第02讲 等比数列（7个知识点+3种必考题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（沪教版2020选择性必修第一册）

第四章第02讲 等比数列 （7个知识点+3种必考题型+强化训练） 学习目标 1.通过实例，理解等比数列的概念. 2.掌握等比中项的概念并会应用. 3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程. 4.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形． 5.理解等比数列的常用性质. 6.掌握等比数列的判断及证明方法． 7.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路. 8.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题． 知识点01 等比数列的概念 1．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)． 2．递推公式形式的定义：＝q(n∈N*且n>1). 知识点02 等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab. 【即学即练1】（2024春•浦东新区期末）2与8的等比中项是　 　． 【分析】利用等比中项公式求解． 【解答】解：2与8的等比中项是： ． 故答案为：． 【点评】本题考查两个数的等比中项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比中项公式的合理运用． 知识点03　等比数列的通项公式 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1(n∈N*)． 【即学即练2】（2023秋•徐汇区校级期末）已知为等比数列，，，则　 　． 【分析】根据已知条件，结合等比数列的性质，即可求解． 【解答】解：设等比数列的公比为， ，， 则， ， 则，即，解得， 故． 故答案为：． 【点评】本题主要考查等比数列的性质，属于基础题． 【即学即练3】（2023秋•嘉定区校级期中）已知等比数列中，，，则　 　． 【分析】由已知结合等比数列的性质即可直接求解． 【解答】解：因为等比数列中，，， ， 则． 故答案为：16 【点评】本题主要考查了等比数列的性质的简单应用，属于基础试题． 知识点04　等比数列通项公式的推广和变形 等比数列{an}的公比为q，则 an＝a1qn－1① ＝amqn－m② ＝·qn.③ 其中当②中m＝1时，即化为①. 当③中q>0且q≠1时，y＝·qx为指数型函数． 【即学即练4】在等比数列{an}中． (1)已知a3＝4，a7＝16，且q>0，求an； (2)若{an}为递增数列，且a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，求通项公式an. 解　(1)∵＝q7－3＝q4＝4， ∴q2＝2，又q>0，∴q＝， ∴an＝a3·qn－3＝4·()n－3＝(n∈N*)． (2)由a＝a10＝a5·q10－5，且a5≠0， 得a5＝q5，即a1q4＝q5， 又q≠0，∴a1＝q. 由2(an＋an＋2)＝5an＋1得，2an(1＋q2)＝5qan， ∵an≠0，∴2(1＋q2)＝5q， 解得q＝或q＝2. ∵a1＝q，且{an}为递增数列， ∴ ∴an＝2·2n－1＝2n(n∈N*)． 知识点05　等比数列的常用性质 设数列{an}为等比数列，则： (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an. (2)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列． (3)在等比数列{an}中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列． (4)若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，，{a}都是等比数列，且公比分别是q，，q2. (5)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为pq和. 【即学即练5】（2023秋•宝山区校级期中）设等比数列的前项和为，若，，则等于　　 A．90 B．250 C．210 D．850 【分析】利用等比数列的求和公式，求出，，即可求得结论． 【解答】解：由题意数列的公比，设首项为，则 ，， ， 两式相除可得， 故选：． 【点评】本题考查等比数列的求和公式，考查学生的计算能力，属于基础题． 【即学即练6】（2023秋•浦东新区校级期中）已知等比数列中，，，则　 　． 【分析】根据在等比数列中，，，也成等比数列，进而根据和的值求得答案． 【解答】解：在等比数列中，，，也成等比数列， ， 故答案为：8． 【点评】本题主要考查了等比数列的性质．解题的关键是利用在等比数列中，依次每项之和仍成等比数列的性质． 【即学即练7】（2023秋•闵行区校级期中）在共有2023项的等比数列中，有等式成立，类比上述性质，在共有2023项的等差数列中，相应的有等式 　 　 成立． 【分析】直接利用等差数列的定义及通项公式计算即可． 【解答】解：相应的有等式为：， 证明：设等差数列的公差为， 则 ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了类比推理及等差数列的定义及通项公式的应用，属于基础题． 知识点06　等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 求和公式 Sn＝ Sn＝ 无穷等比数列前n项和 【即学即练8】（2023秋•虹口区校级月考）若等比数列的前项和为，且，，求　 　． 【分析】根据等比数列的通项公式可得公比，进而结合等比数列求和公式运算求解． 【解答】解：设等比数列的公比为， 因为，解得， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查等比数列的通项公式与前项和公式，考查学生逻辑推理与数学运算的能力，属于基础题． 【即学即练9】（2023秋•虹口区校级期中）首项为1，公比为的无穷等比数列的各项和为 　 　． 【分析】结合等比数列的求和公式及性质即可直接求解． 【解答】解：首项为1，公比为的无穷等比数列的各项和为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了等比数列的各项和的求解，属于基础题． 知识点07　等比数列前n项和的性质 1．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列． 2．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)． 3．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n项中，＝q； ②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)． 【即学即练10】（2023秋•宝山区校级期末）已知数列是各项为正的等比数列，，，则其前10项和　 　． 【分析】根据题意，由条件可得数列的公比为1，则，即可得到结果． 【解答】解：因为数列是各项为正的等比数列，则其公比， 又，，则，即， 所以数列为常数数列，且， 所以． 故答案为：10． 【点评】本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 题型一．等比数列的性质 1．（2023秋•闵行区校级月考）的内角、、的对边分别为、、，若、、成等比数列，且，则等于　　 A． B． C． D． 【分析】根据等比数列的性质，可得，将、与的关系结合余弦定理分析可得答案． 【解答】解：中，、、成等比数列，则， 由，则， ， 故选：． 【点评】本题考查余弦定理的运用，要牢记余弦定理的两种形式，并能熟练应用． 2．（2024秋•黄浦区校级月考）在等比数列中，，则能使不等式成立的最大正整数是　　 A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】利用等比数列的性质推导出，，，，，，，从而，，，进而，由此能求出能使不等式成立的最大正整数． 【解答】解：在等比数列中，，， 时，， 由，得，，，，，，，， 综上得，，，， 则， 所以能使不等式成立的最大正整数是7． 故选：． 【点评】本题考查等比数列的运算，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 3．（2023秋•浦东新区校级期末）定义在，，上的函数，如果对于任意给定的等比数列，若仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”现有定义在，，上的如下函数： ①②③④． 则其中是“保等比数列函数的序号为　　 A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【分析】根据新定义“保比等比数列”，结合等比数列中项的定义，逐一判断四个函数，即可得到结论． 【解答】解：根据题意，由等比数列性质知， （1）、，，故（1）是“保等比数列函数”； （2）、，，故（2）不是“保等比数列函数”； （3）、，，故（3）是“保等比数列函数” （4）、，则，故（4）不是“保等比数列函数”； 故选：． 【点评】本题考查等比数列判定，涉及函数值的计算，理解“保等比数列函数”的定义是解题的关键． 4．（2024春•徐汇区校级期末）已知数列是等比数列，且，，则　 　． 【分析】根据等比数列的通项公式把已知条件转化为，再由，，能够导出的值． 【解答】解：，，， ， ． 故答案为：5． 【点评】本题考查等比数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意等比数列通项公式的灵活运用． 5．（2023秋•青浦区校级期末）设，，，，是首项为3且公比为的等比数列，则满足不等式的最小正整数的值为 　 　． 【分析】根据等比数列的定义写出其通项，结合对数得出，即可根据并项求和法得出的式子，再代入求解即可． 【解答】解：，，，，是首项为3且公比为的等比数列， ，， 则， 则， 当为偶数时，则， 当为奇数时，为偶数， 则， 则， ，， 要满足不等式， 则为奇数， 此时， 解得， 则满足不等式的最小正整数的值为25． 故答案为：25． 【点评】本题考查等比数列性质、对数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 6．（2023秋•宝山区校级月考）数列是正数等比数列，且，则　 　． 【分析】根据等比中项的概念，得，，再结合完全平方公式求值． 【解答】解：，且，， 得：，又， 所以． 故答案为：7． 【点评】本题主要考查了等比数列的性质的应用，属于基础题． 7．（2023秋•浦东新区校级期中）设，，，是各项不为零的项等差数列，且公差．若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数对所组成的集合为　 　． 【分析】设出数列的公差，列举出数列的各项，讨论从第一项开始删去，由得到的数列为等比数列，利用等比数列的性质，列出关于与首项的方程，求出方程的解即可得到的值，根据不为0，得到满足题意的的值，即可求出满足题意的所有数对，组成集合的形式即可． 【解答】解：设数列的公差为，则各项分别为：，，，，，且，， 假设去掉第一项，则有，解得，不合题意； 去掉第二项，有，化简得：即，解得， 因为数列的各项不为零，所以数列不会出现第五项，所以数对； 去掉第三项，有，化简得：即，解得 则此数列为：，，，，此数列仍然不会出现第五项， 因为出现第五项，数列不为等比数列，所以数对； 去掉第四项时，有，化简得：，不合题意； 当去掉第五项或更远的项时，必然出现上述去掉第一项和第四项时的情况，即，不合题意． 所以满足题意的数对有两个，组成的集合为，． 故答案为：， 【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的性质化简求值，是一道中档题．学生做题时应时刻注意公差不为0和各项不为0的条件． 8．（2024•黄浦区校级开学）设，则“数列为等比数列”是“数列满足”的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【分析】“数列为等比数列”，则，数列满足．反之不能推出，可以举出反例． 【解答】解：“数列为等比数列”，则，数列满足． 反之不能推出，例如， 故选：． 【点评】本题考查了等比数列的定义、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 9．（2023秋•静安区校级月考）等比数列中，且，则　　． 【分析】由是等比数列，，利用等比数列的通项公式知，再由完全平方和公式知，再由，能求出的值． 【解答】解：是等比数列，且，， ，即． 再由，，为公比，可得， 故答案为：5． 【点评】本题考查等比数列的性质，是基础题．解题时要认真审题，注意完全平方和公式的合理运用，属于中档题． 10．（2024秋•黄浦区校级月考）已知是等比数列，给出以下四个命题：①是等比数列；②是等比数列；③是等比数列；④是等比数列，下列命题中正确的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据等比数列的判断方法，分别检验比值是否为常数进行判断． 【解答】解：是等比数列可得是定值） ①是定值，故①正确； ②比如，故②不正确； ③是定值，故③正确； ④不一定为常数，故④错误． 故选：． 【点评】要判断一个数列是否是等比数列常用的方法，可以利用等比数列的定义只需判断数列的任意一项与它的前一项的比是否是常数． 11．（2024秋•黄浦区校级月考）设数列为等差数列，数列为等比数列．若，，且，2，，则数列的公比为　 　． 【分析】设等差数列的公差为，可得，由数列为等比数列，可得，代入化简可得和的关系，分类讨论可得和，可得其公比． 【解答】解：设等差数列的公差为， 由可得， ，， ， 数列为等比数列，， 即， ① 或，② 由①可得与矛盾，应舍去； 由②可得，或， 当时，可得 ，满足， 当时，可得， ，此时显然与矛盾，舍去； 数列的公比， 综上可得数列的公比， 故答案为： 【点评】本题考查等差数列与等比数列的性质，涉及分类讨论的思想，考查学生的运算能力． 12．（2023秋•宝山区校级月考）在等比数列中，，　 　． 【分析】利用等比数列的定义和性质，把要求的式子化为，把条件代入并利用对数的运算性质求出结果． 【解答】解：正项等比数列中， ， 故答案为：20 【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，对数的运算性质的应用，属于中档题． 13．（2024秋•宝山区校级月考）已知等比数列共有项，其和为，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比　 　． 【分析】根据题意列出关于奇数项的和与偶数项的和的方程组，再由求出答案． 【解答】由题意，得 解得，， ． 故答案为：2． 【点评】本题以等比数列为载体，考查等比数列的性质，考查等比数列的求和，属于中档题． 14．（2023秋•松江区校级期中）已知无穷等比数列的各项均为正整数，且，则满足条件的不同数列的个数为 　 　． 【分析】由题意知是正整数，公比是正整数；化简得，从而可得是337，337，3，3，2，2部分或全部的积且，从而分类讨论求得． 【解答】解：无穷等比数列的各项均为正整数， 是正整数，公比是正整数； ， ， ， ， ， 其中2，3，337为质数； 为整数， 是的约数； 是337，337，3，3，2，2部分或全部的积； 又， ①当从337，337，3，3，2，2中取2个数求积时， ； 只有1种情况； ②当从337，337，3，3，2，2中取3个数求积时， ， 或， 或， 共3种情况； ③当从337，337，3，3，2，2中取4个数求积时， ， 或， 或， 或， 或； 共5种情况； ④当从337，337，3，3，2，2中取5个数求积时， ， 或， 或， 共3种情况； ⑤当从337，337，3，3，2，2中取6个数求积时， ， 只有1种情况； 综上所述，共有种， 故答案为：13． 【点评】本题考查了分类讨论的思想及等比数列的性质应用，属于中档题． 题型二．等比数列的通项公式 15．（2023秋•静安区校级期中）等比数列的前3项分别为，，，则　 　． 【分析】根据等比数列的性质即可求解公比和首项，进一步即可求出的值． 【解答】解：由题意，，， ，所以公比为2， 进而，所以， 故． 故答案为：． 【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 16．（2024秋•徐汇区校级月考）已知等比数列满足，，则的值为 　　． 【分析】由已知结合等比数列的性质即可求解． 【解答】解：等比数列满足，， 则，， 则． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了等比数列的性质的应用，属于基础题． 17．（2023秋•宝山区校级期末）已知一个等比数列的第4项是，公比是，它的第1项是 　 　． 【分析】根据等比数列通项公式基本量求出答案． 【解答】解：一个等比数列的第4项是，公比是， 由题意得，解得． 故答案为：． 【点评】本题考查等比数列通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 18．（2024秋•浦东新区校级月考）等比数列中，若，，则　 　． 【分析】由已知结合等比数列的性质及通项公式即可直接求解． 【解答】解：因为等比数列中，，， 所以，即， 所以． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式，属于基础题． 19．（2024秋•静安区校级月考）已知等比数列满足，等差数列满足，则　 　． 【分析】由已知结合等比数列的性质可求，然后结合等差数列的性质即可求解． 【解答】解：因为等比数列中，， 所以， 因为， 则由等差数列的性质得． 故答案为：10． 【点评】本题主要考查了等差数列与等比数列的性质，属于基础题． 20．（2024•浦东新区校级开学）若数列的前项和为，则数列的通项公式是　 　． 【分析】把代入已知式子可得数列的首项，由时，，可得数列为等比数列，且公比为，代入等比数列的通项公式分段可得答案． 【解答】解：当时，，解得 当时，， 整理可得，即， 故数列是以1为首项，为公比的等比数列， ． 故答案为：． 【点评】本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的判定，属基础题． 21．（2023春•上海期中）等比数列中，且，则公比为 　 　． 【分析】根据已知条件，结合等比数列的性质，推得，再结合，即可求解． 【解答】解：等比数列中，， 则，解得， ， 则． 故答案为：． 【点评】本题主要考查等比数列的性质，属于基础题． 题型三．等比数列的前n项和 22．（2023秋•松江区校级期中）数列首项为，公比为的无穷等比数列，且的各项和为，则　 　． 【分析】由已知结合等比数列的求和公式即可求解． 【解答】解：由题意得，， 即或（舍． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，属于基础题． 23．（2023秋•虹口区校级期中）首项为1，公比为的无穷等比数列的各项和为 　 　． 【分析】结合等比数列的求和公式及性质即可直接求解． 【解答】解：首项为1，公比为的无穷等比数列的各项和为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了等比数列的各项和的求解，属于基础题． 24．（2023秋•徐汇区校级期末）已知无穷等比数列，，，则公比　 　． 【分析】利用无穷等比数列求和公式即可得． 【解答】解：无穷等比数列，，则， ，又，得， 则，又， 则，得． 故答案为：． 【点评】本题考查无穷等比数列求和问题，属于基础题． 25．（2024•闵行区校级二模）已知首项为2的等比数列的公比为，则 　　． 【分析】根据题意判断出等比数列是无穷递缩等比数列，然后根据无穷递缩等比数列的求和公式进行计算即可得到结果． 【解答】解：由题意，可知等比数列是无穷递缩等比数列， 故． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的求和问题，属基础题． 26．（2023秋•虹口区校级期末）首项为1的无穷等比数列，满足，则　 　． 【分析】根据给定条件，求出无穷等比数列的公比，再利用无穷递缩等比数列所有和的公式计算能求出结果． 【解答】解：首项为1的无穷等比数列，满足， ，，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 27．（2023秋•嘉定区校级期末）若等比数列的前项和，则　 　． 【分析】由等比数列的前项和，分别求出，，，再由，，成等比数列，列方程能求出的值． 【解答】解：等比数列的前项和， ， ， ， ，，成等比数列，， ， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 28．（2023秋•宝山区校级期末）无穷等比数列满足，则数列的各项和为　 　． 【分析】利用无穷等比数列的各项和，． 【解答】解：无穷等比数列满足， 则数列的各项和， 故答案为：． 【点评】本题考查了无穷等比数列的各项和的求法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 29．（2023秋•青浦区校级期末）设等比数列的公比为2，前项和为，若，则　 　． 【分析】先根据等比数列的求和公式写出与关于首项的表达式，再代入题干已知条件列出关于首项的方程，解出的值，最后根据等比数列的通项公式即可计算出的值． 【解答】解：由题意，可得， ， ， ， 解得， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查等比数列的基本运算．考查了方程思想，转化与化归思想，等比数列的通项公式与求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属基础题． 30．（2023秋•宝山区校级期末）记为等比数列的前项和．已知，，则数列　　 A．无最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，无最小项 D．有最大项，有最小项 【分析】由，，求出公比，然后根据等比数列的前项和公式求出，再分为奇数和为偶数两种情况求出的最值． 【解答】解：设等比数列的公比为． 因为，，所以，所以， 所以，， 若为奇数，则， 此时，， 若为偶数，则， 此时， 所以最小，最大． 故选：． 【点评】本题考查等比数列的性质，考查了分类讨论思想，方程思想和转化思想，属于中档题． 31．（2024秋•青浦区校级月考）已知无穷等比数列和满足，，的各项和为9，则数列的各项和为 　 　． 【分析】设无穷等比数列的公比为，由，可求得，进而知及无穷等比数列的公比，再利用极限求数列的和，即可． 【解答】解：设无穷等比数列的公比为， 则，即，所以， 所以， 由，知无穷等比数列的公比为， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查等比数列的前项和，数列的极限，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题． 32．（2024•青浦区校级模拟）若无穷等比数列的各项和为2，则首项的取值范围为　 　． 【分析】由无穷等比数列的各项和为2得：，且，从而根据的取值，可得的范围． 【解答】解：由题意可得：，且， ， 且， 则首项的取值范围是，，． 故答案为：，， 【点评】本题主要考查了等比数列的前项和，其中无穷等比数列的各项和是指当且时前项和的极限，解题的关键是由无穷等比数列的各项和可得前项和的极限存在，则可得且，这也是考生常会漏掉的知识点． 33．（2023秋•浦东新区校级月考）已知各项均为正数的数列的首项，是数列的前项和，且满足：，则　 　． 【分析】根据题意，利用等比数列的前项和公式求出通项公式，进一步求出数列对应的前项和公式，再计算的值． 【解答】解：，且， ， ； 又，令，则，解得， 同理可得， 猜想； 下面利用数学归纳法证明： ①当时，，成立； ②假设当时成立，，则； ， ， 解得； 因此当时也成立， 综上，对于，都成立； 由等差数列的前项和公式得，； ． 【点评】本题考查了等比数列的通项公式与前项和公式、递推关系、数学归纳法的应用问题，也考查了猜想归纳推理能力与计算能力，是中档题． 一．选择题 1．（2022秋•杨浦区校级期末）无穷等比数列4，，1，，的各项和为　　 A． B． C．7 D． 【分析】先求出等比数列的首项与公比，再结合无穷等比数列的前项和公式，即可求解． 【解答】解：等比数列4，，1，，， 则首项为4，公比为， 故无穷等比数列4，，1，，的各项和为． 故选：． 【点评】本题主要考查无穷等比数列的前项和公式，属于基础题． 2．（2022秋•徐汇区校级月考）已知数列的前项和为，若与垂直，则不可能是　　 A．公差大于0的等差数列 B．公差小于0的等差数列 C．公比大于0的等比数列 D．公比小于0的等比数列 【分析】根据空间向量互相垂直的性质、空间向量数量积的运算性质，结合等差数列和等比数列的性质逐一判断即可． 【解答】解：因为与垂直， 所以，则， 若，则，所以保证即可， 若为等差数列，取前2022项分别为，，，，1，3，，2021即可， 反之，取2021，，3，1，，，，也可，故、均可能， 若为等比数列，取即可，故有可能， 若公比大于0，则或均不为0， 故不可能； 故选：． 【点评】本题主要考查了向量数量积的性质的坐标表示，还考查了等比数列的性质，属于基础题． 3．（2021秋•嘉定区校级期末）已知正数数列为等比数列，公比为，又，为任意正整数，且数列严格递减，则的取值范围是　　 A． B． C．，， D． 【分析】利用数列的单调性及等比数列的定义，结合对数的运算及对数不等式的解法即可求解． 【解答】解：因为数列严格递减，所以，即，即， 即，得， 所以的取值范围为． 故选：． 【点评】本题考查数列的单调性及等比数列的定义，对数的运算及对数不等式的解法，属于中档题． 4．（2022秋•黄浦区校级月考）已知各项均为正项的等比数列，，，其前项和为，下列说法错误的是　　 A．数列为等差数列 B．若，则 C．记，则数列有最大值 D． 【分析】由题意得，然后检验是否为常数可判断； 结合，可判断； 因为，，可知存在使得，可判断； 结合等比数列的求和公式求，，可判断． 【解答】解：由题意得， 所以为常数，即数列为等差数列，正确； 因为，则，正确； 因为，， 所以存在使得，则取得最大值，正确； ， ， 则，错误． 故选：． 【点评】本题主要考查了等差数列的判断，等比数列的求和公式及性质，属于中档题． 5．（2021春•宝山区校级月考）已知、、、、依次成等比数列，则实数的值为　　 A．3 B． C．3或 D．不确定 【分析】由、、、、依次成等比数列，奇数项的符合相同，即可得出． 【解答】解：、、、、依次成等比数列，奇数项的符合相同， 则． 故选：． 【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 6．（2021秋•宝山区校级期中）正项等比数列中，存在两项、使得，且，则的最小值为　　 A． B． C． D．2 【分析】由，结合等比数列的通项公式可推出，解之得的值，再根据，得，然后分别计算可能的取值即可得解． 【解答】解：设等比数列的公比为， 因为，所以，即，解得或（舍负）， 因为，即， 所以，即， 所以， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 所以的最小值为． 故选：． 【点评】本题考查等比数列的通项公式，利用基本不等式解决最值问题，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 二．填空题 7．（2021秋•徐汇区校级期末）“远望巍峨塔七层，红灯点点倍加增．共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”．（选自《九章法比类大全》诗中所述的尖头有 　3　盏灯． 【分析】设尖头至第一层分别有，，盏灯，由题意可知，，成等比数列，公比为2，然后结合等比数列的求和公式即可求解． 【解答】解：设尖头至第一层分别有，，，盏灯， 由题意可知，，，成等比数列，公比为2， 故， 所以． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，属于基础题． 8．（2020秋•浦东新区校级期中）等比数列前项和为，若，，则　3　． 【分析】根据题意和等比数列的前项和公式列出方程求出． 【解答】解：，，， ， ， 故答案为：3． 【点评】本题考查等比数列的前项和公式的应用，属于基础题． 9．（2020秋•宝山区校级月考）已知数列为等比数列，，，，则的取值范围为　，　． 【分析】由，，，可得，求出的范围，即可求得的取值范围． 【解答】解：设公比为，则 ，，， ③②：④ ③①：或⑤ 由④⑤可得 ， ，． 故答案为：，． 【点评】本题考查等比数列的通项，考查学生的计算能力，求得的范围是关键． 10．（2022秋•徐汇区校级期末）若等比数列的前项和，则　　． 【分析】由已知结合等比数列的求和公式的特点即可直接求解． 【解答】解：等比数列的前项和， 因为， 所以． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，属于基础题． 11．（2021秋•徐汇区校级期末）为等比数列，若，，则　　． 【分析】利用等差数列通项公式列方程组求出首项和公比，由此能求出通项公式． 【解答】解：为等比数列，，， ， ， 解得，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 12．（2022秋•虹口区校级月考）在首项为2022，公比为的等比数列中，最接近1的项是第 　12　项． 【分析】根据已知条件，结合等比数列的通项公式，即可求解． 【解答】解：设首项为2022，公比为的等比数列为， 则，，同理可得，， 故最接近1的项是第12项． 故答案为：12． 【点评】本题主要考查等比数列的通项公式，属于基础题． 13．（2020秋•浦东新区期末）9与1的等比中项为　　． 【分析】利用等比中项的定义即可得出． 【解答】解：9与1的等比中项． 【点评】本题考查了等比中项的求法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 14．（2020秋•黄浦区期末）若2与的等差中项与等比中项相等，则实数的值为　2　． 【分析】由题意可得：，解出即可得出． 【解答】解：与的等差中项与等比中项相等， ， 解得． 故答案为：2． 【点评】本题考查了等差中项与等比中项，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 15．（2020秋•宝山区校级月考）等比数列中，，，则的通项公式为　，　． 【分析】利用等比数列通项公式列出方程组，求出，，由此能求出的通项公式． 【解答】解：等比数列中，，， ， 解得，， 的通项公式为，． 故答案为：，． 【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 16．（2022秋•宝山区校级期末）已知一个等比数列的第5项是4，公比是2，它的第1项是 　　． 【分析】利用等比数列通项公式直接求解． 【解答】解：一个等比数列的第5项是4，公比是2， 则它的第1项是． 故答案为：． 【点评】本题考查等比数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 17．（2021秋•松江区校级期末）已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为 　　． 【分析】结合数列的项与和的递推关系即可求解． 【解答】解：因为， 当时，， 当时，适合上式， 故． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，属于基础题． 18．（2021秋•松江区校级期末）若数列为等比数列，且，，则　128　． 【分析】利用等比数列的的性质直接求解． 【解答】解：数列为等比数列，且，， 则由等比数列的性质得： ． 故答案为：128． 【点评】本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 19．（2021秋•静安区校级期末）已知无穷等比数列的首项为1，公比为，则各项的和为 　　． 【分析】根据等比数列的求和公式即可得到，从而得到结果． 【解答】解：由于无穷等比数列的首项为1，公比为， 所以． 故答案为：． 【点评】本题主要考查等比数列的前项和公式，属于基础题． 20．（2022秋•徐汇区校级期中）《九章算术》叙述了一个老鼠打洞的趣事：今有垣厚十尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠亦一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．问：何日相逢？各穿几何？意思就是说，有一堵十尺厚的墙，两只老鼠从两边向中间打洞．大老鼠第一天打一尺，小老鼠也是一尺．大老鼠每天的打洞进度是前一天的2倍，小老鼠每天的进度是前一天的一半．第3天结束后，两只老鼠相距 　　尺． 【分析】根据等比数列的前和公式进行求解即可． 【解答】解：设大老鼠第天打洞的距离为，则数列是首项为1，公比为2的等比数列，设其前项和为， 小老鼠第天打洞的距离为，则数列是首项为1，公比为的等比数列，设其前项和为， 则， 则，从而相距尺． 故答案为：． 【点评】本题主考查等比数列的求和公式在实际问题中的应用，属于基础题． 21．（2022秋•松江区校级期中）实数2和8的等比中项是　　． 【分析】由，，成等比数列，可得等比中项，计算即可得到所求值． 【解答】解：由，，成等比数列，可得等比中项， 则实数2和8的等比中项是． 故答案为：． 【点评】本题考查等比数列的中项的定义和求法，考查运算能力，属于基础题． 22．（2021秋•嘉定区校级期中）记等比数列的前项和为，若，则该等比数列的公比　　． 【分析】排除，由等比数列求和公式代入方程求得公比． 【解答】解：因为，易得， 所以，解得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查等比数列的前项和公式，考查运算求解能力，属于基础题． 23．（2021春•上海期末）1与9的等比中项为　　． 【分析】直接利用等比中项的应用求出结果． 【解答】解：设1与9的等比中项为， 所以，解得． 故答案为： 【点评】本题考查的知识要点：等比中项，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 24．（2022秋•普陀区校级期中）已知无穷等比数列的前项和为，且，，则数列的各项和为 　　． 【分析】根据题意先求得等比数列的公比为，进而得，再求极限即可． 【解答】解：因为，， 所以，等比数列的公比不等于1，故设等比数列的公比为， 所以，，， 所以，，解得， 所以，， 因为数列为无穷等比数列， 所以，数列的各项和为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式，属于中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章第02讲 等比数列 （7个知识点+3种必考题型+强化训练） 学习目标 1.通过实例，理解等比数列的概念. 2.掌握等比中项的概念并会应用. 3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程. 4.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形． 5.理解等比数列的常用性质. 6.掌握等比数列的判断及证明方法． 7.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路. 8.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题． 知识点01 等比数列的概念 1．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)． 2．递推公式形式的定义：＝q(n∈N*且n>1). 知识点02 等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab. 【即学即练1】（2024春•浦东新区期末）2与8的等比中项是　 　． 知识点03　等比数列的通项公式 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1(n∈N*)． 【即学即练2】（2023秋•徐汇区校级期末）已知为等比数列，，，则　 　． 【即学即练3】（2023秋•嘉定区校级期中）已知等比数列中，，，则　 　． 知识点04　等比数列通项公式的推广和变形 等比数列{an}的公比为q，则 an＝a1qn－1① ＝amqn－m② ＝·qn.③ 其中当②中m＝1时，即化为①. 当③中q>0且q≠1时，y＝·qx为指数型函数． 【即学即练4】在等比数列{an}中． (1)已知a3＝4，a7＝16，且q>0，求an； (2)若{an}为递增数列，且a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，求通项公式an. 知识点05　等比数列的常用性质 设数列{an}为等比数列，则： (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an. (2)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列． (3)在等比数列{an}中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列． (4)若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，，{a}都是等比数列，且公比分别是q，，q2. (5)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为pq和. 【即学即练5】（2023秋•宝山区校级期中）设等比数列的前项和为，若，，则等于　　 A．90 B．250 C．210 D．850 【即学即练6】（2023秋•浦东新区校级期中）已知等比数列中，，，则　 　． 【即学即练7】（2023秋•闵行区校级期中）在共有2023项的等比数列中，有等式成立，类比上述性质，在共有2023项的等差数列中，相应的有等式 　 　 成立． 知识点06　等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 求和公式 Sn＝ Sn＝ 无穷等比数列前n项和 【即学即练8】（2023秋•虹口区校级月考）若等比数列的前项和为，且，，求　 　． 【即学即练9】（2023秋•虹口区校级期中）首项为1，公比为的无穷等比数列的各项和为 　 　． 知识点07　等比数列前n项和的性质 1．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列． 2．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)． 3．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n项中，＝q； ②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)． 【即学即练10】（2023秋•宝山区校级期末）已知数列是各项为正的等比数列，，，则其前10项和　 　． 题型一．等比数列的性质 1．（2023秋•闵行区校级月考）的内角、、的对边分别为、、，若、、成等比数列，且，则等于　　 A． B． C． D． 2．（2024秋•黄浦区校级月考）在等比数列中，，则能使不等式成立的最大正整数是　　 A．5 B．6 C．7 D．8 3．（2023秋•浦东新区校级期末）定义在，，上的函数，如果对于任意给定的等比数列，若仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”现有定义在，，上的如下函数： ①②③④． 则其中是“保等比数列函数的序号为　　 A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 4．（2024春•徐汇区校级期末）已知数列是等比数列，且，，则　 　． 5．（2023秋•青浦区校级期末）设，，，，是首项为3且公比为的等比数列，则满足不等式的最小正整数的值为 　 　． 6．（2023秋•宝山区校级月考）数列是正数等比数列，且，则　 　． 7．（2023秋•浦东新区校级期中）设，，，是各项不为零的项等差数列，且公差．若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数对所组成的集合为　 　． 8．（2024•黄浦区校级开学）设，则“数列为等比数列”是“数列满足”的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 9．（2023秋•静安区校级月考）等比数列中，且，则　　． 10．（2024秋•黄浦区校级月考）已知是等比数列，给出以下四个命题：①是等比数列；②是等比数列；③是等比数列；④是等比数列，下列命题中正确的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（2024秋•黄浦区校级月考）设数列为等差数列，数列为等比数列．若，，且，2，，则数列的公比为　 　． 12．（2023秋•宝山区校级月考）在等比数列中，，　 　． 13．（2024秋•宝山区校级月考）已知等比数列共有项，其和为，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比　 　． 14．（2023秋•松江区校级期中）已知无穷等比数列的各项均为正整数，且，则满足条件的不同数列的个数为 　 　． 题型二．等比数列的通项公式 15．（2023秋•静安区校级期中）等比数列的前3项分别为，，，则　 　． 16．（2024秋•徐汇区校级月考）已知等比数列满足，，则的值为 　　． 17．（2023秋•宝山区校级期末）已知一个等比数列的第4项是，公比是，它的第1项是 　 　． 18．（2024秋•浦东新区校级月考）等比数列中，若，，则　 　． 19．（2024秋•静安区校级月考）已知等比数列满足，等差数列满足，则　 　． 20．（2024•浦东新区校级开学）若数列的前项和为，则数列的通项公式是　 　． 21．（2023春•上海期中）等比数列中，且，则公比为 　 　． 题型三．等比数列的前n项和 22．（2023秋•松江区校级期中）数列首项为，公比为的无穷等比数列，且的各项和为，则　 　． 23．（2023秋•虹口区校级期中）首项为1，公比为的无穷等比数列的各项和为 　 　． 24．（2023秋•徐汇区校级期末）已知无穷等比数列，，，则公比　 　． 25．（2024•闵行区校级二模）已知首项为2的等比数列的公比为，则 　　． 26．（2023秋•虹口区校级期末）首项为1的无穷等比数列，满足，则　 　． 27．（2023秋•嘉定区校级期末）若等比数列的前项和，则　 　． 28．（2023秋•宝山区校级期末）无穷等比数列满足，则数列的各项和为　 　． 29．（2023秋•青浦区校级期末）设等比数列的公比为2，前项和为，若，则　 　． 30．（2023秋•宝山区校级期末）记为等比数列的前项和．已知，，则数列　　 A．无最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，无最小项 D．有最大项，有最小项 31．（2024秋•青浦区校级月考）已知无穷等比数列和满足，，的各项和为9，则数列的各项和为 　 　． 32．（2024•青浦区校级模拟）若无穷等比数列的各项和为2，则首项的取值范围为　 　． 33．（2023秋•浦东新区校级月考）已知各项均为正数的数列的首项，是数列的前项和，且满足：，则　 　． 一．选择题 1．（2022秋•杨浦区校级期末）无穷等比数列4，，1，，的各项和为　　 A． B． C．7 D． 2．（2022秋•徐汇区校级月考）已知数列的前项和为，若与垂直，则不可能是　　 A．公差大于0的等差数列 B．公差小于0的等差数列 C．公比大于0的等比数列 D．公比小于0的等比数列 3．（2021秋•嘉定区校级期末）已知正数数列为等比数列，公比为，又，为任意正整数，且数列严格递减，则的取值范围是　　 A． B． C．，， D． 4．（2022秋•黄浦区校级月考）已知各项均为正项的等比数列，，，其前项和为，下列说法错误的是　　 A．数列为等差数列 B．若，则 C．记，则数列有最大值 D． 5．（2021春•宝山区校级月考）已知、、、、依次成等比数列，则实数的值为　　 A．3 B． C．3或 D．不确定 6．（2021秋•宝山区校级期中）正项等比数列中，存在两项、使得，且，则的最小值为　　 A． B． C． D．2 二．填空题 7．（2021秋•徐汇区校级期末）“远望巍峨塔七层，红灯点点倍加增．共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”．（选自《九章法比类大全》诗中所述的尖头有 　　盏灯． 8．（2020秋•浦东新区校级期中）等比数列前项和为，若，，则　　． 9．（2020秋•宝山区校级月考）已知数列为等比数列，，，，则的取值范围为　 　． 10．（2022秋•徐汇区校级期末）若等比数列的前项和，则　　． 11．（2021秋•徐汇区校级期末）为等比数列，若，，则　　． 12．（2022秋•虹口区校级月考）在首项为2022，公比为的等比数列中，最接近1的项是第 　　项． 13．（2020秋•浦东新区期末）9与1的等比中项为　　． 14．（2020秋•黄浦区期末）若2与的等差中项与等比中项相等，则实数的值为　　． 15．（2020秋•宝山区校级月考）等比数列中，，，则的通项公式为　 ． 16．（2022秋•宝山区校级期末）已知一个等比数列的第5项是4，公比是2，它的第1项是 　　． 17．（2021秋•松江区校级期末）已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为 　 　． 18．（2021秋•松江区校级期末）若数列为等比数列，且，，则　　． 19．（2021秋•静安区校级期末）已知无穷等比数列的首项为1，公比为，则各项的和为 　　． 20．（2022秋•徐汇区校级期中）《九章算术》叙述了一个老鼠打洞的趣事：今有垣厚十尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠亦一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．问：何日相逢？各穿几何？意思就是说，有一堵十尺厚的墙，两只老鼠从两边向中间打洞．大老鼠第一天打一尺，小老鼠也是一尺．大老鼠每天的打洞进度是前一天的2倍，小老鼠每天的进度是前一天的一半．第3天结束后，两只老鼠相距 　　尺． 21．（2022秋•松江区校级期中）实数2和8的等比中项是　　． 22．（2021秋•嘉定区校级期中）记等比数列的前项和为，若，则该等比数列的公比　 　． 23．（2021春•上海期末）1与9的等比中项为　　． 24．（2022秋•普陀区校级期中）已知无穷等比数列的前项和为，且，，则数列的各项和为 　　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$