上海市松江二中2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

松江二中2024学年第一学期期中考试试题 高二数学 2024.11 考生注意： 1.每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律 无效： 2。答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚； 3.本试卷共21道试题，满分150分；考试时间120分钟. 一、填空题（本大题共有12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，共54分）考生应在答题 纸的相应位置直接填写结果。 1.若A∈1，B∈1，且A∈&，B∈a,则1（填“∈”、“、“c”、“p”). 2.已知数列{an}满足41=2an,且a=1，则ag= 3.已知平面c的法向量为(2，-4，-2)，平面的法向量为(-1,2，k),若p,则k= 4.若正四棱柱的底面周长为4，高为2，则该正四棱柱的表面积为 5.已知空间四边形ABCD中向量AB=ā，AC=b,AD=c,点E,F分别是AB,CD的中点， 则向冠E= (用a、6、c表示) 1.1 6.已知4，b为正实数，若√5是3与3的等比中项，则二+：的最小值为 a b 7.已知数列{a,}满足a=a,+3,且4=4.设a。 。一，则数列{亿}的前n项和Sn= 8.如图所示，已如四棱锥的底面是边长为1的正方形，PD⊥AD,PC=√互，PD=1,E,F分别是 AB,BC的中点.则直线AC到平面PEF的距离为」 (第8题) (第9题) 9.北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，终于得出 了长方台形垛积的求和公式如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，第一层有 ab,(a=b+1)个小球，第二层有(a+1)(b+1)个小球，第三层有(a+2)(b+2)个小球… 依此类推，最底层有c个小球，共有n层现有一个由小球堆成的长方台形垛积，共7层，小球总个 数为168，则该垛积的第一层的小球个数为 2024学年第一学期期中考试高二数学第1页（共4页） 10.如图，在圆柱的轴截面ABCD中，AB=4,BC=2,O,O2分别为圆柱上下底面的中心，M 为OO,的中点、动点P在圆柱下底面内（包括圆周）.若AM⊥MP,则点P形成的轨迹的长度 为」 11.若数列{an}满足条件：存在正整数k,使得aat+an-k=2a,对一切neN°，n>k都成立，则称数 列{an}为k级等差数列.若a,=2n+sinm(0为常数)，且{an}是3级等差数列，则0所有可能值 的集合为 0 (第10题) (第12题) 12.如图，正方形ABCD边长为4，E为AB中点，F是边BC上的动点.将△ADE沿DE翻折到aSDE, △BEF沿EF翻折到△SEF,若BF>1,连接DF,设直线SE与平面DEF所成角为日，则8的最大 值为 二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分）每题有且 只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑。 13.己知平面a,直线1、m,若mCa,则“m”是“/1a”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 14.球的两个平行截面面积分别为5π和8π，球心到这两个截面的距离之差等于1，则球的直径为() A.3 B.4 C.5 D.6 15.己知等差数列{an}的前n项和为Sn,“aos=0”是“Sn=S-n（n<4049,n∈N)”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 16.已知正方体ABCD-AB,C,D是一个棱长为2的正方体容器，E,F分别为AB,BC的中点，下列 选项中正确的是() 命题甲：过E,下，C三点的截面面积为号 命题乙：若E,F,C为三个小孔（孔的大小忽略不计），则此时容器的最大装水量为6 A,命题甲和命题乙都为真命题 B.命题甲和命题乙都为假命题 C.命题甲为真命题，命题乙为假命题 D.命题甲为假命题，命题乙为真命题 2024学年第一学期期中考试高二数学第2页（共4页） 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17.(本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于4，C的动点，等腰直角三角形△SOC的 面积为号 (1)求圆锥S0的表面积； (2)若点B是AC的一个三等分点，求三棱锥A-SBC的体积. 18.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 记Sn为数列{an}的前n项和，已知2Sn=3an-1. ()求数列{a}的通项公式： (2)设bn=an+logs a,求数列{bn}的前n项和Tn. 19.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 《九章算术商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖膈，阳马居二，鳘膈 居一，不易之率也。合两鳘踽三而一，验之以基，其形露矣。”刘徽注：“此术膈者，背节也，或曰半 阳马，其形有似鳖肘，故以名云。中破阳马，得两鳘膈，整膈之起数，数同而实据半，故云六而一即 得” 堑堵 阳马 如图，在鳖孺ABCD中，侧棱ABL底面BCD. (I)若BC⊥CD,AB=1,BC=2,CD=1,试求异面直线AC与BD所成角的余弦值： 2)若BD⊥CD,AB=BD=CD=2,点P在棱AC上运动，试求△PBD面积的最小值. 2024学年第一学期期中考试高二数学第3页（共4页） 20.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 已知x轴上的点A,0,4(5,0,…,4(a0满足4-号1不射线y=x(之0)上的点 8(3,3,A(5,5),,B(®，b.)满足oB=⊙B+22,neN. (I)证明：{a1-an}是等比数列； (②)求点A和点B的坐标（用1表示）： (3)求四边形AnAB1B,面积Sn的取值范围. 21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 在各项均不为零的数列{an}中，选取第片项、第k2项、、第k项，其中m≥3，k<飞<…<km, 若新数列a,a%,…,a为等比数列，则称新数列为{a}的一个长度为m的“等比子列”.已知等差数列 {a},其各项与公差d均不为零. (1)若在数列{a}中，公差d=2,n=4,且存在项数为3的“等比子列”，求数列{a}的通项公式： ②若4=号n+号数列a,84,为o,}的-个长度为n的等比子列，其中=1，公比为。当 9最小时，求k的通项公式： (3)若公比为9的等比数列{b,},满足4=6，a2=b,b=a,(i≥3，ieN),证明：数列{b}为数列{a} 的“等比子列”，