精品解析：黑龙江省哈尔滨市第六十九中学2024-2025学年九年级上学期期中数学学科试题

哈尔滨市第六十九中学校2024-2025学年度（上）学期 九年级期中学情反馈 数学学科 命题人：刘松 审题人：金雁 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. ﹣的绝对值是（　　） A. B. C. - D. - 2. 在以下四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一个不透明的袋子中装有7个小球，其中6个红球、1个绿球，这些小球除颜色外无其它差别．从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形．第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形……按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 6. 如图，、分别与相切于、两点，点为上一点，连接、，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在坡角为30°的斜坡上要栽两棵树，要求它们之间的水平距离AC为6m，则这两棵树之间的坡面AB的长为（　　） A. 12m B. 3m C. 4m D. 12m 8. 如图，在中，D是AB边上一点，DE∥BC，DF∥AC，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 下列叙述正确的是（ ） A. 甲、乙两人10次测试成绩的方差分别是，，则乙的成绩更稳定 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件 D. 相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等 10. 已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．下面的图象反映的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图中用x表示时间，y表示该同学离家的距离．结合图象给出下列结论： （1）体育场离该同学家2.5千米； （2）该同学在体育场锻炼了15分钟； （3）该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍； （4）若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则的值是3.75； 其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 将数269000000用科学记数法表示为__________． 12. 函数中，自变量的取值范围是______ 13. 把多项式分解因式的结果是______． 14. 不等式组的解集为______. 15. 计算的结果是__________． 16. 在直径为的圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图．若油面宽，则油的最大深度为__________． 17. 某扇形的半径为24cm，弧长为16πcm，则该扇形的圆心角的度数为_____． 18. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____． 19. 对于实数p，q，我们用符号表示p，q两数中较小的数，如 ，若，求x 的值． 20. 如图，点为的对角线上一点，连接并延长至点，使得，连接，若，，，，则的面积为__________． 三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中 22. 如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段和线段，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上． （1）在方格纸中画出以为底边的等腰，点E在小正方形的顶点上，且； （2）在方格纸中画出以为腰的等腰，点F在小正方形的顶点上，且为钝角三角形； （3）连接，请直接写出线段的长． 23. 建国七十周年到来之际，海庆中学决定举办以“祖国在我心中”为主题的读书活动，为了使活动更具有针对性，学校在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，要求学生在“教育.科技.国防.农业.工业”五类书籍中，选取自己最想读的一种（必选且只选一种），学校将收集到的调查结果适当整理后，绘制成如图所示的不完整的统计图，请根据图中所给的信息解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生? （2）请通过计算补全条形统计图； （3）如果海庆中学共有1500名学生，请你估计该校最想读科技类书籍的学生有多少名？ 24. 如图，在平行四边形中，点在分别边上，于点于点． （1）求证：； （2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中与互余的所有角． 25. 69中学在校本课程的实施过程中，计划组织学生编织大、小两种中国结．若编织2个大号中国结和4个小号中国结需用绳20米；若编织3个大号中国结和5个小号中国结需用绳27米． （1）求编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳多少米； （2）69中学决定编织以上两种中国结共60个，这两种中国结所用绳长不超过200米，那么69中学最多编织多少个大号中国结？ 26. 【教材呈现】 现行人教版九年级下册数学教材63页“拓广探索”第14题： 14．如图，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作和边上的高．） 【得出结论】 （1）【基础应用】 如图1，在中，，，，利用以上结论求的长． （2）【推广证明】 进一步研究发现，不仅在锐角三角形中成立，在任意三角形中均成立，并且还满足（为外接圆的半径）． 请利用图2证明：． （3）【拓展应用】 如图3，内接于，，弦交于点，交于点，，点、分别在弦、上，且，且，若，，求的半径的长． 27. 直线交轴于点，交轴于点，． （1）如图1，求的值； （2）如图2，直线，交轴于点，交轴于点，设的面积为，求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，直线、交于点，轴于点，交于点、交于点，点在线段上，，连接交于点，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨市第六十九中学校2024-2025学年度（上）学期 九年级期中学情反馈 数学学科 命题人：刘松 审题人：金雁 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. ﹣的绝对值是（　　） A. B. C. - D. - 【答案】A 【解析】 【详解】分析：计算绝对值要根据绝对值的定义求解，第一步列出绝对值的表达式，第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号． 详解：|−|=， 故选A． 点睛：本题主要考查了绝对值的定义，绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，比较简单． 2. 在以下四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义：一个平面图形，沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查轴对称图形．熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 3. 下列运算中，不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项的方法，同底数幂相乘的法则，幂的乘方的法则，同底数幂相除的法则，逐一计算即可得答案．合并同类项的方法是，同类项的系数相加，字母与字母的指数不变；同底数幂相乘的法则是，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方的法则是，幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除的法则是，同底数幂相除，底数不变，指数相减． 【详解】A．， 计算正确， 故该选项不符合题意； B．， 计算正确， 故该选项不符合题意； C．， ∵， ∴故该选项计算错误， 符合题意； D．， 计算正确， 故该选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂相乘，幂的乘方，同底数幂相除等，熟练掌握合并同类项的方法，同底数幂相乘的法则，幂的乘方的法则，同底数幂相除的法则，是解题关键． 4. 一个不透明的袋子中装有7个小球，其中6个红球、1个绿球，这些小球除颜色外无其它差别．从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 【详解】解：∵不透明的袋子中装有7个小球，其中6个红球、1个绿球， ∴摸出的小球是红球的概率为； 故选：C． 【点睛】此题考查了概率公式的应用：概率=所求情况数与总情况数之比，熟练掌握概率计算公式是解答本题的关键． 5. 如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形．第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形……按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了图形的变化规律，解题的关键是根据图形的排列，归纳出图形的变化规律．根据前几个图形的变化发现规律，可用含n的代数式表示出第n个图形中三角形的个数，从而可求第674个图形中三角形的个数． 【详解】解：第1个图案有4个三角形，即， 第2个图案有7个三角形，即， 第3个图案有10个三角形，即， …， 按此规律摆下去，第n个图案有个三角形， 则第674个图案中三角形的个数为：（个）． 故选：B． 6. 如图，、分别与相切于、两点，点为上一点，连接、，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，连接，根据切线的性质，四边形的内角和，求出的度数，再根据圆周角定理，求出的度数即可． 【详解】解：连接， ∵分别与圆O相切于A、B两点， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 7. 如图，在坡角为30°的斜坡上要栽两棵树，要求它们之间的水平距离AC为6m，则这两棵树之间的坡面AB的长为（　　） A. 12m B. 3m C. 4m D. 12m 【答案】C 【解析】 【分析】先构造直角三角形，在直角三角形中运用三角函数解决问题即可． 【详解】在Rt△ABC中，cos∠A=cos30°=，则AB=m， 故选C． 【点睛】本题主要考查三角函数，熟练运用三角函数是解题的关键． 8. 如图，在中，D是AB边上一点，DE∥BC，DF∥AC，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由DE∥BC，DF∥AC可以推得相关的一些三角形相似，再由相似性质可以判定各选项的正误． 【详解】A、由已知有，所以错误； B、由已知有，所以错误； C、由已知有，所以正确； D、由已知有，所以错误． 故选C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟悉相似三角形的常用判定方法和性质是解题关键． 9. 下列叙述正确的是（ ） A. 甲、乙两人10次测试成绩的方差分别是，，则乙的成绩更稳定 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件 D. 相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，方差的意义，事件的分类．根据知识点逐一判断即可． 【详解】解：A、甲、乙两人10次测试成绩的方差分别是，，由，则甲的成绩更稳定，故该选项错误； B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故该选项错误； C、小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件，故该选项正确； D、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，故该选项错误； 故选：C． 10. 已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．下面的图象反映的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图中用x表示时间，y表示该同学离家的距离．结合图象给出下列结论： （1）体育场离该同学家2.5千米； （2）该同学在体育场锻炼了15分钟； （3）该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍； （4）若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则的值是3.75； 其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查利用函数图像解决实际问题，正确的读懂图像给出的信息是解题的关键．利用图象信息解决问题即可． 【详解】解：由图象可知：体育场离该同学家2.5千米，故（1）正确； 该同学在体育场锻炼了（分钟），故（2）正确； 该同学的跑步速度为（千米/分钟），步行速度为（千米/分钟），则跑步速度是步行速度的倍，故（3）错误； 若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则该同学骑行的平均速度为（千米/分钟），所以，故（4）正确， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 将数269000000用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：将数269000000用科学记数法表示为； 故答案为 12. 函数中，自变量的取值范围是______ 【答案】x≠2 【解析】 【详解】解：∵有意义， ∴x-2≠0, ∴x≠2; 故答案是：x≠2． 13. 把多项式分解因式的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】直接提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键． 14. 不等式组的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式的解集找出不等式组的解集即可． 【详解】， 解不等式①得，x<5； 解不等式②得，x>2； ∴不等式组的解集为：. 故答案为. 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确求得两个不等式的解集是解决问题的关键． 15. 计算的结果是__________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的减法，先化简二次根式，再合并即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：0． 16. 在直径为的圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图．若油面宽，则油的最大深度为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，解答本题的关键是准确地将实际问题中的已知条件和所求的结论转化为数学图形，再由数学方法分析和解决问题． 过点O作于点C，交于点D，连接，由垂径定理即可求得的长，然后由勾股定理，求得的长，继而求得油的最大深度． 【详解】解：过点O作于点C，交于点D，连接， 由垂径定理得：， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 答：油的最大深度是． 故答案为：200． 17. 某扇形的半径为24cm，弧长为16πcm，则该扇形的圆心角的度数为_____． 【答案】120° 【解析】 【分析】弧长的公式为l＝，将弧长l＝16πcm，r＝24cm代入计算即可求出n的值． 【详解】解：由题意得，l＝16πcm，r＝24cm， 故可得：16π＝， 解得：n＝120． 故答案为：120°． 【点睛】本题考查了弧长的计算公式：（弧长为，圆心角度数为，圆的半径为．注意：在弧长的计算公式中，是表示的圆心角的倍数，和180都不要带单位．本题属于基础题，难度一般． 18. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【详解】由题意得：， ∴， 如图，过作于点，交于点， ∴，， ∴，即， ∴（）， 即小孔到的距离为， 故答案为：． 19. 对于实数p，q，我们用符号表示p，q两数中较小的数，如 ，若，求x 的值． 【答案】2 或 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程—直接开平方法，实数的比较大小，以及分类思想的运用．正确理解题意是解题的关键． 根据题意分情况讨论，然后分别解方程即可． 【详解】解：∵  若，则 ， 解得或， 当时，与矛盾，   ； 若，则， 解得或， 当 时，与 矛盾，   ． 综上，的值为2 或． 20. 如图，点为的对角线上一点，连接并延长至点，使得，连接，若，，，，则的面积为__________． 【答案】72 【解析】 【分析】连接交于点O，过点作于点H，过点C作于点T，设交点为G，由平行四边形的性质结合，推出是的中位线，根据三角形中位线的性质求出，进而求出，推出，进而推出，易证，即可求出，，解直角三角形求出，再利用勾股定理求出，进而求出，最后根据，求出，即可解答． 【详解】解：连接交于点O，过点作于点H，过点C作于点T，设交点为G， ∵四边形是平行四边形， ∴，点是的中点， ∵， ∴点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，股股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，分母有理化，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．先把所给分式化简，再把化简后的x代入计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵ ∴原式． 22. 如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段和线段，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上． （1）在方格纸中画出以为底边的等腰，点E在小正方形的顶点上，且； （2）在方格纸中画出以为腰的等腰，点F在小正方形的顶点上，且为钝角三角形； （3）连接，请直接写出线段的长． 【答案】（1） 等腰即为所作： （2） 如图，等腰即为所作； （3） 【解析】 【分析】本题为格点作图题，考查勾股定理，锐角三角函数，等腰三角形的定义等知识，利用数形结合的思想是解题关键． （1）如图，取格点E，即可知，又可求出，即得出，即为等腰直角三角形，即； （2）如图，取格点F，即可知，且，即为钝角等腰三角形； （3）利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：． 23. 建国七十周年到来之际，海庆中学决定举办以“祖国在我心中”为主题的读书活动，为了使活动更具有针对性，学校在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，要求学生在“教育.科技.国防.农业.工业”五类书籍中，选取自己最想读的一种（必选且只选一种），学校将收集到的调查结果适当整理后，绘制成如图所示的不完整的统计图，请根据图中所给的信息解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生? （2）请通过计算补全条形统计图； （3）如果海庆中学共有1500名学生，请你估计该校最想读科技类书籍的学生有多少名？ 【答案】（1）在这次调查中，一共抽取了60名学生； （2）补全条形统计图，如图所示： （3）该校最想读科技类书籍的学生有225名． 【解析】 【分析】（1）由图可知想读教育书籍的人数为18人，所占的百分比为，想读教育书籍的人数其所占百分比=一共抽取的学生人数；（2）想读国防书籍的人数等于抽取的学生总数减去想读其它书籍的人数，根据所求值补全条形统计图即可；（3）先求出抽取学生中想读科技类书籍的人数所占百分比，再用海庆中学共有的学生总数乘以百分比即可. 【详解】解：（1）根据题意得： （名）， 答：在这次调查中，一共抽取了60名学生； （2）（名）， 则本次调查中，选取国防类书籍的学生有15名， （3）根据题意得：（名）， 答：该校最想读科技类书籍的学生有225名． 【点睛】本题主要考查了用样本估计总体、条形与扇形统计图的综合，条形统计图表示的是每组的具体数据，扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，理解条形与扇形统计图各自的特征,灵活应用两个图中的数据是解题的关键. 24. 如图，在平行四边形中，点在分别边上，于点于点． （1）求证：； （2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中与互余的所有角． 【答案】（1） 证明：四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形性质与判定，余角的求法，解题的关键是掌握平行四边形的性质． （1）先证四边形是平行四边形，证，再证四边形为矩形，即可得答案； （2）先求出互余的角是，再证，即可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， 互余的角是， ， ， ， ， ， 互余的角有： ． 25. 69中学在校本课程的实施过程中，计划组织学生编织大、小两种中国结．若编织2个大号中国结和4个小号中国结需用绳20米；若编织3个大号中国结和5个小号中国结需用绳27米． （1）求编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳多少米； （2）69中学决定编织以上两种中国结共60个，这两种中国结所用绳长不超过200米，那么69中学最多编织多少个大号中国结？ 【答案】（1）编织1个大号中国结需要用绳4米，编织1个小号中国结需要用绳3米 （2）69中学最多编织20个大中国结 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用； （1）设编织1个大号中国结需要用绳x米，编织1个小号中国结需要用绳y米，根据编织2个大号中国结和4个小号中国结需要用绳20米，若编织3个大号中国结和5个小号中国结需要用绳27米，再建立方程组解题即可； （2）设69中学编织m个大中国结，则编织个小中国结，根据编织这两种中国结的用绳长不超过200米，再建立不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设编织1个大号中国结需要用绳x米，编织1个小号中国结需要用绳y米，根据题意得． ， 解得， 答：编织1个大号中国结需要用绳4米，编织1个小号中国结需要用绳3米． 【小问2详解】 解：设该中学编织m个大中国结，则编织个小中国结，根据题意得 ， 解得， 答：69中学最多编织20个大中国结． 26. 【教材呈现】 现行人教版九年级下册数学教材63页“拓广探索”第14题： 14．如图，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作和边上的高．） 【得出结论】 （1）【基础应用】 如图1，在中，，，，利用以上结论求的长． （2）【推广证明】 进一步研究发现，不仅在锐角三角形中成立，在任意三角形中均成立，并且还满足（为外接圆的半径）． 请利用图2证明：． （3）【拓展应用】 如图3，内接于，，弦交于点，交于点，，点、分别在弦、上，且，且，若，，求的半径的长． 【答案】（1） （2）如图所示，过点作于点，连接，， ∴， ∴ ∵ 即 ∴ （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知结论，根据特殊角的三角函数值，代入数据，即可求解． （2）过点作于点，连接，，得出，，根据正弦的定义，即可求解； （3）在上取一点，使得，先证明，进而证明，取的中点，导角得出，进而可得，根据已知可得，作直接，连接，进而得出，根据（2）的结论，即可求解． 【详解】解：（1）∵在中，，， ∴ ∵ ∴ ∴ （2）略 （3）如图所示，在上取一点，使得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴, 又∵ ∴， ∴， 取的中点，则， 设 ∵， ∴ ∵ ∴ 由∵ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 作直径，连接， ∵ ∴ ∴ ∵，则 ∴ ∴ 由（2）可得, ∴ 【点睛】本题考查了解直角三角形，垂径定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 27. 直线交轴于点，交轴于点，． （1）如图1，求的值； （2）如图2，直线，交轴于点，交轴于点，设的面积为，求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，直线、交于点，轴于点，交于点、交于点，点在线段上，，连接交于点，若，求的值． 【答案】（1） （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）先求出得到，再解直角三角形得到，则，再把代入到中求出m的值即可； （2）先求出，得到，则； （3）如图所示，过点F作轴交延长线于T，则，求出，进而利用平行线的性质推出，则是等腰直角三角形，，，由勾股定理得到，如图所示，将绕点F逆时针旋转90度得到，连接，则，，可证明；证明四边形是平行四边形，得到，则可证明，进而证明，则；由勾股定理得，则，可得，证明，得到；如图所示，过点K作交于Q，过点Q作轴于S，则是等腰直角三角形，，；证明，得到；证明，得到，，则；设，则，通过解直角三角形得到，即，解得或（舍去），则，，即，利用待定系数法求出，则． 【小问1详解】 解：在中，当时，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 把代入中得， ∴； 【小问2详解】 解：在中，当时，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，过点F作轴交延长线于T， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 如图所示，将绕点F逆时针旋转90度得到，连接， ∴，， ∴； ∵轴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理可得， ∴； ∴， ∵， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 如图所示，过点K作交于Q，过点Q作轴于S， ∴是等腰直角三角形，， ∴； ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 由（1）可知直线解析式为， ∵直线解析式为， ∴直线过定点， 在中，当时，， ∴直线也经过点， ∴点即为直线和直线的交点， ∴， ∴， ∴， ∴； 设，则， 在中，， 在中，， ∴，即， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴， ∴， 把代入中得：， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，解直角三角形，平行四边形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，旋转的性质等等，解题的关键在于证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $