精品解析：陕西省渭南市大荔县名校联考2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

大荔中学2024-2025学年上学期高一年级期中考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：北师大版必修第一册第一章～第三章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. .， C. ， D. ， 2. 设全集，集合，则的子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 3. 设，，为实数，且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致是 A. B. C. D. 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. 且 D. 且 6. 关于x的一元二次方程的两个实数根的平方和为，则（ ） A. 2 B. 8 C. 10 D. 2或10 7. 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点（n，8）在幂函数的图象上，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是奇函数 C. 是偶函数 D. 在上单调递增 10. 下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为2 C. 的最小值为4 D. 的最小值为2 11. 已知指数函数在上的最大值与最小值之差为2，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数且的图象必过定点_____． 13. 已知，则___________． 14. 已知是定义在R上的偶函数，若在上单调递减，且，则满足的a的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知全集，集合，集合，其中． （1）若“”是“”的充分条件，求a的取值范围； （2）若“”是“”的必要条件，求a的取值范围． 16. 已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且. （1）求与的解析式； （2）求函数在上的值域. 17. 已知函数． （1）用定义法证明：函数f（x）在（0，2）上单调递增； （2）求不等式的解集． 18. 某保健厂研制了一种足浴气血生机的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为2；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06. （1）求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式； （2）求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时x的值. 19. 设函数的定义域为，对于区间，若满足以下两条性质之一，则称为的一个“Ω区间”.性质1：对任意，均有；性质2：对任意，均有. （1）分别判断说明区间是否为下列两函数的“Ω区间”； ； . （2）若是函数的“Ω区间”，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大荔中学2024-2025学年上学期高一年级期中考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：北师大版必修第一册第一章～第三章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. .， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】全称命题的否定变为特称命题. 【详解】“，”的否定为“，”， 故选:D. 2. 设全集，集合，则的子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到，结合并集与补集的运算，求得，进而得到其子集的个数. 【详解】由题意，全集， 因为，可得， 所以，所以的子集个数为个. 故选：B. 3. 设，，为实数，且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过举反例判断ACD，利用不等式的性质判断B. 【详解】设，，为实数，且， 当，时，，选项A错误， 因为，，所以，选项B正确， 当，时，，选项C错误， 当，时，，选项D错误， 故选：B. 4. 函数的图象大致是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断函数为奇函数排除，计算排除得到答案. 【详解】，函数为奇函数，排除； ，排除 故选： 【点睛】本题考查了函数图像的识别，判断函数的单调性和计算特殊值是解题的关键. 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据零指数幂的性质、二次根式的性质、分式的性质进行求解即可. 【详解】由题意可知：且， 故选：D 6. 关于x的一元二次方程的两个实数根的平方和为，则（ ） A. 2 B. 8 C. 10 D. 2或10 【答案】A 【解析】 【分析】利用根与系数的关系直接求解. 【详解】设，是的两个实数根，则，， 故，解得或． 当时，符合题意； 当时，，不符合题意； 综上，． 故选：A． 7. 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先计算，再代入公式，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意可知，， 所以， ， 而，所以，当时等号成立， 所以三角形面积的最大值为. 故选：B 8. 已知点（n，8）在幂函数的图象上，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由为幂函数可求m，由点（n，8）在幂函数的图象上可求n，再根据函数的单调性求函数的值域. 【详解】由题可得m－2＝1，解得m＝3，所以，则，因此，定义域为[2，3]，因为函数和函数在[2，3]上单调递减，所以函数g（x）在[2，3]上单调递减，而g（2）＝1，g（3）＝－2，所以g（x）的值域为[－2，1]． 故选:D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是奇函数 C. 是偶函数 D. 在上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据幂函数经过的点得其表达式，结合幂函数的性质即可根据选项逐一求解. 【详解】因为函数的图象过点，所以，即，所以，故A正确： ，定义域为，关于原点对称，所以，所以是偶函数，故B错误，C正确： 又，所以在上单调递减，又是偶函数，所以在上单调递增，故D正确． 故选：ACD． 10. 下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为2 C. 的最小值为4 D. 的最小值为2 【答案】AC 【解析】 【分析】对A考虑运用算术平均数大于等于几何平均数验证；对于BCD，运用基本不等式的“一正、二定、三相等”的原则判断即可. 【详解】，当且仅当，即时等号成立，故A正确； 当时，，故B错误； ，当且仅当，即时等号成立，故C正确； ，当且仅当时等号成立，又无解，故不能取到等号，故D错误. 故选：AC. 11. 已知指数函数在上的最大值与最小值之差为2，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】分和两种情况，根据题意列方程求解即可. 【详解】当时，函数在上单调递增， 则， 所以，解得； 当时，函数在上单调递减， 则， 所以，解得． 综上所述，实数a的值为或. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数且的图象必过定点_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数的性质令，求出，再代入计算即可. 【详解】函数且，令，解得， 所以， 所以函数且的图象必过定点. 故答案为： 13. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用分数指数幂的运算，根据平方关系即可求得结果. 【详解】由可得， 即， 又因为， 即，可得 即， 所以． 故答案为： 14. 已知是定义在R上的偶函数，若在上单调递减，且，则满足的a的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】 利用偶函数性质可得，再根据单调性可得，从而可得的取值范围. 【详解】因为是定义在R上的偶函数，故， 所以要使成立，即， 因为在上单调递减，故， 则，解得. 故答案为：. 【点睛】方法点睛： （1）若为偶函数，则； （2）解函数不等式，一般要利用函数的单调性和奇偶性去掉对应法则. 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知全集，集合，集合，其中． （1）若“”是“”的充分条件，求a的取值范围； （2）若“”是“”的必要条件，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由“”是“”的充分条件，可得，从而可得关于的不等式组，求解即可； （2）由“”是“”的必要条件，可得，然后分和两种情况求解即可． 【小问1详解】 因为“”是“”的充分条件，故， 则，即，解得， 则a的取值范围为； 【小问2详解】 因为“”是“”是必要条件，故， ①当时，，即，符合题意； ②当时， 则，即，解得， 综上所述：a的取值范围为． 16. 已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且. （1）求与的解析式； （2）求函数在上的值域. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设出函数解析式，代入点的坐标，求出函数解析式； （2）写出函数，利用换元法求解函数的值域即可. 【小问1详解】 设，，， 则， 解得， 则，； 【小问2详解】 由（1）知，， 令，，则， 记， 当时，， 当或1时，， 故在上的值域为. 17. 已知函数． （1）用定义法证明：函数f（x）在（0，2）上单调递增； （2）求不等式的解集． 【答案】（1） 任取，则， 因为， 所以， 所以， 所以f（x）在（0，2）上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）结合函数单调性的定义，通过计算，来证得在上递增. （2）结合函数的奇偶性的单调性求得不等式的解集. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 函数f（x）的定义域为（－2，2）． 因为， 所以函数f（x）为奇函数， 又f（0）＝0，所以函数f（x）在（－2，2）上单调递增， 原不等式可化为不等式， 因此解得， 所以原不等式的解集为． 18. 某保健厂研制了一种足浴气血生机的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为2；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06. （1）求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式； （2）求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时x的值. 【答案】（1）， （2）当时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小，为. 【解析】 【分析】（1）由题意，把，代入，可求的值. （2）利用基本不等式“1”的妙用，可求的最小值及对应的的值. 【小问1详解】 由题意，， 因为时，，所以， 所以，. 【小问2详解】 因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取“”， 所以当时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和最小，为. 19. 设函数的定义域为，对于区间，若满足以下两条性质之一，则称为的一个“Ω区间”.性质1：对任意，均有；性质2：对任意，均有. （1）分别判断说明区间是否为下列两函数的“Ω区间”； ； . （2）若是函数的“Ω区间”，求的取值范围. 【答案】（1） 对于，由一次函数性质得它在上单调递减， 所以当时，，故区间是的“Ω区间”， 对于，由反比例函数性质得它在上单调递减， 所以当时，，此时不满足， 也不满足，故区间不是的“Ω区间”. （2） 【解析】 【分析】（1）利用给定定义逐步检验即可. （2）利用给定定义结合对参数分类讨论，求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若是函数的“Ω区间”， 而，不满足性质2，必然满足性质1， 由二次函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 且， 即，所以， 满足，符合题意， 当时，在上单调递减， 所以，而，符合题意， 当时，在上单调递减， ，所以，不符合题意， 综上可得的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，解题关键是利用给定定义，然后对参数进行分类讨论，得到所要求的取值范围即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $