安徽省临泉田家炳实验中学2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题

绝密★启用前 高三数学 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1,答题前，考生光将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 印 2,迭择题必须使用2B船港填涂；非选择题必须使用Q,5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，笔迹湾晰。 润 3.请按照熙号顺序在答恶卡各题目的答题区域内作答，超出答题区或书写的答案无效：在草稿纸、 试卷上答题无效。 4,作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔黑。 5,保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、格正带、刮纸刀， 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题給出的四个迭项中，只有一项是符合题 扣 目要求的。 1.已知集合M={xx一I<2},N={xx2-x-2<0},则M∩N= Ax一1<x<5) B{x|1≤x<5】 非封 C.{z|-1x2} D.{x|1x<29 2.若复数g满足x(1十2i)=3+i,则z一 A 1+i B.1-i C.2+i D.2-i 长 3.已知曲线f(x)=c一1-(x十1)，(x>一1)在点(0，f(0)处的切绕与直线x+2y+5=0每 直，则a的值为 9 A1 B.-1 K C,3 D.-3 4.已知a∈(5，W2cos2a=in(a-日），则sin2a 瑞 A R是 c- 系 和 5.已知函数f(x) 在(，+∞》上单调递减，则a的取值范围为 2a r+,0x<1 翩 Ao, ao引 c n2l 6.在锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,∠A=牙，0为其外心.若△ABC外接圆半 蓉 径为R,且.店+·C-录·m动，则m的值为 A.1 B./3 C.2 D 图 【高三数学第1页（共4页） 7.在四楼锥P一ABCD中，底面ABCD为正方形，AB=4,PA=3,平面PAD⊥平面ABCD,则下 列说法错误的是 A∠PAB=90 B当平面PCD⊥平面PAB时，PD=5 C.M,N分别为AD,PC的中点，则MN庐平面PAB D.四棱锥P一ABCD外接球半径的最小值为2，② 8.函数于1x)=工一上红≠0)的图象犹如两条逸的绸带而被称为累带函数，也是两条优美的双曲 线在数列c.巾，c1=1,=mmCN,m≥2)，记数列c.}的前n项积为T.数列(T.的的 n项和为S.,则 A哥<S,<2B1s.5号 cg<s.<号 D.iss.<2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多预符合题目要求 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知a>0,b>0,且a+b=4,则 A日+8≥1 B.√a+6≥2w2 C.a+2b≥8 D.(a+)6+）≥8 10.已知函数f(x)=x(e-÷F),V日∈R,f(3t+tco8-2一sin8)≤f(2+sinb)恒成立，则 A.f(x)是偶函效 B.f(x)在(0，十c∞)上单调递增 C.:可以取与 n当：-号时，fg+o9-2s血的取位花图是e-,2e-】 1,如图，三棱分ABC-A1B1C,中，M是AC上一点，AM=MC,CC⊥平面ABC,∠ABC= 90°，AB=BC=CC:=2A1B1=2,则 A过点M有四条直线与AB,BC所成角均为骨 B.BB:⊥平面ABC C.楼A1C:上存在点Q,使平面AB:Q∥平面BMC, D.若点P在测面ABB,A1上运动，且CP与平面ABB,A, 所成角的正切值为4，对BP长度的最小值为号 【高三数学第2页（共4页）】 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向垂a=(x-1,1),b=(2,3),若b⊥(a十b),则x= 13.[x表示不超过x的最大整数，比如[2.6]=2，[=3，….已知等差数列{an}的通项公式am= 2n+1,其前#项和为S:则使[S门十S]+…十[wS≤2025成立的最大整数 为 14.某同学在同一坐标系中分别回出曲线C:y=six,曲线D:y-2cosx,曲线E:y=一2cosx,作 出直线x=a(e∈(o,》x=99e(5,》直线x=a交曲线C,D于M,N两点，且M在N 的上方，测得|MN=直线x=月交曲线C,E于P,Q两点，且P在Q上方，测得PQ1= 31 则cos(a十3)= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 记△ADC内角A,B,C的对边分别为a,,已知sim2A=c0s2B,且A>B≥于 (1)求A-B的值； (2》若a一v2b=2,求△ABC的面积. 4 16.(15分) 已知函数f(x)= +3(x<0且x≠-3》， x十 fx-3),(x>0》. (1)求函数f(x)在区间(0,3)上的解析式： (2)已知点A(2,一1)，点M是函数f(x)在区间(0,3)上的图象上的点，求|MA|的最小值. 【高三数学第3页（共4贡）】 17.(15分) 如图，三棱饿P-ABC中，PA⊥底面ABC,且AC⊥BC,PA=AC=BC=3,D为PC的中 点，G在线段PB上，且DG= 2 (1)证明：AD⊥PB; (2)若BG的中点为H,求平面ADG与平面ADH夹角的余弦值 脚 18.(17分) 性 已知函数fz)=at-lnx-1有两个零点xd:(红，<x:),函数g(x)=lnc十z中市一2 (1)解不等式g(x)>0: 擗 (2)求实数a的取值范围； (3)证明：x1+x2> 2-Ing 团 a 19.(17分) 定义数列a,)为“阶梯数列”：Q:一a:= a3=- 相 1+ 鸣 (1)求“阶梯数列”中，am+1与an的递捐关系； (2)证明：对点∈N,数列{a-:}为避诚数列； 3证明：la-a≤分·（借》 【高三数学第4页（共4页）】 高三数学参芳答案 1.【答案】D 【解析】M={x|1≤x<5},N={x|-1<<2),故M∩N={x1≤x<2. 2.【答案】A 【解析 3+i(3+0(1-22=1-i,故=1+i 1x=1+21 5 3.【答案】C 【解析】f(.x)=e-1一ln(x+l),f'(x)=aer x+1 则f'(0)=a一1，曲线f(x)在点(0，f(0)处的切线与直线x十2y+5=0垂直， 所以a一1=2，解得a=3. 4.【答案】C 【解析】因为2coc2a=sin(a-至)，所以w2(cosa一sina)- 2 (sina—cosa), 所以(cosa-sina)(cosa十sina 2)=0. 又a∈(5，x,则sina>0,cosa<0,即cosa-sia<0. 所以cosa十sina= 2因为a∈（分.所以2ae(x,2m.sn2a<0 由(cox十sina)2=子，可得1十sin2a=子，即sin2a= 子符合题致。 5.【答案】D 【解析】f(.x)在(0，十∞)上单调递减， 0a<1, f0<a<1, 所以 √2a≥1， 即a≥ 1+2a≥log.(2×1-1)十 1 2 4 6.【答案】B 【解析】 B.A店.Ad+CC.A0 2R·mA2, b ∴.c cosB+b cosC=mR,∴.sinA= 2m,.m=2sin60°=√3. 7.【答案】B 【解析】平面PAD⊥平面ABCD与AB⊥AD可得AB⊥平面PAD→AB⊥AP, 可得∠PAB=90°，故A正确； 高三数学参考答案第1页（共8页） 若平面PCD⊥平面PAB,则两平面所成二面角为90°， 设两平面交线为l,ABCD→AB平面PCD→AB∥， 而AB⊥平面PAD,故l⊥平面PAD,所以∠APD=90°， 在Rt△PAD中，PA=3,AD=4,所以PD=√7，故B错误； 取BC中点为Q,则MQ∥AB可得MQ平面PAB, VQPB,所以NQ平面PAB,所以平面MNQ平面PAB, 因MNC平面MNQ,所以MN平面PAB,故C正确； 设四棱锥P一ABCD外接球的球心为O,O在平面PAD、平面ABCD的射影分别为O1、O2, 易知四边形OO1MO2为矩形，OA为外接球半径，OA2=OM+AM≥O2M2+AM=8, 所以OA≥2√2，仅当O1、M重合时取等，此时∠APD=90°，PD=√7，故D正确. 0 8.【答案】A 12 【解析】 2 c.=n-10m+1D0m-dn≥2)， 3 T=c1·c2·…c.=1X3X7X2X…X”1 2 …XnX(0m-2)×(m+1DX(m-1D n 2n 1 1 L8X4X5XX6D GED2D1 11 2 S.=刀+T+…+T=202+号3+…+ ！(+1))=2-(m+1DT :m≥2, 5<S.<2. 9.【答案】AD 【解析】 (日+》a+b)-2+会+名≥4+方1放A正确： (√a+√b)2=a+b十2ab≤2(a+b)=8→√a+√b≤2√2，故B错误： 因a>0,b>0,且a+b=4,a2+2b=a2+2(4-a)=(a-1)2+7≥7，故C错误； ≤ey=4.a+2)6+2）=h++4. 令f(x)=x++4x∈0，国)，f(x)=1-手x=2时，fx)取得最小值8， 所以(a+)(b+名）≥8，故D正确。 高三数学参考答案第2页（共8页） 10.【答案】AB 【解析】f(一x)=-x(ez-e)=x(e一ex)=f(x)可知f(x)为偶函数，故A正确： 仅对0<有(e-e)-(e-e)=(e-e)1+。0, .0<e1-e1<e-e,故x1(e1-e4)<x2(e-er), ∴f(x)在(0，十∞)上单调递增，故B正确； 故f(3t+tcos0-2-sin0)≤f(2+sin0)台|3t+tcos0-2-sind≤|2+sin0l 台-(2+sin0)≤t(3+cos0)-2-sin0≤2+sin0=0≤t≤ 2×(2+sin0) 3+cos0 令y= 2X(2+sinm9）,化为2sin0-ycos0=3y-4,W4+ysin(8+4)=3y-4, 3+c0s0 故13y-4A了，解得32)<32故03放C正衡 1=2时3+1co92i0=32-7+1sn(0+9)=5,2233 4 4sin(0+p)∈ 2- 由图可知f(3+1co9-2-sin0∈0.2(e-),故D错误。 =九x) 32一2 11.【答案】ACD 【解析】因为过点M作直线与AB,BC所成角取值范围是[匠，引，故A正确： 由CC1⊥平面ABC,所以CC1⊥AB,又BC⊥AB,故AB⊥平面BCC1B1,所以AB⊥BB1, 若BB1⊥平面AB1C,所以BB1⊥AB1与AB⊥BB1矛盾，故B错误； 在AG上取点Q,使AQ-3A,C则QC,-号A,C-AC=AM,连接A0. 故四边形QC1MA为平行四边形，所以AQC1M, 因C1MC平面CBM,所以AQ平面C1BM, 因为AB1平面C1BM,所以平面AB1Q平面C1BM,故C正确； 点C到面A1AB距离为h,在三棱锥A1一ABC中， 其体积V-号××2×2X2= 5×2×5, 所以二言即点C到面AB离为 4 高三数学参考答案第3页（共8页） 设C在面AB,A投影为H,从品4，所以PH=言又BH=VBC-CF=号 5 5 BPm=BI-PH=有-故DE晚 12.【答案】-7 【解析】a=(x一1,1)，b=(2,3), a+b=(x+1,4),b⊥(a+b)→2(x+1)+12=0→x=-7. 13.【答案】63 【解析】am=2n十1→Sn=n2+2m, ∴.[Sm]=[n2+2], n2<n2+2m<(n+1)2→n<√n2+2n<n+1,…∴.[/Sn]=[m2+2]=n, 即[S]+S]++[S]=1+2+…+m= (n+1) 2 ≤2025， .∴.n(n+1)≤4050， n=63时，63×64=4032<4050；n=64时，64×65=4160>4050. 故n的最大值为63. 14.【答案】 -2√/451-2 45 【解析】 2 MN1=sime-2coa三3，PQ=simp9+2cos9 则由su-2aow3得，5(sme· 1 -c0sa· 2 1 5 3 1 211 令 =c0s0'5 -syp∈o.》.则sna-g)=有 5cos(a-)= 35 同理5smgp-号9c,》则mg1ei=8叶g)= 2 3√5 cos(a++8)=cos[(a-)+(B+)]=cos(a-o)cos(B+)-sin(a-)sin(B+) 2×4红 1 -2√/451-2 35353535 45 15.【解折】(1)sin2A=c0s2B=sim(2-2B), 故2A=7-2B或2A+7 -2B=π，… …3分 当2A=-2B时，A=下一B<0不合题意. 放2A+受-2B=A-月=西 …6分 (2)a=2b>sinA=2sinB,即sim(B+T）=√2sinB, 高三数学参考答案第4页（共8页） 2cosB=√2sinB→sinB=cosB, 9分 ≤B<B Γ4 故A-C-买， 11分 故sa-方wrC-言×2X2x号 13分 16.【解析】(1)由题可知在(0,3)上，f(x)=f(x一3)， 2分 而x-3<0,所以f(x-3)=x-3+4_x+1 x-3+3x 即在(0,3)上，fx)=x+1 6分 (2)设M(xo,ya), MA=,-2++1D=。-2++1)-(a+)+4。-)+8 =(侵-x)'+4民-)+10=（侵-+2‘+6≥6. 12分 当且仅当1一x十2=0时，取得等号，解得，=2+1∈(0,3)， 故MA的最小值为√6.… 15分 17.【解析】(1)证明：因为PA⊥底面ABC,且BCC底面ABC, 所以PA⊥BC, 因为PA∩AC=A,且PA,ACC平面PAC,AC⊥BC, 所以BC⊥平面PAC,…2分 又因为ADC平面PAC,所以BC⊥AD, 因为PA=AC,且D为PC的中点， 所以AD⊥PC, 又因为PC∩BC=C,且PC,BCC平面PBC, 所以AD⊥平面PBC, 因为PBC平面PBC,所以AD⊥PB; …6分 (2)根据题意可知，以点A为原点，以过点A且平行于BC的直线为x轴，AC,AP所在的直线 分别为y轴和之轴，建立空间直角坐标系，如图所示， PA=AC=BC=3, 33 可得A(0,0,0),B(3,3,0),C(0,3,0),P(0,0,3),D(0,22), 则丽=33，-3》.P币-0，号-， 因为G在线段PB上，设PG=λP=(3x,3x,-3入)， 其中0<入<1， 高三数学参考答案第5页（共8页） 则店=元-币=（以-.-以+子. 西为G套 可得9以2+(8数一多》+（一双+2P=,所以A=号 所以G(1,1,2),H(2,2,1), …9分 可得Ad=0号，号.aG=112d=2,2.1. 设平面ADG的法向量为n=(x,y,之)，则 丽-+8=0 in.AG=x+y+2x=0, 令y=1,可得x=1,之=-1，所以n=(1,1,一1)，…11分 设平面ADH的法向量为m=(x,y,之)， m·Ai=3 3 y+2=0 m·Ai=2x十2y十x=0, 令y=1,可得x=一 2≈=1，听以2三(2,1，—1)， 13分 设平面ADG与平面ADH的夹角为0， 3 n·m 5 可得cos0= n m 33 3X 故平面ADG与平面ADH夹角的余弦值为3 3 ……15分 18.【解析】(1)g'=1 4 (x-1)2 (x十1)2x(x+1)≥0， 故g(x)为(0，十∞)上的增函数， 2分 由题可知g(1)=0, g(x)>0,即g(x)>g(1), g(x)>0的解集为(1，十0∞).…4分 ef=a 当a≤0时，f'(x)<0,f(x)为减函数，不符合题意；…6分 >0时x∈(0，时f'x)<0x∈（合+j时fx)>0. 又x>0时，f(x)→+∞；x→+o∞时，f(x)→+o∞. 8分 .f(x)有两个零点， 故f(月)=1-ln君-1=-h是lm<0: 解得0<1;… …10分 高三数学参考答案第6页（共8页） (3)由(2)知：x1<<c2,且ac,-1n1-1=0, a ∴ax1=lnx1+1=lna.x1十1-lna,…12分 由I)知0<x<1时，lnx+4 2(x-1) +x+1-20lnx<x+1 2(ax1-1) .'0<ax1<1,故lnax1< ax1+1 2(ax1-1) .a.x1< a.x1+1 +1-lna, 化为-a2x-(alna-2a)x1>lna+1①， 14分 同理：ax2=lnax2十1-lna, 2(ax2-1) Inax?> ax2+1, 可化为a2x号+(alna-2a).x2>-lna-1②， 15分 ②+①得：a2(x-x)+(alna-2a)(x2-x1)>0 化简得：x1十x2> 2-Ina 17分 注：其他解法合理亦可。 19.【解析】(1)由阶梯数列的形式结构可知a+1一1十a 1 2分 1 1 (2)a2k+1一a2k-1= 1十a2k1十a2k-2 1 1 1+1十a2-1 1十1十a-3 1十a2k-1 1十a2k-3 a2k-1一a2k-3 2+a2-12十a24-号(2+a24-1)(2+a24-3)' .02+1-a2g- a2k-1一a2k-3(2十a2k-1)(2十a2-3) 6分 同理2-1一0张-3>0，… a5-a3>0, a2k-3-a2k-5 a3-a1 累乘得2+1二0.0-1二a=3.….a5二0>0. a2k-1一u2k-3a2k-3一u2k-5 u3-u1 即22+1一02-1>0， a3-a1 2 a3-a1=3 130, .a2张+1一a2k-1<0, 故对k∈N,{a2-1}为递减数列； …9分 ak一ak+1 (3)a+2-a4+1=1+a+11+ag(1+a+1)1+Q)' ak+2一ak+1 …11分 ak+1一ak (1十ak+1)(1十ak)1 高三数学参考答案第7页（共8页） 1 1 又对k∈N,uk+2一a2=1十a+11+a2张-1 02k-1一a2k+1 (1十a2+1)(1十a2-1)' 由(2)知a2k-1一a2+1>0, 1 故a%+2>a→u张>a张-2>…>u,=2' 1>1,=21 又a+1-1+a1十2 1321 放对N分…1分 1 1 (1十a+1)(1十a) 9· …15分 (1十2 2 -a<a,-a…()-信)≥2. 当k=1时，a2-a=2: 1 …17分 高三数学参考答案第8页（共8页）