精品解析：辽宁省盘锦市第二高级中学2023-2024学年高二上学期第二次阶段性考试数学试题

2023~2024学年度上学期第二次阶段考试 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5．本卷主要考查内容：人教B版必修第三册，必修第四册，选择性必修第一册. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数（是虚数单位），则虚部是（ ） A. 1 B. C. D. 2. 已知直线经过，两点，则该直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 135° D. 150° 3. 在中，，且的面积为，则角的大小为（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 已知直线经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点，则该椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线C：的焦点为F，点P是抛物线C上的一点，，过点P作y轴的垂线，垂足为，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. 1 C. D. 7. 如图，在梯形中，，，，，，以所在直线为轴将梯形旋转一周，所得的几何体的体积为（ ） A. B. C D. 8. 已知双曲线左焦点为，点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（ ） A. 5 B. C. 7 D. 8 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（ ） A. B. C. D. 10. 已知点是平行四边形所在平面外一点，，，，下列结论中正确的是（ ） A. B. 存在实数，使 C. 不是平面的法向量 D. 四边形的面积为 11. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的单调减区间为 C. 图象的一条对称轴方程为 D. 点是图象的一个对称中心 12. 已知抛物线C：，点F是抛物线C的焦点，点P是抛物线C上的一点，点，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线C的准线方程为 B. 若，则△PMF的面积为2 C. |的最大值为 D. △PMF的周长的最小值为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13 已知，，则_________. 14. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是______. 15. 已知平面的一个法向量为，点是平面上的一点，则点到平面的距离为________. 16. 已知直线l：与曲线恰有两个不同公共点，则实数k的取值范围是______________. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 17. （1）已知椭圆的焦距为10，离心率为，求椭圆的标准方程； （2）已知双曲线的渐近线方程为，虚轴长为4，求双曲线的标准方程. 18. 已知圆与圆关于直线对称． （1）求圆的方程； （2）求直线被圆截得的弦的长． 19. 已知抛物线的焦点关于抛物线的准线的对称点为． （1）求抛物线的方程； （2）过点作斜率为4直线，交抛物线于，两点，求． 20. 已知双曲线：（），直线与双曲线交于，两点． （1）若点是双曲线的一个焦点，求双曲线的渐近线方程； （2）若点的坐标为，直线的斜率等于1，且，求双曲线的离心率． 21. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，，，点是棱的中点． （1）证明：； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 22. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于，两点，点是轴上的一点，过点作直线的垂线，垂足为，是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023~2024学年度上学期第二次阶段考试 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5．本卷主要考查内容：人教B版必修第三册，必修第四册，选择性必修第一册. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数（是虚数单位），则的虚部是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法运算，代入计算，即可求解. 【详解】，的虚部是1. 故选：A. 2. 已知直线经过，两点，则该直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 135° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】利用两点间的斜率公式可求出其斜率为，再由倾斜角与斜率的关即可得出结果. 【详解】易知两点间的斜率， 设直线倾斜角为，由斜率与倾斜角之间的关系可得， 故该直线的倾斜角为135°. 故选：C. 3. 在中，，且的面积为，则角的大小为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】结合已知利用面积公式得，利用特殊角的函数值求解即可. 【详解】的面积，解得， 因为，所以角的大小为或. 故选：D. 4. 已知直线经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点，则该椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线与两坐标轴的焦点为，.根据，可设椭圆的方程为，求出即可. 【详解】令，可得；令，可得. 则由已知可得，椭圆的两个顶点坐标为，. 因为，所以椭圆的焦点在轴上. 设椭圆的方程为，则，， 所以椭圆的方程为. 故选：C. 5. 已知抛物线C：的焦点为F，点P是抛物线C上的一点，，过点P作y轴的垂线，垂足为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，由抛物线定义，，解出，代入抛物线方程，可求，再由两点间距离公式可求. 【详解】由抛物线C：，得焦点，设， 所以，由， 解得，所以， 所以. 故选：D. 6. 已知，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系式即可求得结果． 【详解】， 故选：B． 7. 如图，在梯形中，，，，，，以所在直线为轴将梯形旋转一周，所得的几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】易得旋转形成的几何体为圆台，结合圆台体积公式计算即可得. 【详解】易得旋转形成的几何体为圆台， 所以. 故选：C. 8. 已知双曲线的左焦点为，点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（ ） A. 5 B. C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线定义等于到右焦点的距离，而的最小值是（是圆半径），由此可得结论． 【详解】记双曲线的右焦点为，所以， 当且仅当点为线段与双曲线的交点时，取到最小值． 故选：C． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】先明确两圆位置关系，从而根据两圆位置关系明确公切线的情况，再根据公切线特征情况分情况直接计算求解即可. 【详解】由题知，两圆半径， 所以， 故圆、外切，则两圆有三条公切线，如图，的中点为两圆外切切点， 当直线过的中点，且与垂直时， 因为，所以直线的方程为，即； 当直线与平行，且到的距离为时，设直线的方程为， 所以，解得或， 所以直线的方程为或． 故选：ABC． 10. 已知点是平行四边形所在平面外一点，，，，下列结论中正确的是（ ） A. B. 存在实数，使 C. 不是平面的法向量 D. 四边形的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间向量的数量积的坐标表示公式、空间向量共线向量的性质，结合法向量的性质、空间向量模的公式、空间向量夹角公式逐一判断即可. 【详解】对于A，， 所以A正确； 对于B，，假设存在存在实数，使， ，显然方程组无实数解， 因此假设不成立，所以不存在实数，使，所以B不正确； 对于C，不互相垂直， 所以不是平面的法向量，因此C正确； 对于D，， 所以， 四边形的面积为：， 因此D正确 故选：ACD 11. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的单调减区间为 C. 图象的一条对称轴方程为 D. 点是图象的一个对称中心 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题可知，解得，又在的图象上，结合得，得，即可判断A；根据三角函数的性质可判断B、C、D. 【详解】由题可知，所以，解得， 所以，又在的图象上，所以， 所以，所以，又，所以， 所以，故A正确； 令，解得， 所以的单调减区间为，故B正确； 令，解得，当时，，故C正确； 令，解得，令，则，故D错误. 故选：ABC. 12. 已知抛物线C：，点F是抛物线C的焦点，点P是抛物线C上的一点，点，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线C的准线方程为 B. 若，则△PMF的面积为2 C. |的最大值为 D. △PMF的周长的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据抛物线的标准方程可得准线方程为，即可判断A，根据抛物线定义得到，故点可能在第一象限也可能在第三象限，分情况计算三角形面积即可判断B，利用三角形任意两边之差小于第三边结合三点一线的特殊情况即可得到，计算即可判断C，三角形的周长，再结合抛物线定义即可求出的最小值，即得到周长最小值. 【详解】，，，准线方程为，故A正确； 根据抛物线定义得，，, 轴，当时，， 若点在第一象限时，此时, 故，的高为1，故， 若点在第四象限，此时，故， 的高为1，故，故B错误； ，故C正确； （连接，并延长交于抛物线于点，此时即为最大值的情况， 图对应如下） 过点作准线，垂足为点， 的周长， 若周长最小，则长度和最小，显然当点位于同一条直线上时，的和最小， 此时, 故周长最小值为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知，，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用数量积的运算法则将展开，结合求解即可1. 【详解】因为，， 所以， 所以. 故答案为：. 14. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用椭圆的标准方程和几何性质、一元二次不等式的解法运算即可得解. 【详解】解：∵方程表示焦点在x轴上的椭圆， ∴由，解得：或， ∴实数的取值范围是. 故答案：. 15. 已知平面的一个法向量为，点是平面上的一点，则点到平面的距离为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量法可得出点到平面的距离为，即为所求. 【详解】由已知可得， 所以点到平面的距离为. 故答案为：. 16. 已知直线l：与曲线恰有两个不同的公共点，则实数k的取值范围是______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据曲线方程得曲线的轨迹是个半圆，数形结合分析得两种情况：①直线与半圆相切有一个交点；②直线与半圆相交于两个点，综合两种情况可得答案. 【详解】由，得（）， 其图象是以为圆心，3为半径的圆的上半部分，直线l：是过点的直线， 作出图象，如图所示： 当直线l与半圆相切时，，解得， 当直线过时，直线PB的斜率为， 要使直线l与半圆有两个不同的公共点，由图可知，， 所以实数k的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 17. （1）已知椭圆的焦距为10，离心率为，求椭圆的标准方程； （2）已知双曲线的渐近线方程为，虚轴长为4，求双曲线的标准方程. 【答案】（1）或；（2）或 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的标准方程. （2）根据双曲线焦点所在坐标轴进行分类讨论，求得，进而求得双曲线的标准方程. 【详解】（1）依题意，解得， 所以椭圆的标准方程是或. （2）依题意，双曲线的渐近线方程为，， 若双曲线的焦点在轴上，则，解得， 所以双曲线的标准方程为. 双曲线的焦点在轴上，则，解得， 所以双曲线的标准方程为. 所以双曲线的标准方程为或. 18. 已知圆与圆关于直线对称． （1）求圆的方程； （2）求直线被圆截得的弦的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用垂直平分得出圆C2的圆心坐标的方程组，即可写出圆的方程 （2）利用垂径定理直接求解 【小问1详解】 设则由题意得，解得， 圆的方程为． 【小问2详解】 圆心到直线的距离故直线被圆截得的弦 19. 已知抛物线的焦点关于抛物线的准线的对称点为． （1）求抛物线的方程； （2）过点作斜率为4直线，交抛物线于，两点，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据对称的性质进行求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数关系，结合抛物线的定义进行求解即可. 【小问1详解】 该抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 因为关于抛物线的准线的对称点为， 所以有； 【小问2详解】 直线的方程为，与抛物线方程联立，得 ，设， 因此有， 则有 【点睛】关键点睛：利用抛物线的定义，结合一元二次方程的根与系数关系是解题的关键 20. 已知双曲线：（），直线与双曲线交于，两点． （1）若点是双曲线的一个焦点，求双曲线的渐近线方程； （2）若点的坐标为，直线的斜率等于1，且，求双曲线的离心率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的焦点坐标及标准方程，结合双曲线中三者的关系及双曲线的渐近线方程即可求解. （2）根据已知条件及直线的点斜式方程，将联立双曲线方程与直线方程，利用韦达定理及点在直线上，结合两点间的距离公式及双曲线的离心率公式即可求解. 【小问1详解】 ∵点是双曲线的一个焦点，∴， 又∵且，解得， ∴双曲线的方程为， ∴双曲线的渐近线方程为； 【小问2详解】 设直线的方程为且， 联立,可得， 则，∴，即， ∴ 解得，即由可得， 故双曲线的离心率为． 21. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，，，点是棱的中点． （1）证明：； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明过程见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理得逆定理及线面垂直判定定理证明平面，再结合菱形的对角线性质及线面垂直判定定理证明平面，再利用线面垂直性质定理即可证明结论； （2）先根据题意建立合适空间直角坐标系，再求分别得平面与平面的法向量，再结合夹角的向量公式即可求解． 【小问1详解】 连接， 在菱形中，，，所以， 在中，，，所以，所以， 在中，，，，所以，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以， 因为四边形是菱形，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以． 【小问2详解】 记，连接， 由点是棱的中点，且点是的中点，所以， 又由（1）知平面，所以平面， 则以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 所以，，，，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 所以，即， 令，解得，， 所以平面的一个法向量为， 因为是的中点，且， 所以， 所以， 又， 设平面的一个法向量为， 所以，即， 令，解得，， 所以平面的一个法向量为， 由图可知平面与平面所成角为锐角， 所以， 故平面与平面所成角的余弦值为． 22. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于，两点，点是轴上的一点，过点作直线的垂线，垂足为，是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在定点，定值为 【解析】 【分析】（1）根据题意得，将点代入方程即可解决； （2），结合韦达定理得，即可解决 【小问1详解】 由题知，， 所以椭圆为，由点在椭圆上得解得，故椭圆方程为 【小问2详解】 设， 由，得 所以， 所以 ， 所以，解得， 所以存在定点，使得为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$