湖北省华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高二上学期期中检测数学试题

华中师大一附中2024-2025学年度上学期期中检测 高二数学试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人：严贤灿 刘晓华 审题人：张丹 曹宗庆 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．） 1. 在长方体中，运算的结果为（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆，若圆C关于直线对称，则的最小值为（ ） A. 8 B. 1 C. 16 D. 3. 已知椭圆与直线交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆与圆，若圆与圆恰有三条公切线，则实数t的值为（ ） A. B. C. D. 0 6. 已知椭圆，M为椭圆C上的一点，则点M到直线距离最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 7. 已知分别是椭圆的左、右焦点和上顶点，连接并延长交椭圆C于点P，若为等腰三角形，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 设a为实数，若直线，，两两相交，且交点恰为直角三角形的三个顶点，则这样的，，有（ ） A. 2组 B. 3组 C. 4组 D. 5组 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有若干个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知圆，直线，下列说法正确的是（ ） A. 当或时，圆O上没有点到直线l的距离等于1 B. 当时，圆O上恰有三个点到直线l的距离等于1 C. 当时，圆O上恰有三个点到直线l的距离等于1 D. 当时，圆O上恰有四个点到直线l的距离等于1 10. 将圆上任意一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到椭圆C，若该椭圆的两个焦点分别为，长轴两端点分别为A，B，则（ ） A. 椭圆的标准方程为 B. 若点M是椭圆C上任意一点（与A，B不重合），P在的延长线上，MN是的角平分线，过作垂直MN于点Q，则线段OQ长为定值4 C. 椭圆上恰有四个点M，使得 D. 若点M是椭圆C上任意一点（与A，B不重合），则内切圆半径的最大值为 11. 如图，正方体透明容器的棱长为分别为的中点，点是棱上任意一点，下列说法正确的是（ ） A. B. 向量在向量上的投影向量为 C. 将容器的一个顶点放置于水平桌面上，使得正方体的12条棱所在的直线与桌面所成的角都相等，再向容器中注水，则注水过程中，容器内水面的最大面积为 D. 向容器中装入直径为1的小球，最多可装入512个 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 对于任意实数，的最小值为______． 13. 已知正方形ABCD中心的坐标为，若直线AB的方程为，则与AB边垂直的两条边所在的直线方程为________________． 14. 已知点P是椭圆上一动点，过点P作的切线PA、PB，切点分别为A、B，当最小时，线段AB的长度为________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知△ABC的顶点，边AB的中线CM所在直线方程为，边AC的高BH所在直线方程为． （1）求点B的坐标； （2）若入射光线经过点，被直线CM反射，反射光线过点，求反射光线所在的直线方程． 16. 已知圆和，，． （1）求过点且与圆M相切的直线方程； （2）试求直线上是否存在点P，使得？若存在，求点P的个数，若不存在，请说明理由． 17. 如图，直三棱柱的体积为1，的面积为． （1）求点A到平面的距离； （2）设D为的中点，，平面⊥平面，求二面角的正弦值． 18. “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：如图用一张圆形纸片，按如下步骤折纸： 步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一定点，记为F； 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F，此时圆周上与点F重合的点记为A； 步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE的交点为P； 步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕和越来越多的点P． 现取半径为8的圆形纸片，设点F到圆心E的距离为，按上述方法折纸．以线段FE的中点为原点，的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系xOy，记动点P的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程： （2）若点Q为曲线C上的一点，过点Q作曲线C的切线交圆于不同的两点M，N． （ⅰ）试探求点Q到点的距离是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由； （ⅱ）求面积的最大值． 19. 已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上． （1）求椭圆M的方程； （2）过x轴上的一定点作两条直线，，其中与椭圆M交于A、B两点，与椭圆M交于C、D两点，（A，C在x轴上方，B，D在x轴下方），如图所示． （ⅰ）已知，直线QA斜率为，直线QC斜率为，且，求证：直线AC过定点； （ⅱ）若直线，相互垂直，试求的取值范围． 华中师大一附中2024-2025学年度上学期期中检测 高二数学试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人：严贤灿 刘晓华 审题人：张丹 曹宗庆 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有若干个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 【9题答案】 【答案】CD 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】C 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】和 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）或 （2）存在, 点有两个 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）（ⅰ）是定值，定值为4；（ⅱ） 【19题答案】 【答案】（1）； （2）（ⅰ）证明：由题意，令，，且，且均不为2， 联立，则， 且，所以， 则，， 由， 所以，则， 所以，故或， 当时，，此时过定点； 当时，，此时过定点，不合题意； 综上，直线过定点，得证. （ⅱ）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $