第六章反比例函数单元测试（培优提升卷）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

第六章反比例函数单元测试（培优提升卷） 班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________ 注意事项： 本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25九年级上·山东泰安·期中）下列函数不是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·四川宜宾·阶段练习）在函数的图象上有两点，已知，则下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）下列函数中，随增大而增大的是（  ） A． B． C． D． 5．（2024·山西·二模）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点.当时，的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 6．（24-25九年级上·河北石家庄·开学考试）反比例函数的图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A． B．y随x的增大而减小 C．若矩形的面积为2，则 D．若图象上点B的坐标是，则当时，y的取值范围是 7．（2024·辽宁大连·一模）一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间（单位：）与行驶速度（单位：）满足函数关系，其图象是如图所示的曲线．若该路段限速，则汽车通过该路段至少需要（    ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于，两点若是轴上一点，则的面积为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 9．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，是平行四边形，对角线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限的点分别在双曲线和的一个分支上，分别过点做轴的垂线段，垂足分别为点和，则以下结论：①；②阴影部分面积是；③当时，；④若是菱形，则．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（2024·湖北·模拟预测）反比例函数与一次函数的图像如图所示，则下列结论正确的有（    ） ①；②；③；④若均在反比例函数上且，则且 A．① B．①③ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）已知点，为反比例函数图象上的两点，当时，，则的取值范围为 ． 12．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一个反比例函数图象经过点，那 么k 的值等于 ． 13．（2024·山西·模拟预测）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了 ． 14．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，过 轴上任意一点 ，作 轴的平行线，分别与反比例函数 和 的图象交于点 和点 ，若点 为 轴上任意一点，连接 ，，则 的面积为 ． 15．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，平面直角坐标系中正方形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，且，的图象与正方形的两边分别相交于M、反比例函数N两点，且的面积为3.5，若动点P在x轴上，则的最小值是 ． 16．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，矩形的一边在轴上，点是对角线与的交点，双曲线恰好经过点、，且交于点，连接． （1）若点的坐标为，， ； （2）若的面积为2时． ． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（24-25九年级上·山东济南·期中）反比例函数的图像与直线相交于点A，A点的横坐标为． (1)求k的值． (2)试判断，是否在反比例函数的图像上． 18．（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）如图，王大爷准备用栅栏围建一个面积为的矩形养鸡场，其中一边靠墙，墙长为．设的长为，的长为． (1)求与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)现有两种方案，或，试选出合理的设计方案，并求出栅栏的总长． 19．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，双曲线经过斜边的中点，交直角边于点，连接，点A的坐标为． (1)求双曲线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)求证：． 20．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）一辆小汽车从甲地出发前往的乙地． (1)写出平均速度（单位：）与所用时间（单位：）的函数解析式； (2)若，直接写出的取值范围____________． 21．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，一次函数的图象交反比例函数图象于，两点． (1)求m，n的值； (2)点E是轴上一点，且，求点的坐标； 22．（23-24九年级上·山东淄博·阶段练习）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数的图象，并探究该函数性质． (1)绘制函数图象 ①列表：下列是x与y的几组对应值，其中_____； x …… 1 2 3 4 5 …… y …… 1 5 5 a …… ②描点：根据表中的数值描点，请在下图中描出点； ③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象： (2)探究函数性质 请写出函数的两条性质：___________________________________________；___________________________________________． (3)运用函数图象及性质 ①写出方程的解_________________； ②写出不等式的解集_________________； ③写出不等式与的解集_________________． 23．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系中，点A在y轴上，正方形的顶点B在反比例函数（k为常数，且，）的图像上，点D在反比例函数（k为常数，且，）的图像上，设点B、D的横坐标分别为m、n. (1)已知四个点，，，恰有三个点在反比例函数（k为常数，且）的图像上. ①__________； ②如图1，当正方形的顶点A与点O重合时，试探究是否为定值.如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由； (2)如图2，当正方形的顶点A在y轴的正半轴时，直接写出m、n满足的等量关系式. ( 7 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章反比例函数单元测试（培优提升卷） 班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________ 注意事项： 本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列函数不是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数的定义，熟知形如（k为常数，）的函数叫反比例函数是解题的关键．根据反比例函数的定义进行解答即可． 【详解】解：A、，符合（k为常数，）的形式，是反比例函数，故选项不符合题意； B、，符合（k为常数，）的形式，是反比例函数，故选项不符合题意； C、，不符合（k为常数，）的形式，不是反比例函数，故选项符合题意； D、∵， ∴，符合（k为常数，）的形式，是反比例函数，故选项不符合题意； 故选：C 2．反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求反比例函数值．熟练掌握求反比例函数值是解题的关键．分别将各选项的点坐标的横坐标代入，求纵坐标，然后判断作答即可． 【详解】解：A、当时，，故不符合题意； B、当时，，故不符合题意； C、当时，，故符合题意； D、当时，，故不符合题意； 故选：C． 3．在函数的图象上有两点，已知，则下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数图象及性质．根据题意利用反比例函数图象及性质可知随增大而减小，继而根据关系得到的关系． 【详解】解：∵函数的图象上有两点， ∴当时，随增大而减小， ∵， ∴， 故选∶D． 4．下列函数中，随增大而增大的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的图像与性质和反比例函数的图像与性质，正比例函数，当时，随增大而增大；当时，随增大而减小．反比例函数，当时，在或 中，随增大而减小；当时，在或 中，随增大而增大． 【详解】A. ，随增大而减小，故此选项错误； B. ，随增大而增大，故此选项正确； C. ，随增大而减小，故此选项错误； D. ，随增大而减小，故此选项错误， 故选B． 5．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点.当时，的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的图像问题．根据图像中一次函数与反比例函数的分布即可求出取值范围． 【详解】解：由图像知，当或时，一次函数的图像在反比例函数的图像上方， 即， 故选：D． 6．反比例函数的图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A． B．y随x的增大而减小 C．若矩形的面积为2，则 D．若图象上点B的坐标是，则当时，y的取值范围是 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，反比例函数系数k的几何意义以及反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的图象和性质，反比例函数系数k的几何意义以及反比例函数图象上点的坐标特征是正确判断的前提． 根据反比例函数图象和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A．由于图象在第二象限，因此，所以选项A不符合题意； B．y随x的增大而增大，因此选项B不符合题意； C．由|，而，所以，因此选项C符合题意； D．若图象上点B的坐标是，则当时，y的取值范围是，因此选项D不符合题意； 故选：C． 7．一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间（单位：）与行驶速度（单位：）满足函数关系，其图象是如图所示的曲线．若该路段限速，则汽车通过该路段至少需要（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式，注意把小时化成分钟． 把点代入，求得k的值，在把点B代入求出的解析式中，求得m的值，然后把代入，求出t的值即可． 【详解】解：由题意得，函数经过点， 把代入，得， 则解析式为，再把代入，得， 把代入，得， 小时=40分钟， 则汽车通过该路段最少需要40分钟． 故选：B． 8．如图，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于，两点若是轴上一点，则的面积为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是反比例函数系数k的几何意义与反比例函数图象上点的坐标特征．由直线与y轴平行，可得的面积等于的面积，设点P的坐标为，由此可得出点A、B的横坐标都为a，再将分别代入反比例函数解析式，得出A、B的纵坐标，继而得出的值，从而得出三角形的面积． 【详解】解：如下图，连接， 由题意可知直线与y轴平行， ∴ 设，则点A、B的横坐标都为a， 将代入得出，得， 故； 将代入得出，得， 故； ∴， ∴． 故选：B． 9．如图，是平行四边形，对角线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限的点分别在双曲线和的一个分支上，分别过点做轴的垂线段，垂足分别为点和，则以下结论：①；②阴影部分面积是；③当时，；④若是菱形，则．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】作轴于，轴于，根据平行四边形的性质得，利用三角形面积公式得到，则有，再利用反比例函数的几何意义和三角形面积公式得到，，所以有；由，，得到；当，得到四边形是矩形，由于不能确定与相等，则不能判断，所以不能判断，则不能确定；若是菱形，根据菱形的性质得，可判断，则，所以，即，即可得到答案． 【详解】解：如图，作轴于，轴于， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ，故①正确； ，， ， ， ，故②错误； 当， 四边形是矩形， 不能确定与相等， 而， 不能判断， 不能判断， 不能确定，故③错误； 若四边形是菱形，则， 而， ， ， ， ， ，故④正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题：熟练掌握反比例函数的图象、反比例函数的几何意义、平行四边形的性质、矩形的性质和菱形的性质． 10．反比例函数与一次函数的图像如图所示，则下列结论正确的有（    ） ①；②；③；④若均在反比例函数上且，则且    A．① B．①③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】由一次函数的图像可得：，，由反比例函数的图像可得：，可得①符合题意，②不符合题意；求解，，设，，再结合勾股定理与一元二次方程根与系数的关系可判断③符合题意；由均在反比例函数上且，可得，可得④不符合题意． 【详解】解：由一次函数的图像可得：，， 由反比例函数的图像可得：， ∴，故①符合题意，②不符合题意； ∵直线， 当，，则， 当，则，则， 设，， ∴，， 联立， ∴整理得：， ∴，， ∴，即，，， ∴，， ∴， ∴，故③符合题意； ∵均在反比例函数上且， ∴， 解得：，故④不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数图象的综合题，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理的应用，反比例函数的性质，本题难度大，掌握基础知识是解本题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．已知点，为反比例函数图象上的两点，当时，，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质，可以得到关于m的不等式，从而可以求得m的取值范围． 【点睛】解：∵反比例函数的图象上两点，，当时，， ∴， 解得， 故答案为：． 12．一个反比例函数图象经过点，那 么k 的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，待定系数法求出k 的值即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 13．在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，设，利用待定系数法求出，再分别求出当时，，当时，，据此可得答案． 【详解】解：设， 把代入中得：，解得 ∴， 在中，当时，，当时，， ∴若压强由加压到，则气体体积压缩了， 故答案为：15． 14．如图，过 轴上任意一点 ，作 轴的平行线，分别与反比例函数 和 的图象交于点 和点 ，若点 为 轴上任意一点，连接 ，，则 的面积为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点和其系数k的几何意义，属于常考题型，熟练掌握反比例函数的基本知识是解题的关键．设，则易得点A、B的坐标，于是可得的长，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：设， ∵直线轴， ∴A，两点的纵坐标都为，而点A在反比例函数的图象上， ∴当时，，即A点坐标为， 又∵点在反比例函数的图象上， ∴当时，，即点坐标为， ∴， ∴． 故答案为：2． 15．如图，平面直角坐标系中正方形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，且，的图象与正方形的两边分别相交于M、反比例函数N两点，且的面积为3.5，若动点P在x轴上，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】考查正方形的性质，反比例函数的图象和性质，轴对称的性质，及两点间距离公式等知识，综合性较强，利用知识较多，先求得，再由，列出方程，求得，可求得，作点关于轴的对称点，连接将轴于点P，连接，此时最小，再求解即可． 【详解】解：正方形中，且， 点M的横坐标及点N的纵坐标都是4， 点M、N在反比例函数的图象上， ， ， ， ， 解得：（负值舍去）， ， 如图，作点关于轴的对称点，连接将轴于点P，连接，此时最小， 点关于轴的对称点， ， 故答案为： 16．如图，矩形的一边在轴上，点是对角线与的交点，双曲线恰好经过点、，且交于点，连接． （1）若点的坐标为，， ； （2）若的面积为2时． ． 【答案】 2 6 【分析】本题考查反比例函数的图像与性质，反比例函数的比例系数k的几何意义，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图像与性质，矩形的性质． （1）由的坐标为，可得，得出，可得，将代入，得，即反比例函数关系式为，再由矩形的性质得出轴，，将代入，得，可得，，从而求出结果； （2）设，可得，，，再由的面积为2，可得的面积为4，再由三角形面积公式可得，最后求解即可． 【详解】解：（1） 的坐标为， ， ， ， 将代入，得， 反比例函数关系式为， 四边形矩形， 轴，， 将代入，得， ，， ， 故答案为：2； （2）设， 四边形矩形， ， 点D的纵坐标为， 将代入，得， ， ， 轴， 点F的横坐标与点C的横坐标相同，即， 将代入，得， ， 的面积为2， 的面积为4， ， ， 解得：， 故答案为：6 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．反比例函数的图像与直线相交于点A，A点的横坐标为． (1)求k的值． (2)试判断，是否在反比例函数的图像上． 【答案】(1) (2)不在函数图像上，在函数图像上 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，属于基础题，解答本题一定要注意待定系数法的运用． （1）将点的横坐标代入可得出纵坐标，然后代入双曲线可求出反比例函数的解析式． （2）把点，代入即可判断； 【详解】（1）解：当时，由知，故， 将代入中，可知， （2）由（1）可得 当时故点不在反比例函数的图像上， 当时故点在反比例函数的图像上. 18．如图，王大爷准备用栅栏围建一个面积为的矩形养鸡场，其中一边靠墙，墙长为．设的长为，的长为． (1)求与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)现有两种方案，或，试选出合理的设计方案，并求出栅栏的总长． 【答案】(1)， (2)栅栏总长． 【分析】本题主要考查了反比例函数．解决本题的关键是根据矩形的面积公式得到矩形的长与宽之间的函数关系式，并根据墙的长度确定自变量的取值范围． （1）根据矩形的面积公式和矩形的长为、宽为得到求与之间的函数关系式是，再根据墙的长度确定的取值范围； （2）分别求出当和时对应的值分别是和，当时超过了墙的长度，所以应选当，并根据矩形的周长公式求出此时栅栏的长度． 【详解】（1）解：矩形的面积为， ， 整理得：， 墙的长度是， ， ， 解得：， 自变量的取值范围是； （2）解：当时，， 矩形的长为，宽为， 此时墙的长度恰好够用； 当时，， 矩形的长为， 此时墙的长度不够用， 选比较合理， 当时， 此时栅栏的部总长为：， 答：栅栏的总长为． 19．如图，双曲线经过斜边的中点，交直角边于点，连接，点A的坐标为． (1)求双曲线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)求证：． 【答案】(1) (2) (3)见详解 【分析】本题考查待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，相似三角形的判定，解决本题的关键是明确反比例函数图象上点的坐标特征． （1）根据中点坐标公式得出点P坐标，然后代入反比例函数解析式即可求解； （2）由（1）可求出，代入设直线的解析式为，即可求解； （3）根据，点的坐标为，得出，，，可得，结合，即可得证． 【详解】（1）解：的中点是，点的坐标为， ． 双曲线经过点； ， ． （2）解：为直角三角形， ∴轴， ，两点的纵坐标相等，均为4，代入反比例函数解析式得：， ． 设直线的解析式为， ， 解得：． 直线的解析式为； （3）证明：，点的坐标为， ，，， ，， ， 又， ． 20．一辆小汽车从甲地出发前往的乙地． (1)写出平均速度（单位：）与所用时间（单位：）的函数解析式； (2)若，直接写出的取值范围____________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，反比例函数的性质． （1）根据题意可得，变形后即可得出平均速度与所用时间的函数解析式； （2）分别求出当，时的值，再根据反比例函数的性质即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：由题意可得：，即， 平均速度与所用时间的函数解析式为：； （2）解：∵， ∴当时，， 当时，， ∵在第一象限内随时间的的增大而减小， ∴的取值范围为：， 故答案为：． 21．如图，一次函数的图象交反比例函数图象于，两点． (1)求m，n的值； (2)点E是轴上一点，且，求点的坐标； 【答案】(1)， (2)或． 【分析】本题考查了反比例函数与-次函数的交点问题：也考查了待定系数法求函数的解析式以及观察函数图象的能力． （1）把点代入中，求得n的值，即可求得反比例函数的解析式，进而把代入求得的解析式，即可求得m的值； （2）根据待定系数法即可求得直线的表达式，即可求得直线与y轴的交点，根据求得的面积，设E点的坐标为，根据得到关于的方程，解方程求得，从而求得E点的坐标． 【详解】（1）解：把点，代入中，得：， 反比例函数的解析式为， 将点代入得 ； （2）如图，设直线与y轴的交点为D， 设直线的表达式为， 把，代入得， 解得， 直线的表达式为， 当时，， D点的坐标为， ， 设E点的坐标为， ∵， ， 解得：， E点的坐标为或． 22．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数的图象，并探究该函数性质． (1)绘制函数图象 ①列表：下列是x与y的几组对应值，其中_____； x …… 1 2 3 4 5 …… y …… 1 5 5 a …… ②描点：根据表中的数值描点，请在下图中描出点； ③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象： (2)探究函数性质 请写出函数的两条性质：___________________________________________；___________________________________________． (3)运用函数图象及性质 ①写出方程的解_________________； ②写出不等式的解集_________________； ③写出不等式与的解集_________________． 【答案】(1)①1；②见解析；③见②图 (2)的图象关于y轴对称；当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）； (3)①或；②或；③或． 【分析】本题考查了列表描点画函数图象，根据函数图象获取信息，画出函数图象，从函数图象获取信息是解题的关键． （1）①把代入解析式即可得的值；②③按要求描点，连线即可； （2）观察函数图象，可得函数性质； （3）①由函数图象可得答案；②观察函数图象即得答案；③观察函数图象即得答案． 【详解】（1）解：①列表：当时，， 故答案为：1； ②描点，③连线如下： （2）观察函数图象可得：的图象关于轴对称，当时，y随x的增大而增大； 故答案为：的图象关于轴对称；当时，y随x的增大而增大； （3）①观察函数图象可得：当时，或， ∴方程的解是或， 故答案为：或； ②观察函数图象可得，当或时，， ∴不等式的解集或， 故答案为：或； ③观察函数图象可得，当或时，， 不等式与的解集或， 故答案为：或． 23．在平面直角坐标系中，点A在y轴上，正方形的顶点B在反比例函数（k为常数，且，）的图像上，点D在反比例函数（k为常数，且，）的图像上，设点B、D的横坐标分别为m、n. (1)已知四个点，，，恰有三个点在反比例函数（k为常数，且）的图像上. ①__________； ②如图1，当正方形的顶点A与点O重合时，试探究是否为定值.如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由； (2)如图2，当正方形的顶点A在y轴的正半轴时，直接写出m、n满足的等量关系式. 【答案】(1)①2；② (2) 【分析】（1）①将四个点的坐标代入反比例函数表达式即可求解； ②证明，得到，即，即可求解； （2）过点作直线轴，过点、分别作的垂线，垂足分别为点、， 由，则，，即可求解． 【详解】（1）解：①因为，，，， 所以除了第二个点外，其余点都在反比例函数上， ∴， 故答案为：2； ②是定值，理由： 设点，点， 如图1，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为点、， 四边形为正方形，则，， ，， ， ，， ， 则，即， 则为定值； （2）如图2，过点作直线轴，过点、分别作的垂线，垂足分别为点、， 设直线的表达式为：， 设点，点， 由（1）②知，， 则，， 即，， 由得，，由得，， 所以，， ∵，， ∴． ( 23 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$