精品解析：辽宁省辽南协作体名校联盟2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

2024—2025学年度上学期期中考试高二试题 数学 命题人：抚顺二中 胡世龙 审题人：锦州中学 王锦明 考试时间：120分钟 满分：150分 第I卷（选择题，共58分） 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求） 1. 已知直线的方向向量为，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据方向向量写出斜率，进而得到倾斜角. 【详解】由题设，则的倾斜角为. 故选：A 2. 已知向量，则下列向量中与成的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：对于A选项中的向量，，则； 对于B选项中的向量，，则； 对于C选项中的向量，，则； 对于D选项中的向量，此时，两向量的夹角为.故选B. 【考点定位】本题考查空间向量数量积与空间向量的坐标运算，属于中等题. 3. 已知直线与，若，则的值是（ ） A. 3 B. 5 C. 3或5 D. 1或2 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行得到方程，解出值，再验证即可. 【详解】由题意得，解得或5， 当时，，，两直线平行； 当时，，，两直线重合，故舍去； 综上，若，则的值是3. 故选：A. 4. 直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】C 【解析】 【详解】本试题主要考查异面直线所成的角问题，考查空间想象与计算能力．延长B1A1到E，使A1E=A1B1，连结AE，EC1，则AE∥A1B，∠EAC1或其补角即为所求，由已知条件可得△AEC1为正三角形，∴∠EC1B为，故选C． 5. 过点的直线与曲线相交于、两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出图形，分析可知，当时，的面积最大，利用几何法求出圆心到直线的距离，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出参数值，即可得出直线的方程. 【详解】由可得，可得， 所以，曲线表示为圆的上半圆，且该半圆的半径为， ， 当且仅当时，等号成立， 此时，原点到直线的距离为， 由图可知，直线的斜率存在，且， 则直线的方程为，即， 由点到直线的距离公式可得，因为，解得， 因此，直线的方程为，即. 故选：A. 6. 若与相交于两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则实数的值是（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意画出已知两个圆的图象，利用圆的性质可以得到两切线互相垂直时，满足过对方的圆心，再利用直角三角形进行求解． 【详解】如图所示，由圆的几何性质知：当两圆在点A处的切线互相垂直时，切线分别过对方圆心， 在中，由已知条件知，， 所以，由于，则. 故选：B. 7. 已知双曲线的两个焦点分别为、，点到其中一条渐近线的距离为，点是双曲线上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式可得出，利用双曲线的定义、余弦定理可求得的值. 【详解】易知点，双曲线的渐近线方程为，即， 所以，焦点到渐近线的距离为， 设，，由双曲线的定义可得， 由余弦定理可得， 即，所以，. 故选：D. 8. 在三棱锥中，底面是等边三角形，侧面是等腰直角三角形，，，分别取的中点，连接，则直线与所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据异面直线的定义找到异面直线所成的角，利用余弦定理求解即可. 【详解】作中点，连接， 因为，所以或其补角为异面直线所成的角， 由已知得，则，所以， 所以，又，， 所以为等腰三角形，所以， 因为，所以， 在中，由余弦定理可知. 故选：B. 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分） 9. 已知点，过点的直线交圆于两点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为1 B. 满足的弦有且只有2条 C. 当最小时，圆上的点到直线的距离最小值为0 D. 当最小时，圆上的点到直线的距离最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据圆的几何性质判断ACD；设出直线的方程，结合圆的几何性质表示出，进而解方程判断B. 【详解】由圆，则圆心，半径为， 由于，所以点在圆内部. 当时，，故A错误， 此时圆上的点到直线的距离最小为0， 圆上的点到直线的距离最大为，故CD正确； 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时，则. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离为， 所以， 当时，即， 整理得，由于， 则方程有两个不相等的实数根， 则满足的弦有且只有2条，故B正确. 故选：BCD. 10. 如图，在棱长为的正方体中，为的中点，点在线段上，则下列说法正确的是（ ） A. 与的距离为 B. 当点为的中点时， C. 当点在的中点时，点到平面的距离为 D. 点到直线的距离的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】找出直线与的公垂线段，并求其长度，可判断A选项；以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断BCD选项. 【详解】对于A选项，连接， 因为平面，平面，则， 同理可得，所以，与的距离为，A错； 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 对于B选项，当点为线段的中点时，， 此时，，B对； 对于C选项，当点在的中点时，，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，， 所以为平面的一个法向量， 此时，点到平面的距离为，C对； 对于D选项，设，其中， ， 所以，点到直线的距离为 ， 当且仅当时，等号成立，故点到直线的最短距离为，D错. 故选：BC. 11. 已知椭圆的上顶点为，左､右焦点分别为，离心率为.过且垂直于的直线与交于两点，为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的直线方程是 C. 直线的斜率为 D. 的周长是8 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据离心率可得，即得为等边三角形，根据等边三角形的性质和点斜式方程可判断B，结合椭圆焦点三角形可判断D，根据点差法可判断C. 【详解】由于，故A正确， 由于，故为等边三角形，故, 因此，, 因此直线的直线方程为，即，B错误, ,则， 故, ,故，故C正确， 对于D, 为等边三角形，且,故是的垂直平分线， 故，故D正确， 故选：ACD 第II卷（非选择题，共92分） 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知平行直线，则.与的距离是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】先根据求出，进而结合平行直线之间的距离公式计算即可. 【详解】因为，则，解得， 此时，即， 所以.与的距离是. 故答案为：. 13. 如图，二面角的大小是45°，线段.，与所成的角为30°.则与平面所成的角的正弦值是___________. 【答案】 【解析】 【分析】过点A作平面的垂线，垂足为C，在内过C作l的垂线，垂足为D，连接AD，由三垂线定理可知，由此得到二面角的平面角及线线角，通过求解直角三角形求得AB与平面所成的角的正弦值. 【详解】如图 过点A作平面垂线，垂足为C，在内过C作的垂线，垂足为D，连接AD， 由三垂线定理可知， 故为二面角的平面角，为 又由已知， 连接CB，则为AB与平面所成的角，设，则.， 故答案为：. 【点睛】本题考查了二面角的平面角，考查了线面角，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题. 14. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支相交于两点（点在第一象限），为的中点，双曲线的离心率为，若点到四边形的四个顶点的距离之和最小，则点的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据离心率可得，进而根据点差法可得直线的方程为，利用三点共线即可求解当是和的交点时，取到最值. 【详解】根据离心率为，故， 设,则， 故, 故，故， 故的方程为，令，，故直线与轴的交点为， 故,当且仅当三点共线时取等号， ，当且仅当三点共线时取等号， 故，为定值，当且仅当是和的交点，等号取到， 故, 故答案为： 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知三点、、. （1）求过、、三点的圆的一般方程； （2）过点的直线与圆交于点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设过、、三点的圆的一般方程为，将这三点的坐标代入圆的方程，可得出关于、、的方程组，解出这三个量，即可得出所求圆的一般方程； （2）求出圆心坐标和半径，利用勾股定理计算出圆心到直线距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，当直线的斜率不存在时，直接验证即可；当直线的斜率存在时，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出参数值，综合可得出直线的方程. 【小问1详解】 解：设过、、三点的圆的一般方程为， 则有，解得， 因此，过、、三点的圆的一般方程为. 【小问2详解】 解：由（1）可知，外接圆的标准方程为， 圆心为，半径为， 因为，则圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时，圆心到直线的距离为，合乎题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 即，则， 解得，此时，直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 16. 在四棱锥中，侧面是正三角形且垂直于底面，底面是菱形，，为上一点，且平面. （1）求证：为中点： （2）求直线与平面成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，可知为中点，利用线面平行的性质可证得，结合中位线的性质即可得证； （2）取的中点，连接、，推导出平面，，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 连接交于点，连接， 因为四边形为菱形，，则为的中点， 因为平面，平面，平面平面， 所以，，故为的中点. 【小问2详解】 取的中点，连接、， 因为是等边三角形，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以，平面， 因为四边形为菱形，则， 又因为，则为等边三角形，所以，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示空间直角坐标系， 不妨设，则、、、、 、， 所以，，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得， 所以，， 因此，直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与左支相交于、两点. （1）若，，求双曲线的方程： （2）若直线的斜率为，且，求双曲线的离心率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由双曲线的定义结合已知条件可求出的值，由已知条件得出的值，可求出的值，由此可得出双曲线的方程； （2）设，可得，在、中分别利用余弦定理，化简后可得出关于、的齐次等式，即可解得双曲线的离心率的值. 【小问1详解】 解：由双曲线的定义可得，， 所以，， 因为，则， 由可知，，则， 所以，双曲线的方程为. 【小问2详解】 解：因为直线的斜率为，则，， 设，由可得， 在中，由余弦定理可得，① 在中，由余弦定理可得，② 由①②整理可得， 代入①式可得，所以，， 因此，双曲线的离心率为. 18. 在如图所示的几何体中，平面平面，是棱上一点（不包括端点）. （1）求证：； （2）是否存在点，使得二面角的平面角的正弦值为？如果存在，求出点的位置，如果不存在，说明理由； （3）在（2）的条件下，当二面角的平面角为锐角时，求点到直线的距离. 【答案】（1）证明见见解析； （2）点位于线段中点，或者八分之一点，且靠近点； （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质得，再利用线面垂直的判定与性质即可； （2）建立合适的空间直角坐标系，设，再求出相关法向量，利用面面角的空间向量求法即可得到方程，解出值即可； （3）在（2）的基础上，根据点到直线的空间向量求法即可得到答案. 【小问1详解】 因为平面平面，所以， 又因为平面，所以平面， 又因为平面，所以. 【小问2详解】 过点作，则平面， 以点为原点，的正方向分别为，，轴的正方向建立平面直角坐标系， 由，得， 设， 则，解得， 设平面的法向量为，且， 由，取， 设平面的法向量为，且， 由取， 设二面角的平面角为，则， ，解得或. 则点位于线段中点，或者八分之一点，且靠近点. 【小问3详解】 因为二面角的平面角为锐角，结合图形特征，取离较远的一点，即， 此时，连接， 所以， 设点到直线的距离为，则. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是通过建立合适的空间直角坐标系，并利用面面角的空间向量求法，从而得到方程，解出即可. 19. 设分别是直线和上的动点，且，设为坐标原点，动点满足. （1）求动点的轨迹方程： （2）设分别为轨迹上的两个动点，且. （i）求证：为定值； （ii）求面积的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）设，，根据题意列出式子，利用代入法即可求解； （2）（i）分斜率一个为0，一个不存在时，及斜率都存在且不为0来讨论，当斜率都存在且不为0时，设直线，直线，，联立直线方程与椭圆方程，得，，同理可得，，结合题意即可证明； （ii）由（i）知，，则，分斜率一个为0，一个不存在时，及斜率都存在且不为0来讨论，利用分离常数法及基本不等式即可求解. 【小问1详解】 设，， 则，即， 又，则， 所以， 所以，即. 所以动点的轨迹方程为. 【小问2详解】 （i）当斜率都存在且不为0时， 因为， 设直线，直线，， 由，得，， 同理得，， 故； 当斜率一个为0，一个不存在时，得； 综上可得为定值. （ii）当斜率都存在且不为0时， 由（i）知，， ， 又，当且仅当时取等， 所以， 当斜率一个为0，一个不存在时，， 所以面积的取值范围为. 【点睛】方法点睛：可以直接列出等量关系式可以用直接法求轨迹方程，解题步骤为： （1）根据已知条件及一些基本公式（两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等)； （2）根据公式直接列出动点满足的等量关系式，从而得到轨迹方程； （3）注意“多点”和“少点”，一般情况下，斜率和三角形顶点等约束条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度上学期期中考试高二试题 数学 命题人：抚顺二中 胡世龙 审题人：锦州中学 王锦明 考试时间：120分钟 满分：150分 第I卷（选择题，共58分） 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求） 1. 已知直线的方向向量为，则的倾斜角为（ ） A B. C. D. 2. 已知向量，则下列向量中与成的是 A. B. C. D. 3. 已知直线与，若，则的值是（ ） A 3 B. 5 C. 3或5 D. 1或2 4. 直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 5. 过点的直线与曲线相交于、两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的方程为（ ） A B. C. D. 6. 若与相交于两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则实数的值是（ ） A. B. C. 5 D. 7. 已知双曲线的两个焦点分别为、，点到其中一条渐近线的距离为，点是双曲线上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，底面是等边三角形，侧面是等腰直角三角形，，，分别取中点，连接，则直线与所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分） 9. 已知点，过点的直线交圆于两点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为1 B. 满足的弦有且只有2条 C. 当最小时，圆上的点到直线的距离最小值为0 D. 当最小时，圆上的点到直线的距离最大值为 10. 如图，在棱长为的正方体中，为的中点，点在线段上，则下列说法正确的是（ ） A. 与的距离为 B. 当点为的中点时， C. 当点在的中点时，点到平面的距离为 D. 点到直线的距离的最小值为 11. 已知椭圆的上顶点为，左､右焦点分别为，离心率为.过且垂直于的直线与交于两点，为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的直线方程是 C. 直线的斜率为 D. 的周长是8 第II卷（非选择题，共92分） 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知平行直线，则.与的距离是__________. 13. 如图，二面角的大小是45°，线段.，与所成的角为30°.则与平面所成的角的正弦值是___________. 14. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支相交于两点（点在第一象限），为的中点，双曲线的离心率为，若点到四边形的四个顶点的距离之和最小，则点的坐标为__________. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知三点、、. （1）求过、、三点的圆的一般方程； （2）过点的直线与圆交于点，且，求直线的方程. 16. 在四棱锥中，侧面是正三角形且垂直于底面，底面是菱形，，为上一点，且平面. （1）求证：为中点： （2）求直线与平面成角的正弦值. 17. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与左支相交于、两点. （1）若，，求双曲线方程： （2）若直线的斜率为，且，求双曲线的离心率. 18. 在如图所示的几何体中，平面平面，是棱上一点（不包括端点）. （1）求证：； （2）是否存在点，使得二面角的平面角的正弦值为？如果存在，求出点的位置，如果不存在，说明理由； （3）在（2）的条件下，当二面角的平面角为锐角时，求点到直线的距离. 19. 设分别是直线和上的动点，且，设为坐标原点，动点满足. （1）求动点的轨迹方程： （2）设分别为轨迹上的两个动点，且. （i）求证：为定值； （ii）求面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $