变式11-1】（2024·高一·四川内江·阶段练习）的值为 【变式11-2】（2024·高一·陕西渭南·期中）的值为 . 【变式11-3】（2024·高一·重庆·期末） . 【变式11-4】（2024·高二·贵州铜仁·阶段练习） ． 题型十二：利用诱导公式求解给值求值问题 【典例12-1】（2024·高一·江苏盐城·期末）已知 ，则 【典例12-2】（2024·高一·全国·课后作业）若，且α是第四象限角，则 ． 【方法技巧与总结】 解决条件求值问题的方法 （1）解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系． （2）可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． 【变式12-1】（2024·高一·河南南阳·期中）已知，则 . 【变式12-2】（2024·高一·上海·随堂练习）已知，，则 . 【变式12-3】（2024·高一·河南南阳·期中）已知锐角满足，则 ． 【变式12-4】（2024·高一·全国·专题练习）已知角终边上一点则的值为 ． 【变式12-5】（2024·高一·吉林·期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则 ． 【变式12-6】（2024·高一·浙江杭州·阶段练习）已知函数，且，则 ． 题型十三：诱导公式在三角函数式化简中的应用 【典例13-1】化简： (1)； (2)． 【典例13-2】（2024·高一·全国·课前预习）化简：． 【方法技巧与总结】 三角函数式化简的常用方法 （1）合理转化：①将角化成，，的形式． ②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角的三角函数． （2）切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数． （3）注意“1”的应用：． （4）用诱导公式进行化简时，若遇到的形式，需对k进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简． 【变式13-1】（2024·高一·上海·随堂练习）化简： (1)； (2)． 【变式13-2】（2024·高一·广西梧州·阶段练习）化简求值： (1)； (2) 【变式13-3】（2024·高一·河北张家口·开学考试）已知． (1)化简， (2)若，求的值． 【变式13-4】（2024·高一·湖北武汉·期中）已知 (1)化简； (2)已知，求的值. 题型十四：诱导公式在三角函数证明中的应用 【典例14-1】证明：． 【典例14-2】（2024·高一·全国·课后作业）证明:. 【方法技巧与总结】 三角恒等式的证明策略 对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法． 【变式14-1】（2024·高一·全国·课后作业）证明： 【变式14-2】（2024·高二·河南·阶段练习）已知角的终边在第三象限，，证明：． 【变式14-3】（2024·高一·全国·课后作业）证明 (1) (2) (3) (4) 题型十五：诱导公式的综合应用 【典例15-1】（2024·高一·山东淄博·期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点. (1)求； (2)求的值. 【典例15-2】（2024·高三·四川德阳·阶段练习）已知角满足______.请从下列三个条件中任选一个作答.（注：如果多个条件分别作答，按第一个解答计分）. 条件①：角的终边与单位圆的交点为； 条件②：角满足，且角为第四象限角； 条件③：角满足且. (1)求的值； (2)求的值. 【方法技巧与总结】 解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用时导致的混乱． 【变式15-1】（2024·高一·陕西渭南·期中）已知是第三象限角，且. (1)求的值； (2)求的值. 【变式15-2】（2024·高一·江西萍乡·期中）在①，②两个条件中任选一个补充到下面的问题中，并解答. 已知角，且________. (1)求的值； (2)求的值. 【变式15-3】（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）计算求值. (1) (2)若，且，求下列式子. （i） （ii）. 【变式15-4】（2024·高一·上海·课后作业）已知角的终边经过点. (1)求的值； (2)求的值. 【变式15-5】（2024·高一·上海·随堂练习）是否存在角和，当，时，等式，同时成立？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由. 题型十六：利用互余互补关系求值 【典例16-1】（2024·高一·重庆铜梁·阶段练习）已知，且，则 ． 【典例16-2】（2024·高一·江苏·开学考试）已知，则的值是 ． 【方法技巧与总结】 巧用相关角的关系会简化解题过程．观察所求角与已知角是否具有互余、互补等特殊关系．在转化过程中可以由已知到未知，也可以由未知索已知．常见的互余关系有，；，；，等．常见的互补关系有，；，等． 【变式16-1】（2024·高一·山东·阶段练习）已知，则的值为 . 【变式16-2】（2024·高一·全国·课前预习）已知，且，则 ． 【变式16-3】（2024·高一·全国·课后作业）已知，则 ． 【变式16-4】（2024·高一·全国·课后作业）已知，则 ， ． 【变式16-5】（2024·高一·广西梧州·阶段练习）已知，则 ． 【变式16-6】（2024·高一·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知，则 . 1．（北京市朝阳区2023-2024学年高三期中检测数学试卷）已知均为第二象限角，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024·高一·北京·阶段练习）已知角，且，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（2024·高一·江苏徐州·期中）在△ABC中，设甲：，乙：，则以下判断正确的是（    ）． A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 4．（2024·高一·北京延庆·期末）若，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2024·高一·江西新余·阶段练习）已知，则（ ） A． B． C． D． 6．（2024·高一·辽宁葫芦岛·期末）已知角的始边与轴非负半轴重合，是角终边上一点，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·高一·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，分别是单位圆上的四段弧（不含与坐标轴的交点），点在其中一段上，角以为始边，为终边，若，则所在的圆弧是（    ）    A． B． C． D． 8．（2024·高一·辽宁沈阳·期末）已知为角终边上一点，则（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2024·高一·福建福州·阶段练习）在平面直角坐标系中，角α的始边为x的正半轴，终边经过点，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D．存在角 ，其终边与角终边重合 10．（多选题）（2024·高一·河南南阳·期中）的值可能为（    ） A． B． C．1 D．3 11．（多选题）（2024·高一·四川内江·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 12．（2024·高一·全国·课后作业）已知角的终边经过点，且，则实数 ． 13．（2024·高一·上海·课后作业）若，则 . 14．（2024·高一·上海·课后作业）已知，，则实数k的值为 . 15．（2024·高一·上海浦东新·期中）若点，将绕坐标原点逆时针旋转至.则点的坐标是 . 16．（2024·高一·浙江湖州·阶段练习）已知，求： (1)； (2)的值. 17．（2024·高一·浙江湖州·阶段练习）（1）化简：； （2）已知，求的值. 18．（2024·高一·上海·假期作业）已知是三角形的内角，是方程的两根. (1)求角； (2)若，求. 19．（2024·高一·上海·课堂例题）已知及是关于x的方程的两个实根，求实数k． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.2 三角函数概念 课程标准 学习目标 （1）通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等． （2）能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式，提升逻辑推理素养. （3）借助单位圆中三角函数的定义推导出六组诱导公式，提升直观想象和数学抽象素养. （1）通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数. （2）借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号. （3）根据三角函数的定义推导同角三角函数的基本关系式； （4）理解诱导公式的推导过程. 知识点01 三角函数定义 设是一个任意角，它的终边与半径是的圆交于点，则，那么： （1）做的正弦，记做，即； （2） 叫做的余弦，记做，即； （3）叫做的正切，记做，即． 知识点诠释： （1）三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关．我们只需计算点到原点的距离，那么，，． （2）三角函数符号是一个整体，离开的、、等是没有意义的，它们表示的是一个比值，而不是、、与的积． 【即学即练1】（2024·四川达州·高一四川省万源中学校考阶段练习）若角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则点到原点的距离为， 则. 故选：D. 知识点02 三角函数在各象限的符号 三角函数在各象限的符号： 在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 知识点诠释： 口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第四象限余弦值为正． 【即学即练2】（2024·高一课时练习）已知是第二象限角，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵θ是第二象限角， ∴, ∴ ∴是第一或第三象限角，可得. 故选：C. 知识点03 单位圆中的三角函数线 圆心在原点，半径等于1的圆为单位圆．设角的顶点在圆心，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于，过作垂直轴于，作垂直轴于点．以为原点建立轴与轴同向，与的终边（或其反向延长线）相交于点（或），则有向线段、、（或）分别叫作的余弦线、正弦线、正切线，统称为三角函数线．有向线段：既有大小又有方向的线段． 知识点诠释： 三条有向线段的位置： 正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段； 余弦线在轴上； 正切线在过单位圆与轴的正方向的交点的切线上； 三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外． 【即学即练3】（2024·高一校考课时练习）利用三角函数线比较大小 (1)与； (2)与； (3)与. 【解析】（1）与对应的三角函数线分别为有向线段如下图所示： 故， （2）与对应的三角函数线分别为有向线段 由图可得：． （3）与对应的三角函数线分别为有向线段所以 知识点04 同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系： （2）商数关系： 知识点诠释： （1）这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角（使得函数有意义的前提下）关系式都成立； （2）是的简写； （3）在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“”的选取． 【即学即练4】（2024·新疆和田·高一校考阶段练习）已知是第四象限角，且，那么tanθ的值为 【答案】/ 【解析】由是第四象限角，则，. 故答案为：. 知识点05 诱导公式 诱导公式一： ， ， ，其中 诱导公式二： ， ， ，其中 诱导公式三： ， ， ，其中 诱导公式四： ，． ，，其中 知识点诠释： （1）要化的角的形式为（为常整数）； （2）记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”； （3）必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”； （4）；． 【即学即练5】（2024·北京·高一北京市十一学校校考期末）已知，且，化简并求的值. 【解析】因为，且，则， 所以，， 故. 题型一：三角函数的定义 【典例1-1】（2024·高一·河北保定·开学考试）已知角的终边经过点，则角的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，所以，，故角的值可能为． 故选：A. 【典例1-2】（2024·高一·福建莆田·期末）对任意且，函数的图象都过定点，且点在角的终边上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于函数，令， 故的图象过定点， 由于点在角的终边上，则， 故选：B 【方法技巧与总结】 利用三角函数的定义求值的策略 （1）已知角的终边在直线上求的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种： 方法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值． 方法二：在的终边上任选一点，P到原点的距离为（）．则，．已知的终边求的三角函数值时，用这几个公式更方便． （2）当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． （3）若终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种情况处理． 【变式1-1】（2024·高一·山东威海·期末）下列角的终边落在射线上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在射线上任取点，显然点在第三象限，故该角也是第三象限角，排除A，B两项； 对于C，因，符合题意，故C正确； 对于D，因，故D错误. 故选：C. 【变式1-2】（2024·高一·广东广州·期中）已知终边经过点，则可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以，故点P在第四象限，则由题意是第四象限角， 又因为， 所以可能是. 故选：C. 【变式1-3】（2024·高一·安徽蚌埠·期末）已知点在角终边上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为点在角终边上，且， 即，解得， 所以. 故选：A 【变式1-4】（2024·高一·上海宝山·期末）已知角终边上一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】由三角函数定义可得，解得. 故选：C. 题型二：判断三角函数值的符号 【典例2-1】（2024·高一·江西南昌·阶段练习）若是第一象限角，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为在第一象限，所以，， 所以，，所以是第一､三象限角， 当是第一象限角时，，，，； 当是第三象限角时，，，，； 综上，一定成立. 故选：C 【典例2-2】（2024·高一·上海松江·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以在第二象限或第四象限. A：当在第二象限时，不成立；当在第四象限时，成立，故本选项不正确； B：当在第二象限时，成立；当在第四象限时，不成立，故本选项不正确； C：当在第二象限时，即 ，所以成立； 当在第四象限时，即 ，所以成立，因此本选项正确； D：当在第二象限时，即 ，所以不恒成立； 当在第四象限时，即 ， 所以不恒成立，因此本选项不正确， 故选：C 【方法技巧与总结】 三角函数值在各象限内的符号也可以用下面的口诀记忆： “一全正二正弦，三正切四余弦”，意为：第一象限各个三角函数均为正；第二象限只有正弦为正，其余两个为负；第三象限正切为正，其余两个为负；第四象限余弦为正，其余两个为负． 【变式2-1】（2024·高一·安徽马鞍山·阶段练习）下列函数值其结果为负值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，所以为第一象限角，故，故不符合题意； ，所以为第四象限角，故，故不符合题意； ，所以为第二象限角，故，故符合题意； ，所以为第二象限角，故，故不符合题意； 故选：. 【变式2-2】（2024·高一·上海·专题练习）已知角是第四象限角，则下列各式中一定为正的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为角是第四象限角，所以， 对于A，取，则，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，则，故D错误. 故选：C. 【变式2-3】（2024·高一·福建莆田·阶段练习）当为第四象限角时，（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【解析】由为第四象限角，则， 所以. 故选：B 【变式2-4】（2024·高一·北京海淀·阶段练习）已知，则函数的值可能是（    ） A．1 B． C．4 D． 【答案】B 【解析】若为第一象限角，则， 故， 若为第二象限角，则， 故， 若为第三象限角，则， 故，B正确； 若为第四象限角，则， 故. 故选：B 题型三：确定角所在象限 【典例3-1】（2024·高一·福建龙岩·阶段练习）已知点在第二象限，则角的终边位置在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】因点在第二象限，故， 即角为第四象限角. 故选：D. 【典例3-2】（2024·高一·安徽·期末）若，则为（    ） A．第一、二象限角 B．第二、三象限角 C．第一、三象限角 D．第一、四象限角 【答案】D 【解析】因为，所以同号， 在第一象限时， 在第四象限时， 所以是第一、四象限角，而二、三象限两函数值异号. 故选：D. 【方法技巧与总结】 确定角所在象限的步骤 （1）判断该角的某些三角函数值的符号； （2）根据角的 三角函数值的符号，确定角所在象限． 【变式3-1】（2024·高一·四川内江·期中）若， 则的终边在（ ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限或在轴的非负半轴上 D．第二、四象限或在轴的非负半轴上 【答案】B 【解析】因为，所以的终边在第四象限，即， 则，当时，的终边在第二象限；当时，的终边在第四象限； 故选：B 【变式3-2】（2024·高一·江苏盐城·开学考试）如果，且，则是（    ） A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角 【答案】C 【解析】由，得角终边在第三象限或第四象限，或终边为轴非正半轴， 由，得角终边在第一象限或第三象限， 所以是第三象限的角. 故选：C 【变式3-3】（2024·高一·江西新余·阶段练习）已知点在第二象限，则角的终边在第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【解析】因为点在第二象限，所以，， 所以的终边在第三象限. 故选：C. 【变式3-4】（2024·高一·上海·单元测试）若，且，则角是第（    ）象限的角. A．一 B．三 C．一或三 D．二或四 【答案】D 【解析】由条件知与异号，则为第二或第三象限的角.又与异号，则为第三或第四象限的角， 所以为第三象限的角，即，， ∴，， ∴为第二或第四象限的角. 故选：D. 题型四：三角函数线的应用 【典例4-1】（2024·高一·全国·课后作业）把，，，由小到大排列为 ． 【答案】 【解析】如图所示，在平面直角坐标系中,以为圆心作单位圆，分别作出已知角， 则，， ，． 而， ∴， ∴． 故答案为： 【典例4-2】（2024·高一·江苏·专题练习）依据三角函数线作出如下四个判断： ①；②；③；④． 其中判断正确的有 （填序号）． 【答案】②④ 【解析】①中，如图所示，根据三角函数线，可得的函数值为正，函数值为负， 可得，所以①不正确； ②中，如图所示，依据三角函数线，可得和的三角函数线长度相等， 可得，所以②正确； ③中，如图所示，因为，依据三角函数线，可得， 且的正切线大于的正切线的长度，可得，所以③不正确； ④中，如图所示，依据三角函数线，可得，且的正弦线大于的正弦线，所以，所以④正确. 故选：②④. 【方法技巧与总结】 三角函数线是几何图形来表示数，即用几何方法表示三角函数值，是数形结合的有利工具，因此在三角证明求值等问题中，常会有意想不到的作用． 【变式4-1】（2024·高一·全国·课后作业）若，且，，利用三角函数线，得到的取值范围是 . 【答案】 【解析】如图所示单位圆，由于，，若终边为（不可取）， 所以满足，且，， 所以的取值范围是. 故答案为： 【变式4-2】（2024·高一·上海浦东新·期中）已知角，则的大小关系为 ． 【答案】/ 【解析】如下图示，在单位圆中，轴，轴，且， 所以，，， △的面积， 扇形的面积， △的面积， 由图知：，故. 故答案为： 【变式4-3】（2024·高一·全国·课后作业）已知，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】如图，作出单位圆中的三角函数线，则有，，， 在中，， ∴, 又， ∴即， 当且仅当取等号， ∴， 故答案为：. 【变式4-4】（2024·高一·全国·课后作业）若，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由下图可知，，，即． 故答案为： 题型五：圆上的动点与旋转点 【典例5-1】（2024·高一·辽宁·阶段练习）质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆周上顺时针作匀速圆周运动，同时出发.P的角速度为3rad/s，起点为射线与圆的交点；Q的角速度为5rad/s，起点为圆与x轴正半轴交点，则当质点Q与P第二次相遇时，Q的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设当质点Q与P第二次相遇时，用了时间，依题意有， 解得，此时质点Q转过角度为，因为是顺时针作匀速圆周运动，质点Q转在角的终边上，圆的半径为1，Q的坐标为. 故选：C 【典例5-2】（2024·高一·江苏无锡·阶段练习）质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针做匀速圆周运动，同时出发.的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点，的角速度大小为，起点为角的终边与圆的交点，则当与重合时，的坐标不可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】点的初始位置，锐角，设时刻两点重合， 则，即， 此时点， 即，， 当时，，故A正确； 当时，，即，故C正确； 当时，，即，故D正确； 由三角函数的周期性可得，其余各点均与上述三点重合，故B错误. 故选：B 【方法技巧与总结】 利用三角函数的定义求解 【变式5-1】（2024·高一·山西忻州·开学考试）在直角坐标系中，若点从点出发，沿圆心在原点，半径为3的圆按逆时针方向运动到达点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意可知，作出图示如下： 根据题意可得，，作轴且垂足为； 利用三角函数定义可得，； 又点在第四象限，所以点的坐标为. 故选：C 【变式5-2】（2024·高一·湖南益阳·期末）在直角坐标系中，一个质点在半径为2的圆O上，以圆O与x正半轴的交点为起点，沿逆时针方向匀速运动到P点，每转一圈，则后的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由题意可知，一个质点在圆O上每逆时针方向转一圈，那么后，到达P点，所以，而在中，且为圆的半径，取的中点T，如图，则，所以，则，所以 故选：C 【变式5-3】（2024·高一·河南洛阳·期中）点为圆与轴正半轴的交点，将点沿圆周顺时针旋转至点，当转过的弧长为时，点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知，圆的半径为2，， 设旋转角为，则， 从而可得. 故选：B. 【变式5-4】（2024·高一·江西南昌·期末）在平面直角坐标系中，若点P从出发，沿圆心在原点，半径为2的圆按逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，作出半径为的圆， 由题意，， 过作轴于点， 则 故选：B 题型六：已知某个三角函数值求其余的三角函数值 【典例6-1】（2024·高三·上海·阶段练习）已知，且，则 . 【答案】/0.6 【解析】因为，所以 又因为，所以 故答案为： 【典例6-2】（2024·高一·全国·课后作业）已知，且为第三象限角，则 ． 【答案】/ 【解析】， 由，可得，解得或． 又为第三象限角，，把的值代入检验得， ，可得． 故答案为：. 【方法技巧与总结】 利用同角三角函数基本关系式求值的常用技巧： （1）巧用“1”进行变形，如等． （2）平方关系式需开方时，应慎重考虑符号的选取． 【变式6-1】（2024·高一·上海·随堂练习）已知，则 . 【答案】 【解析】由，可知，. 故答案为： 【变式6-2】（2024·高一·湖南邵阳·阶段练习）已知是第三象限角，且.求的值. 【解析】因为是第三象限角，且， 所以. 【变式6-3】（1）已知，且是第四象限的角．求及； （2）已知，求及． 【解析】（1）是第四象限的角，则，于是，则； （2），则是第二或四象限的角， 当是第二象限角时，，由，解得； 当是第四象限角时，，由，解得； 题型七：已知的值，求关于、的齐次式的值问题 【典例7-1】（2024·高一·全国·课后作业）已知，求下列各式的值． (1)； (2)． 【解析】（1）因为，所以，将式子的分子分母同时除以得： 所以． （2）． 【典例7-2】（2024·高一·上海·随堂练习）已知求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 【解析】（1）由题意，则； （2）由（1），； （3）由（1），. 【方法技巧与总结】 ①减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切，如涉及、的齐次分式问题，常采用分子分母同除以（），这样可以将被求式化为关于的式子，从而完成被求式的求值； ②在求形如的值，注意将分母的1化为代入，转化为关于的表达式后再求值． 【变式7-1】（2024·高一·上海·课后作业）已知，求： (1)； (2). 【解析】（1） ， 则， 即， 解得或. （2）原式. 当时，原式； 当时，原式. 【变式7-2】（2024·高一·上海·阶段练习）已知，求下列各式的值 (1) (2) 【解析】（1）由题. （2）因为， 故 . 【变式7-3】（2024·高一·上海·期中）已知.求： (1)的值； (2)求的值. 【解析】（1）显然，故则，解得. （2） 【变式7-4】（2024·高一·辽宁沈阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边为的非负半轴，终边经过点. (1)求与的值： (2)求的值. (3)求的值. 【解析】（1）点到原点的距离， 所以. （2）. （3）. 题型八：与关系的应用 【典例8-1】已知，，求和． 【解析】因为， 两边平方得， 所以， 因为,所以 所以 联立, 解得. 【典例8-2】（2024·高一·全国·课后作业）若，，则 ． 【答案】 【解析】 ∴. . 故答案为：. 【方法技巧与总结】 三角函数求值中常见的变形公式 （1），，三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们的关系是：；. （2）求或的值，要根据的范围注意判断它们的符号． 【变式8-1】（2024·高一·四川遂宁·阶段练习）已知，，则= ，= ． 【答案】 / 【解析】，. ，，又，； 由得： 或（舍），. 故答案为：； 【变式8-2】（2024·高一·全国·课后作业）若，则，且的值为 ． 【答案】1 【解析】， ． 又， 或． 当时，，此时有； 当时，，此时也有． ． 故答案为： 【变式8-3】（2024·高一·湖南怀化·期末）已知，，则 . 【答案】 【解析】由已知，所以， 所以. 故答案为：. 【变式8-4】（2024·高一·辽宁大连·阶段练习）若，且，则 . 【答案】 【解析】因为，所以，又，则， 所以 . 故答案为： 【变式8-5】（2024·高一·辽宁大连·阶段练习）已知，是关于的方程的两根，则实数等于 . 【答案】/ 【解析】由方程有两根，得，解得， 依题意，，则，解得，符合题意， 所以实数等于. 故答案为： 【变式8-6】（2024·高一·湖南株洲·阶段练习）已知，，求的值． 【解析】两边平方得， 即，故， ， 又，，故，， 故. 题型九：利用同角关系化简三角函数式 【典例9-1】化简： (1)； (2). 【解析】（1）原式. （2）原式. 【典例9-2】（2024·高一·全国·专题练习）化简： 【解析】解析： ＝ 【方法技巧与总结】 化简要求 （1）项数尽量少；（2）次数尽量低；（3）分母、根式中尽量不含三角函数；（4）尽量不含根式；（5）能求值的尽可能求值． 【变式9-1】（2024·高一·安徽六安·开学考试）化简 (1) (2) (3) 【解析】（1） ； （2）； （3） . 【变式9-2】（2024·高一·全国·随堂练习）化简与求值 (1)； (2)． 【解析】（1）. （2）. 题型十：利用同角关系证明三角恒等式 【典例10-1】证明下列恒等式： (1)； (2)． 【解析】（1）左边 右边. 则恒等式成立. （2）右边 左边. 则恒等式成立. 【典例10-2】（2024·高一·甘肃兰州·期末）求证： (1)； (2). 【解析】（1）证明：左边= =右边. （2）证明：左边= =右边. 【方法技巧与总结】 证明三角恒等式时，可以从左边推到右边，也可以从右边推到左边，本着化繁就简的原则，即从较繁的一边推向较简的一边；还可以将左、右两边同时推向一个中间结果；有时候改证其等价命题更为方便．但是，不管采取哪一种方式，证明时都要“盯住目标，据果变形”．化简证明过程中常用的技巧有：弦切互化，运用分式的基本性质变形，分解因式，回归定义等． 【变式10-1】（2024·高一·全国·随堂练习）求证： (1)； (2)； (3)． 【解析】（1）. 故成立. （2） 故成立. （3） . 故成立. 【变式10-2】（2024·高一·全国·随堂练习）求证： (1)； (2)； (3)； (4)． 【解析】（1）左边==右边，故得证， （2）左边==右边，故得证， （3）左边==右边，故得证， （4）左边==右边，故得证 【变式10-3】（2024·高一·全国·课后作业）证明：. 【解析】左边右边. 所以. 【变式10-4】（2024·高一·江苏·课后作业）求证：. 【解析】∵， ∴＝. 题型十一：利用诱导公式求解给角求值问题 【典例11-1】（2024·高一·福建龙岩·阶段练习） ． 【答案】 【解析】 . 故答案为： 【典例11-2】（2024·高一·广西梧州·期中）化简： ． 【答案】 【解析】. 故答案为： 【方法技巧与总结】 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 （1）“负化正”：用公式一或三来转化． （2）“大化小”：用公式一将角化为到间的角． （3）“小化锐”：用公式二或四将大于的角转化为锐角． （4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 【变式11-1】（2024·高一·四川内江·阶段练习）的值为 【答案】 【解析】. 故答案为： 【变式11-2】（2024·高一·陕西渭南·期中）的值为 . 【答案】/ 【解析】, 故答案为; 【变式11-3】（2024·高一·重庆·期末） . 【答案】/ 【解析】. 故答案为： 【变式11-4】（2024·高二·贵州铜仁·阶段练习） ． 【答案】0 【解析】由题意可得： ． 故答案为：0. 题型十二：利用诱导公式求解给值求值问题 【典例12-1】（2024·高一·江苏盐城·期末）已知 ，则 【答案】/ 【解析】. 故答案为：. 【典例12-2】（2024·高一·全国·课后作业）若，且α是第四象限角，则 ． 【答案】/ 【解析】因α是第四象限角，且，则. 因. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 解决条件求值问题的方法 （1）解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系． （2）可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． 【变式12-1】（2024·高一·河南南阳·期中）已知，则 . 【答案】/ 【解析】由，得，即， . 故答案为： 【变式12-2】（2024·高一·上海·随堂练习）已知，，则 . 【答案】/ 【解析】因为, 又因为, 所以, 所以. 故答案为：. 【变式12-3】（2024·高一·河南南阳·期中）已知锐角满足，则 ． 【答案】2 【解析】由可得，且为锐角， 解得或（舍去）， 所以， 故答案为：2 【变式12-4】（2024·高一·全国·专题练习）已知角终边上一点则的值为 ． 【答案】 【解析】角终边上一点 则原式 故答案为：. 【变式12-5】（2024·高一·吉林·期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则 ． 【答案】/ 【解析】由题意，角终边经过点，则， 根据三角函数的定义，可得， 则． 故答案为： 【变式12-6】（2024·高一·浙江杭州·阶段练习）已知函数，且，则 ． 【答案】 【解析】因为， 所以，得到， 又得到， 故答案为：. 题型十三：诱导公式在三角函数式化简中的应用 【典例13-1】化简： (1)； (2)． 【解析】（1） ； （2） . 【典例13-2】（2024·高一·全国·课前预习）化简：． 【解析】原式 ． 【方法技巧与总结】 三角函数式化简的常用方法 （1）合理转化：①将角化成，，的形式． ②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角的三角函数． （2）切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数． （3）注意“1”的应用：． （4）用诱导公式进行化简时，若遇到的形式，需对k进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简． 【变式13-1】（2024·高一·上海·随堂练习）化简： (1)； (2)． 【解析】（1）原式 ； （2）当，（）时， 原式； 当，（）时， 原式． 故原式． 【变式13-2】（2024·高一·广西梧州·阶段练习）化简求值： (1)； (2) 【解析】（1）. （2）. 【变式13-3】（2024·高一·河北张家口·开学考试）已知． (1)化简， (2)若，求的值． 【解析】（1）， 即. （2）由题意，且，则. 于是. 【变式13-4】（2024·高一·湖北武汉·期中）已知 (1)化简； (2)已知，求的值. 【解析】（1）依题意得， （2）依题意得，，所以， 于是 题型十四：诱导公式在三角函数证明中的应用 【典例14-1】证明：． 【解析】左边右边， 所以． 【典例14-2】（2024·高一·全国·课后作业）证明:. 【解析】左边= = 右边，故原等式成立. 【方法技巧与总结】 三角恒等式的证明策略 对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法． 【变式14-1】（2024·高一·全国·课后作业）证明： 【解析】证明：原式. 【变式14-2】（2024·高二·河南·阶段练习）已知角的终边在第三象限，，证明：． 【解析】由题可知 ． ． 为第三象限角，为第三或第四象限角． 又，为第四象限角， ． ． ． 所以得证. 【变式14-3】（2024·高一·全国·课后作业）证明 (1) (2) (3) (4) 【解析】（1）证明：左边右边； （2）左边右边； （3）左边右边； （4）左边右边. 题型十五：诱导公式的综合应用 【典例15-1】（2024·高一·山东淄博·期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点. (1)求； (2)求的值. 【解析】（1）因为角的终边经过点，由三角函数的定义知 ， ， （2）由诱导公式，得 . 【典例15-2】（2024·高三·四川德阳·阶段练习）已知角满足______.请从下列三个条件中任选一个作答.（注：如果多个条件分别作答，按第一个解答计分）. 条件①：角的终边与单位圆的交点为； 条件②：角满足，且角为第四象限角； 条件③：角满足且. (1)求的值； (2)求的值. 【解析】（1）若选条件①，则， 所以 ； 若选条件②，则由角满足，且角为第四象限角，得 ，， 所以 ； 若选条件③，则由，得， 化简得，得， 因为，所以， 所以，， 所以 ； （2）若选条件①，由（1）知， 所以 ； 若选条件②，由（1）知， 所以 ； 若选条件③，由（1）知， 所以 . 【方法技巧与总结】 解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用时导致的混乱． 【变式15-1】（2024·高一·陕西渭南·期中）已知是第三象限角，且. (1)求的值； (2)求的值. 【解析】（1）因为是第三象限角，且， 所以，所以 （2） 【变式15-2】（2024·高一·江西萍乡·期中）在①，②两个条件中任选一个补充到下面的问题中，并解答. 已知角，且________. (1)求的值； (2)求的值. 【解析】（1）若选①，因为，所以， 则，解得：或， 因为角，所以； 若选②，因为，角， 所以， 所以； （2）由（1）可知，， 所以 【变式15-3】（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）计算求值. (1) (2)若，且，求下列式子. （i） （ii）. 【解析】（1）由于， 所以. （2）（i）由，，得，， 所以. （ii）. 【变式15-4】（2024·高一·上海·课后作业）已知角的终边经过点. (1)求的值； (2)求的值. 【解析】（1）依题意，，则，，， 所以原式. （2）由（1）知，， 所以原式. 【变式15-5】（2024·高一·上海·随堂练习）是否存在角和，当，时，等式，同时成立？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由. 【解析】存在，使等式同时成立. 由， 得两式平方后相加得，， 又因为，得到，即. 因为，所以或. 将代入，得， 由于，所以. 将代入，得， 由于，这样的角不存在. 综上可知，存在，使等式同时成立. 题型十六：利用互余互补关系求值 【典例16-1】（2024·高一·重庆铜梁·阶段练习）已知，且，则 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 因为，所以， . 故答案为： 【典例16-2】（2024·高一·江苏·开学考试）已知，则的值是 ． 【答案】 【解析】令，则，， 则． 故答案为： 【方法技巧与总结】 巧用相关角的关系会简化解题过程．观察所求角与已知角是否具有互余、互补等特殊关系．在转化过程中可以由已知到未知，也可以由未知索已知．常见的互余关系有，；，；，等．常见的互补关系有，；，等． 【变式16-1】（2024·高一·山东·阶段练习）已知，则的值为 . 【答案】 【解析】. 故答案为： 【变式16-2】（2024·高一·全国·课前预习）已知，且，则 ． 【答案】/ 【解析】. ，， ，则， ． 故答案为：. 【变式16-3】（2024·高一·全国·课后作业）已知，则 ． 【答案】 【解析】因， 故. 故答案为：. 【变式16-4】（2024·高一·全国·课后作业）已知，则 ， ． 【答案】 【解析】由题意，因为， 所以， . 故答案为：①，②. 【变式16-5】（2024·高一·广西梧州·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【解析】因为， 所以， ， 所以. 故答案为：. 【变式16-6】（2024·高一·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知，则 . 【答案】 【解析】因为， 所以. 故答案为：. 1．（北京市朝阳区2023-2024学年高三期中检测数学试卷）已知均为第二象限角，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由题意， 若，因为均为第二象限角，所以， 所以，即， 所以，且均为第二象限角， 所以，所以，即充分性成立. 若，因为均为第二象限角， 所以，即， 所以，即， 因为均为第二象限角，所以， 所以，故必要性成立, 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 2．（2024·高一·北京·阶段练习）已知角，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以， 因为，所以， 所以，解得或， 因为，可得，， 所以得，可得，可得， 所以． 故选：A． 3．（2024·高一·江苏徐州·期中）在△ABC中，设甲：，乙：，则以下判断正确的是（    ）． A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【解析】当时，取，满足要求， 但，则甲不是乙的必要条件； 当即时，，则， 所以，则甲是乙的充分条件； 综上，甲是乙的充分条件但不是必要条件. 故选：A. 4．（2024·高一·北京延庆·期末）若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为所以 又因为，所以, 因为，所以，所以. 故选：C. 5．（2024·高一·江西新余·阶段练习）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以. 故选：B. 6．（2024·高一·辽宁葫芦岛·期末）已知角的始边与轴非负半轴重合，是角终边上一点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 . 根据三角函数定义. ． 故选：D. 7．（2024·高一·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，分别是单位圆上的四段弧（不含与坐标轴的交点），点在其中一段上，角以为始边，为终边，若，则所在的圆弧是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，设点的坐标为， 所以由三角函数的定义可得， 因为，即， 对于A，在第一象限，且，不满足题意，故A错误； 对于B、C，、在第三象限，且，则，不满足题意，故B、C错误； 对于D，在第四象限，且，则，所以，满足题意，故D正确. 故选：D. 8．（2024·高一·辽宁沈阳·期末）已知为角终边上一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为为角终边上一点，所以， 所以. 故选：B. 9．（多选题）（2024·高一·福建福州·阶段练习）在平面直角坐标系中，角α的始边为x的正半轴，终边经过点，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D．存在角 ，其终边与角终边重合 【答案】BCD 【解析】因为角终边经过点， 则, 对于 ：，故A错误； 对于：，故B正确； 对于：，故C 正确； 对于：因为，故，而, 故存在其终边与终边重合，故D正确. 故选：BCD. 10．（多选题）（2024·高一·河南南阳·期中）的值可能为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】BD 【解析】因为， 所以且， 若在第一象限，则，故原式， 若在第二象限，则，原式， 若在第三象限，则，原式， 若在第四象限，则，原式 故选：BD 11．（多选题）（2024·高一·四川内江·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】， ， ，故A正确B错误； 由，所以，， 又， 所以，故C错误D正确. 故选：AD 12．（2024·高一·全国·课后作业）已知角的终边经过点，且，则实数 ． 【答案】 【解析】由题设，可知，且，即， ，则， 解得（舍）或，综上，． 故答案为： 13．（2024·高一·上海·课后作业）若，则 . 【答案】1 【解析】因为,且， 所以， 所以. 故答案为：. 14．（2024·高一·上海·课后作业）已知，，则实数k的值为 . 【答案】0或1 【解析】由于，．根据题意得到： ，即，解得. 满足,则k的值为0或1. 故答案为：0或1. 15．（2024·高一·上海浦东新·期中）若点，将绕坐标原点逆时针旋转至.则点的坐标是 . 【答案】 【解析】设点所在角的终边为，所以点所在角的终边为， 易知， 可得， 所以点的坐标为，即. 故答案为： 16．（2024·高一·浙江湖州·阶段练习）已知，求： (1)； (2)的值. 【解析】（1）因为，， 所以， （2）由题意得， ， 将代入其中，得到，故原式值为. 17．（2024·高一·浙江湖州·阶段练习）（1）化简：； （2）已知，求的值. 【解析】（1）原式， ， （2）因为， 所以， 故，解得， 所以， 因为，所以， 故，解得（正根舍去）， 所以的值为. 18．（2024·高一·上海·假期作业）已知是三角形的内角，是方程的两根. (1)求角； (2)若，求. 【解析】（1）因为是方程的两根， 所以， 又， 则，解得（舍去）或， 所以或， 将或代入中易知当时不成立， 故； （2），即， 则，则，解得或， 因为，所以， 故. 19．（2024·高一·上海·课堂例题）已知及是关于x的方程的两个实根，求实数k． 【解析】由题意知，解得或. 因为，，即， 解得（不符合题意，舍掉）或，即. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$