精品解析：上海市浦东新区三林中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷

2023-2024学年上海市浦东新区三林中学高一（上）期中数学试卷 一、填空题：（每小题3分） 1. 设集合，集合，则__． 【答案】 【解析】 【分析】根据交集的概念求交集. 【详解】因为集合，集合， 所以：． 故答案为：． 2. 用有理数指数幂的形式表示（其中）____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂指数和根式之间互化即可求解. 【详解】， 故答案为： 3. 设a，b为实数，则___（填“＞，≥，＜或≤”） 【答案】 【解析】 【分析】利用作差法比较即可. 【详解】因为 所以 故答案为： 4. 用反证法证明命题“若，则或”为真命题时，第一个步骤是__________． 【答案】假设且 【解析】 【分析】根据反证法的概念即得. 【详解】根据反证法可知证明命题“若，则或”为真命题时， 第一个步骤是：假设原命题结论不成立，写出结论的否定，即假设且. 故答案为：假设且. 5. 当时，的最小值为________． 【答案】5 【解析】 【分析】构造乘积为定值，应用基本不等式求出最小值即可. 【详解】因为, 则 ， 当时，的最小值为5. 故答案为：5. 6. 已知集合，集合，求____________． 【答案】 【解析】 【分析】解方程组，可得交集的元素. 【详解】集合，集合， ∴. 故答案为：． 7. 不等式的解集是，则不等式的解集为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据解集得到，解出值，代入不等式解出即可. 【详解】不等式的解为, 一元二次方程的根为,, 根据根与系数的关系可得:,所以; 不等式即不等式, 整理,得，即 解之得， 不等式的解集是, 故答案为：. 8. 已知，，若是的必要不充分条件，则的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据必要不充分条件的概念，结合题中条件，可直接得出结果. 【详解】∵，，是的必要不充分条件， ∴是的真子集，因此，即a的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】结论点睛： 根据命题的充分条件与必要条件求参数时，一般可根据如下规则求解： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集； （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含． 9. 已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式恒成立，得到判别式小于零，求解，即可得出结果. 【详解】因为关于的不等式在上恒成立， 所以只需，解得：. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查由一元二次不等式恒成立求参数的问题，属于基础题型. 10. 已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 __． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角不等式得到，再由可求的取值范围. 【详解】因为，当且仅当时，取得等号， 即的最小值为， 所以或即或 故答案为：． 11. 若方程的两个解为，，求的值为 __． 【答案】 【解析】 【分析】利用换底公式，得到，再结合韦达定理求值. 详解】由题意：， 又． 故答案为：． 12. 三个同学对问题“已知，且，求的最小值”提出各自的解题思路： 甲：，可用基本不等式求解； 乙：，可用二次函数配方法求解； 丙：，可用基本不等式求解； 参考上述解题思路，可求得当________时，（，）有最小值. 【答案】 【解析】 【分析】甲的思路应用的条件是分母相加为常数，乙的思路的应用条件是通分后分子应为常数，丙的思路为1的代换，注意基本不等式取等号的条件. 【详解】按照甲的思路： 因为，所以 由基本不等式得，， 当且仅当，，即时等号成立. 按照乙的思路： ，发现与设想不一样，故放弃此思路. 按照丙的思路： 因为，所以 由基本不等式得，， 当且仅当，，即时等号成立. 故当时，（，）有最小值. 故答案为：. 二、选择题：（每小题3分） 13. 甲､乙､丙､丁四人参加一项有奖活动，他们猜测谁能获奖，对话如下：甲：“如果我能获奖，那么乙也能获奖.”乙：“如果我能获奖，那么丙也能获奖.”丙：“如果丁没获奖，那么我也不能获奖.”实际上，他们之中只有一个人没有获奖，且甲乙丙说的都是正确的，那么没能获奖的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】根据丙的话进行分析得丁一定获奖，进而根据甲获奖，可以推出矛盾，因此可得结论. 【详解】根据甲乙丙说的都是正确的，且只有一个人没有获奖，首先根据丙说的话可以推断：丁一定获奖，否则丁没有获奖丙也没有获奖，这与只有一个人没有获奖矛盾；其次，考虑甲是否获奖，若甲能获奖，那么根据甲说的话可以推断乙也能获奖，根据乙说的话又可以推断丙也获奖，这样四个人都获奖，不可能，故甲不能获奖.因此没有获奖的人是甲. 故选:A 14. 下列不等式①；②；③；④，其中恒成立的是（ ） A. ①④ B. ③④ C. ②③ D. ①② 【答案】C 【解析】 【分析】利用特殊值判断①④，根据完全平方数的非负性判断②，利用基本不等式判断③. 【详解】①当时，①显然错误； ②因为，所以成立，②正确； ③显然，，所以，当且仅当时取等号，③正确； ④当时，④不成立． 故选：C． 15. 设关于的不等式的解集为，且，，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：，由(1)(2)得,故选C. 考点：1.分式不等式；2.集合与元素. 【易错点睛】本题主要考查学生的知识点是分式不等式的解法,元素与集合关系的判定,属于易错题目.其中,根据已知条件构造关于的不等式是解答本题的关键,因为,因此代入解关于的不等式可得的范围,因为,分两种情况,一种是时不等式无意义,另一种是时不等式大于等于恒成立,不要漏掉第一种情况. 16. 对于使成立的所有常数中，我们把的最小值叫做的上确界,若，则的上确界为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由题意可知，只需求的最大值即可，因此可先求 的最小值，，当且仅当 ，即时取等号，所以 的最大值是 ，故选B. 考点：基本不等式. 三、解答题： 17. 已知，，用及表示及． 【答案】， 【解析】 【分析】根据换底公式求解即可. 【详解】由换底公式，，. 即， 18. 计算： （1）计算． （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合对数运算性质求解即可； （2）根据题意结合指数幂运算求解即可. 【小问1详解】 由题意可知：. 【小问2详解】 因为，所以． 19. 不等式的解集为，不等式的解集为． （1）求集合； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）解分式不等式确定集合. （2）解二次不等式，确定集合，再根据两个集合的包含关系求实数的取值范围. 【小问1详解】 因为，则且， 解得或，故 小问2详解】 因为， 所以， 因为，所以， 解得， 所以， 因为，所以或，解得或， 故的范围为或. 20. 如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其它各面用钢筋网围成． （1）现有可围长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ （2）若使每间虎笼面积为，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？ 【答案】（1）长为，宽为 （2）长为，宽为 【解析】 【分析】（1）先求得每间虎笼面积的表达式，然后利用基本不等式求得最大值. （2）先求得钢筋网总长表达式，然后利用基本不等式求得最小值. 【小问1详解】 设长为，宽为，则， 所以， 当且仅当时等号成立， 即长，宽为时，可使每间虎笼面积最大. 【小问2详解】 设长为，宽为，则， 所以， 当且仅当时等号成立， 即长为，宽为时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小. 21. 已知关于的不等式，其中； （1）当，求不等式的解集； （2）当变化时，试求不等式的解集； （3）对于不等式的解集，满足.试探究集合能否为有限集，若能，求出使得集合中元素最少的的所有取值，并用列举法表示此时的集合，若不能，说明理由. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）能，，此时 【解析】 【分析】（1）当时，利用二次不等式的解法解原不等式，即可得出解集； （2）对的取值进行分类讨论，利用一次不等式和二次不等式的解法解原不等式，可得原不等式的解集； （3）当时，为无限集，当时，为有限集，利用基本不等式可得出，可知当时，集合中的元素个数最少，求出此时的集合，进而可求得集合. 【小问1详解】 解：当时，原不等式即为，即， 解得，故. 【小问2详解】 解：（1）当时，原不等式即为，解得，即； （2）当时，解方程，得或， 且. ①当时，，则， 解原不等式可得，即； ②当或时，，即， 解原不等式可得或，即； ③当时，，原不等式即为，解得，即. 综上所述，当时，； 当时，； 当或时，； 当时，. 【小问3详解】 解：由（2）可知，当时，为无限集，当时，为有限集， 此时，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 即当时，，此时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年上海市浦东新区三林中学高一（上）期中数学试卷 一、填空题：（每小题3分） 1. 设集合，集合，则__． 2. 用有理数指数幂的形式表示（其中）____________. 3 设a，b为实数，则___（填“＞，≥，＜或≤”） 4. 用反证法证明命题“若，则或”为真命题时，第一个步骤__________． 5. 当时，的最小值为________． 6. 已知集合，集合，求____________． 7. 不等式的解集是，则不等式的解集为___________. 8. 已知，，若是的必要不充分条件，则的取值范围是_________. 9. 已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是__________. 10. 已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 __． 11. 若方程的两个解为，，求的值为 __． 12. 三个同学对问题“已知，且，求的最小值”提出各自的解题思路： 甲：，可用基本不等式求解； 乙：，可用二次函数配方法求解； 丙：，可用基本不等式求解； 参考上述解题思路，可求得当________时，（，）有最小值. 二、选择题：（每小题3分） 13. 甲､乙､丙､丁四人参加一项有奖活动，他们猜测谁能获奖，对话如下：甲：“如果我能获奖，那么乙也能获奖.”乙：“如果我能获奖，那么丙也能获奖.”丙：“如果丁没获奖，那么我也不能获奖.”实际上，他们之中只有一个人没有获奖，且甲乙丙说的都是正确的，那么没能获奖的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 14. 下列不等式①；②；③；④，其中恒成立是（ ） A. ①④ B. ③④ C. ②③ D. ①② 15. 设关于的不等式的解集为，且，，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 不能确定 16. 对于使成立的所有常数中，我们把的最小值叫做的上确界,若，则的上确界为 A. B. C. D. 三、解答题： 17. 已知，，用及表示及． 18 计算： （1）计算． （2）若，求． 19. 不等式的解集为，不等式的解集为． （1）求集合； （2）若，求实数的取值范围． 20. 如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其它各面用钢筋网围成． （1）现有可围长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ （2）若使每间虎笼面积为，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？ 21. 已知关于的不等式，其中； （1）当，求不等式的解集； （2）当变化时，试求不等式的解集； （3）对于不等式解集，满足.试探究集合能否为有限集，若能，求出使得集合中元素最少的的所有取值，并用列举法表示此时的集合，若不能，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $