6.4反比例函数综合压轴问题（重难点培优提升）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

6.4反比例函数综合压轴问题（重难点培优提升） 一、解答题 1．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，双曲线经过斜边的中点，交直角边于点，连接，点A的坐标为． (1)求双曲线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)求证：． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点． (1)求直线和反比例函数的表达式． (2)结合图象，请直接写出不等式的解集． (3)连接，在轴上找一点，使是以为腰的等腰三角形，请求出点的坐标． 3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，已知反比例函数的图象经过点，过A作轴于点C，经过点C的直线与反比例函数图象交于点B，直线与x轴的负半轴交于点E． (1)如图1，求m的值． (2)如图2，若点C是线段的中点，作轴于点D，求的面积． 4．（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与轴相交于点． (1)求反比例函数和一次函数的函数表达式： (2)直接写出：不等式的解集是______； (3)求的面积． 5．（2024·江苏苏州·一模）如图，四边形为菱形，且点A在轴正半轴上，点的坐标为，反比例函数的图象经过点，且与边交于点． (1)求的值及点的坐标； (2)判断点是否为边的中点，并说明理由． 6．（2024·河南周口·二模）如图，点在反比例函数的图象上，过点A作轴于点B，的面积为3． (1)求k的值； (2)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线；（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图） (3)设（2）中的角平分线与x轴相交于点C，延长到D，使，连接并延长交y轴于点E．求证：． 7．（2024·山东淄博·二模）如图，在四边形中，，，顶点、，反比例函数的图象经过，D两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段BC的垂直平分线； (要求：不写作法，保留作图痕迹) (3)线段与（2）中所作的垂直平分线分别与交于点两点．求点M的坐标． 8．（2024·河南南阳·一模）如图，直线与双曲线相交于、两点，与x轴交于点C． (1)求直线的解析式； (2)连接AO、OB，求的面积； (3)请直接写出关于x的不等式的解集． 9．（23-24八年级下·海南儋州·期中）已知：如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，且点B的坐标为．    (1)求反比例函数的表达式； (2)请直接写出的的自变量x的取值范围； (3)点在反比例函数的图象上，求的面积． 10．（21-22八年级下·上海·阶段练习）已知反比例函数与一次函数的图像都经过点，且一次函数的图像与x轴交于点B． (1)求a、k的值； (2)直线与反比例函数的另一个交点C，与y轴交点为D，那么请确定与的大小关系； (3)若点E为x轴上一动点，是否存在以为腰的等腰，如果存在请写出E点坐标，如果不存在，请说明理由． 11．（24-25九年级上·江苏南通·期中）平行四边形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中，，，反比例函数的图象经过点C． (1)求此反比例函数的解析式； (2)将平行四边形沿x轴翻折得到平行四边形，请你通过计算说明点在双曲线上； (3)求的面积． 12．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与x轴交于点，点C在反比例函数图象上． (1)求a，b，m的值； (2)过A，C两点的直线与x轴负半轴交于点D，点E与点D关于y轴对称．若有且只有一点C，使得与相似，求k的值． 13．（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）如图所示，的顶点A在反比例函数的图象上，直线交y轴于点C，且点C的纵坐标为5，过点A、B分别作y轴的垂线、，垂足分别为点E、F，且． (1)若点E为线段的中点，求k的值； (2)若为等腰直角三角形，，其面积小于3． ①求证：； ②延长交双曲线第三象限于点D，连接，求三角形的面积． 14．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，，延长交反比例函数图象于点C． (1)求一次函数y与反比例函数y的表达式； (2)点Q为y轴上一动点，求当取得最小值时点Q的坐标； (3)点P是x轴上一点，当时，请求出点P的坐标． 15．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，轴，垂足为C，边与y轴交于点D，，反比例函数的图象经过点A． (1)求直线和反比例函数的表达式； (2)点E是反比例函数的图象上一点，若求点E的坐标． 16．（2024·山西·模拟预测）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴，垂足为，连接，．    (1)求反比例函数的表达式． (2)若，以，为边作平行四边形，点在第三象限内，求点的坐标． 17．（23-24九年级上·广东清远·阶段练习）如图，矩形的顶点A、C分别在轴、轴的正半轴上，点在反比例函数的第一象限内的图象上，，动点在轴的上方，且满足． (1)若点在这个反比例函数的图象上，求点的坐标； (2)连接，求的最小值． 18．（2024·山东青岛·中考真题）如图，点为反比例函数图象上的点，其横坐标依次为．过点作x轴的垂线，垂足分别为点；过点作于点，过点作于点，…，过点作于点．记的面积为的面积为的面积为． (1)当时，点的坐标为______，______，______，______（用含n的代数式表示）； (2)当时，______（用含n的代数式表示）． 19．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． (1)求一次函数的解析式及的面积； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)若点P是坐标轴上的一点，且满足面积等于的面积的3倍，直接写出点P的坐标． 20．（24-25九年级上·湖南娄底·阶段练习）如图， 已知直线 与反比例函数 的图象交于 A、 B两点，且点 A 的横坐标为 4．    (1)直接写出反比例函数解析式是 ． (2)直接写出当 时，自变量 x 的取值范围是 ． (3)过原点O的另一条直线l交双曲线于P、 Q两点 （点P在第一象限） ，若由点A、B、P、Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标． 21．（24-25九年级上·广西北海·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限两点，坐标轴交于两点，连结（是坐标原点）．    (1)利用图中条件，求反比例函数的解析式和的值； (2)求的面积． (3)双曲线上存在一点，使得和的面积相等，请直接写出点的坐标． 22．（24-25九年级上·湖南衡阳·开学考试）如图，在平行四边形中，点、、的坐标分别是、、，双曲线（，）过点． (1)写出点坐标； (2)求双曲线的解析式； (3)作直线交轴于点，连接，求的面积． 23．（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线相交于点 E，两个顶点A，D分别在x轴和y轴上，轴， 已知， 反比例函数 在第一象限的图象经过点 E． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点在反比例函数 的图象上， 当时， 求函数值y的取值范围． 24．（21-22九年级·山东枣庄·自主招生）如图，点A和点是反比例函数图象上的两点，点B在反比例函数的图象上，分别过点A，B作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，，连接交y轴于点F． (1)求反比例函数的关系式； (2)设点A的横坐标为a，点F的纵坐标为m，求的值； (3)连接，当时，求点A的坐标． 25．（2024·山东菏泽·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边垂直于轴、垂足为点，反比例函数的图象经过的中点、且与相交于点经过、两点的一次函数解析式为，若点的坐标为且． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)请观察图象直接写出不等式的解集． (3)若在直线上有一点，的面积等于求满足条件的点的坐标； 26．（2024·湖南·模拟预测）如图，反比例函数图象与正比例函数图象相交于点与点． (1)试求反比例函数与正比例函数的函数表达式及点的坐标． (2)请直接写出的解集． (3)现把的图象绕点顺时针旋转得到了．试问在函数图象上是否存在一动点，使是以为底边的等腰三角形？如果有，请求出这个点的坐标；如果没有，请说明理由． 27．（2024九年级下·湖南·学业考试）如图，在平面直角坐标系中，等边的边长为2，顶点A在x轴上，延长至点C．使，过点C作交x轴于点D，反比例函数经过点B交于点E，反比例函数经过点C． (1)求反比例函数，的解析式； (2)连接，，计算的面积． 28．（2024·广东广州·一模）如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点． (1)求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)若点为直线上的一动点（不与点重合），在轴上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 29．（24-25九年级上·山东淄博·开学考试）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，位于第一象限的交点A坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求点B坐标，并结合函数图象，直接写出时的自变量的取值范围； (3)若x轴上存在点P，使得为等腰三角形，写出P点坐标． 30．（2023·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，点A坐标为，反比例函数的图象分别交矩形的两边，于点，（点，不与点重合），沿着将折叠，点落在点处． (1)如图1，当点E为中点时，求点F的坐标，并直接写出与对角线的关系； (2)如图2，当点E位置发生改变时，与是否存在（1）中的位置关系，请说明理由； (3)如图3，连接，当平分时，求出此时反比例函数的表达式． ( 17 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.4反比例函数综合压轴问题（重难点培优提升） 一、解答题 1．如图，双曲线经过斜边的中点，交直角边于点，连接，点A的坐标为． (1)求双曲线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)求证：． 【答案】(1) (2) (3)见详解 【分析】本题考查待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，相似三角形的判定，解决本题的关键是明确反比例函数图象上点的坐标特征． （1）根据中点坐标公式得出点P坐标，然后代入反比例函数解析式即可求解； （2）由（1）可求出，代入设直线的解析式为，即可求解； （3）根据，点的坐标为，得出，，，可得，结合，即可得证． 【详解】（1）解：的中点是，点的坐标为， ． 双曲线经过点； ， ． （2）解：为直角三角形， ∴轴， ，两点的纵坐标相等，均为4，代入反比例函数解析式得：， ． 设直线的解析式为， ， 解得：． 直线的解析式为； （3）证明：，点的坐标为， ，，， ，， ， 又， ． 2．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点． (1)求直线和反比例函数的表达式． (2)结合图象，请直接写出不等式的解集． (3)连接，在轴上找一点，使是以为腰的等腰三角形，请求出点的坐标． 【答案】(1)直线的表达式为；反比例函数的表达式为 (2)不等式的解集是 (3)或或 【分析】本题考查反比例函数和一次函数的综合应用，综合应用反比例函数和一次函数的知识点是解题关键． （1）将点A和点B的坐标代入直线表达式可得方程组，求解方程组得出参数即可得到直线表达式，将点C的横坐标代入直线表达式可得点C的纵坐标，再将点C坐标代入反比例函数表达式可得方程，求解方程得出参数可得到反比例函数的表达式； （2）根据数形结合的思想通过直线图像和反比例函数图像的位置关系求解不等式的解集即可； （3）先求出，再分情况求出点P坐标即可． 【详解】（1）解：∵直线经过点和， ∴可得方程组 解得 ∴直线的表达式为． ∵直线与反比例函数的图像交于点， ∴， 解得：， ∴． ∴． ∴． ∴反比例函数的表达式为． （2）求不等式的解集相当于从图像上看x取何值时，反比例函数的图像不低于直线的图像． 所以从图像上看，当时，反比例函数的图像不低于直线的图像． 所以不等式的解集是． （3）∵， ∴． 当时， ∵点P在x轴上， ∴或； 当时， ∵点P在x轴上，且， ∴， ∴综上所述或或． 3．如图，已知反比例函数的图象经过点，过A作轴于点C，经过点C的直线与反比例函数图象交于点B，直线与x轴的负半轴交于点E． (1)如图1，求m的值． (2)如图2，若点C是线段的中点，作轴于点D，求的面积． 【答案】(1)8 (2)8 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式以及线段的中点的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先求出，再得出，最后运用待定系数法求解析式，即可作答． （2）先由点C是线段的中点以及中点，坐标公式得出，代入，得出，然后求出一次函数，得出，最后的面积，即可作答． 【详解】（1）解：∵过A作轴于点C，经过点C的直线 ∴当， 即， ∴， 把代入， ∴， ∴； （2）解：依题意，∵点C是线段的中点，且，点E在轴上， ∴， 即， ∴ 把代入 得 ∴， 把代入， 得， ∴， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∵轴， ∴的面积． 4．如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与轴相交于点． (1)求反比例函数和一次函数的函数表达式： (2)直接写出：不等式的解集是______； (3)求的面积． 【答案】(1)， (2)或． (3)4 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积，数形结合是解决本题的关键． （1）用待定系数法先求出反比例函数的解析式，再求出点坐标，再将，点坐标代入一次函数求解即可； （2）根据图象即可得出不等式的解集； （3）先求出点坐标，再分别求出和的面积即可求出的面积． 【详解】（1）解： 反比例函数的图象过， ， 反比例函数的解析式为：， 点在反比例函数图象上， ， ， 点的坐标为， 将点，坐标代入一次函数中， 得， 解得， 一次函数的解析式为：． （2）解：根据图象可知，不等式的解集是：或． 故答案为：或． （3）解：一次函数与轴相交于点， 点坐标为， ， 点坐标为， ， 点坐标为， ， ． 5．如图，四边形为菱形，且点A在轴正半轴上，点的坐标为，反比例函数 的图象经过点，且与边交于点． (1)求的值及点的坐标； (2)判断点是否为边的中点，并说明理由． 【答案】(1)， (2)点D不是边的中点，理由见解析 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握图象上点的坐标满足函数解析式是关键． （1）根据点坐标求出菱形边长，根据平移性质得到点坐标即可； （2）先求出线段的中点坐标，再代入反比例函数解析式验证即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴． ∵四边形为菱形， ∴， 根据平移性质可得点B的坐标为． （2）解：由（1）可知，反比例函数解析式为：， ，， 线段的中点坐标为， 在反比例函数中，当时，， 点不是边的中点 6．如图，点在反比例函数的图象上，过点A作轴于点B，的面积为3． (1)求k的值； (2)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线；（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图） (3)设（2）中的角平分线与x轴相交于点C，延长到D，使，连接并延长交y轴于点E．求证：． 【答案】(1) (2)画图见解析 (3)证明见解析 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，涉及反比例函数的几何意义，角平分线的画法，全等的判定与性质，熟练掌握这些性质与画法是解题的关键． （1）设点的坐标为，利用即可解答； （2）根据角平分线的画法即可解答； （3）证明，得，再证即可解得． 【详解】（1）解：设点的坐标为，则，， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴； （2）如图，射线即为的角平分线； （3）如图，设与相交于点， 由（2）知， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 即． 7．如图，在四边形中，，，顶点、，反比例函数的图象经过，D两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段BC的垂直平分线； (要求：不写作法，保留作图痕迹) (3)线段与（2）中所作的垂直平分线分别与交于点两点．求点M的坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图-基本作图，反比例函数的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）过点作于点．构造全等三角形，利用全等三角形的性质求解； （2）根据要求作出图形； （3）求出点的坐标，再利用中点坐标公式求解． 【详解】（1）解：过点作于点． ∵， ， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：如图，直线即为所求； （3）解：∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵，， ∴． 8．如图，直线与双曲线相交于、两点，与x轴交于点C． (1)求直线的解析式； (2)连接AO、OB，求的面积； (3)请直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先求出点，再运用待定系数法求解析式，即可作答． （2）先求出，再运用割补法进行列式代入数值进行计算，即可作答． （3）运用数形结合思想，即可作答． 【详解】（1）解：由题意，将B点代入，得． 在双曲线上， ； 将A、B代入一次函数解析式得， ， 直线的解析式为． （2）解：依题意，在中， 令，得， ， ． 即的面积是； （3）解：依题意，结合图象， 则的解集为． 9．已知：如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，且点B的坐标为．    (1)求反比例函数的表达式； (2)请直接写出的的自变量x的取值范围； (3)点在反比例函数的图象上，求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，熟练掌握反比函数及一次函数性质是解题关键． （1）根据点B在正比例函数图象上，先求出点B坐标为，依据求出反比例函数解析式即可； （2）根据函数图象直接写出的自变量x的取值范围即可； （3）先求出直线的解析式得到点D坐标，利用计算面积即可． 【详解】（1）解：∵点在直线的图象上， ∴，即， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为： ； （2）， 由反比例函数图象的中心对称性质可得， 根据两个函数图象，不等式的解集为：或； （3）∵点在反比例函数的图象上， ， ∴，    设直线的解析式为， ∵在直线上， ∴， 解得， ∴直线解析式为， ∴即， ∴． 10．已知反比例函数与一次函数的图像都经过点，且一次函数的图像与x轴交于点B． (1)求a、k的值； (2)直线与反比例函数的另一个交点C，与y轴交点为D，那么请确定与的大小关系； (3)若点E为x轴上一动点，是否存在以为腰的等腰，如果存在请写出E点坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在， 【分析】本题考查的是反比例函数、反比例函数与一次函数的交点的求法以及等腰三角形的性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征、利用二元二次方程组求出反比例函数与一次函数的交点坐标是解题的关键； （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征求出a的值，代入一次函数求出k; （2）根据坐标与图形的关系，证明得到答案; （2）分和两种情况，根据等腰三角形的性质解答即可. 【详解】（1）解：把代入得， ， 解得， ， 将代入一次函数的图像得， ， 解得：； （2）解：直线与反比例函数的另一个交点C，与y轴交点为D， ， 解得，， 点C的坐标为， 当时，， 点D的坐标为， 如图，作轴，轴， ，点A的坐标为， ，， 点C的坐标为 ，， 在和中， ， ， ． （3）点B的坐标为，点C的坐标为， ， 当点在点的左侧，时，点的坐标为； 当点在点的右侧，时，点的坐标为； 当点在点的左侧，时，点的坐标为； 当点E的坐标为、、时，是以为腰的等腰三角形． 11．平行四边形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中，，，反比例函数的图象经过点C． (1)求此反比例函数的解析式； (2)将平行四边形沿x轴翻折得到平行四边形，请你通过计算说明点在双曲线上； (3)求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3)18 【分析】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质和轴对称、中心对称的性质；会运用图形与坐标的关系计算线段的长和三角形面积公式． （1）根据反比例函数图象点的坐标特征把点坐标代入，求出的值即可确定反比例函数解析式； （2）先计算出，再根据平行四边形的性质得，则可确定点坐标为，然后根据关于轴对称的点的坐标特征得的坐标为再根据反比例函数图象点的坐标特征判断点在双曲线上； （3）由于点坐标为，的坐标为，则点和点关于原点中心对称，根据中心对称的性质得点、、共线，且，然后利用进行计算． 【详解】（1）解：在反比例函数的图象上， ， ， 反比例函数解析式为； （2）解：，， ， 四边形为平行四边形， ， 而点坐标为， 点坐标为， 平行四边形和平行四边形关于轴对称， 的坐标为， ， 点在双曲线上； （3）解：如图， 点坐标为，的坐标为， 点和点关于原点中心对称， 点、、共线，且， ． 12．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与x轴交于点，点C在反比例函数图象上． (1)求a，b，m的值； (2)过A，C两点的直线与x轴负半轴交于点D，点E与点D关于y轴对称．若有且只有一点C，使得与相似，求k的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设点，则，，利用相似三角形的性质得，进而解方程得，则，利用待定系数法求得直线的表达式为，联立方程组得，根据题意，方程有且只有一个实数根，利用根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，将代入中， 得，则， 将代入中， 得，则， ∴， 将代入中， 得，则； （2）解：如图，设点，则，， ∵与相似， ∴只能在点左侧， ∴， 若，则，即， ∴，即， 解得， ∵， ∴，则， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴直线的表达式为， 联立方程组，得， ∵有且只有一点， ∴方程有且只有一个实数根， ∴，解得； 故满足条件的k值为． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合、反比例函数与几何的综合，涉及待定系数法、相似三角形的性质、坐标与图形、一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用分类讨论思想求解是解答的关键． 13．如图所示，的顶点A在反比例函数的图象上，直线交y轴于点C，且点C的纵坐标为5，过点A、B分别作y轴的垂线、，垂足分别为点E、F，且． (1)若点E为线段的中点，求k的值； (2)若为等腰直角三角形，，其面积小于3． ①求证：； ②延长交双曲线第三象限于点D，连接，求三角形的面积． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】（1）由点为线段的中点，可得点坐标为，进而可知点坐标为：，代入解析式即可求出； （2）①由为等腰直角三角形，可得，再根据同角的余角相等可证，由即可证明； ②设点，由可得，进而求出直线解析式和反比例函数解析式，联立求出点坐标，最后求的面积即可． 【详解】（1）解：点为线段的中点，， ，即点坐标为， 又轴，， ， 把代入可得：， ； （2）解：①在为等腰直角三角形中，，， ， ∵过点A、B分别作y轴的垂线、， ，， ， 在和中， ， ∴， ②解：设点坐标为，则，， ∵， ，， ， 设直线解析式为：，将两点代入得： 则． 解得， 当时，，，，符合； 当时，，，，不符，舍去； ∴， ∴， ∴直线解析式为， 把代入可得：， ∴反比例函数， 联立，解得或， ∴， 过作轴于，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题属于代几综合题，考查了待定系数法求反比例函数解析式，一次函数的性质，三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形性质等知识，熟练掌握三角形全等的性质和判定和数形结合的思想是解本题的关键． 14．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，，延长交反比例函数图象于点C． (1)求一次函数y与反比例函数y的表达式； (2)点Q为y轴上一动点，求当取得最小值时点Q的坐标； (3)点P是x轴上一点，当时，请求出点P的坐标． 【答案】(1)一次函数为，反比例函数的解析式为 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题、三角形的面积的计算、轴对称的性质、最短路径问题等知识点，灵活运用待定系数法求函数的解析式及数形结合是解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）如图：作点关于y轴的对称点，则，连接与y轴的交点即为点Q，然后运用待定系数法求得直线的解析式，再令，即可求得点Q的坐标； （3）先求得D的坐标，然后根据求得的面积，即可求得，根据中心对称的性质得出，即可得到，从而得到可求得，即可求得P的坐标． 【详解】（1）解：将代入可得：，解得：， ∴反比例函数的解析式为， 把代入得，， ∴， 将，代入得： ，解得：， ∴一次函数为． （2）解：如图：作点关于y轴的对称点，则，连接与y轴的交点即为点Q， 设直线的解析式为：， ，解得：， ∴， 当时，，即． （3）解：如图：由题意可知：， ∴， 把代入得，，解得， ∴， ∴， ∴， ∴，即 ∴，解得：， ∴或． 15．如图，在中，轴，垂足为C，边与y轴交于点D，，反比例函数的图象经过点A． (1)求直线和反比例函数的表达式； (2)点E是反比例函数的图象上一点，若求点E的坐标． 【答案】(1)直线为，反比例函数的表达式为 (2)的坐标为：或． 【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质得出，然后确定各个点的坐标，利用待定系数法即可确定直线和反比例函数解析式； （2）分两种情况：如图，连接，，当在的右边时，当时，则，如图，当在的左边时，如，连接，，交于，当为的中点时，则，再进一步解答即可． 【详解】（1）解： 中，，，轴，垂足为， ∴， ∵， ∴， ， ， ，， 设直线为 ， 解得， 直线为， 反比例函数的图象经过， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：如图，连接，，当在的右边时， 当时，则， 设直线为，而， ∴， 解得：， ∴直线为， ∴令， 解得：，（不符合题意，舍去） 此时， ∴； 如图，当在的左边时，如，连接，，交于， 当为的中点时，则， 设，，而， ∴， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去） ∴， ∴， 综上：的坐标为：或． 【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数与一次函数图象交点问题，考查了待定系数法求函数解析式，平行线分段成比例定理，一元二次方程的解法，求得坐标是解决问题的关键． 16．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴，垂足为，连接，．    (1)求反比例函数的表达式． (2)若，以，为边作平行四边形，点在第三象限内，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立正比例函数与反比例函数，解方程组可得，图形结合分析，再根据，由此即可求解； （2）把点代入反比例函数解析式可得，则，根据点关于原点对称可得，再根据平行四边形的性质可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于点， ∴， 解得，，， 根据图形可得，， ∴， ∵轴， ∴，点到的距离为， ∵， ∴， ∴反比例函数解析式为：； （2）解：由（1）可知，反比例函数解析式为，且点在反比例函数图象上， ∴，即， ∵轴， ∴， ∵正比例函数与反比例函数交于点， ∴点关于原点对称， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握一次函数与反比例函数交点的计算，解一元二次方程的方法，几何图形面积的计算方法，平行四边形的性质是解题的关键． 17．如图，矩形的顶点A、C分别在轴、轴的正半轴上，点在反比例函数的第一象限内的图象上，，动点在轴的上方，且满足． (1)若点在这个反比例函数的图象上，求点的坐标； (2)连接，求的最小值． 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）根据矩形的性质，得到，进而得到，设点的纵坐标为，根据列方程，求出，即可得到点的坐标； （2）由（1）可知，点在直线上运动，作点关于直线的对称点，连接，得到的最小值为的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：四边形是矩形，， ， 点在反比例函数的第一象限内的图象上， ， 设点的纵坐标为， ， ， ， 点在这个反比例函数的图象上， 点的横坐标为， ． （2）解：由（1）可知，点在直线上运动， 如图，作点关于直线的对称点，连接， 则，， ， 的最小值为的长， 在中，由勾股定理得，， 的最小值为10． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数图象和性质，轴对称求最短距离，勾股定理等知识，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 18．如图，点为反比例函数图象上的点，其横坐标依次为．过点作x轴的垂线，垂足分别为点；过点作于点，过点作于点，…，过点作于点．记的面积为的面积为的面积为． (1)当时，点的坐标为______，______，______，______（用含n的代数式表示）； (2)当时，______（用含n的代数式表示）． 【答案】(1)；；； (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，图形类的规律探索： （1）先求出，进而得到，再求出，，则，同理可得，，，再根据三角形面积计算公式求出的面积，然后找到规律求解即可； （2）仿照（1）表示出的面积，然后找到规律求解即可． 【详解】（1）解：当时，反比例函数解析式为， 在中，当时，；当时，；当时，， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴； 同理可得，，， ∴，， ， ∴，， …… 以此类推可得，； 故答案为：；；；； （2）解：当时，反比例函数解析式为， 在中，当时，；当时，；当时，， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， 同理可得，，， ∴，， ， 以此类推可得， ． 19．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． (1)求一次函数的解析式及的面积； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)若点P是坐标轴上的一点，且满足面积等于的面积的3倍，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)；4 (2)或 (3)或或或 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键； （1）分别把点A、B代入反比例函数解析式求出m、n的值，然后根据待定系数法可进行求解； （2）根据图象可直接进行求解； （3）由题意易得，然后可分当点P在x轴上和在y轴上，进而分类求解即可 【详解】（1）解：反比例函数的图象与一次函数的图象交于 两点． 将A与坐标代入反比例解析式得：， ， 代入一次函数解析式得：， 解得：， 一次函数的解析式为， 直线与轴、轴的交点坐标为， ； （2）解：， 观察图象可知，不等式的解集是或． （3）解：， ， 设，即， ， 解得：或， 则、， 同理可得、， ∴点P的坐标为或或或． 20．如图， 已知直线 与反比例函数 的图象交于 A、 B两点，且点 A 的横坐标为 4．    (1)直接写出反比例函数解析式是 ． (2)直接写出当 时，自变量 x 的取值范围是 ． (3)过原点O的另一条直线l交双曲线于P、 Q两点 （点P在第一象限） ，若由点A、B、P、Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)点P的坐标是或 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的图象与性质，比例系数的几何意义，平行四边形的判定等知识，注意数形结合与分类讨论思想的应用． （1）把点A的横坐标为4代入直线，得，即得A点坐标，再把点A的坐标代入反比例函数解析式中，求得k的值即可； （2）由正比例函数与反比例函数的对称性可得点B的坐标，观察图象即可确定不等式的解集； （3）由正比例函数与反比例函数的对称性知，四边形是平行四边形，从而得；设点P的横坐标为m（），得，过点P、A分别作x轴的垂线，垂足为E、F，由反比例函数比例系数的几何意义得；分及两种情况进行考虑，利用建立方程求得m的值，即可求得点P的坐标． 【详解】（1）解：把点A的横坐标为代入直线， 得， 即A点坐标为，          把点代入双曲线得， ， ∴反比例函数解析式为：； （2）解：由于正比例函数与反比例函数关于原点的中心对称图形， 则点A与点B关于原点对称， ∴点B的坐标为， 观察图象知，当时，或． （3）解：∵反比例函数图象与正比例函数图象是关于原点O的中心对称图形， ， ∴四边形是平行四边形， ；       设点P的横坐标为m（），得 过点P、A分别作x轴的垂线，垂足为E、F， ∵点P、A在双曲线上， 若，如图，   ， ， ， 解得（舍去）， ，        若，如图，   ， ， ， 解得（舍去）， ，             ∴点P的坐标是或． 21．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限两点，坐标轴交于两点，连结（是坐标原点）．    (1)利用图中条件，求反比例函数的解析式和的值； (2)求的面积． (3)双曲线上存在一点，使得和的面积相等，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，； (2)； (3)存在点或，使得． 【分析】（）利用待定系数法可求出反比例函数的解析式，进而把代入计算即可求出的值； （）利用待定系数法可求出一次函数的解析式，进而求出点坐标，可得的长，再根据计算即可求解； （）由，可得，当点在的平分线上时，，可证，得到，延长交抛物线于点，可得，又由可得平分，可得点在直线上，最后联立函数解析式解方程组即可求解． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 把代入得，； （2）解：∵， ∴， 把、代入一次函数得， ， 解得， ∴一次函数解析式为， 把代入得，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：双曲线上存在点或，使得，理由如下： ∵点坐标为，点坐标为， ∴， 当点在的平分线上时，， ∵， ∴， ∴， 延长交直线于点， ∵，平分， ∴， 把代入得，， ∴， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴平分， ∴点在直线上， 由，解得或， ∴点的坐标为或， 即双曲线上存在点或，使得．    【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 22．如图，在平行四边形中，点、、的坐标分别是、、，双曲线（，）过点． (1)写出点坐标； (2)求双曲线的解析式； (3)作直线交轴于点，连接，求的面积． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（1）如图，连接交于，设，由平行四边形，、、的坐标分别是、、，可得，计算求解，进而可得点坐标； （2）将 代入，可求，进而可得双曲线的解析式； （3）由 ，，可得轴，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接交于， 设， ∵平行四边形，、、的坐标分别是、、， ∴， 解得，， ∴； （2）解：将 代入得，， 解得：， ∴双曲线的解析式为； （3）解：∵ ，， ∴轴， ∴， ∴的面积为3． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，反比例函数解析式，坐标与图形等知识．熟练掌握反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，反比例函数解析式，坐标与图形是解题的关键． 23．如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线相交于点 E，两个顶点A，D分别在x轴和y轴上，轴， 已知， 反比例函数 在第一象限的图象经过点 E． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点在反比例函数 的图象上， 当时， 求函数值y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的性质，求反比例函数解析式，菱形的性质； （1）根据菱形的性质可得，结合轴可证明四边形是矩形，即可得到，代入计算即可； （2）根据反比例函数的增减性求值即可． 【详解】（1）∵菱形， ∴，即， ∵轴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵反比例函数 在第一象限的图象经过点 E， ∴，解得， ∴反比例函数的解析式为； （2）当时，，当时，， ∵点在反比例函数 ∵， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，． 24．如图，点A和点是反比例函数图象上的两点，点B在反比例函数的图象上，分别过点A，B作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，，连接交y轴于点F． (1)求反比例函数的关系式； (2)设点A的横坐标为a，点F的纵坐标为m，求的值； (3)连接，当时，求点A的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识，熟练掌握反比例函数图象上点的特征是解题的关键． （1）将E点坐标代入函数解析式即可求得k值； （2）根据可证，根据全等三角形面积相等即可得证结论； （3）设A点坐标为,则可得C、D的坐标，根据勾股定理求出a值，即可求得A点的坐标． 【详解】（1）解：∵点是反比例函数图象上的点， ∴， 解得：， 故反比例函数的关系式为：； （2）解：在和中， ∵， ∴， ∴， ∵点A坐标为，则可得， ∴，， ∵，点在图像上， ∴， ∴， 整理得； （3）解：设点A坐标为，则可得，， ∵，， ∴， 即， 解得（舍去）或， ∴A点的坐标为：． 25．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边垂直于轴、垂足为点，反比例函数的图象经过的中点、且与相交于点经过、两点的一次函数解析式为，若点的坐标为且． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)请观察图象直接写出不等式的解集． (3)若在直线上有一点，的面积等于求满足条件的点的坐标； 【答案】(1)， (2)或 (3)点或 【分析】（1）把代入，利用待定系数法即可求得，利用中点坐标公式求出，点C的坐标为，利用待定系数法求解即可； （2）根据图象求得即可； （3）根据三角形的面积求得点的纵坐标，代入直线解析式即可求得横坐标． 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是求得点的坐标． 【详解】（1）解：把代入得， 解得， 反比例函数的解析式为； 由点D的坐标为，且， ∴点A的坐标为， ∵点C为的中点， ∴点C的坐标为， 将点和点代入，得， 解得，即； （2）解：不等式的解集为：或． （3）解：设点的坐标为 的面积等于8，， ， 即，代入， 得到点或； 26．如图，反比例函数图象与正比例函数图象相交于点与点． (1)试求反比例函数与正比例函数的函数表达式及点的坐标． (2)请直接写出的解集． (3)现把的图象绕点顺时针旋转得到了．试问在函数图象上是否存在一动点，使是以为底边的等腰三角形？如果有，请求出这个点的坐标；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数表达式为；正比例函数表达式为； (2)或 (3)存在，或 【分析】（1）利用待定系数法确定即可得到表达式，再联立方程组求解即可得到答案； （2）的解集是指反比例函数图象在正比例函数图象上方部分对应的自变量的取值范围，数形结合求解即可得答案； （3）由旋转性质，结合直线性质得到，根据点的对称性及中垂线的判定与性质得到，若使是以为底边的等腰三角形，则，结合含的直角三角形性质得到线段，最后由两点之间距离公式列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：反比例函数图象与正比例函数图象相交于点， ，即反比例函数表达式为； ，即正比例函数表达式为； 反比例函数图象与正比例函数图象相交于点与点， 联立，解得或，即； （2）解：的解集是指反比例函数图象在正比例函数图象上方部分对应的自变量的取值范围，如图所示： 、， 当或时，反比例函数图象在正比例函数图象上方，即的解集是或 （3）解：如图所示： 把的图象绕点顺时针旋转得到了， 直线垂直直线， 与关于原点对称， 直线是线段的垂直平分线， 当在直线上时，由垂直平分线性质可得， 若使是以为底边的等腰三角形，则， 此时是等边三角形， 在中，，，则，由勾股定理可得， 设，则，解得或， 或． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及待定系数法确定函数表达式、直线与双曲线的交点、利用图象法解不等式、函数与特殊三角形、中垂线的判定与性质、含的直角三角形性质、勾股定理、两点之间距离公式等知识，熟练掌握一次函数与反比例函数图象与性质、灵活运用相关几何性质是解决问题的关键． 27．如图，在平面直角坐标系中，等边的边长为2，顶点A在x轴上，延长至点C．使，过点C作交x轴于点D，反比例函数经过点B交于点E，反比例函数经过点C． (1)求反比例函数，的解析式； (2)连接，，计算的面积． 【答案】(1)， (2)的面积为 【分析】本题考查反比例函数图象上点坐标的特征，待定系数法，三角形面积等，解题的关键是掌握待定系数法，能求出点的坐标． （）过点作，垂足为，由等边的边长为，可得，，，而，知，即可得，； （）连接，由，，得，，，求出直线解析式为，联立联立，解得，则，故； 【详解】（1）解：过点作，垂足为，如图： ∵等边的边长为， ∴，， ∴， ∵，即点为的中点， ∴， 把点，分别代入和 得：，， 解得，， ∴，； （2）连接，如图： ∵，， ∴，， ∴， 由，可得直线解析式为， 联立 ，解得 或 (舍去)， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 28．如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点． (1)求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)若点为直线上的一动点（不与点重合），在轴上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，或或 【分析】本题考查了反比例函数综合应用，熟练掌握平行四边形的存在性求法是解答本题的关键． （1）利用三角形全等求出点坐标，由点坐标求出反比例函数解析式即可； （2）根据点为定点，分三种情况讨论：当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的对角线时即可． 【详解】（1）解：如图，过点作轴，垂足为， 是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为：； （2）解：存在，理由如下： 根据（1）中求点坐标，同理可得点坐标， 设直线解析式为， 代入点坐标得：， 解得：， 直线解析式为：， 设， ， 当为平行四边形的对角线时， 得：， 即：， 解得：， ； 当为平行四边形的对角线时， 得：， 即：， 解得：， ； 当为平行四边形的对角线时， 得：， 即：， 解得：， ； 综上所述，符合条件的点有3个，坐标为或或． 29．如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，位于第一象限的交点A坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求点B坐标，并结合函数图象，直接写出时的自变量的取值范围； (3)若x轴上存在点P，使得为等腰三角形，写出P点坐标． 【答案】(1)一次函数的解析式是：，反比例函数的解析式是：； (2)点B的坐标是，或； (3)点P的坐标是，，，，． 【分析】本题考查的是反比例函数图像与一次函数图像的综合，解决问题时要多种情况考虑，多种情况分析. （1）将点分别代入，中解出b、k的值，即可得出． （2）因为点B是两函数图像的交点，得到，解出x的值，再带入反比例函数解析式中，得出结果． （3）分类讨论，，，三种情况，设点P的坐标为，利用距离公式，求得结果． 【详解】（1）解：将点代入中，得到， 解得：， ∴一次函数的解析式是：． 将点代入中，得到， 解得： ∴反比例函数的解析式是：． （2）令， 解得：，， 将带入中， 得， ∴点B的坐标是， 由图像可知，时，的取值范围是：或． （3）∵， ∴①若， 设点P的坐标为， 可得， 解得：，， ∴点P的坐标为，． ②若， 可得：， 解得：， 则P点的坐标是． ③若， 可得， 解得： ，， ∴点P的坐标为，． 综上可得：点P的坐标是，，，，． 30．在平面直角坐标系中，点A坐标为，反比例函数的图象分别交矩形的两边，于点，（点，不与点重合），沿着将折叠，点落在点处． (1)如图1，当点E为中点时，求点F的坐标，并直接写出与对角线的关系； (2)如图2，当点E位置发生改变时，与是否存在（1）中的位置关系，请说明理由； (3)如图3，连接，当平分时，求出此时反比例函数的表达式． 【答案】(1)点F的坐标为；， (2)存在，理由见解析 (3) 【分析】（1）用待定系数法求出反比例函数表达式，得到分别为、的中点，进而求解； （2）求出点的坐标为，得到，则，得到，即可求解； （3）当在轴上时，推出，求出的表达式，又由平分，，联立两条直线，得到的中点的坐标，再求出的表达式，求得的表达式，进而求解． 【详解】（1）解：点为中点， 由中点坐标公式得：， 将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 解得：， 当时，，即点的坐标为， 、分别为、的中点， ，； （2）解：，理由如下： 将代入，得， 点的坐标为， ， 将代入，得， 点的坐标为， ， ， 又， ， ∴, ； （3）当在轴上时，如图： 沿着折叠至， ， ， ， ， ， ， ， 在矩形中，，， ， ， ， ， 设直线的表达式为：，代入，，得， 解得， 的表达式为：， 如图，当平分时，， ， 与轴的交点坐标为：， 表达式为：， 联立， 解得， 点坐标为， 的中点的坐标为， 设直线的表达式为：，代入，，得， 解得：， 故直线表达式为：， 设直线表达式为：，代入， 的表达式为：， 当时，， 点坐标为， ， 此时反比例函数的表达式为． 【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，相似三角形的判定和性质，翻折的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． ( 55 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$