专题3.5 圆的基本性质（基础练）（考点范围：圆、圆的对称性、垂径定理、圆周角和圆心角的关系）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题3.5 圆的基本性质（基础练） （考点范围：圆、圆的对称性、垂径定理、圆周角和圆心角的关系） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）已知的半径为，，则点P与的位置关系是（　　） A．点P在圆外 B．点P在圆上 C．点P在圆内 D．无法确定 2．（2023·福建厦门·模拟预测）如图，在半圆O中，为直径，下列四个选项中所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·北京西城·阶段练习）如图，在中，满足，则下列对弦与弦大小关系表述正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 4．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，，，以点C为圆心，长为半径的圆与交于点D，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，是的直径，是的弦，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·山东临沂·开学考试）如图所示，中弦垂直直径于E，则下列结论：①弧弧；②弧弧；③；④，其中正确的有（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①④ 7．（24-25九年级上·山东滨州·期中）如图，为的直径，，为上两点．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 8．（2024·陕西西安·三模）如图，四边形内接于，，，，则的半径为（    ）    A． B． C． D． 9．（2024·河北邯郸·二模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，是的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则的值是（    ） A． B． C． D． 10．（22-23九年级下·湖北恩施·阶段练习）如图，在中，，点是边上一动点，过点作交的延长线于，若，，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25九年级上·甘肃定西·期中）如图，是的直径，D，M分别是弦，的中点，，，则的长是 ． 12．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，是圆的直径，、、、的顶点均在上方的圆弧上，、的一边分别经过点A、B，则 ．    13．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在圆O中，弦，点C在圆O上（C与A，B不重合），连接、，过点O分别作，，垂足分别是点D、E，则 ． 14．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，点B，C在上，D为的中点，直径交于点E，，，则的长为 ． 15．（2024九年级上·北京·专题练习）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点E，寸，寸，则直径长为 寸． 16．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，是的弦，，垂足为C，将劣弧沿弦折叠交于点D，，若，则的半径为 ． 17．（22-23九年级下·广东深圳·自主招生）如图，两个同心圆，已知，求 ． 18．（2024·广西南宁·一模）如图，当一个摆钟的钟摆从最左侧处摆到最右侧处时，摆角，点是弧的中点，连接交于点，若，则的长为 cm．（结果用含的式子表示） 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（23-24九年级上·福建泉州·期中）如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：． (2)若，，求直径的长． 20．（本小题满分8分）（2024·广东广州·二模） 如图在平面直角坐标系 中，直线 与圆O相交于A、B两点，且点 A 在x轴上， 求弦的长． 21．（本小题满分10分）（2023·湖北黄冈·模拟预测）如图，以为直径的经过的顶点，是的中点，连接、分别交于点、． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 22．（本小题满分10分）（2024九年级上·全国·专题练习）如图，已知是的直径，点在上，且C是优弧的中点，过点C作于点D． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 23．（本小题满分10分）（2024·山西运城·三模）如图，在中，，D为边上一点，以为直径的与交于点F，且切于点E，连接．   (1)求证：． (2)若，，求的长． 24． （本小题满分12分）（24-25九年级上·吉林·阶段练习） 【问题原型】如图1，线段是一条弦，，点在上，，求的半径长．小元的解法如下，请你帮他补全适当的理由： 解：连结并延长交于点，连结， 为直径，点在圆上， ，（______） ， ，（______） 在中，， ， ． ． ， ． 即的半径长为2． 【逆向思考】 如图2，线段是一条弦，若、在的异侧，，的半径为1，求弦的长． 【模型应用】 如图3，为边上一点，以为直径作圆，交直线于点，交直线于点，连结．，，，则线段的最小值为______（有含的代数式表示）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B C B B C A A B 1．C 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离与圆的半径大小比较即可求解，掌握点和圆的位置关系的判断方法是解题的关键．根据时，点在圆内可得答案． 【详解】解：∵的半径为，， ∴， ∴点在圆内， 故选：C． 2．D 【分析】本题考查的是圆周角的定义，根据圆周角的定义解答即可，熟知顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角是解题的关键． 【详解】解：所对的圆周角是与， 故选：D． 3．B 【分析】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，如图，取的中点E，连接，．证明，再利用三角形的三边关系解决问题． 【详解】解：如图，取的中点E，连接，，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 4．C 【分析】此题考查了垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 过C作交于点M，首先根据勾股定理求出，然后利用等面积法求出，然后利用勾股定理求出，最后利用垂径定理求解即可． 【详解】解：如图，过C作交于点M， ∵，，， ∴， 由垂径定理可得M为的中点， ∵， ∴ ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴ （舍去负值）． ∴． 故选：C． 5．B 【分析】本题考查圆周角定理、直径的性质等知识，连接，利用直径的性质，可知，根据角的和差求出，再根据圆周角定理即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6．B 【分析】此题考查了垂径定理，垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧．据此进行判断解答． 【详解】解：∵中弦垂直直径于E，由垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧知：①弧弧；②弧弧；③； ④，故④错误， 其中正确的有①②③， 故选：B 7．C 【分析】此题主要考查的是圆周角定理及其推论；半圆(弧)和直径所对的圆周角是直角；同弧所对的圆周角相等．由于为的直径，由圆周角定理可知，则和互余，欲求需先求出的度数，已知同弧所对的圆周角的度数，则，由此得解． 【详解】解∶连接，如图 ∵为的直径， ，即； 又同弧所对的圆周角相等， 故选∶ C． 8．A 【分析】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，勾股定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质．连接、、，过点作交的延长线于点，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质可得，，进而得到，可得，根据勾股定理求出，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接、、，过点作交的延长线于点，     四边形内接于，， ，， ， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ，， ， 的半径为， 故选：A． 9．A 【分析】本题主要考查解直角三角形，勾股定理，圆的概念及性质，构造直角三角形是解题的关键．连接并延长交于点，连接，则，利用勾股定理求解的长，再解直角三角形可求解． 【详解】解：连接并延长交于点，连接， 则， 故选：A． 10．B 【分析】过点作于，推出，根据相似三角形的性质得到，当时，有最大值，根据勾股定理得到，由垂径定理得到，求得，即可得到结论． 【详解】解：如图1，过点作于， ， ， ， ， ， ，，，四点共圆， 设的中点为，连接， 当时，有最大值， 如图2，当点是中点时，，为定值， 的值最大，的值最大，此时，，共线． ，， ， ， ， ， ， ， ， 的最大值为． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，知道当时，有最大值是解题的关键． 11．8 【分析】此题考查了垂径定理、含的直角三角形的性质．由垂径定理得到，根据得到，求出，据此即可求解． 【详解】解：∵点，分别是弦，的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 12．90 【分析】本题考查圆周角定理，根据半圆的度数为，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即可． 【详解】∵是圆的直径， ∴所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为， ∵、、、所对的弧的和为半圆， ∴， 故答案为：90． 13．4 【分析】本题主要考查垂径定理，由知，同理得出，从而知，据此可得答案． 【详解】解：经过圆心，， ， 同理：， 是△的中位线， ， ， ， 故答案为：4． 14． 【分析】本题考查垂径定理的推论，勾股定理．连接，根据垂径定理的推论，得到，，利用勾股定理求出的长，进一步求出的长即可． 【详解】解：连接， ∵点B，C在上，D为的中点，直径交于点E，， ∴，，， ∴， ∴； 故答案为：． 15．26 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，设寸，则寸，由垂径定理得到寸，再由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设寸，则寸， ，是直径， 寸， 在中，由勾股定理得， ， ， 寸， 故答案为：26． 16．5 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质等知识点，如图，延长交于E，连接，设，则，，利用折叠的性质得，则，再根据垂径定理得到，在中利用勾股定理得，然后求出x即可得到的半径，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，延长交于E，连接，设，则，， ∵劣弧沿弦折叠交于D， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 解得（负值舍去）， ∴， ∴的半径为5， 故答案为5． 17．5 【分析】本题主要考查了圆内接四边形，三角形相似的判定和性质，连接，，证明，得出，根据，代入求出结果即可． 【详解】解：连接，，如图所示： 四边形内接于小圆， ， 又， ， ， ， ， ， ． 故答案为：5． 18． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，圆的性质，全等三角形的判定与性质，由点是弧的中点，得出，，已知的长，用正弦公式可表示， 即可求解，关键是掌握正弦的定义． 【详解】解：∵点是弧的中点， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵ ∴ ∴ 故答案为：． 19．(1)见解析 (2)的直径是 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理．熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）垂径定理，得到，等腰三角形三线合一，即可得出结论； （2）连接，设的半径是r，根据垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵，且过圆心O ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，设的半径是r， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴或（舍去）， ∴的直径是． 20． 【分析】过O作于C，根据垂径定理可得，可求，，由勾股定理，可证，由相似三角形性质可求即可． 【详解】解：过O作于C，如图， ∵为弦， ∴， ∵直线与相交于A，B两点， ∴当时，，解得， ∴， ∴当时，， ∴， 在中，由勾股定理， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查垂径定理，直线与两轴交点，勾股定理，三角形相似判定与性质，掌握以上知识、正确添加辅助线是解题关键． 21．(1)见详解 (2) 【分析】（1）由圆周角定理和垂径定理可得，可得结论； （2）由相似三角形的性质可得，设，则，分别求出，，由勾股定理可求的值，即可求解． 【详解】（1）证明：点是的中点，过圆心， ，， 是直径， ， 又， ； （2）解：， ， 设，则， ，， ， ， ， ，， ， ， （负值舍去）， ， 的面积． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理的推论及圆周角定理，三角形中位线定理等知识，证明三角形相似是解题的关键． 22．(1)见解析； (2)4 【分析】本题主要考查了弦、弧、圆心角的关系、垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）如图：连接，延长交于点H．由弦、弧、圆心角的关系可得，进而得到直线垂直平分，则、，再证可得，即可证明结论； （2）根据三角形中位线的性质可得，设，则，然后根据勾股定理列方程求得R，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：如图：连接，延长交于点H． 是优弧的中点， ， ， ， 直线垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ， . （2）解：由（1）知， ∴， ． 设，则， ， （舍去）， ． 23．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质和勾股定理，熟练掌握这些知识是解题的关键. （1）连接，，先证明，再证明，即可得出答案； （2）连接，先求出，再证明，得出，，进而得出，再根据勾股定理即可得出答案. 【详解】（1）解：证明：如图1，连接，.   与相切于点E， ，即 ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2，连接，   ，，， ， ， ， ，即. ，， ， ， 为的直径， . 在中，，，由勾股定理得， 的长为. 24．[问题原型]直径所对的圆周角是直角；同弧所对的圆周角相等 [逆向思考] [模型应用] 【分析】本题考查了圆周角定理，特殊角的三角函数值，圆内接四边形的性质，熟练掌握这些性质，并掌握题中给出的方法是解题的关键． [问题原型]根据题中推理写出根据即可； [逆向思考]连结并延长交于点，连结，利用题中方法求解即可； [模型应用]设圆的圆心为，连结，，连结并延长交于点，连结，利用题中方法得出和直径的关系，再求出的最小值即可求解． 【详解】[问题原型] 解：连结并延长交于点，连结， 为直径，点在圆上， ，（直径所对的圆周角是直角） ， ，（同弧所对的圆周角相等） 在中，， ， ， ， ， ， 即的半径长为2； 故答案为：直径所对的圆周角是直角；同弧所对的圆周角相等； [逆向思考] 解：连结并延长交于点，连结， 为直径，点在圆上， ， ， ， 在中，， ∵， ， 即； [模型应用] 解：设圆的圆心为，连结，，连结并延长交于点，连结，如图， ∵，， ∴， ∴， 为直径，点在圆上， ， ， ， 在中，， ， ∴当最小时，最小， ∵为边上一点， ∴当时，最小， 此时，由， ∴， ∴， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$