上海市格致中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷

格致中学二〇二四学年度第一学期期中考试 高三年级数学试卷 （测试120分钟内完成，总分150分，试后交答题卷） 友情提示：昨天，你既然经历了艰苦的学习，今天，你必将赢得可喜的收获！ 祝你：诚实守信，沉着冷静，细致踏实，自信自强，去迎接胜利！ 一、填空题：（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 已知复数（为虚数单位），则的虚部为________. 2. 函数的定义域为______ 3. 若直线与垂直，则实数m＝__． 4. 已知集合，，若，则实数的取值范围是________. 5. 等比数列满足，，则________. 6. 在一次为期30天的博览会上，主办方统计了每天的参观人数（单位：千人），并绘制了茎叶图（如图），其中“茎”表示十位，“叶”表示个位，则这组数据的第75百分位数是________. 7. 二项式的展开式的常数项是________． 8. 已知是曲线上一点，作曲线在点处的切线，与轴、轴分别交于点、，为坐标原点，则________. 9. 如图（1），在长方体中，，，为上底面的中心.现将矩形绕点在原平面内顺时针旋转角，连接、、、、、、、，得到如图（2）所示的十面体，若这个十面体的各个顶点都在球的球面上，则球的表面积是________. 10. 已知，函数的部分图像如图所示，已知点A、为的图像与轴的交点，其中，点、分别为的图像的最高点和最低点，且，则________. 11. 已知为常数，若关于的不等式对任意的都成立，则实数的取值范围为______. 12. 从椭圆外一点向椭圆引两条切线，切点分别为、，则直线称作点关于椭圆的极线，其方程为.现有如图所示的两个椭圆、，它们的中心都在坐标原点，对称轴都是坐标轴，离心率分别为、，在内，椭圆上的任意一点关于的极线为，若原点到直线的距离为定值1，则的最大值为______. 二、选择题：（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分） 13. 已知、是非零实数，若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 已知事件与相互独立，且，则下列选项不一定成立的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. . 15. 已知圆锥的底面半径为2，高为4，点为圆锥底面上任意一点，点为圆锥侧面（点异于顶点且不在底面圆周上）上任意一点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 16. 已知数列，若存在数列满足对任意正整数，都有，则称数列是的交错数列.有下列两个命题：①对任意给定的等差数列，不存在等差数列，使得是的交错数列；②对任意给定的等比数列，都存在等比数列，使得是的交错数列.下列结论正确的是（ ） A. ①与②都是真命题； B. ①为真命题，②为假命题； C. ①为假命题，②为真命题； D. ①与②都是假命题． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，. （1）证明：平面平面； （2）若为线段上一点，且，求二面角的余弦值. 18. 已知. （1）是否存在正数，使得对都成立？若存在，求出的一个值，若不存在，请说明理由； （2）写出函数的一个周期，并求函数的值域. 19. 2024年某瓷器公司计划向市场推出两种高档中国红瓷杯A和，已知A和烧制成功率分别为和，烧制成功一个A，盈利30元，否则亏损10元；烧制成功一个，盈利80元，否则亏损20元. （1）设为烧制一个A和一个所得的利润之和，求随机变量的分布和数学期望； （2）求烧制4个A所得的利润不少于80元的概率； （3）公司将用户对中国红瓷器的喜欢程度分为“非常满意”（得分不低于85分）和“满意”（得分低于85分）两类，通过调查完成下表. 年龄低于45岁 6 14 42 31 7 年龄不低于45岁 4 6 47 35 8 根据调查数据完成下列列联表，并依据显著性水平的独立性检验，判断居民对瓷器的喜欢程度是否与年龄有关联？ 非常满意 满意 合计 年龄低于45岁 年龄不低于45岁 合计 附：，，，与的若干对应数值见下表： 0.25 0.05 0.005 1.323 3.841 7.879 20. 已知椭圆的离心率为，A、分别为椭圆的左、右顶点.过点作斜率为的动直线交椭圆于、两点；当变化时，面积的最大值为2. （1）求椭圆的标准方程； （2）当时，求的面积； （3）如图，设关于原点的对称点为，直线、交于点，设直线的斜率为，试探究是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由. 21. 函数的导函数为，令，称是的特征函数.若对一切恒成立，则称函数是上的绝对增函数. （1）已知，判断函数是否是上的绝对增函数，并说明理由； （2）已知，函数是上的绝对增函数，求的值； （3）函数是上的绝对增函数，其特征函数在上有唯一的零点，求证：是函数的极值点. 格致中学二〇二四学年度第一学期期中考试 高三年级数学试卷 （测试120分钟内完成，总分150分，试后交答题卷） 友情提示：昨天，你既然经历了艰苦的学习，今天，你必将赢得可喜的收获！ 祝你：诚实守信，沉着冷静，细致踏实，自信自强，去迎接胜利！ 一、填空题：（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生在答题纸的相应位置直接填写结果. 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】6 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】50 【7题答案】 【答案】112 【8题答案】 【答案】1 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】## 二、选择题：（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分） 【13题答案】 【答案】C 【14题答案】 【答案】B 【15题答案】 【答案】D 【16题答案】 【答案】A 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 【17题答案】 【答案】（1） 证明：在平面内，过做垂直于交于点， 由为等腰梯形，且，则 又，所以， 连接，由，可知且， 所以在三角形中，， 从而， 又平面，，所以平面， 又平面，所以平面平面 （2） 【18题答案】 【答案】（1）存在，（满足即可） （2）一个周期为（满足即可）；值域为 【19题答案】 【答案】（1） 的分布列为 10 70 110 0.02 0.08 0.18 0.72 元 （2）0.8192 （3）列联表可得： 非常满意 满意 合计 年龄低于45岁 80 20 100 年龄不低于45岁 90 10 100 合计 30 170 200 居民对瓷器的喜欢程度是否与年龄有关联 【20题答案】 【答案】（1） （2） （3）是定值， 【21题答案】 【答案】（1）函数是上的绝对增函数，理由如下： 因为，则，可得， 且，则，可得， 所以函数是上的绝对增函数. （2） （3）证明：显然，均在上连续不断， 若函数是上的绝对增函数，则恒成立， 又因为函数在上有唯一的零点， 可知函数，均在上至多有一个零点，且必有一个函数有零点， 先证：在上有唯一的零点， 假设在上没有零点，则在上有唯一的零点， 可知（或）恒成立， 不妨设恒成立，则恒成立， 可知在上单调递增， 当是，，两者相矛盾； 所以假设不成立，即在上有唯一的零点； 再证：是函数的极值点， 假设不是函数的极值点， 则存在，使得，且在上为单调函数， 不妨设在上单调递增， 当时，， 可知在上单调递减，且，则； 当时，， 可知在上单调递增，且，则； 两者相矛盾，假设不成立，所以是函数的极值点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $