精品解析：天津市耀华中学2024-2025学年高一上学期期中学情调研数学试卷

天津市耀华中学 2024-2025 学年度第一学期期中学情调研 高一年级数学学科试卷 本试卷分第 I 卷 (选择题) 和第 II 卷 (非选择题) 两部分共 100 分， 考试用时 100 分钟. 第 I 卷 (选择题 共 36 分) 一. 选择题: 本大题共 12 小题， 每小题 3 分， 共 36 分， 在每小题的 4 个选项中， 只有 一项是符合题目要求的， 将答案涂在答题卡上. 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得B，根据并集的定义求得，再根据补集的定义求解即可. 【详解】，， 又， ． 故选：C. 2. 已知函数 则 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】代入分段函数解析式得到. 【详解】. 故选：A 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解绝对值不等式，得到或，根据真包含关系，得到“”是“”的必要不充分条件. 【详解】，故或，解得或， 由于为的真子集， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4. 下列各组函数中， 表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】AD选项，两函数定义域不同；B选项，对应法则不同；C选项，定义域和对应法则均相同，为同一函数. 【详解】A选项，的定义域为R，的定义域为， 定义域不同，故不是同一函数，A错误； B选项，的对应法则不同，不是同一函数，B错误； C选项，，为同一函数，C正确； D选项，令，解得，故的定义域为， 令，解得或，故的定义域为， 定义域不同，不是同一函数，D错误. 故选：C 5. 若函数为奇函数，则实数（ ） A. B. 1 C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性列列方程，由此求得的值. 【详解】是奇函数，， ， 由于上式恒成立，所以. 此时， ，是奇函数，符合题意. 所以. 故选：B 6. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】应用特殊值法判断A,B,C,做差法计算判断D. 【详解】选项A，若，则结论错误，故选项A错误； 选项B，当时，，故选项B错误； 选项C，当时，，故选项C错误； 选项D，， 因为，所以，， 所以，即，故D正确； 故选：D. 7. 已知函数 ，且 ，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据的单调性和对称性求得正确答案. 【详解】二次函数的开口向上， 由可知关于直线对称， ，在上单调递减， 所以，即. 故选：C 8. 已知奇函数满足 ，且在上单调递减，则的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇函数性质得到，又，在上单调递减，推出，在上单调递减，故和时，满足要求，得到答案. 【详解】为奇函数，故， ， 又，在上单调递减， 故当时，，此时，不合要求， 当时，，此时，满足要求， 由对称性可知，在上单调递减， 故当时，，此时，满足要求， 当时，，此时，不合要求， 综上，的解集为. 故选：B. 9. 若命题“，使得不等式”成立，则实数的取值集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】讨论，，与时，分别讨论，可得所求范围． 【详解】命题“，使得不等式”成立， 当时，不等式为，显然有解，成立； 当时，开口向下，必然，使得不等式成立，； 当，即，解得或，所以或． 综上可得或． 故选：． 10. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式 的解集（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】为方程的两根，且，由韦达定理得到，分式不等式变形后等价于，求出不等式解集. 【详解】由题意得为方程的两根，且， 由韦达定理得，故， 故， 等价于，解得， 故不等式解集为. 故选：B 11. 函数满足对且，都有 ，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件得到分段函数在R上单调递增，需满足每一段上单调递增，且分段处左端点值小于等于右端点值，从而得到不等式，求出答案. 【详解】由对且，都有 可得，在R上单调递增， 其中时，， 故需满足，解得或. 故选：D 12. 已知，且恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，由基本不等式和一元二次不等式，得到，不等式化为在上恒成立，由对勾函数单调性得到最小值为，从而得到答案. 【详解】，由基本不等式得， 令，则，解得或（舍去）， 在上恒成立， 故在上恒成立， 由对勾函数性质可知在上单调递增， 故当时，取得最小值，最小值为，故. 故选：C 第 II 卷 (非选择题 共 64 分) 二. 填空题: 本大题共 8 小题， 每小题 4 分， 共 32 分， 将答案填写在答题卡上. 13. 函数 的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数特征得到不等式，求出定义域. 【详解】由题意得，解得， 故定义域为. 故答案为： 14. 函数 的单调增区间为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求函数的定义域，然后根据复合函数单调性同增异减来求得正确答案. 【详解】由， 解得，二次函数的开口向下，对称轴为， 函数在上单调递增， 根据复合函数单调性同增异减可知，的单调递增区间是. 故答案为： 15. 已知命题；命题，且是的必要非充分条件， 则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】解不等式得到，根据必要不充分条件得到真包含关系，从而得到不等式，求出. 【详解】， 是的必要非充分条件，故是的真子集， 故或， 解得. 故答案为： 16. 函数的值域是________. 【答案】 【解析】 【分析】换元后利用二次函数图像即可得出值域，但注意换元后的定义域. 【详解】令……① 将①式代入可得：…...② 的定义域为， 由二次函数图像可知，开口向下；且. 故答案为：. 17. 关于的方程的两根都在之内，则实数的取值范围为_________ 【答案】 【解析】 【分析】从根的判别式，对称轴，与四个方面限制，求出的取值范围. 【详解】设方程对应的二次函数为， 方程两根都在之内等价于与x轴的交点均在，故要满足解得： 故答案为： 18. 已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减，则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用偶函数的性质可以得到，再利用上的单调性去掉对应法则可得满足的不等式组，其解集即为所求的解集. 【详解】∵在是偶函数，且在上递减，， 故， ∴，∴，即. 故答案为：. 【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性，偶函数满足，利用这个性质可以实现对称两侧的函数值的转化，另外，解函数不等式，要依据单调性去掉对应法则，本题为中档题. 19. 正实数 满足 ，当 取得最大值时， 的最大值为________. 【答案】##2.25 【解析】 【分析】由条件可得，可得，利用基本不等式可得,时，取到最大值，且，代入，运用二次函数的性质求出其最大值即可. 【详解】正实数满足，可得，， 由，当且仅当,时等号成立， 即时，取到最大值，且， ， 当时，取到最大值为. .故答案为：. 20. 已知函数，，若函数的图象经过四个象限，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】画出的图象、的图象，根据的图象经过四个象限，由图象以及判别式求得的取值范围. 【详解】画出的图象如下图所示，作出直线，它过定点， 由图可知，要使的图象经过四个象限， 则需直线与的图象在轴的左右两侧各有两个交点. （即时，的函数值有正有负，时，的函数值有正有负） 时，与轴的公共点为，， 时，， 由得， ，解得或， 由图可知切线的斜率为， 所以. 故答案为： 三. 解答题: 本大题共 3 小题， 共 32 分， 将解题过程及答案填写在答题卡上. 21. 已知集合，，全集为 （1）若时，求及； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）求出时集合，再根据并集，补集和交集运算即可求解； （2）由可得，讨论和时，列不等式组即可求解. 【小问1详解】 当时，，，， 所以， 或，或， 或. 【小问2详解】 若，则， 当时，，可得，满足， 当时，，解得：， 终上所述：实数的取值范围为. 22. 已知函数. （1）对任意，函数恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，求不等式的解集. 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）通过转换主参变量的方法来列不等式，从而求得的取值范围. （2）对进行分类讨论，根据一元二次不等式的解法求得不等式的解集. 【小问1详解】 依题意，恒成立， 恒成立， 又因为恒大于0， 所以， 即. 【小问2详解】 ， 当时，，由，解得： 当时，令，解得. 当时，，即由，解得； 当时，，即，解得或 当时，，由，解得； 当时，，即，由，解得或 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【点睛】关键点点睛：在解题过程中，利用不等式恒成立条件，转化主参变量进行推导，利用分类讨论法时，要做到不重不漏，确保所有可能的情况都得到分析． 23. 已知函数 . （1）若，求函数的单调区间； （2）若，都有，求实数 的取值围. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为； （2） 【解析】 【分析】（1）写出的分段形式，得到的单调区间； （2）在上的值域包含在上的值域，分，和三种情况，得到的值域，进而分这三种情况，得到的值域，进而得到不等式，求出实数的取值范围. 【小问1详解】 ， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 故单调递增区间为，单调递减区间为； 【小问2详解】 ，都有， 故在上的值域包含在上的值域， ， 当时，， 因为， 当时，，，故值域为， 当时，，， 值域为， 当时，，， 值域为， ，， 当时，此时，， 值域为， 则，故，解得， 与求交集得， 当时，， 其中， ， 故， ，显然， 值域为，则， 所以，解得， 与求交集得， 当时，由（1）知，在上单调递减，在上单调递增， 其中，显然， 值域为， 则， 所以，解得， 与求交集得， 综上，实数的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：第二问需先转化为在上的值域包含在上的值域，对变形后，分三种情况，得到值域，进而分这三种情况，得到的值域，得到不等式，求出答案. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市耀华中学 2024-2025 学年度第一学期期中学情调研 高一年级数学学科试卷 本试卷分第 I 卷 (选择题) 和第 II 卷 (非选择题) 两部分共 100 分， 考试用时 100 分钟. 第 I 卷 (选择题 共 36 分) 一. 选择题: 本大题共 12 小题， 每小题 3 分， 共 36 分， 在每小题的 4 个选项中， 只有 一项是符合题目要求的， 将答案涂在答题卡上. 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数 则 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 12 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列各组函数中， 表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 若函数为奇函数，则实数（ ） A. B. 1 C. 0 D. 6. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 已知函数 ，且 ，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知奇函数满足 ，且在上单调递减，则的解集是（ ） A. B. C. D. 9. 若命题“，使得不等式”成立，则实数的取值集合是（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式 的解集（ ） A. B. C. D. 11. 函数满足对且，都有 ，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 已知，且恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第 II 卷 (非选择题 共 64 分) 二. 填空题: 本大题共 8 小题， 每小题 4 分， 共 32 分， 将答案填写在答题卡上. 13. 函数 的定义域为______. 14. 函数 的单调增区间为______. 15. 已知命题；命题，且是的必要非充分条件， 则实数的取值范围是______. 16. 函数的值域是________. 17. 关于的方程的两根都在之内，则实数的取值范围为_________ 18. 已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减，则不等式的解集为______. 19. 正实数 满足 ，当 取得最大值时， 的最大值为________. 20. 已知函数，，若函数的图象经过四个象限，则实数的取值范围是______. 三. 解答题: 本大题共 3 小题， 共 32 分， 将解题过程及答案填写在答题卡上. 21. 已知集合，，全集为 （1）若时，求及； （2）若，求实数的取值范围. 22. 已知函数. （1）对任意，函数恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，求不等式的解集. 23. 已知函数 . （1）若，求函数的单调区间； （2）若，都有，求实数 的取值围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $