精品解析：北京市海淀区第一零一中学2024-2025学年高二上学期统练二数学试题

2024-2025学年北京市海淀区第一零一中学高二上学期统练二数学试题 一、单选题:本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线过点，且倾斜角是，则直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求出直线方程，画出图象，结合图象得到答案. 【详解】直线过点，且倾斜角是， 所以直线斜率， 所以直线方程为，即， 画出直线图象为 结合图象可知，直线不过第四象限， 故选：D. 2. 已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内含 【答案】C 【解析】 【分析】依题意将圆的一般方程化为标准方程求出两圆圆心和半径，比较圆心距与两半径之差、之和的关系即可得出结论. 【详解】根据题意将化为标准方程可得， 即圆心，半径； 由可知圆心，半径； 此时圆心距为，； 显然，即两圆相交. 故选：C 3. 若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题 ①若，则斜率； ②若斜率，则； ③若，则倾斜角；④若倾斜角，则， 其中正确命题的个数是（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据两条直线平行的判定方法与结论即可判断． 【详解】由于与为两条不重合的直线且斜率分别为，，所以，故①②正确； 由于与为两条不重合的直线且倾斜角分别为，，所以，故③④正确， 所以正确的命题个数是4． 故选：D． 4. 过直线与的交点，且一个方向向量为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出两条直线的交点坐标，再结合方向向量求出直线方程. 【详解】由，解得，即直线与的交点坐标为， 而该直线的斜率为，所以所求直线的方程为，即. 故选：A 5. “”是“直线和直线垂直”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线互相垂直求出的值，从而结合充分条件与必要条件的概念判断结论. 【详解】当直线和直线垂直时， 有，即，解得或， 所以“”是“直线和直线垂直”的充分而不必要条件， 故选：A. 6. 已知椭圆的焦点在轴上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程，列出不等式组，即可求解. 【详解】由椭圆的焦点在轴上，则满足，解得. 故选：C. 7. 若圆与轴，轴均有公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用圆的一般方程满足的条件得到，再分别令，利用，即可求出结果. 【详解】因为表示圆，所以，得到， 令，得到，则，得到， 令，得到，则，得到， 所以， 故选：A. 8. 在平面直角坐标系xOy中，若点在直线上，则当a，b变化时，直线OP的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出点的轨迹方程，然后利用直线与圆的位置关系建立不等式求解即可. 【详解】因为点在直线上，所以， 即，所以点在以为圆心，半径为1的圆上， 由题意直线OP的斜率存在，设直线OP方程为， 因为直线OP与圆有公共点， 所以圆心到直线OP的距离小于等于半径， 所以有 故选：B 9. 若点在直线上运动，则的最小值为（ ） A. B. C. 13 D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过消元，将所求转化为，分析该式子的几何意义为轴上某动点到两定点的距离之和，利用的性质，即可得出所求最小值. 【详解】因为点在直线上运动，所以， 所以， 表示轴上一点到两定点的距离之和. 在轴两侧，因为中，两边之和大于第三边，所以， 当三点共线时，，此时最小值为， 即的最小值为. 故选：C. 10. 已知，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】动直线过定点，动直线过定点，且此两条直线垂直，因此点P在以AB为直径的圆上，设∠ABP＝θ，则，θ∈[0，]，代入中利用正弦函数的性质可得结果. 【详解】动直线过定点，动直线 即过定点，且此两条直线垂直． ∴点P在以AB为直径的圆上，， 设∠ABP＝θ，则，θ∈[0，] ， ∵θ∈[0，]，∴θ+∈[，]， ∴sin（θ+）∈[，1]， ∴∈[，2]， 故选：D． 【点睛】本题考查直线过定点、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查正弦函数的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题． 二、填空题:本题共6小题，每小题5分，共30分. 11. 经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是______. 【答案】或． 【解析】 【分析】当直线过原点时，由点斜式求出直线的方程．当直线不过原点时，设方程为，把点代入可得的值，从而得到直线方程．综合以上可得答案． 【详解】当直线过原点时，由于斜率为，故直线方程为，即． 当直线不过原点时，设方程为，把点代入可得， 故直线的方程为， 故答案为：或． 12. 已知入射光线经过点被x轴反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】 先求出关于x轴对称的点的坐标，反射光线必过点，又反射光线经过点，即可求出直线方程． 【详解】由题意，关于x轴对称的点为，反射光线必过点， 又反射光线经过点，故直线的斜率， 故直线方程为，化成一般式得， 故答案为: 13. 已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点P(－5,4)，则椭圆的方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据待定系数法求解，先设出椭圆的标准方程，根据题意求出参数后可得椭圆的标准方程． 【详解】设椭圆的方程为， 由题意得， ∴， ∴， ∴椭圆的方程为． 又点P(－5,4)在椭圆上， ∴，解得， ∴， ∴椭圆的方程为． 故答案为． 【点睛】求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体步骤为：先定形，再定量，即先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组，求出a，b后即可得到椭圆的标准方程． 14. 已知，则直线与直线的距离的最大值为__________ 【答案】 【解析】 【分析】由平行线间的距离公式得化简求最值即可. 【详解】因为直线与直线 平行， 所以由平行线间的距离公式得== ，所以当m=1时，d = . 故答案为. 【点睛】本题考查的是平行线间的距离公式和二次函数求最值的问题，属于基础题. 15. 已知曲线关于直线对称，若直线被曲线截得的弦长为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】曲线方程化为桂圆的标准方程后得出圆心坐标，代入对称直线方程得值，由弦长得出圆心到直线的距离，利用点到直线距离公式可求得． 【详解】曲线的标准方程是，它表示圆，圆心坐标为， 由题意，解得，即圆心为，半径为， 直线被圆截得的弦长为，则圆心到直线的距离为， 所以，解得． 故答案为：． 16. 在平面直角坐标系xOy中，点，，点满足.设点的轨迹为，给出下列四个结论： （1）当三点不共线时，面积的最大值为12； （2）在轴上存在异于的两定点使得； （3）当三点不共线时，射线是的平分线； （4）在上存在点，使得. 其中所有正确结论的序号是______. 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 【分析】设，根据题目条件可得点的轨迹方程，轨迹为以为圆心，为半径的圆.根据点在圆上可得点到直线的最大距离，即可求出面积的最大值，得到（1）正确；设两点坐标结合的方程可判断（2）正确；根据角平分定理逆定理可得（3）正确；设点坐标，根据条件列关系式，结合的方程可判断（4）错误. 【详解】设，由得，， 化简得，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆. （1） 如图，，点在上运动时，点到直线的最大距离为， ∴面积的最大值为，（1）正确. （2）设，由得，， 化简得， ∵点的轨迹方程为，即， ∴，解得或（舍去）， ∴存在使得，（2）正确. （3）∵， ∴， 由角平分线定理的逆定理得射线是的平分线，（3）正确. （4）设在上存在点，则，， 由得， 化简得， 联立与，方程组无解， ∴不存在点，使得，（4）错误. 故答案为：（1）（2）（3）. 三、解答题:本题共2小题，共24分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）若，求二面角的余弦值． 【答案】（1） 如图，连接，设，连接． 因为在三棱柱中，四边形是平行四边形，所以为的中点． 因为为的中点，所以． 又因为平面，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据线线平行证明面面平行；（2）向量法求二面角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，， 又，平面，平面， 所以平面，又因平面，所以． 又，所以，，两两相互垂直．如图建立空间直角坐标系， 则，，，． 所以，． 设平面的法间量为，则即， 令，则，于是． 因为平面，所以是平面的一个法向量． 所以． 由题设，二面角的平面角为钝角， 所以二面角的余弦值为． 18. 已知圆O：与直线相切． （1）求圆O的方程； （2）若过点的直线l被圆O所截得的弦长为4，求直线l的方程； （3）若过点作两条斜率分别为，的直线交圆O于B、C两点，且，求证：直线BC恒过定点．并求出该定点的坐标． 【答案】（1）； （2）或； （3）证明：由题意知，设直线AB：， 与圆方程联立，消去y得：， ，，即， 设直线： ， 与圆的方程联立，消去y得：， ，， ，用代替得：， 直线BC方程为， 令，可得，则直线BC定点 【解析】 【分析】（1）利用圆心到直线的距离等于半径即可求出. （2）根据题意可得圆心到直线的距离，分类讨论，当斜率不存在时，，满足题意；当直线的斜率存在，利用点斜式求出直线方程，再利用点到直线的距离公式即可求解. （3）设直线AB：，直线： ，分别与圆的方程联立，求出点、，进而求出直线BC方程，根据直线方程即可求解. 【小问1详解】 圆O：与直线相切， 圆心到直线的距离等于半径，即， ， 圆O的方程为； 【小问2详解】 直线l被圆O所截得的弦长为4， 圆心到直线的距离， 斜率不存在时，，满足题意； 斜率存在时，设方程为， 即， 圆心到直线的距离，， 直线l的方程为， 综上所述，直线l的方程为或； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、点斜式方程，考查了考生的基本运算能力，属于基础题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年北京市海淀区第一零一中学高二上学期统练二数学试题 一、单选题:本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线过点，且倾斜角是，则直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内含 3. 若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题 ①若，则斜率； ②若斜率，则； ③若，则倾斜角；④若倾斜角，则， 其中正确命题的个数是（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 过直线与的交点，且一个方向向量为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 5. “”是“直线和直线垂直”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知椭圆的焦点在轴上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若圆与轴，轴均有公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系xOy中，若点在直线上，则当a，b变化时，直线OP的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 若点在直线上运动，则的最小值为（ ） A. B. C. 13 D. 10. 已知，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题:本题共6小题，每小题5分，共30分. 11. 经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是______. 12. 已知入射光线经过点被x轴反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为________. 13. 已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点P(－5,4)，则椭圆的方程为________． 14. 已知，则直线与直线的距离的最大值为__________ 15. 已知曲线关于直线对称，若直线被曲线截得的弦长为，则______. 16. 在平面直角坐标系xOy中，点，，点满足.设点的轨迹为，给出下列四个结论： （1）当三点不共线时，面积的最大值为12； （2）在轴上存在异于的两定点使得； （3）当三点不共线时，射线是的平分线； （4）在上存在点，使得. 其中所有正确结论的序号是______. 三、解答题:本题共2小题，共24分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）若，求二面角的余弦值． 18. 已知圆O：与直线相切． （1）求圆O的方程； （2）若过点的直线l被圆O所截得的弦长为4，求直线l的方程； （3）若过点作两条斜率分别为，的直线交圆O于B、C两点，且，求证：直线BC恒过定点．并求出该定点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $