第03讲 数列的概念与性质及利用递推公式表示数列（6个知识点+7种必考题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（沪教版2020选择性必修第一册）

第四章第03讲 数列的概念与性质及利用递推公式表示数列 （6个知识点+7种必考题型+强化训练） 学习目标 1.理解数列的有关概念与数列的表示方法. 2.掌握数列的分类，了解数列的单调性. 3.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任一项. 4.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式． 5.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项. 6.了解用累加法、累乘法由递推公式求通项公式.3.会由数列{an}的前n项和Sn求数列{an}的通项公式． 知识点01 数列及其有关概念 1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项． 2. 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}． 知识点02 数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 知识点03　函数与数列的关系 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)． 知识点04　数列的单调性 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 知识点05　通项公式 1．如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 2．通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数． 知识点06　数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 【即学即练1】写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)－1，，－，； (2)，2，，8； (3)0,1,0,1； (4)9,99,999,9 999. 【解析】　(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为负，偶数项为正， 所以它的一个通项公式为an＝，n∈N*. (2)数列中的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，，，，…， 所以它的一个通项公式为an＝，n∈N*. (3)这个数列中的项是0与1交替出现，奇数项都是0，偶数项都是1，所以通项公式可以写成an＝由第(1)题也可以写成an＝(n∈N*)或an＝(n∈N*)． (4)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N*. 【即学即练2】已知数列{an}的通项公式是an＝2n2－n，n∈N*. (1)写出数列的前3项； (2)判断45是否为数列{an}中的项，3是否为数列{an}中的项． 【解析】(1)在通项公式中依次取n＝1,2,3，可得{an}的前3项分别为1,6,15. (2)令2n2－n＝45，得2n2－n－45＝0，解得n＝5或n＝－(舍去)，故45是数列{an}中的第5项． 令2n2－n＝3，得2n2－n－3＝0，解得n＝－1或n＝，故3不是数列{an}中的项． 【即学即练3】设数列{an}满足an＝ 写出这个数列的前5项． 解　由题意可知a1＝1，a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝，a5＝1＋＝1＋＝. 【即学即练4】在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋－，则an等于(　　) A. B. C. D. 【答案】　B 【解析】方法一　(归纳法)　数列的前5项分别为 a1＝1，a2＝1＋1－＝2－＝， a3＝＋－＝2－＝， a4＝＋－＝2－＝， a5＝＋－＝2－＝， 又a1＝1， 由此可得数列的一个通项公式为 an＝. 方法二　(迭代法)　a2＝a1＋1－， a3＝a2＋－，…，an＝an－1＋－(n≥2)， 则an＝a1＋1－＋－＋－＋…＋－ ＝2－＝(n≥2)． 又a1＝1，所以an＝(n∈N*)． 方法三　(累加法)　an＋1－an＝－， a1＝1， a2－a1＝1－， a3－a2＝－， a4－a3＝－， … an－an－1＝－(n≥2)， 以上各项相加得 an＝1＋1－＋－＋…＋－. 所以an＝(n≥2)． 因为a1＝1也适合上式，所以an＝(n∈N*)． 题型一．数列的概念及简单表示法 1．（2024春•闵行区校级期末）数列中，，则的值为 　　． 【分析】将2024代入数列中，即可求解． 【解答】解：， 则． 故答案为：0． 【点评】本题主要考查数列的概念及简单表示法，属于基础题． 2．（2023秋•徐汇区校级期末）已知是离最近的整数，如，，则无穷数列中共有 　 　项的值等于100． 【分析】根据题意列式，然后确定的取值情况即可． 【解答】解：由已知得此时不等式取等号和不取等号对结果没有影响， 所以， 又，， 所以， 所以共有项的值等于100． 故答案为：200． 【点评】本题考查不等式的应用，属于中档题． 3．（2023春•浦东新区校级月考）写出该数列的一个通项公式，2，，8，，　 　． 【分析】将原数列改写成，，，，，，即可找到其项的规律，从而可得该数列的一个通项公式． 【解答】解：数列，2，，8，，，即为，，，，，， 由此得此数列的一个通项公式为． 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查了数列通项公式的定义，属于基础题． 4．（2023春•浦东新区校级期末）是数列的第 　　项． 【分析】由题意，列方程求解即可． 【解答】解：由，可得， 故是数列的第21项． 故答案为：21． 【点评】本题考查数列的通项公式，属基础题． 题型二．由数列若干项归纳出通项公式 5．（2023秋•杨浦区校级月考）已知数列1，，5，，9，，则该数列的通项公式可能为　 　． 【分析】通过观察数列的规律求得正确答案． 【解答】解：通过观察可知，该数列的绝对值是1，3，5，7，9，，即奇数列， 所以． 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查数列的通项公式，属于基础题． 题型三．由通项公式求解或判断数列中的项 6．（2024春•黄浦区校级期中）数列中的项按顺序可以排列成如表的形式，第一行一项，排；第二行2项，从左到右分别排，；第三行3项，依次类推，设数列的前项和为，则满足的最小正整数的值为　　 4 4 4 4 A．65 B．66 C．78 D．79 【分析】考虑每行中的个数和各项的和，结合等差数列和等比数列的求和公式、数列的分组求和，计算可得所求最小值． 【解答】解：由题意可得表中的每一行的个数构成等差数列1，2，3，4，，， 每一行的和为4，，，， 可得前行的各项和为， 当时，，共有1个数； 当时，，共有3个数； ， 当时，，共有个数； 所以，当时，， 即的最小值为79． 故选：． 【点评】本题考查等比数列的求和公式，以及数列的分组求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题． 7．（2024春•浦东新区校级期末）在数列中，，若，则实数的取值范围为 　 　． 【分析】由等差数列的前项和，可得，进而解不等式即可． 【解答】解：由，知数列为等差数列，即， 即，解得． 故的取值范围为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查等差数列的前项和，属于基础题． 8．（2024春•浦东新区校级月考）数列中的项按顺序可以排列成如图的形式，第一行1项，排；第二行2项，从左到右分别排，；第三行排3项，依此类推．设数列的前项和为，则满足的最小正整数的值为　　 A．20 B．21 C．26 D．27 【分析】根据题意，分析表中数据的规律，求出各行的和，据此可得，求出第六行的第6个数，计算可得，分析可得答案． 【解答】解：根据题意， 第一行，为4，其和为4，可以变形为； 第二行，为首项为4，公比为3的等比数列，共2项，其和为； 第三行，为首项为4，公比为3的等比数列，共3项，其和为； 依此类推：第行的和； 则前6行共个数， 前6项和为： ， 满足， 而第六行的第6个数为， 则， 故满足的最小正整数的值21； 故选：． 【点评】本题考查等比数列的求和，涉及归纳推理的应用，关键是分析表中数列的规律，属于基础题． 题型四．由实际问题归纳出数列的通项 9．（2023春•徐汇区校级期末）公元263年，刘徽首创了用圆的内接正多边形的面积来逼近圆面积的方法，算得值为3.14，我国称这种方法为割圆术，直到1200年后，西方人才找到了类似的方法，后人为纪念刘徽的贡献，将3.14称为徽率．我们作单位圆的外切和内接正边形，2，，记外切正边形周长的一半为，内接正边形周长的一半为．通过计算容易得到：（其中是正边形的一条边所对圆心角的一半） （1）求的通项公式； （2）求证：对于任意正整数依次成等差数列； （3）试问对任意正整数，、、是否能构成等比数列？说明你的理由． 【分析】由题意及，结合三角函数的公式运用，利用等差中项法、等比中项法证明数列是等差数列，等比数列． 【解答】解：（1）如图，等腰三角形中，，， 所以，即； （2）证明：因为，， 所以，， 所以 ， 故对于任意正整数依次成等差数列． （3）因为，， 所以，， 所以， ； 即； 所以，对任意正整数，、、能构成等比数列． 【点评】本题考查了运用等差中项法、等比中项法证明数列问题，结合三角函数的公式，属于中档题． 10．（2023春•闵行区校级期中）某公司生产一种产品，第一年投入资金1000万元，出售产品后收入40万元，预计以后每年的投入资金是上一年的一半，出售产品所得收入比上一年多80万元．同时，当预计投入资金低于20万元时，就按20万元投入，且当年出售产品的收入与上一年相同． （1）设第年的投入资金和收入金额分别为万元，万元，请求出、的通项公式； （2）预计从第几年起该公司开始并持续盈利？请说明理由．（盈利是指总收入大于总投入） 【分析】（1）根据题意归纳出与的通项公式即可； （2）由（1）可知当，总利润为； 当时，总利润为，从而结合的单调性即可确定从第几年起该公司开始并持续盈利． 【解答】解：（1）根据题意，，； （2）由（1）可知当，总利润为， 所以，，又为增函数，（3），（4）， 所以当时，；当时，，又，， 所以当时，，即前6年未盈利； 当时，总利润为，令，得， 综上，预计该公司从第8年起开始盈利． 【点评】本题考查等差数列与等比数列的通项公式，涉及数列与函数的综合问题，解题的关键在于根据实际问题归纳出与的通项公式． 题型五．数列的单调性 11．（2024秋•普陀区校级月考）若一个正整数的各位数码从左至右是严格增或严格减的，则称该数为“严格单调数”．在不大于4000的四位数中，“严格单调数”共有 　　个． 【分析】根据题意，按该四位数的各位数码从左至右是严格增和递减两种情况讨论，分别求出“严格单调数”的数目，计算可得答案． 【解答】解：根据题意，若该四位数的各位数码从左至右是严格增， 其首位为1时，有种情况， 其首位为2时，有种情况， 其首位为3时，有种情况， 若该四位数的各位数码从左至右是严格减，只有3210一个四位数符合题意， 则共有个符合题意的“严格单调数”． 故答案为：112． 【点评】本题考查分类计数原理的应用，注意“严格单调数”的定义，属于基础题． 12．（2023春•浦东新区校级月考）已知数列的通项公式为，且为递增数列，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】根据数列为单调递增数列，可得到恒成立，即可求得答案． 【解答】解：数列的通项公式为，数列是递增数列， ，恒成立， 即，恒成立，而，随的增大而增大， 即当时，，取得最小值2，则， 所以实数的取值范围是． 故选：． 【点评】本题主要考查数列的函数特性，属于基础题． 13．（2024春•长宁区校级期末）设无穷项等差数列的公差为，前项和为，则下列四个说法中正确的个数是　　 ①若，则数列有最大项； ②若数列有最大项，则； ③若数列是递增数列，则对任意的，均有； ④若对任意的，均有，则数列是递增数列． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】利用等差数列的求和公式及其单调性即可判断出结论． 【解答】解：①若，则数列有最大项，正确； ②若数列有最大项，则，正确； ③若数列是递增数列，则对任意的，均有，不正确，例如，； ④若对任意的，均有，则数列是递增数列，正确． 故选：． 【点评】本题考查了等差数列的前项和的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 14．（2024秋•静安区校级月考）已知通项公式为的数列为严格增数列，则实数的取值范围是 　 　． 【分析】依题意有，解得，求出即可得的取值范围． 【解答】解：通项公式为的数列为严格增数列， ， 即，整理得， 则， 为减函数， 时，取得最大值，是， ，即的取值范围为． 故答案为：． 【点评】本题考查数列的单调性，考查等价转化思想，属于中档题． 15．（2024秋•普陀区校级月考）已知是严格增数列，且点，，均在双曲线上．设，若对任意正整数，都有，则的最大值为 　 　． 【分析】先明确点在双曲线的第一象限，再分析的变化趋势，求出的极限值即可． 【解答】解：因为点，，均在双曲线上， 所以，又因为是严格增数列， 所以恒成立． 所以点，一定在第一象限． 且，，． 根据双曲线渐近线的性质，数列的增长速度越来越慢， 即的值越来越小， 所以随着的增大，越来越小． 又， 因为 ． 所以． 因为恒成立，所以， 所以的最大值为． 故答案为：． 【点评】本题考查数列单调性，属于中档题． 16．（2024秋•宝山区校级月考）已知，若数列为严格增数列，则实数的取值范围是 　 　． 【分析】对的值分段讨论，根据严格增数列的概念，求的取值范围． 【解答】解：若，则，所以，由指数函数的性质可知，数列为严格增数列； 若，则，所以，为常数数列； 若，则，所以，由指数函数的性质可知，数列为严格增数列； 若，则，所以，此时， 所以数列一定不是严格增数列； 若，则，，所以， 由，该式在时恒成立； 由． 当时，，又，所以， 此时：， 因为，，所以． 即在时成立． 综上可知，的取值范围为：，，，． 故答案为：，，，． 【点评】本题考查数列的单调性，涉及数列的通项公式，属于基础题． 17．（2024秋•静安区校级月考）若两个正整数的正公因数只有1，则称这两个正整数互素，将与105互素的所有正整数组成集合，，，，，，且，则　　． 【分析】先求得前105个数中有多少个数与105互质，进而可求得第100个与105互质的数． 【解答】解：由题意知，不可以是3，5，7的倍数， 所以在前105个正整数中与105互素的整数个数为：， 故不超过105而与105互质的正整数有48个． 故在第二轮的105个数中仍然有48个与105互质的正整数． 在前105个数中前4个与105互质的数为1，2，4，8， 故按照从小到大排列后可知． 故答案为：218． 【点评】本题考查数列单调性，属于中档题． 题型六．数列的最大项最小项 18．（2023秋•宝山区校级期中）若数列满足，为常数），则称数列为“调和数列”．已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值为　　 A．10 B．100 C．200 D．400 【分析】由数列为调和数列可得为等差数列，由等差数列的性质及已知可求，利用基本不等式可求的最大值． 【解答】解：由数列为调和数列可得为常数）， 所以为等差数列， 由等差数列的性质可得：，所以， 所以， 又因为，所以． 故选：． 【点评】本题考查等差数列的性质和基本不等式的应用，属于基础题． 19．（2023•宝山区校级开学）设是正整数，，在数列中，“且”是“是数列的最大项”的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【分析】根据数列最大项的定义直接判断即可． 【解答】解：由题意，是正整数，且，故在数列中， 若是数列的最大项，则且，即且， 若且，则不一定是数列的最大项， 故“且”是“是数列的最大项”的必要不充分条件． 故选：． 【点评】本题考查数列最大项的定义，考查充要条件的判定，属基础题． 20．（2024春•宝山区校级期中）设等差数列的前项和为，且满足，，则中最大项为　　 A． B． C． D． 【分析】利用等差数列的求和公式即等差数列的性质可得，，，即递减，前8项中递增，即当最大且取最小正值时，有最大值，从而可得答案． 【解答】解：等差数列前项和， 由，可得： ，，； 故最大值为． 又，递减，前8项中递增， 故最大且取最小正值时，有最大值， 即最大． 故选：． 【点评】本题考查等差数列的求和公式即等差数列的性质，分析得到当最大且取最小正值时，有最大值是关键，考查推理与运算能力，属于难题． 题型七.数列递推式 21．（2023秋•虹口区校级期末）若数列的前项和满足，且，则　　 A． B． C． D． 【分析】根据已知递推关系式及可得出：当时，，利用等比数列的求和公式即可得出所求的答案． 【解答】解：因为①， 所以当时，②， ①②可得：当时，， 即当时，． 当时，，即，不满足， 所以． 故选：． 【点评】本题考查由数列的递推关系求通项及数列求和，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题． 22．（2023秋•徐汇区校级期末）设为数列的前项和，，，3，，，则满足已知条件的的个数是　　 A．0 B．10 C．11 D．21 【分析】分三种情况，根据等差数列求和公式得到方程，解方程，从而求出答案． 【解答】解：若，的最大值为，不成立； 若，的最大值为，不成立； 若，的最大值为，成立，即的最小值为21， 设，3，， 则，，，， ， 相加可得，， 说明其中有或3的情况， 可以验证还可为24，25，28，29，32，33，36，37，40，共11种． 故选：． 【点评】本题考查数列递推式和等差数列的前项和公式，属难题． 23．（2023秋•青浦区校级期末）无穷数列满足，，则其所有项和　 　． 【分析】根据递推式可得数列为等比数列，根据等比数列的前项和公式，求极限即可得结论． 【解答】解：由，可得，又， 故数列是首项为1，公比为的等比数列， 所以， 当时，， 即无穷数列的所有项和． 故答案为：． 【点评】本题考查等比数列的定义及前项和公式，考查极限的定义，属基础题． 24．（2023秋•浦东新区校级期末）在数列中，，，则　 　． 【分析】由和数列的递推公式，计算，，，从得到数列的周期，再计算出． 【解答】解：由，得， 由，得，，， 所以数列是以3为周期的数列，可得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查数列的概念与性质、由递推式求数列的通项等知识，属于基础题． 25．（2024春•徐汇区校级期末）已知数列满足：为正整数），若，则所有可能的取值集合为 　 　． 【分析】由递推式及的值，先推出的可能值，再根据推出符合条件的即可． 【解答】解：由题意：且， 当为奇数时，有．即， 当为偶数时，有，即， 当为奇数时，有，即或，解得或，均不合题意，舍去； 当为偶数时，有，即或，解得和，符合题意； 综上，所有可能的取值集合为，． 故答案为：，． 【点评】本题考查由数列递推式求值的问题，属基础题． 26．（2024春•青浦区校级月考）已知数列中且，则　 　． 【分析】由可得，从而可得是以7为首项，以4为公比的等比数列，进一步及可求出 【解答】解：由，得， 又，故是以7为首项，以4为公比的等比数列， 所以，即． 故答案为：． 【点评】本题主要考查数列的递推公式，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于中档题． 27．（2024春•浦东新区校级月考）已知数列的前项和为，且，则　 　． 【分析】由题意可得，，则求解． 【解答】解：已知数列的前项和为，且，① 则当时，，② 由①②可得，， 则． 故答案为：210． 【点评】本题考查了数列的递推式，属中档题． 一．选择题（共4小题） 1．（2023秋•杨浦区校级月考）我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何”，翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则几天后两鼠相遇，这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为15尺，则需要几天时间才能打穿（结果取整数）　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】设需要天时间才能打穿，结合题设列不等式并整理得，令，利用函数零点存在性定理及函数单调性即可求出结果． 【解答】解：设需要天时间才能打穿，则， 化简并整理得， 令，则， 又在，单调递增， 在内存在一个零点， 至少需要4天时间才能打通． 故选：． 【点评】本题考査了等比数列的求和公式、函数零点存在判定定理、不等式，考査了推理能力与计算能力，属于中档题． 2．（2024秋•闵行区校级期中）若，有限数列，，，的前项和为，且对一切都成立．给出下列两个命题：①存在，使得，，，是等差数列；②对于任意的，，，，都不是等比数列．则　　 A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①②都是真命题 D．①②都是假命题 【分析】对于①：举例说明即可；对于②：分类讨论公比为的取值范围，结合等比数列的求和公式分析判断，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，对于①：举出实例：，，，则，，， 满足，，是等差数列，且对一切都成立，故①正确； 对于②：若是等比数列，设公比为，显然，． 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，因为， 所以，，即， 分3种情况讨论： ①当时，则，， 即，解得，不合题意； ②当时，若为偶数，则，， 即，解得，不合题意； ③当时，若为偶数，则，， 即，整理得，无解，不合题意， 综上，不存在满足题意，即，，，不可能是等比数列，故②正确． 故选：． 【点评】本题考查了等差数列和等比数列的应用，注意等比、等差数列的性质，属中档题． 3．（2024春•浦东新区校级期末）等比数列的首项，公比为，数列满足是正整数），若当且仅当时，的前项和取得最大值，则取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】求出的通项公式，分析出其为等差数列，然后由条件得出，代入通项公式即可求解． 【解答】解：， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 若当且仅当时，的前项和取得最大值， 所以 ，即． 故选：． 【点评】本题考查等差数列的通项公式和数列的求和，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题． 4．（2023秋•宝山区校级期末）已知数列为无穷数列．若存在正整数，使得对任意的正整数，均有，则称数列为“阶弱减数列”．有以下两个命题：①数列为无穷数列且为正整数），则数列是“阶弱减数列”的充要条件是；②数列为无穷数列且为正整数），若存在，使得数列是“2阶弱减数列”，则．那么　　 A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 【分析】对于①：根据“阶弱减数列”的定义结合充分必要条件分析判断；对于②：分析可得对一切正整数恒成立，分、和三种情况，分析求解． 【解答】解：对于①：因为， 若该数列为“弱减数列”， 因为，则， 可得，即， 同理可得，，所以； 当时，， 所以该数列为“弱减数列”； 综上所述：数列是“阶弱减数列”的充要条件是，故①是真命题； 对于②：因为，显然， 若存在使得数列为“2阶弱减数列”， 则，即，整理得， 所以对一切正整数恒成立， 若，当时，当，则； 当，为奇数，； 可知不合题意，所以， 则， 当时， 则， 可得，不合题意； 若，取，则，符合题意； 若，则，，则， 取，则，符合题意； 综上所述：存在，使得数列是“2阶弱减数列”，则．故②是真命题． 故选：． 【点评】本题考查新定义问题，可以通过举例或转化法理解新定义，进而根据新定义分析求解，属于难题． 二．填空题（共9小题） 5．（2024春•徐汇区校级期末）已知数列满足：，，且是递增数列，则实数的取值范围是 　　． 【分析】根据题意是递增数列可知，进而可得关于的不等式，解可得答案． 【解答】解：根据题意，数列满足：，， 若是递增数列，且对于任意的，都有成立， 对于任意，，即， 变形可得：恒成立， 又由且，则， 所以，即实数的取值范围是． 故答案为：． 【点评】本题考查数列的函数特性，涉及数列的单调性，属于基础题． 6．（2024秋•松江区校级月考）已知数列是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列，则数列的通项公式为 　　． 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，求得，的值，即可求解． 【解答】解：数列是公差的等差数列， ，且，，成等比数列，可得， 即，解得，， 则数列的通项公式为，即． 故答案为：． 【点评】本题考查等差数列的通项公式，属于基础题． 7．（2023秋•静安区校级月考）求和：　　． 【分析】先将每项分组，进而即可根据等差数列以及等比数列的前项和公式得出答案． 【解答】解： ． 故答案为：． 【点评】本题考查等差数列与等比数列的求和，属于基础题． 8．（2023秋•宝山区校级期中）已知为等差数列，，，且、、成等比数列，则　　． 【分析】根据题意，可设等差数列的公差为，利用可求出与的值，即可求出． 【解答】解：根据题意，设等差数列的公差为， 由，，成等比数列，得， 即，整理得，故， 又，得，解得， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查方程思想和运算求解的能力，属于基础题． 9．（2023春•浦东新区校级期末）已知数列的前项和，那么它的通项公式为　　． 【分析】当时，，当时，，验证可得通项公式． 【解答】解：当时，； 当时，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查等差数列的前项和公式，属基础题． 10．（2023秋•普陀区校级月考）若，由到时，比增加的项数为 　　． 【分析】分别计算出与的项，进而作差即得结论． 【解答】解：， 共有项， 共有项， 与共增加了项． 故答案为：． 【点评】本题考查了函数数列的项数计算，属于中档题． 11．（2024秋•黄浦区校级月考）设数列是等差数列．若和是方程的两根，则数列的前2022项的和　2022　． 【分析】直接利用等差数列的性质和求和公式求出结果． 【解答】解：数列是等差数列．若和是方程的两根， 故， 所以． 故答案为：2022． 【点评】本题考查的知识点：等差数列的性质，数列的求和，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 12．（2023秋•虹口区校级期中）斐波那契，意大利数学家，其中斐波那契数列是其代表作之一，即数列满足，且，则称数列为斐波那契数列．已知数列为斐波那契数列，数列满足，若数列的前12项和为86，则　8　． 【分析】写出斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，观察可知，每三项中前两项为奇数，后一项为偶数，结合， 数列的前12项和为86，得到，，，列式求解即可． 【解答】解：斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144， 观察可知，每三项中前两项为奇数，后一项为偶数， 由得：，，， 则， 同理：，，，，， 得，，，， 则，， 则， 则． 故答案为：8． 【点评】本题考查数列的应用，属于中档题． 13．（2024秋•徐汇区校级期中）对于数列，若存在，使得对任意，有，则称为“有界变差数列”．给出以下四个结论： ①若等差数列为“有界变差数列”，则的公差等于0； ②若各项均为正数的等比数列为“有界变差数列”，则其公比的取值范围是； ③若数列是“有界变差数列”， 满足，则是“有界变差数列”； ④若数列是“有界变差数列”， 满足，则是“有界变差数列”； 其中所有正确结论的序号是 　①③④　． 【分析】对于①，利用反证法即可判断；对于②，讨论和，，并结合等比数列求和及性质即可判断；对于③④，先证明若、均为有界变差数列，且，则是有界变差数列，即可判断是否正确，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析4个命题： 对于①，假设等差数列的公差不等于0，则， 故， 所以不存在，使得对任意，有， 所以若等差数列为“有界变差数列”，则的公差等于0，①正确； 对于②，因为的各项均为正数，所以，， ， 当时，，， 任取即可，所以为有界变差数列， 当时，， 若，则， 令即可，所以为有界变差数列， 若，则， 当时，， 显然不存在符合条件的，故不是有界变差数列， 综上，的取值范围是，，故②错误； 对于③和④， 先证明若，均为有界变差数列，且，则是有界变差数列， 由有界变差数列的定义可知， ， ， 因为， 所以， 故， 因此， 故是有界变差数列， 对于③，易知，设，则，且， 由前面结论知是有界变差数列， 即是“有界变差数列”，故③正确； 对于④，因为，所以， 所以是有界变差数列，故④正确． 故答案为：①③④． 【点评】本题考查数列的综合应用，关键是理解“有界变差数列”的定义，属于难题． 三．解答题（共10小题） 14．（2023秋•嘉定区校级期末）已知数列为等比数列，且为严格增数列，，，． （1）求数列的通项公式及前项和； （2）求数列的前项和的最小值． 【分析】（1）由等比数列的通项公式、求和公式可得所求； （2）由对数的运算性质可得，再由等差数列的求和公式和二次函数的最值可得所求． 【解答】解：（1）由题意可得，设的公比为，， 由，，可得，， 则，解得，， ； （2）， 则前项和， 所以当或4时，取得最小值． 【点评】本题考查等比数列和等差数列的通项公式、求和公式的运用，以及前项和的最值，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 15．（2024秋•奉贤区校级月考）从数据组，2，3，，中取出是自然数，且个不同的数构成一个新数据组，，，．若对任意的，存在，，，，2，，，使得，，，0，，则称数据组为数据组的一个维基本数据库． （1）判断数据组是否为数据组，2，3，4，的一个2维基本数据库； （2）若数据组：，是数据组，2，3，，的一个2维基本数据库，请求出的最大值，并写出此时的2维基本数据库． （3）若数据组是数据组的一个维基本数据库，求证：． 【分析】（1）根据维基本数据库的定义直接运算判断即可； （2）先利用维基本数据库的定义与列举法证得，再分析得时的2维基本数据库，从而得解； （3）设，，计算出的各种情况下的正整数个数，并求出它们的和，结合定义即可得证． 【解答】解：（1）因为，，， ，， 所以数据组是数据组，2，3，4，的一个2维基本数据库； （2）不妨设，，， 则，组成的数据的个数最多有：，， ，，，，共6个， 所以， 当时，因为是，组成的数据中最大的项，且必存在， 所以有，则， 而，组成的数据中最小的项可能为或， 若，则由无法得到5这一项，不满足题意； 若，则， 此时，，， ，，， 所以是数据组，2，3，，的一个2维基本数据库，满足题意； 所以的最大值为6，此时的2维基本数据库． （3）证明：不妨设， 则形如，，2，3，，的正整数共有个； 形如，2，3，，的正整数共有个； 形如，，2，3，，，的正整数至多有个； 形如，，2，3，，的正整数至多有个； 又数据组，2，3，，含个不同的正整数，数据组是数据组的一个维基本数据库， 故，化简得． 【点评】本题考查数列综合应用，属于中档题． 16．（2024春•闵行区期末）已知数列，若为等比数列，则称具有性质． （1）若数列具有性质，且，，求的值； （2）若，求证：数列具有性质； （3）设，数列具有性质，其中，，，若，求正整数的取值范围． 【分析】（1）由题意可知，，成等比数列，则，然后求解； （2）由题意可得数列是以6为首项，以2为公比的等比数列，得证； （3）先求出，然后可得数列为以2为首项以2为公比的等比数列，数列是以为首项，以为公比的等比数列，由，可得，然后解不等式即可． 【解答】（1）解：由题意可知，，成等比数列． 则， 即， 则， 解得． （2）证明：，， 则， 又， 则数列是以6为首项，以2为公比的等比数列， 故数列具有性质． （3）解：设数列的前项和为， 则， 当时，， 当时，， 经检验，． 由， 解得， 则，， 由数列具有性质， 则为等比数列， 又， 故数列为以2为首项以2为公比的等比数列， 则， 于是， 即， 由， 则数列是以为首项，以为公比的等比数列， 故， 则， 又， 化简可得， ①若为偶数，则， 即； ②若为奇数， 则， 即； 综上可得，的取值范围是且． 【点评】本题考查了等比数列通项公式的求法，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题． 17．（2023秋•浦东新区校级期末）已知数列满足，． （1）证明：数列为等差数列，并求出数列的通项公式； （2）设数列满足，为数列的前项和． ①求数列的前项和； ②若在，上恒成立，求的取值范围． 【分析】（1）对已知数列的递推式两边同除以，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求； （2）①运用对数的运算性质可得所求和； ②由不等式恒成立思想和基本不等式可得所求取值范围． 【解答】解：（1）证明：由， 两边同除以得， ，为常数， 可得数列为等差数列，首项，公差为1； 由，可得； （2）①， 则； ②若在，上恒成立，即为在，上恒成立， 由，当且仅当时，取得等号， 则，即的取值范围是，． 【点评】本题考查等差数列的定义、通项公式和不等式恒成立问题，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题． 18．（2023秋•浦东新区校级期末）已知等差数列中，，公差；等比数列中，，是和的等差中项，是和的等差中项． （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前项和． 【分析】（1）由等差数列和等比数列的通项公式和性质，解方程可得首项和公差、公比，进而得到所求； （2）由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和． 【解答】解：（1）等差数列中，，公差，即有； 等比数列中，，设公比为， 由是和的等差中项，是和的等差中项， 可得，， 即有，，，， 解得，，，， 则； （2）， 则前项和 ． 【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式，以及数列的分组求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 19．（2023秋•闵行区校级期末）已知数列中，，其前项和为，且． （1）若是等比数列，，求通项公式； （2）若，求； （3）若是等差数列，对任意的且．都有，求其公差的取值范围． 【分析】（1）由题意求出公比和，即可得到结果； （2）根据题意，由条件可得，再由等差数列的求和公式，结合分组求和法，代入计算，即可得到结果； （3）由题意可得对任意的且成立，即对任意的且成立，分，分别求解，即可得到结果． 【解答】解：（1）是等比数列，，， 数列的公比， ，即，解得，， ． （2），则，两式相减可得， 又，则，，， 当为奇数时，数列是以3为首项，3为公差的等差数列， 当为偶数时，数列是以1为首项，3为公差的等差数列， 则 ． （3）是等差数列，所以公差， 则， ， 对任意的且成立， 即对任意的且成立， 对任意的且成立， 当时，， 当时，恒成立， 又，， 综上所述，，． 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 20．（2024春•虹口区校级期末）如果有穷数列，，，，为正整数）满足条件，，，即，2，，，我们称其为“对称数列”．例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列” （1）若是项数为7的“对称数列”，其中，，，是等差数列，且，，依次写出的每一项； （2）若是49项的“对称数列”，其中，，，是首项为1，公比为2的等比数列，求各项的和； （3）设的前项和为，且满足，其中，，，是项数为100的“对称数列” 的前50项，求的前项和． 【分析】（1）先求出公差，再根据对称数列的定义写出每一项； （2）根据求解； （3）分和两种情况求和即可． 【解答】解：（1）设数列的前四项公差为，则，解得， 则数列为2，5，8，11，8，5，2； （2）； （3），， 当时，，，即， 又当时，，，， 即， 当时，， 当时， ， ． 【点评】本题考查数列求和的综合应用，属于难题． 21．（2024秋•宝山区校级月考）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，，． （1）求数列，的通项公式； （2）若，求数列的前项和； （3）记，是否存在正整数、，使得？若存在，求出所有符合条件的正整数、；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由已知条件结合等差等比数列的性质，求出首项和公差公比，可得数列通项； （2）利用错位相减法求和； （3）利用放缩求的取值范围，判断结论是否成立． 【解答】解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，，得，则， 由，，得， 解得，则，或． 综上，数列的通项公式为， 的通项公式为或； （2）当时，， 所以， 于是， 两式相减得： ， 因此； 当时，， 所以， 于是， 两式相减得： ， 因此． （3）不存在，理由如下： 时，，所以无意义，故只能， ， 所以，而，所以， 所以对于任意的正整数，，有，，所以， 因此不存在正整数，，使得． 【点评】本题主要考查等差数列与等比数列的综合，考查运算求解能力，属于中档题． 22．（2024春•浦东新区校级期末）对于数列，，其中，对任意正整数都有，则称数列为数列的“接近数列”．已知为数列的“接近数列”，且． （1）若是正整数），求，，，的值； （2）若是正整数），是否存在是正整数），使得，如果存在，请求出的最小值，如果不存在，请说明理由； （3）若为无穷等差数列，公差为，求证：数列为等差数列的充要条件是． 【分析】（1）根据定义逐一计算即可； （2）求得，的通项公式，分类讨论为奇数，为偶数时列不等式求解即可； （3）根据充分必要条件的定义即可证明． 【解答】解：（1）由题意得，是正整数），且为数列的“接近数列”， 是正整数）， ，，，． （2）当为奇数时，，由函数在定义域内单调递增， ，， ，，可得， 当为偶数时，，由函数在定义域内单调递减， ，， ，，可得， 综上所述：， ， 当为偶数时，令，无解； 当为奇数时，令， 所以，即， 因此，存在是正整数），使得，的最小值为17． （3）①若时，由题意对于任意正整数均有恒成立，且， 则，， ，即， ，， ，即， 因此为等差数列，且公差也为； ②若为等差数列，设公差为， ， 又， 即， ，对于任意正整数都成立， ，又，得， 因此，数列为等差数列的充要条件是． 【点评】本题考查数列的应用，是难题． 23．（2024秋•宝山区校级月考）对于，若数列满足，则称这个数列为“数列”． （1）已知数列1，，是“数列”，求实数的取值范围． （2）是否存在首项为的等差数列为“数列”，且其前项和使得恒成立？若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由． （3）已知各项均为正整数的等比数列是“数列”，数列不是“数列”，若，试判断数列是否为“数列”，并说明理由． 【分析】（1）根据题意得到，且，再解不等式组即可； （2）首先假设存在等差数列符合要求，从而得到成立，再分类讨论和的情况，即可得到答案． （3）首先设数列的公比为，则，根据题意得到，从而得到为最小项，同理得到为最小项，再利用“数列”的定义得到，或，，再分类讨论即可得到答案． 【解答】解：（1）由题意得，且，解得， 所以实数的取值范围是． （2）不存在．理由：假设存在等差数列符合要求，设公差为，则， 由得． 由题意，得对均成立，即． 当时，； 当时，恒成立， 因为，所以，与矛盾， 所以这样的等差数列不存在． （3）设数列的公比为，则． 因为的每一项均为正整数，且， 所以在中，为最小项． 同理，中，为最小项． 由为“数列”，只需，即． 又因为不是“数列”，且为最小项， 所以，即． 由数列的每一项均为正整数，可得， 所以，或，． 当，时，，则． 令，则， 又， 所以为递增数列，即， 因为， 所以对于任意的，都有，即数列为“数列”． 当，时，，则． 因为，所以数列不是“数列”． 综上所述，当，时，，数列为“数列”； 当，时，，数列不是“数列”． 【点评】本题考查实数取值范围的求法，考查满足条件的等差数列是否存在的判断与求法，考查数列是否为“数列”的判断与求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是难题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章第03讲 数列的概念与性质及利用递推公式表示数列 （6个知识点+7种必考题型+强化训练） 学习目标 1.理解数列的有关概念与数列的表示方法. 2.掌握数列的分类，了解数列的单调性. 3.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任一项. 4.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式． 5.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项. 6.了解用累加法、累乘法由递推公式求通项公式.3.会由数列{an}的前n项和Sn求数列{an}的通项公式． 知识点01 数列及其有关概念 1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项． 2. 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}． 知识点02 数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 知识点03　函数与数列的关系 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)． 知识点04　数列的单调性 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 知识点05　通项公式 1．如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 2．通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数． 知识点06　数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 【即学即练1】写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)－1，，－，； (2)，2，，8； (3)0,1,0,1； (4)9,99,999,9 999. 【即学即练2】已知数列{an}的通项公式是an＝2n2－n，n∈N*. (1)写出数列的前3项； (2)判断45是否为数列{an}中的项，3是否为数列{an}中的项． 【即学即练3】设数列{an}满足an＝ 写出这个数列的前5项． 【即学即练4】在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋－，则an等于(　　) A. B. C. D. 题型一．数列的概念及简单表示法 1．（2024春•闵行区校级期末）数列中，，则的值为 　　． 2．（2023秋•徐汇区校级期末）已知是离最近的整数，如，，则无穷数列中共有 　 　项的值等于100． 3．（2023春•浦东新区校级月考）写出该数列的一个通项公式，2，，8，，　 　． 4．（2023春•浦东新区校级期末）是数列的第 　　项． 题型二．由数列若干项归纳出通项公式 5．（2023秋•杨浦区校级月考）已知数列1，，5，，9，，则该数列的通项公式可能为　 　． 题型三．由通项公式求解或判断数列中的项 6．（2024春•黄浦区校级期中）数列中的项按顺序可以排列成如表的形式，第一行一项，排；第二行2项，从左到右分别排，；第三行3项，依次类推，设数列的前项和为，则满足的最小正整数的值为　　 4 4 4 4 A．65 B．66 C．78 D．79 7．（2024春•浦东新区校级期末）在数列中，，若，则实数的取值范围为 　 　． 8．（2024春•浦东新区校级月考）数列中的项按顺序可以排列成如图的形式，第一行1项，排；第二行2项，从左到右分别排，；第三行排3项，依此类推．设数列的前项和为，则满足的最小正整数的值为　　 A．20 B．21 C．26 D．27 题型四．由实际问题归纳出数列的通项 9．（2023春•徐汇区校级期末）公元263年，刘徽首创了用圆的内接正多边形的面积来逼近圆面积的方法，算得值为3.14，我国称这种方法为割圆术，直到1200年后，西方人才找到了类似的方法，后人为纪念刘徽的贡献，将3.14称为徽率．我们作单位圆的外切和内接正边形，2，，记外切正边形周长的一半为，内接正边形周长的一半为．通过计算容易得到：（其中是正边形的一条边所对圆心角的一半） （1）求的通项公式； （2）求证：对于任意正整数依次成等差数列； （3）试问对任意正整数，、、是否能构成等比数列？说明你的理由． 10．（2023春•闵行区校级期中）某公司生产一种产品，第一年投入资金1000万元，出售产品后收入40万元，预计以后每年的投入资金是上一年的一半，出售产品所得收入比上一年多80万元．同时，当预计投入资金低于20万元时，就按20万元投入，且当年出售产品的收入与上一年相同． （1）设第年的投入资金和收入金额分别为万元，万元，请求出、的通项公式； （2）预计从第几年起该公司开始并持续盈利？请说明理由．（盈利是指总收入大于总投入） 题型五．数列的单调性 11．（2024秋•普陀区校级月考）若一个正整数的各位数码从左至右是严格增或严格减的，则称该数为“严格单调数”．在不大于4000的四位数中，“严格单调数”共有 　　个． 12．（2023春•浦东新区校级月考）已知数列的通项公式为，且为递增数列，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 13．（2024春•长宁区校级期末）设无穷项等差数列的公差为，前项和为，则下列四个说法中正确的个数是　　 ①若，则数列有最大项； ②若数列有最大项，则； ③若数列是递增数列，则对任意的，均有； ④若对任意的，均有，则数列是递增数列． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．（2024秋•静安区校级月考）已知通项公式为的数列为严格增数列，则实数的取值范围是 　 　． 15．（2024秋•普陀区校级月考）已知是严格增数列，且点，，均在双曲线上．设，若对任意正整数，都有，则的最大值为 　 　． 16．（2024秋•宝山区校级月考）已知，若数列为严格增数列，则实数的取值范围是 　 　． 17．（2024秋•静安区校级月考）若两个正整数的正公因数只有1，则称这两个正整数互素，将与105互素的所有正整数组成集合，，，，，，且，则　　． 题型六．数列的最大项最小项 18．（2023秋•宝山区校级期中）若数列满足，为常数），则称数列为“调和数列”．已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值为　　 A．10 B．100 C．200 D．400 19．（2023•宝山区校级开学）设是正整数，，在数列中，“且”是“是数列的最大项”的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 20．（2024春•宝山区校级期中）设等差数列的前项和为，且满足，，则中最大项为　　 A． B． C． D． 题型七.数列递推式 21．（2023秋•虹口区校级期末）若数列的前项和满足，且，则　　 A． B． C． D． 22．（2023秋•徐汇区校级期末）设为数列的前项和，，，3，，，则满足已知条件的的个数是　　 A．0 B．10 C．11 D．21 23．（2023秋•青浦区校级期末）无穷数列满足，，则其所有项和　 　． 24．（2023秋•浦东新区校级期末）在数列中，，，则　 　． 25．（2024春•徐汇区校级期末）已知数列满足：为正整数），若，则所有可能的取值集合为 　 　． 26．（2024春•青浦区校级月考）已知数列中且，则　 　． 27．（2024春•浦东新区校级月考）已知数列的前项和为，且，则　 　． 一．选择题（共4小题） 1．（2023秋•杨浦区校级月考）我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何”，翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则几天后两鼠相遇，这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为15尺，则需要几天时间才能打穿（结果取整数）　　 A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2024秋•闵行区校级期中）若，有限数列，，，的前项和为，且对一切都成立．给出下列两个命题：①存在，使得，，，是等差数列；②对于任意的，，，，都不是等比数列．则　　 A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①②都是真命题 D．①②都是假命题 3．（2024春•浦东新区校级期末）等比数列的首项，公比为，数列满足是正整数），若当且仅当时，的前项和取得最大值，则取值范围是　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•宝山区校级期末）已知数列为无穷数列．若存在正整数，使得对任意的正整数，均有，则称数列为“阶弱减数列”．有以下两个命题：①数列为无穷数列且为正整数），则数列是“阶弱减数列”的充要条件是；②数列为无穷数列且为正整数），若存在，使得数列是“2阶弱减数列”，则．那么　　 A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 二．填空题（共9小题） 5．（2024春•徐汇区校级期末）已知数列满足：，，且是递增数列，则实数的取值范围是 　　． 6．（2024秋•松江区校级月考）已知数列是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列，则数列的通项公式为 　　． 7．（2023秋•静安区校级月考）求和：　　． 8．（2023秋•宝山区校级期中）已知为等差数列，，，且、、成等比数列，则　　． 9．（2023春•浦东新区校级期末）已知数列的前项和，那么它的通项公式为　　． 10．（2023秋•普陀区校级月考）若，由到时，比增加的项数为 　　． 11．（2024秋•黄浦区校级月考）设数列是等差数列．若和是方程的两根，则数列的前2022项的和　　． 12．（2023秋•虹口区校级期中）斐波那契，意大利数学家，其中斐波那契数列是其代表作之一，即数列满足，且，则称数列为斐波那契数列．已知数列为斐波那契数列，数列满足，若数列的前12项和为86，则　　． 13．（2024秋•徐汇区校级期中）对于数列，若存在，使得对任意，有，则称为“有界变差数列”．给出以下四个结论： ①若等差数列为“有界变差数列”，则的公差等于0； ②若各项均为正数的等比数列为“有界变差数列”，则其公比的取值范围是； ③若数列是“有界变差数列”， 满足，则是“有界变差数列”； ④若数列是“有界变差数列”， 满足，则是“有界变差数列”； 其中所有正确结论的序号是 　　． 三．解答题（共10小题） 14．（2023秋•嘉定区校级期末）已知数列为等比数列，且为严格增数列，，，． （1）求数列的通项公式及前项和； （2）求数列的前项和的最小值． 15．（2024秋•奉贤区校级月考）从数据组，2，3，，中取出是自然数，且个不同的数构成一个新数据组，，，．若对任意的，存在，，，，2，，，使得，，，0，，则称数据组为数据组的一个维基本数据库． （1）判断数据组是否为数据组，2，3，4，的一个2维基本数据库； （2）若数据组：，是数据组，2，3，，的一个2维基本数据库，请求出的最大值，并写出此时的2维基本数据库． （3）若数据组是数据组的一个维基本数据库，求证：． 16．（2024春•闵行区期末）已知数列，若为等比数列，则称具有性质． （1）若数列具有性质，且，，求的值； （2）若，求证：数列具有性质； （3）设，数列具有性质，其中，，，若，求正整数的取值范围． 17．（2023秋•浦东新区校级期末）已知数列满足，． （1）证明：数列为等差数列，并求出数列的通项公式； （2）设数列满足，为数列的前项和． ①求数列的前项和； ②若在，上恒成立，求的取值范围． 18．（2023秋•浦东新区校级期末）已知等差数列中，，公差；等比数列中，，是和的等差中项，是和的等差中项． （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前项和． 19．（2023秋•闵行区校级期末）已知数列中，，其前项和为，且． （1）若是等比数列，，求通项公式； （2）若，求； （3）若是等差数列，对任意的且．都有，求其公差的取值范围． 20．（2024春•虹口区校级期末）如果有穷数列，，，，为正整数）满足条件，，，即，2，，，我们称其为“对称数列”．例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列” （1）若是项数为7的“对称数列”，其中，，，是等差数列，且，，依次写出的每一项； （2）若是49项的“对称数列”，其中，，，是首项为1，公比为2的等比数列，求各项的和； （3）设的前项和为，且满足，其中，，，是项数为100的“对称数列” 的前50项，求的前项和． 21．（2024秋•宝山区校级月考）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，，． （1）求数列，的通项公式； （2）若，求数列的前项和； （3）记，是否存在正整数、，使得？若存在，求出所有符合条件的正整数、；若不存在，请说明理由． 22．（2024春•浦东新区校级期末）对于数列，，其中，对任意正整数都有，则称数列为数列的“接近数列”．已知为数列的“接近数列”，且． （1）若是正整数），求，，，的值； （2）若是正整数），是否存在是正整数），使得，如果存在，请求出的最小值，如果不存在，请说明理由； （3）若为无穷等差数列，公差为，求证：数列为等差数列的充要条件是． 23．（2024秋•宝山区校级月考）对于，若数列满足，则称这个数列为“数列”． （1）已知数列1，，是“数列”，求实数的取值范围． （2）是否存在首项为的等差数列为“数列”，且其前项和使得恒成立？若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由． （3）已知各项均为正整数的等比数列是“数列”，数列不是“数列”，若，试判断数列是否为“数列”，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$