上海市陆行中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

上海市陆行中学2024-2025学年高二上学期数学期中考试试卷 （满分：100分 考试时间：90分钟） 一、填空题（每题3分，共36分） 1. 已知，则______. 2. 从4本不同的书中选出2本排成一列，则一共有__________种排法． 3. 已知圆锥的侧面积是，母线是3，则圆锥的底面圆半径为_______． 4. 如图，PA⊥平面ABC，在中，若，则图中直角三角形的个数是________． 5. 在三棱锥中，，二面角的大小为，则三棱锥的体积为____________. 6. 在的展开式中，的系数是__________． 7. 已知平面的一个法向量为，点是平面上的一点，则点到平面的距离为__________. 8. 若，则__________. 9. 有__________个不同的正约数. 10. 新课程改革后，普通高校招生方案规定：每位考生从物理、化学、生物、地理、政治、历史六门学科中随机选三门参加考试，某省规定物理或历史至少选一门，那么该省每位考生的选法共有______种（用数字作答）； 11. 现有A，B，C，D，E五个兴趣小组，在劳动实践课上制作的手工艺品，摆放到如图所示桌面上的四个区域，供学生参观，若要求相邻区域不可以放入同一个兴趣小组的手工艺品，每个区域内只能摆放一个兴趣小组的手工艺品，共有______种摆法． 12. 若函数，其中≤x≤，则的最大值为_______． 二、选择题（每题8分，共12分） 13. 已知a，b为两条直线，，为两个平面，且满足，，，，则“与异面”是“直线与l相交”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 编号为1，2，3，4的四位同学参观某博物馆，该博物馆共有编号为1，2，3，4的四个门，若规定编号为1，2，3，4的四位同学进入博物馆不能走与自己编号相同的门，则四位同学用不同的方式进入博物馆的方法种数为（ ） A. 12 B. 16 C. 81 D. 256 15. 如图，在下列各正方体中，为正方体的一条体对角线，、分别为所在棱的中点，则满足的是（ ） A. B. C. D. 16. 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 三、解答题（共52分） 17. 如图，四棱锥中，底面，底面是边长为2的菱形，，为的中点，，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. （1）写出，两点的坐标； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 18. 7名同学，在下列情况下，各有多少种不同安排方法？（答案以数字呈现） （1）7人排成一排，甲不排头，也不排尾． （2）7人排成一排，甲、乙、丙三人必须在一起． （3）7人排成一排，甲、乙、丙三人两两不相邻． （4）7人排成一排，甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序（不一定相邻）． （5）7人分成2人，2人，3人三个小组安排到甲、乙、丙三地实习． 19. 已知圆锥AO的底面半径为2，母线长为，点C为圆锥底面圆周上的点，为圆心，是的中点，且. （1）求圆锥的全面积； （2）求直线与平面所成角的大小.（结果用反三角函数值表示） 20. 已知的二项展开式中，所有项的二项式系数之和等于．求： （1）的值； （2）展开式中的常数项； （3）展开式中系数最大的项． 21. 图1是边长为的正方形，将沿折起得到如图2所示的三棱锥，且. （1）证明：平面平面； （2）求点到平面的距离； （3）棱上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由. 上海市陆行中学2024-2025学年高二上学期数学期中考试试卷 （满分：100分 考试时间：90分钟） 一、填空题（每题3分，共36分） 【1题答案】 【答案】6 【2题答案】 【答案】12 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】4 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】-2 【9题答案】 【答案】24 【10题答案】 【答案】16 【11题答案】 【答案】260 【12题答案】 【答案】22021； 二、选择题（每题8分，共12分） 【13题答案】 【答案】C 【14题答案】 【答案】C 【15题答案】 【答案】C 【16题答案】 【答案】A 三、解答题（共52分） 【17题答案】 【答案】（1）， （2） 【18题答案】 【答案】(1)3600种；(2)720种；(3)1440种；(4)840种；(5)630种 【19题答案】 【答案】（1） （2） 【20题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【21题答案】 【答案】（1）证明：取的中点为，连接，作图如下： 因为四边形是边长为正方形，所以，， 在中，，则， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2） （3）存在，，线段上靠近的三等分点 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $