浙江省金砖联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题

浙江省金砖联盟2024学年第一学期期中联考 高二年级数学学科试题 命题：余杭第二高级中学付振凯 审核：东阳二中 吕夏雯 考生须知： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟： 2,答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数 字 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效： 绿 4.考试结束后，只需上交答题卷 觳 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是 符合题目要求的 如 1.在空间直角坐标系中，点(-2,6,3)关于x轴的对称点的坐标为 斛 A.(-2,6,-3) B.(-2,6,-3) C.(2,6,-3) D.(2,6,3) 长 2.已知平面a,B,直线m,且a⊥B,则“m⊥a”是“m∥B”的 区 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 都 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 郝 3.已知复数z满足2z-z=3+6i,则z= A3-2i B.3+2i C.-3+2i D.-3-2i 鞍 期 4.已知a>0,b>0,两直线：(a-1)x-2y-1=0,12:x-3by+2=0,若l11l2,则 +2的最 b 小值为 A.12 B.20 C.26 D.32 蕾 5.已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1,2,3,4，乙罐中有三个相同的小球，标号为1,2,3， 从甲罐，乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A=“抽取的两个小球标号之和大于6”，事件 B=“抽取的两个小球标号之积小于6”，则下列说法错误的是 A.事件A发生的概率为 B.事件A,B相互独立 2 苏 C.事件A,B是互斥事件 D.事件AUB发生的概率 2-3 第1页共6页 6.当圆C:x2+y2-4x-60=0截直线：mx-3y-m+9=0所得的弦长最短时，实数m= A.-1 B.-V2 C.1 D.√2 7、八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边 ABCDEFGH,其中|OA=1给出下列结论，其中正确的结论为 A01与0丽的夹角为写 B.0A+OD=0B+OC C.104-OC2DH 图1 图2 D.OA在OD上的投影向量为- 2 e(其中e为与OD同向的单位向量) 8.已知锐角△4BC,角A,B,C的对边分别a,b,c,且acosC.+ccos A=2 bcosB,则C的取 a 值范围是 5,2 B. c.(3,23) D. 3’3 5,25 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求 9.已知甲组数据为：2,3,4,4,6,8,8，乙组数据为：1,4,4,7,9，则下列说法正确的 是 A.这两组数据的第80百分位数相等 B.这两组数据的极差相等 C.这两组数据分别去掉一个最大值和一个最小值后，均值都不变 D.甲组数据比乙组数据分散 10.已知椭图c:女+ 一十 =1,点，F2为椭圆两焦点，点P为椭圆C上的动点，过点P作 42 ∠FPF,的外角平分线1，过椭圆的焦点作直线1的垂线，垂足是Q.现有一条长度为4的线段MW 在直线m:x-y+4=0上运动，且始终满足∠MQN为锐角，则 第2页共6页 A.点Q的轨迹方程是x2+y2=4 B.点Q有可能在以MN为直径的圆上 C.点Q不可能在直线m上 D.线段MN的中点的纵坐标的取值范围是(-0,0)U(4,+o0) 11.如图，在棱长为1的正方体ABCD-AB,C,D,中，P为棱BB的中点，Q为正方形BB,CC 内一动点（含边界），则下列说法中正确的是 D A.直线AC,⊥平面ABD B.三棱锥B-ADP的外接球的表面积为9 B 4 C直线DP与直线AC所成角的正弦值为V 9 B D.若D,Q=6 ,那么卫点的轨迹长度为V2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若直线1的一个方向向量n=(3,-V3),则L的倾斜角大小为 13.中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底 面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分），现有一个如图所示的曲池，它的高 为2，A4,BB,CC,DD均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2， 对应的圆心角为90°，则图中平面A,CD与平面AB,C,所成角的余弦值为 D 设双曲线名-片a>0.b>0)的有焦点是P,左、右顶点分别是4，，过F作么，名 的垂线与双曲线交于B,C两点，若AB⊥A,C,则该双曲线的离心率为 第3页共6页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.(本小题13分) 为提高服务质量，某社区居委会进行了居民对社区工作满意度的问卷调查.随机抽取了100户 居民的问卷进行评分统计，评分的频率分布直方图如图所示，数据分组依次为： [60,65)[65,70)[70,75)[75,80),[80,85),[85,90) 个须率 组距 0.060 0.050 0.040 a 0.010 0V60657075808590分藏 (1)求a的值； (2)求这100户居民问卷评分的中位数： (3)若根据各组的频率的比例采取分层抽样的方法，从评分在[65,70)和[70,75)内的居民中共抽 取6户居民，查阅他们答卷的情况，再从这6户居民中选取4户进行专项调查，求这4户居民 中恰有1户的评分在[65,70)内的概率. 16.(本小题15分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin C+csin Acos B+√3 bsin Asin C=0 (1)求角B的大小 (2)若a=3,b=7,角B的平分线交AC于点D,求线段BD的长. 第4页共6页 17.(本小题15分) 如图在四棱锥A-BCDE中， CD∥BE,CD=L,CB⊥BE,AE=BE=AB=BC=2,AD=√7，Q是AE的中点. (I)求证：DQ/平面ABC; (Ⅱ)在棱AD上是否存在点M,使得直线EM与平面ACD所成角的正弦值为 3V3 若存在， 7 米 的值，若不存在，说明理由 MD D E B 18.(本小题17分) 如图，已知圆M:x2-10x+y2+16=0,Q(4,0),0为坐标原点，过点Q作直线1交圆M于 点A、B,过点A、B分别作圆M的切线，两条切线相交于点P. (1)若直线1的斜率为1，求AB|的值； (2)求点P的轨迹方程： (3)若两条切线PA、PB与轴y分别交于点S、T,求ST的最小值. 1/ T E QM 第5页共6页 19.(本小题17分) 已知椭圆C: Q3b3 =1a>b>0)的左、右焦点分别为耳，E,离心率为 3 经过点F且倾 2 斜角为0(0<0< 2)的直线（与椭圆交于A,B两点（其中点A在x轴上方），△ABE,的周长为 8. 圜 铷 折叠前 折叠后 的 (1)求椭圆C的标准方程； 长 (2)如图，将平面xOy沿x轴折叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面AFF2)与y轴负 ☒ 半轴和x轴所确定的半平面（平面BFF,)互相垂直. 都 ①活0=石，求三楼维4-昕的体飘， 钢 ®是香存在8(0<0<石，使得44B5,折叠后的周长为与折叠前的周长之比为2？若存在， 期 求tanO的值；若不存在，请说明理由. 第6页共6页 浙江省金砖联盟2024学年第一学期期中 高二年级数学学科 （评分标准） 1、 单项选择题：BDAD BCDA 二、多项选择题：9. AC  10. ACD 11. ABD 三、填空题：12.（或150°） 13. 14.  四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.(本小题13分) 解：由频率分布直方图可得：  ，解得； （2分） 由频率分布直方图可得，， ， 则中位数在 之间，设为，则， 解得，故中位数为分； （6分） 评分在对应的频率为，， 从评分在 和内的居民中共抽取人， （7分） 则评分在 占人，设为，评分在 占人，， 从人中选取人的情况为：，共种， （9分） 其中这人中恰有人的评分在的情况为：，共种， （11分） 故这人中恰有人的评分在内的概率为． （13分） 16.(本小题15分) 【答案】解：因为， 由正弦定理可得. 所以，即（4分） 又因为，所以， 由，得：，所以． （7分） 在中，，，， 则有，解得舍去负值． （10分） 方法由面积有， ，即， （13分） 即，则，线段的长是． （15分） 方法由内角平分线定理有，则， （12分） ，所以，线段的长是． （15分）  17.(本小题15分) 解：Ⅰ取中点，连接、， ，分别为，的中点，，且， （1分） 又，，，且， 四边形为平行四边形， （2分） ，而平面，平面， 平面                   （4分） Ⅱ取中点，连接、， ，为等边三角形，，， （5分） 又，，， ，OD，，， （6分） 以为原点，以方向分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系． 易得：，，，B(0,1,0),，，  ，， （7分） 设平面的一个法向量为，则 ，得：， 取x=2,得： （9分） 设，则 （11分） 记直线E与平面所成角为，，解得： 故当时，直线与平面所成角的正弦值为. （15分） 18.(本小题17分) 解：直线l为，圆M的半径，圆心M（5,0）到直线l的距离，所以 （4分）. 由知，直线l的斜率不能为0，故可设直线l的方程为， 代入圆M的方程，消去y，得：， （5分） （6分） 设，则 （7分） 过点A的圆M的切线方程为：① 过点B的圆M的切线方程为：② 由①②，解得： （10分） 所以点P的轨迹是直线. （11分） （3）在①中，取，得点S的纵坐标（12分） 在②中，取，得点T的纵坐标 （13分） 当时，取得最小值. 此时直线l为，点P(4，0)） （17分） 19.(本小题17分) 【答案】解： 由椭圆的定义知：，， 所以的周长，所以， 又椭圆离心率为，所以，所以，， 所以椭圆的标准方程为． （4分） 由知，点，倾斜角为，故直线方程为：， 联立，解得或则，， （6分） ，， 三棱锥的体积为． （8分） 假设存在，使得折叠后的周长为与折叠前的周长之比为． 设，在新图形中对应点记为，， 因为折叠前的周长=，所以折叠后的周长为， 而=，=，故， （9分） 设折叠前，，直线 方程为， 联立，得，，． （11分） 在折叠后的图形中建立如图所示的空间直角坐标系原轴仍然为轴，原轴正半轴为轴，原轴负半轴为 轴； ，， ，， ， 即， 所以， 由可得， ， （13分） 所以， ，即8=，解得， （16分） 检验：此时， 故不成立，不存在满足题意. （17分） 学科网（北京）股份有限公司 $$