14.1.4整式的乘法【9大题型】-2024-2025学年八年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

14.1.4整式的乘法 【考点梳理】 · 考点一：单项式乘单项式 · 考点二：单项式乘多项式 · 考点三：多项式乘多项式 · 考点四：利用单（多）项数求字母或者代数式的值 · 考点五：多项式乘法中的不含某项问题 · 考点六：多项式乘法化简求值问题 · 考点七：多项式乘法中面积问题 · 考点八：多项式乘法中规律问题 · 考点九：整式乘法混合运算问题 【知识梳理】 知识点一：单项式的乘法法则： 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。 技巧： ①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。 ②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。 ③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。 ⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。 知识点点二、单项式乘以多项式 根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加， 即 (都是单项式) 注意： ①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。 ②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。 ③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。 知识点点三、多项式与多项式相乘的法则； 多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。 【题型探究】 题型一：单项式乘单项式 1．（2024·陕西商洛·模拟预测）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）计算：（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级下·陕西咸阳·期中）计算：（    ） A． B． C． D． 题型二：单项式乘多项式 4．（24-25八年级上·河南南阳）下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·吉林长春）某同学在计算乘一个多项式时错将乘法做成了加法，得到的答案是，由此可以推断出正确的计算结果是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·江西赣州·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 题型三：多项式乘多项式 7．（2024·陕西西安·模拟预测）计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·云南红河·期末）若，则b等于（    ） A．5 B． C．2 D． 9．（23-24七年级下·浙江温州·期中）小黄同学计算一道整式乘法∶，由于他抄错了前面的符号，把“”写成“”，得到的结果为．则的值为（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 题型四：利用单（多）项数求字母或者代数式的值 10．（2024·陕西榆林·三模）已知单项式与的积为，则，的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 11．（22-23八年级上·河北邯郸·期中）若计算 的结果中不含有项，则 a 的值为（     ） A． B．0 C．2 D． 12．（2024·山东临沂·模拟预测）已知，那么的值为（ ） A． B． C． D． 题型五：多项式乘法中的不含某项问题 13．（2024八年级上·全国）已知多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，则a的值为（ ） A．0 B． C．2 D．3 14．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）如果代数式的展开式不含项，那么m的值为（   ） A．2 B． C． D． 15．（23-24七年级下·安徽滁州·期末）若展开后不含x的一次项．则p与q的关系是（    ） A． B． C． D． 题型六：多项式乘法化简求值问题 16．（23-24八年级上·福建泉州·期中）若且，则代数式的值等于（   ） A．5 B． C．3 D． 17．（24-25八年级上·湖南·阶段练习）已知，，则代数式的值是 ． 18．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知，则的值为 ． 题型七：多项式乘法中面积问题 19．（24-25八年级上·河南驻马店）如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式： ①；②；③；④，你认为其中正确的有（    ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 20．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）在一家创意家居装饰店中，老板接到了一位客户的订单，要求用店内如图所示的三种卡片来装饰一面墙壁，拼成一个长为，宽为的长方形图案．为了完成这个装饰任务，老板需要型卡片、型卡片和型卡片的张数分别是（    ） A．3，5，2 B．2，3，5 C．2，5，3 D．3，2，5 21．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）在下列式子中，能反映如图所示的拼图过程的是(    ) A． B． C． D． 题型八：多项式乘法中规律问题 22．（24-25八年级上·云南昆明·期中）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下．后人也将右表称为“杨辉三角”则展开式中所有项的系数和是（   ） A．128 B．256 C．512 D．1024 23．（24-25八年级上·湖南·阶段练习）请你计算：猜想的结果是（   ） A． B． C． D． 24．（24-25八年级上·全国·单元测试）观察：，，．据此规律，当时，代数式的结果是（    ） A．1或 B．0 C．2023 D．0或 题型九：整式乘法混合运算问题 25．（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 26．（23-24七年级下·山东菏泽·期中） （1）先化简，再求值． ，其中． （2）已知的展开式中不含项，常数项是6． 若，，求的值． 27．（2023八年级上·全国·专题练习）如图所示，某地区有一块长为米，宽为米的长方形地块，角上有四个 边长均为米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化．    (1)用含a，b的代数式表示绿化的面积是多少平方米？ (2)若，，求出绿化面积． 【高分达标】 一、单选题 28．（24-25八年级上·山西）小夏今天在课堂练习中做了以下5道题，其中做对的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 29．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，现有三种不同尺寸的卡片，分别是正方形卡片A、正方形卡片B和长方形卡片C．若要拼成一个长为、宽为的大长方形，则需要卡片C的张数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 30．（24-25八年级上·山西·阶段练习）某地计划扩建一块边长为x米的正方形林地，将一边增加了7米、另一边增加了4米，那么扩建后这块林地的面积比原来增加了（   ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 31．（24-25八年级上·河南周口）若m、n为整数，且，则a的值不可能是（    ） A．10 B．11 C．12 D．14 32．（23-24七年级下·浙江杭州）已知多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，则a的值为（ ） A．0 B． C．2 D．3 33．（24-25八年级上·湖南衡阳）若长方形面积是，一边长为，则这个长方形的宽是（   ） A． B． C． D． 34．（24-25八年级上·山东滨州）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”． …… …… ……1 …… …… …1   1 …… …… 1   2  1 …… … 1  3   3  1 ………1  4  6  4  1 … 1  5  10  10  5  1 … 根据“杨辉三角”请计算的展开式中从左起第四项的系数为（） A．84 B．56 C．35 D．28 35．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）已知，，则的值为（   ） A．13 B．3 C． D． 36．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）加上一个多项式时错将加法做成了乘法，得到的答案是，由此可以推断出正确的计算结果是（    ） A． B． C． D． 37．（23-24七年级下·全国·期中）已知多项式与 的乘积中的项系数与的项系数之和为，则常数的值为 （    ） A． B． C． D． 二、填空题 38．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）计算的结果是 ． 39．（24-25八年级下·湖南岳阳）若且，则代数式 ． 40．（2024八年级上·全国·专题练习）若不论为何值时，等式恒成立，则 ， ． 41．（24-25八年级上·全国·阶段练习）已知，，则 ． 42．（24-25八年级上·吉林长春·期中）观察下图两个多项式相乘的运算过程，若，根据你发现的规律，则a，b的值可能分别是 ．    三、解答题 43．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）先化简后求值： (1)，其中 (2)，其中 44．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）在计算时，甲错把看成了，得到结果是：；乙由于漏抄了第一个多项式中的系数，得到结果：． (1)求出，的值； (2)在（1）的条件下，计算的结果． 45．（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）（1）先化简，再求值： ，其中 （2）先化简，再求值： ，其中，． 46．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子．如图，是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个一组邻边长分别为，的长方形，若用不同的方法计算这个长方形面积，你能发现什么结论？ (1)用等式表示出来为______； (2)已知，求的值； (3)已知，，为正整数，求的值． 47．（24-25八年级上·江苏南通·期中）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐（或留出空白），再类似于数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例如：计算，可用如图的竖式进行计算．因此商式是，余式是1． (1)计算，商式是________，余式是________； (2)计算，结果为________； (3)已知M是一个整式，m是常数，，，求m的值． 48．（24-25八年级上·四川内江）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例、如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律、例如，在三角形中第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数． (1)根据上面的规律不难发现，的展开式共有____________项，请写出它的展开式； (2)的展开式共有__________项，系数和为___________； (3)利用上面的规律计算：； (4)运用：若今天是星期二，经过天后是星期___________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 14.1.4整式的乘法 【考点梳理】 · 考点一：单项式乘单项式 · 考点二：单项式乘多项式 · 考点三：多项式乘多项式 · 考点四：利用单（多）项数求字母或者代数式的值 · 考点五：多项式乘法中的不含某项问题 · 考点六：多项式乘法化简求值问题 · 考点七：多项式乘法中面积问题 · 考点八：多项式乘法中规律问题 · 考点九：整式乘法混合运算问题 【知识梳理】 知识点一：单项式的乘法法则： 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。 技巧： ①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。 ②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。 ③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。 ⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。 知识点点二、单项式乘以多项式 根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加， 即(都是单项式) 注意： ①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。 ②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。 ③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。 知识点点三、多项式与多项式相乘的法则； 多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。 【题型探究】 题型一：单项式乘单项式 1．（2024·陕西商洛·模拟预测）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了单项式乘以单项式，先由积的乘方进行计算，再进行单项式乘以单项式即可. 【详解】解： 故选：C 2．（2024·陕西西安·模拟预测）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据积的乘方、幂的乘方及单项式乘以单项式可进行求解． 【详解】解： 故选：A． 3．（23-24九年级下·陕西咸阳·期中）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了积的乘方，以及单项式乘以单项式，正确的计算是解题的关键．根据相关运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：， 故选：A． 题型二：单项式乘多项式 4．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，根据单项式乘以多项式的运算法则分别计算即可判断求解，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项正确，不合题意； 、，该选项错误，符合题意； 、，该选项正确，不合题意； 、，该选项正确，不合题意； 故选：． 5．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）某同学在计算乘一个多项式时错将乘法做成了加法，得到的答案是，由此可以推断出正确的计算结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的混合运算，单项式乘多项式，先根据题意算出这个多项式，再与相加即乘即可，熟练掌握整式的混合运算的运算法则是解答本题的关键． 【详解】解：由题意知， 这个多项式为：， ∴正确的计算结果为： ， 故选：A． 6．（23-24八年级上·江西赣州·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式运算，根据单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式、多项式除单项式计算即可． 【详解】解：A、，故该选项错误，不符合题意； B、，故该选项错误，不符合题意； C、，故该选项正确，符合题意； D、，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 题型三：多项式乘多项式 7．（2024·陕西西安·模拟预测）计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式．根据多项式乘多项式的运算法则即可求解． 【详解】解：， 故选：C． 8．（23-24八年级上·云南红河·期末）若，则b等于（    ） A．5 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】把变成，再根据即可求解． 本题考查了多项式乘以多项式，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴或， 解得：， 故选：B． 9．（23-24七年级下·浙江温州·期中）小黄同学计算一道整式乘法∶，由于他抄错了前面的符号，把“”写成“”，得到的结果为．则的值为（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘多项式，由题意得出，再根据多项式乘多项式的运算法则计算等式的左边，即可求出a、b的值． 【详解】解：由题意得，， ， ，， ， ， 故选：B． 题型四：利用单（多）项数求字母或者代数式的值 10．（2024·陕西榆林·三模）已知单项式与的积为，则，的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】此题考查了单项式的乘法运算，按照单项式乘单项式计算单项与的积，再根据单项式与的积为，即可求得答案． 【详解】解：∵，单项式与的积为， ∴，， 故选：A． 11．（22-23八年级上·河北邯郸·期中）若计算 的结果中不含有项，则 a 的值为（     ） A． B．0 C．2 D． 【答案】A 【分析】利用单项式乘多项式的法则进行求解，再结合不含项，则其项的系数为0，从而求解． 【详解】解： ， 结果中不含有项， ， 解得 ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了单项式乘多项式，合并同类项，解题的关机是熟练掌握相应的运算法则． 12．（2024·山东临沂·模拟预测）已知，那么的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值，掌握将未知数进行降幂是解题的关键．先将降次，然后代入代数式即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 故选D． 题型五：多项式乘法中的不含某项问题 13．（2024八年级上·全国）已知多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，则a的值为（ ） A．0 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了整式的有关计算．熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键．先根据多项式乘多项式法则计算多项式与的乘积，然后根据乘积展开式不含x的一次项，列出关于的方程，解方程即可． 【详解】解： 乘积展开式中不含x的一次项， ， ． 故选：C． 14．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）如果代数式的展开式不含项，那么m的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式不含某项的问题，按照多项式乘以多项式的运算法则，将括号打开，根据展开式不含项，将所有含项的系数相加得0即可． 【详解】解： ， ∵展开式不含项， ∴，解得：， 故选：A． 15．（23-24七年级下·安徽滁州·期末）若展开后不含x的一次项．则p与q的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是多项式的乘法中不含某项的含义，熟练的进行多项式的乘法运算是解本题的关键． 先计算多项式乘以多项式可得结果为，再根据结果不含的一次项，从而可得答案． 【详解】解： ， ∵展开后不含的一次项， ， 故选：C． 题型六：多项式乘法化简求值问题 16．（23-24八年级上·福建泉州·期中）若且，则代数式的值等于（   ） A．5 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的混合运算及求值，利用整体思想代入求值即可． 【详解】∵且， ∴，、 故选：A． 17．（24-25八年级上·湖南·阶段练习）已知，，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的化简求值，根据多项式乘以多项式的计算法则求出，再利用整体代入法代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 18．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查整式的化简求值，把要求的式子展开化简后，利用整体思想求值即可． 【详解】∵， ∴． 故答案为：5． 题型七：多项式乘法中面积问题 19．（24-25八年级上·河南驻马店）如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式： ①；②；③；④，你认为其中正确的有（    ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘多项式与几何图形．利用长方形的面积公式得到最大长方形面积为，也可以把最大长方形分割若干个小长方形，再求各小长方形的面积的和即可． 【详解】解：最大长方形的面积为，也可以表示为或或， 故选：D． 20．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）在一家创意家居装饰店中，老板接到了一位客户的订单，要求用店内如图所示的三种卡片来装饰一面墙壁，拼成一个长为，宽为的长方形图案．为了完成这个装饰任务，老板需要型卡片、型卡片和型卡片的张数分别是（    ） A．3，5，2 B．2，3，5 C．2，5，3 D．3，2，5 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式的乘法的应用，熟练掌握多项式乘以多项式法则是解题关键．根据长方形的面积公式可知该墙壁面积，即可得出答案． 【详解】解：∵ 长方形的长为，宽为， ∴长方形的面积， ∴需要型卡片、型卡片和型卡片的张数分别3、2、5张． 故选：D． 21．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）在下列式子中，能反映如图所示的拼图过程的是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】】本题考查了整式的有关运算，先计算出左边四个拼图的面积和，再计算拼成的图形的面积，从而得到答案即可 【详解】解：观察图形可知：左边四个拼图的面积和为：， 右边拼成的图形的是长为，宽为，拼成的图形的面积为， ， 反映如图所示的拼图过程的是：， ∴A，C，D选项均不符合题意，B选项符合题意， 故选：B． 题型八：多项式乘法中规律问题 22．（24-25八年级上·云南昆明·期中）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下．后人也将右表称为“杨辉三角”则展开式中所有项的系数和是（   ） A．128 B．256 C．512 D．1024 【答案】C 【分析】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，通过观察展开式中所有项的系数和，得到规律是解题的关键．根据“杨辉三角”展开式中所有项的系数和规律确定出（n为非负整数）展开式的项系数和为，求出系数之和即可． 【详解】解：当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为 ， 由此可知展开式的各项系数之和为， 则展开式中所有项的系数和是， 故选：C． 23．（24-25八年级上·湖南·阶段练习）请你计算：猜想的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的乘法运算中的规律问题，先分别计算和，再根据计算结果总结规律即可求解，掌握多项式的乘法运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ， 猜想：， 故选：． 24．（24-25八年级上·全国·单元测试）观察：，，．据此规律，当时，代数式的结果是（    ） A．1或 B．0 C．2023 D．0或 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，根据规律得到，进而得到，，再分别代入即可求解． 【详解】解：根据规律得， ∵， ∴， ∴， 当时， 当时，． 故选：B． 题型九：整式乘法混合运算问题 25．（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)(2)0(3)(4) 【分析】本题考查了幂的混合运算，平方差公式，完全平方公式，多项式乘以多项式，单项式乘以多项式等，熟知运算法则并准确进行运算是解题关键． （1）根据同底数幂的乘法运算法则计算即可； （2）根据同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方计算即可； （3）根据多项式乘以多项式，单项式乘以多项式分别计算即可； （4）根据平方差公式，完全平方公式分别计算即可； 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式； （3）解：原式． （4）解：原式． 26．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）（1）先化简，再求值． ，其中． （2）已知的展开式中不含项，常数项是6． 若，，求的值． 【答案】（1），4；（2）3 【分析】此题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）先直接利用多项式乘多项式计算，再合并同类项，然后求出，代入即可解答； （2）直接利用多项式乘多项式将原式变形，进而得出，的值；再计算得，然后将m与n的值代入原式即可求出答案． 【详解】解：（1） ， 因为 ， 所以，原式． （2） ， 由于展开式中不含项，常数项是， 则且， 解得：，； ， ，， 原式 27．（2023八年级上·全国·专题练习）如图所示，某地区有一块长为米，宽为米的长方形地块，角上有四个 边长均为米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化．    (1)用含a，b的代数式表示绿化的面积是多少平方米？ (2)若，，求出绿化面积． 【答案】(1)平方米 (2)1700平方米 【分析】此题考查整式的混合运算， （1）根据矩形和正方形的面积公式列式计算即可得到结论； （2）把，代入（1）的结果计算即可得到结论． 熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）绿化的面积是： （平方米）， 答：绿化的面积是平方米； （2）当，时， 原式 （平方米）， 答：绿化面积为1700平方米． 【高分达标】 一、单选题 28．（24-25八年级上·山西）小夏今天在课堂练习中做了以下5道题，其中做对的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的计算，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：，故①计算正确； ，故②计算错误； ，故③计算正确； ，故④计算错误； ，故⑤计算正确； ∴计算正确的有3个， 故选：D． 29．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，现有三种不同尺寸的卡片，分别是正方形卡片A、正方形卡片B和长方形卡片C．若要拼成一个长为、宽为的大长方形，则需要卡片C的张数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，掌握相关运算法则是解题关键．根据长方形面积公式列式并展开，即可得到答案． 【详解】解：由图形可知，的面积为，的面积为，的面积为， ， 拼成大长方形需要卡片的张数为2，的张数为2，C的张数为3， 故选：C． 30．（24-25八年级上·山西·阶段练习）某地计划扩建一块边长为x米的正方形林地，将一边增加了7米、另一边增加了4米，那么扩建后这块林地的面积比原来增加了（   ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】B 【分析】本题考查了代数式表示，以及多项式乘多项式与图形面积，解题的关键在于熟练掌握相关知识．根据“增加的面积现在的面积原来的面积”列式并计算，即可解题． 【详解】解：扩建后这块林地的面积比原来增加了：平方米， 故选：B． 31．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）若m、n为整数，且，则a的值不可能是（    ） A．10 B．11 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键；根据多项式乘多项式的运算法则进行计算，然后根据对应项的系数相等求出a的值． 【详解】解：， ， m、n为整数， ， 或或或， a的值不可能是， 故选：． 32．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，则a的值为（ ） A．0 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了整式的有关计算．先根据多项式乘多项式法则计算多项式与的乘积，然后根据乘积展开式不含x的一次项，列出关于的方程，解方程即可． 【详解】解： ∵多项式与的乘积展开式中不含x的一次项， ∴， ∴． 故选：C． 33．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）若长方形面积是，一边长为，则这个长方形的宽是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，根据长方形面积等于长乘以宽可知，只需要用长方形面积除以其一边长即可得到答案． 【详解】解： ， ∴这个长方形的宽是， 故选：D． 34．（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”． …… …… ……1 …… …… …1   1 …… …… 1   2  1 …… … 1  3   3  1 ………1  4  6  4  1 … 1  5  10  10  5  1 … 根据“杨辉三角”请计算的展开式中从左起第四项的系数为（） A．84 B．56 C．35 D．28 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，观察杨辉三角的排列规律，每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，回到1．第一个数字为1，第二个数字与次数相同，第三个数字等于它“肩”上的两个数之和，据此先求出的展开式的第3个数字为，第4个数字为20，进而求出的展开式的第3个数字为，第4个数字为，据此可得答案． 【详解】解：观察杨辉三角的排列规律，每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，回到1．第一个数字为1，第二个数字与次数相同，第三个数字等于它“肩”上的两个数之和， ∴的展开式的第3个数字为，第4个数字为， ∴的展开式的第3个数字为，第4个数字为， ∴的展开式的第4个数字为， 故选：B． 35．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）已知，，则的值为（   ） A．13 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】先根据多项式乘多项式法则展开，再将将，，整体代入求值即可． 本题主要考查了代数式求值，多项式乘多项式，解题的关键是注意整体思想的应用． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故选：B． 36．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）加上一个多项式时错将加法做成了乘法，得到的答案是，由此可以推断出正确的计算结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算的运算法则是解题关键．先根据题意算出这个多项式，再与相加即可． 【详解】解：由题意可知，这个多项式为：， 正确的计算结果是：， 故选：B． 37．（23-24七年级下·全国·期中）已知多项式与 的乘积中的项系数与的项系数之和为，则常数的值为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据多项式乘以多项式的计算法则得，然后根据“乘积中的项系数与的项系数之和为”，据此得到，解此方程即可求出． 【详解】解： ， 乘积中的项系数与的项系数之和为， ， ， 故答案为：A． 二、填空题 38．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了单项式乘单项式．直接利用单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式，进而得出答案． 【详解】解：． 故答案为： 39．（24-25八年级下·湖南岳阳·开学考试）若且，则代数式 ． 【答案】 【分析】此题考查了多项式乘以多项式和代数式的求值，先利用多项式乘以多项式法则展开，再整体代入即可． 【详解】解：∵且， ∴ 故答案为： 40．（2024八年级上·全国·专题练习）若不论为何值时，等式恒成立，则 ， ． 【答案】 1 【分析】本题考查单项式乘以多项式，整式加减运算中的恒等问题，将等式左边的多项式去括号，合并同类项后，根据对应项的系数相同，进行求解即可． 【详解】恒成立， ． 故答案为：1，． 41．（24-25八年级上·全国·阶段练习）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是把已知条件的与看作一个整体，把所求转化成含和的形式，再代入已知条件的数值运算即可． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 42．（24-25八年级上·吉林长春·期中）观察下图两个多项式相乘的运算过程，若，根据你发现的规律，则a，b的值可能分别是 ．    【答案】和 【分析】本题考查多项式乘多项式，理解题例的运算过程并发现规律是解决本题的关键．从题例两个多项式相乘的运算过程中发现规律，利用规律求出、． 【详解】解：根据题意，知：，， ，的值可能分别是，， 故答案为：和 三、解答题 43．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）先化简后求值： (1)，其中 (2)，其中 【答案】(1)，3 (2)， 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算法则，完全平方公式，多项式乘以多项式法则，整式的除法法则是解题的关键． （1）运用乘法公式，整式的混合运算法则进行化简，最后代入求值即可； （2）先运用乘法公式展开，再根据整式的混合运算计算，最后代入求值即可． 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， 当时，原式． 44．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）在计算时，甲错把看成了，得到结果是：；乙由于漏抄了第一个多项式中的系数，得到结果：． (1)求出，的值； (2)在（1）的条件下，计算的结果． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，二元一次方程组，解题的关键是掌握多项式乘多项式的法则． （1）根据题意列出算式，再根据多项式乘多项式的法则计算，得出关于，的方程组即可求解； （2）根据多项式乘多项式的法则计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得： ， ， ， 解得：， ，； （2）由（1）知，，， ． 45．（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）（1）先化简，再求值： ，其中 （2）先化简，再求值： ，其中，． 【答案】（1），；（2），； 【分析】本题考查整式的化简求值： （1）先根据乘法法则计算，再合并同类项化到最简，最后代入求解即可得到答案； （2）先根据乘除法法则计算，再合并同类项化到最简，最后代入求解即可得到答案； 【详解】解：（1）原式 ， 当时， 原式 ； （2）原式 ， 当，时， ∴原式， ． 46．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子．如图，是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个一组邻边长分别为，的长方形，若用不同的方法计算这个长方形面积，你能发现什么结论？ (1)用等式表示出来为______； (2)已知，求的值； (3)已知，，为正整数，求的值． 【答案】(1) (2)的值为； (3)的值为10或8． 【分析】本题考查了多项式的乘法与几何图形，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一图形的面积． （1）此题根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种可以是1个正方形的面积和3个矩形的面积，一种是大正方形的面积，可得等式； （2）由（1）的结论结合已知得到，则，，进一步计算即可求解； （3）将已知等式得到，，根据，为正整数，进一步计算即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，这个等式可以为， 故答案为：； （2）解：由（1）的结论得， ∵， ∴， 即，， ∴，， ∴的值为； （3）解：由题意得， ∴，， ∵，为正整数， ∴，分别为2，8或4，4， ∴或， 综上，的值为10或8． 47．（24-25八年级上·江苏南通·期中）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐（或留出空白），再类似于数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例如：计算，可用如图的竖式进行计算．因此商式是，余式是1． (1)计算，商式是________，余式是________； (2)计算，结果为________； (3)已知M是一个整式，m是常数，，，求m的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了多项式除以多项式： （1）仿照题意利用短除法求解即可； （2）仿照题意利用短除法求解即可； （3）根据题意可得的余数为0，则有，据此可得答案． 【详解】（1）解： ∴商式是，余式是， 故答案为：；； （2）解： ∴； （3）解：∵M是一个整式，m是常数，，， ∴的余数为0， ∴ ∴， ∴． 48．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例、如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律、例如，在三角形中第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数． (1)根据上面的规律不难发现，的展开式共有____________项，请写出它的展开式； (2)的展开式共有__________项，系数和为___________； (3)利用上面的规律计算：； (4)运用：若今天是星期二，经过天后是星期___________． 【答案】(1)6项，； (2)共有（）项，系数和为； (3)1； (4)三． 【分析】本题考查了整式乘法运算，多项式乘多项式规律探究，学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，找出本题的数字规律是正确解题的关键． （1）观察规律可知，的展开式共有6项，三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是数字1组成，而其余数则是等于它其上方左右两数之和，即可解答； （2）的展开式共有项，写出前几项系数，得出一般规律即可； （3）利用规律，根据有理数混合运算的法则计算即可； （4）根据规律展开后看最后一项即可． 【详解】（1）解：根据上面规律，的展开式共有6项， 则； （2）解：的展开式共有项， 系数和为， 系数和为， 系数和为， 故系数和为； （3）解：根据规律可知： ； （4）解：的最后一项是1， 则的余数是1， 若今天是星期二，经过天后是星期三． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$