26.3反比例函数的k值的几何意义（分层培优提升）-【上好课】2024-2025学年九年级数学下册同步精品课堂（人教版）

26.3反比例函数的k值的几何意义（分层培优提升） 一、单选题 1．（23-24八年级下·全国·期末）如图，点在轴的负半轴上，点在反比例函数的图象上，交轴于点，若点是的中点，的面积为3，则的值为（  ） A．10 B．11 C．12 D．13 2．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）如图，反比例函数的图像上有一点P，轴于点A，点B在y轴上，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 3．（23-24八年级下·全国·期末）已知菱形在平面直角坐标系中如图放置，点C在x轴上，若点A的坐标为，经过点A的双曲线交于点D，则的面积为（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 4．（2024·黑龙江牡丹江·模拟预测）如图，平行四边形的顶点B在x轴上，点A在上，且轴，对角线的延长线交y轴于点E，若，则（   ） A． B． C． D． 5．（22-23九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图，经过原点的直线与反比例函数的图象分别交于点A、点B，分别过点A、B作y轴、x轴平行线交于点C，若的面积为4，则k的值是（　　） A．8 B．4 C．2 D．1 6．（23-24九年级上·四川广安·期末）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，点在轴上，且．的面积为10，则的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 7．（2023八年级下·河南驻马店·学业考试）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在x轴上，且，则的面积是（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 8．（2024九年级上·全国·专题练习）下列图形中，阴影部分面积为1的有（   ） 个． 　　　　　 A．4 B．3 C．2 D．1 9．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数的图象上，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，，若，的面积为4，则k的值为（    ） A． B．3 C． D．4 10．（22-23九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，，是双曲线上的两点，连接，．过点作轴于点，交于点．若为的中点，的面积为3，点的坐标为，则的值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 二、填空题 11．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，轴于点，点在轴上，的面积为12，反比例函数的图象过点，则的值为 ． 12．（24-25九年级上·湖南邵阳·阶段练习）如图，反比例函数的图象上有两点、，则的面积为 ． 13．（24-25九年级上·北京昌平·期中）如图，已知反比例函数的图像经过点，过点作轴，交轴于点．的面积小于，则的取值范围是 ． 14．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图所示，点是反比例函数的图象上一点，过点分别向轴、轴作垂线．若，则函数表达式为 ． 15．（22-23九年级下·四川南充·自主招生）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，则四边形的面积为 ． 三、解答题 16．（22-23九年级上·湖南岳阳·期中）如图，点A为函数图象上的一点，过点A作x轴的平行线交 轴于点B，连接，如果的面积为2，求k的值． 17．（2024·青海·一模）如图，在同一平面直角坐标系中，正比例函数和反比例函数的图象交于A，B两点，轴，垂足是C．求： (1)反比例函数上的解析式； (2)的面积． 18．（21-22九年级上·湖南益阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，过作轴的垂线，垂足为，且的面积为1． (1)求m和k的值； (2)若点也在这个函数的图象上，当时，求y取值范围 19．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，正方的边在x轴的正半轴上，点，反比例函数的图象分别交于点E，F，已知 (1)求反比例函数的解析式． (2)连接 求的面积． 20．（22-23九年级上·广西贵港·期末）如图，点在双曲线上，点在轴的正半轴上，点在双曲线上，过点作轴，过点作轴，垂足分别为，．    (1)求阴影部分的面积； (2)若四边形是平行四边形，求的值； (3)在（2）的条件下，若，直接写出点的坐标． 一、单选题 1．（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数与相交于点，与相交于点，若，且的面积是12，则的值为 （         ）．    A．10 B．8 C．5 D．4 2．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，，是双曲线图像上的两点，过A作轴，交于点D，垂足为点C，若为的中点，则的面积为（    ） A． B．1 C．2 D．4 3．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于，两点若是轴上一点，则的面积为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点，关于轴对称，，点在双曲线 上，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，，，连接，，，记、的面积分别为、．若，则的面积为（   ）    A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴，是轴上一点，连接，，若的面积是，则的值为（  ） A． B． C． D． 7．（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，，两点在反比例函数的图象上，，两点在反比例函数y＝的图象上，轴于点，轴于点，，，，则等于（　　） A． B． C． D． 8．（21-22九年级下·浙江宁波·自主招生）如图，已知反比例函数的图象过斜边的中点D，与直角边相交于C，连接、，若的周长为，，则的面积为（　　） A． B． C．1 D．2 9．（19-20九年级·山东枣庄·自主招生）如图，点E，F在函数的图象上，直线分别与轴、轴交于点A、B，且，则的面积是（　　） A． B． C． D． 10．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，点A 在反比例函数上，过点A作轴，交y 轴于点C，交反比例函数于点 B．若，则k 的值为（        ） A．6 B． C． D．3 二、填空题 11．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，点，在反比例函数的图象上，轴，垂足为，，垂足为．若四边形的面积为，且，则的值为 ． 12．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，点A是反比例函数（，）的图象上一点，过点A作轴于点B，点P是y轴上任意一点，连接，．若的面积等于3，则k的值为 ．    13．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，双曲线经过A、B两点，连接、，过点B作轴，垂足为D，交于点E，且E为的中点，则的面积是 ． 14．（2024九年级下·全国·专题练习）已知反比例函数的图象经过两点，下列结论：①若则；②若，则；③过点A作轴，垂足为M，作轴，垂足为N，若，则四边形的面积为17．其中正确的结论是 ． 15．（24-25九年级上·全国·期中）如图，A、B为反比例函数图象上不同的两点，，的面积为，则k的值为 ． 三、解答题 16．（2024·山西·模拟预测）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴，垂足为，连接，．    (1)求反比例函数的表达式． (2)若，以，为边作平行四边形，点在第三象限内，求点的坐标． 17．（2024·湖南郴州·模拟预测）项目式学习： 项目主题 反比例函数k的几何意义之三角形面积 项目情境 已知矩形的两邻边、分别落在x正半轴与y正半轴上，反比例函数的图象经过点B，的图象分别与、交于点D、E． 活动任务一 （1）如图（1），若顶点B的坐标是，，则反比例函数的解析式是______． 驱动问题一 （2）在（1）的条件下，则的面积是______； 活动任务二 （3）如图（2），当，时，则的面积是______． 驱动问题二 （4）通过观察、思考上题的计算方法、结果，猜想到的面积有何规律或特征吗？请你用含，的代数式，表示的面积（写出推理过程）． 18．（2024·贵州黔东南·一模）如图，平行四边形中，，，它的边在轴的负半轴上，对角线在轴的正半轴上．反比例函数的图像经过点．    (1)求反比例函数的表达式； (2)过点的直线与反比例函数在第三象限的图像相交于点，连接，直接写出面积的取值范围． 19．（21-22九年级上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，，两点在函数的图象上，其中，轴于点，轴于点，且． (1)若，则的长为________，的面积为________； (2)若点的横坐标为，且，当时，求的值． 20．（2023·广东佛山·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积的数值相等，则这个点叫做“和谐点”，围成的矩形叫做“和谐矩形”． 如图1，矩形的周长与面积的数值相等，则点 是“和谐点”，矩形是“和谐矩形”．    (1)在图1中画出矩形以点O为位似中心的位似图形，使它与“和谐矩形”的相似比是，并判断点P的对应点是不是“和谐点”； (2)如图2，若点是反比例函数图象上的“和谐点”，请直接写出满足条件的所有M点的坐标；    (3)是否存在一个新的矩形，使它的周长和面积分别是“和谐矩形”周长和面积的一半？若存在，求出它的长和宽；若不存在，请说明理由． ( 14 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 26.3反比例函数的k值的几何意义（分层培优提升） 一、单选题 1．（23-24八年级下·全国·期末）如图，点在轴的负半轴上，点在反比例函数的图象上，交轴于点，若点是的中点，的面积为3，则的值为（  ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例系数的几何意义，反比例函数图象上的点的坐标的特征．过作轴于，证明，求得，，得到，即可确定的值． 【详解】解：过作轴于，如图： 轴，轴， ， ， ，点是的中点， ， ， ，， ， ， 点在反比例函数的图象上， ， ． 故选：C． 2．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）如图，反比例函数的图像上有一点P，轴于点A，点B在y轴上，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，掌握过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于，并根据面积关系得出方程是解题的关键． 设，则，再由三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：设， ∵点P在反比例函数的图象上， ∴． ∵轴， ∴． 故选：B． 3．（23-24八年级下·全国·期末）已知菱形在平面直角坐标系中如图放置，点C在x轴上，若点A的坐标为，经过点A的双曲线交于点D，则的面积为（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义：在反比例函数的图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．也考查了菱形的性质．先利用勾股定理计算出，再利用菱形的面积公式计算出，然后根据三角形面积公式，利用进行即可． 【详解】解：点坐标为， ， 四边形为菱形， ， ． 故选：C． 4．（2024·黑龙江牡丹江·模拟预测）如图，平行四边形的顶点B在x轴上，点A在上，且轴，对角线的延长线交y轴于点E，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、三角形面积、平行四边形的性质，熟练掌握k值几何意义是关键． 设与x轴交于点，连接，根据，， 且，可得 ，再利用，，继而求出值． 【详解】解：设与x轴交于点，连接， ∵ ， ， 且， ， 又∵， ， ， 反比例函数在第二象限， . 故选：B. 5．（22-23九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图，经过原点的直线与反比例函数的图象分别交于点A、点B，分别过点A、B作y轴、x轴平行线交于点C，若的面积为4，则k的值是（　　） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，涉及到反比例函数的比例系数k的几何意义：反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即．首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知A、B两点关于原点对称，则O为线段的中点，根据，得出，根据相似三角形性质得出，求出，得出，即可得出答案． 【详解】解：∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点， ∴A、B两点关于原点对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵A是反比例函数图象上的点，且轴， ∴轴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 6．（23-24九年级上·四川广安·期末）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，点在轴上，且．的面积为10，则的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，在反比例图像上任意一点，从这一点分别向、轴作垂线，所围成的四边形的面积等于．根据比例函数的几何意义可得，根据可得，根据的面积为10列方程即可得答案．正确得出是解题关键． 【详解】解：如图，连接， ∵反比例函数图像在第一象限， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为10， ∴，即， 解得：． 故选：C． 7．（2023八年级下·河南驻马店·学业考试）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在x轴上，且，则的面积是（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质和反比例函数系数的几何意义即可求得．本题考查等腰三角形的性质以及反比例函数的几何意义，理解反比例函数的几何意义是正确解答问题的关键． 【详解】解：过点作，垂足为， ， ， ， ， ， 故选：A． 8．（2024九年级上·全国·专题练习）下列图形中，阴影部分面积为1的有（   ） 个． 　　　　　 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，一般的，从反比例函数（k为常数，）图象上任一点P，向x轴和y轴作垂线，以点P及点P的两个垂足和坐标原点为顶点的矩形的面积等于常数，以点P及点P的一个垂足和坐标原点为顶点的三角形的面积等于．据此逐项分析即可． 【详解】解：左起第一个图．阴影部分面积为 此选项符合题意； 第二个图．阴影部分的面积为 此选项符合题意； 第三个图．阴影部分的面积为 此选项不符合题意； 第四个图．阴影部分的面积为 ，此选项符合题意； 所以正确的个数共有3个． 故选：B． 9．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数的图象上，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，，若，的面积为4，则k的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，图象点的坐标特征．延长交于点E，得到，，再根据题意得到，计算即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点E， ∵点A，B在反比例函数的图象上，，， ∴， ∴， ∴，， ∵的面积为4， ∴， 解得，（舍去）． 故选：B． 10．（22-23九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，，是双曲线上的两点，连接，．过点作轴于点，交于点．若为的中点，的面积为3，点的坐标为，则的值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数中k的几何意义以及反比例函数图象上点的特征，解答关键是利用三角形的中线性质得出的面积．先根据三角形的中线将三角形面积平分求得的面积，再根据反比例函数中系数k的几何意义求出k值，进而得出反比例函数解析式，将点B坐标代入解析式即可求解m值． 【详解】解：∵D为的中点，的面积为3， ∴的面积为， ∵A，B是双曲线上的两点，轴于点C， ∴， 解得：， ∴， 将点代入中，得， ∴， 故选：C． 二、填空题 11．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，轴于点，点在轴上，的面积为12，反比例函数的图象过点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变，由此可得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵轴于点，点在轴上， ∴轴 根据反比例函数的几何意义可得， 又∵函数图象过点，在第一象限， ∴． 故答案为：． 12．（24-25九年级上·湖南邵阳·阶段练习）如图，反比例函数的图象上有两点、，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例系数的几何意义，得出是解题的关键． 根据反比例系数的几何意义，得出，然后根据求解即可． 【详解】解：反比例函数的图象上有两点、， ， ， 分别过点A、B作轴于点D，作轴于点E， ， ， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·北京昌平·期中）如图，已知反比例函数的图像经过点，过点作轴，交轴于点．的面积小于，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，掌握反比例函数的相关知识是解题的关键．根据题意可得，再结合图像即可求解． 【详解】解：反比例函数的图像经过点，轴，的面积小于， ， 解得：， 由图可知，反比例函数的图像过一、三象限，故， ， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图所示，点是反比例函数的图象上一点，过点分别向轴、轴作垂线．若，则函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义的应用．根据反比例函数的几何意义解答即可． 【详解】解：与坐标轴围成的矩形部分面积为3， 由反比例函数的几何意义得，， ， 图象位于第二、四象限， ． 函数表达式为． 故答案为：． 15．（22-23九年级下·四川南充·自主招生）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，则四边形的面积为 ． 【答案】/ 【分析】主要考查了反比例函数中k的几何意义，即在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．根据反比例函数k值的意义，求出四边形的面积和的面积即可得出答案． 【详解】∵ ∴四边形的面积为：， 故答案为： 三、解答题 16．（22-23九年级上·湖南岳阳·期中）如图，点A为函数图象上的一点，过点A作x轴的平行线交 轴于点B，连接，如果的面积为2，求k的值． 【答案】 【分析】根据在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，再根据反比例函数的图象位于第一象限即可求出k的值． 【详解】解：根据题意可知：轴，则轴于B， ∴， 解得：， 又反比例函数的图象位于第一象限，， 则． 故k的值为4． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注． 17．（2024·青海·一模）如图，在同一平面直角坐标系中，正比例函数和反比例函数的图象交于A，B两点，轴，垂足是C．求： (1)反比例函数上的解析式； (2)的面积． 【答案】(1) (2)的面积是2 【分析】本题考查的知识点是正比例函数以及反比例函数图象上点的坐标． （1）根据题意A的纵坐标为2，代入，求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得k的值； （2）分别求出和即可求解． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交点A的纵坐标为2， ， 解得：， 把代入，得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：轴，垂足是C， ， ∵点A和点B关于原点对称， ， ∴，， ∴， 的面积是2． 18．（21-22九年级上·湖南益阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，过作轴的垂线，垂足为，且的面积为1． (1)求m和k的值； (2)若点也在这个函数的图象上，当时，求y取值范围 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质． （1）根据三角形的面积公式先得到的值，然后把点的坐标代入，可求出的值； （2）先分别求出和3时的值，再根据反比例函数的性质求解． 【详解】（1）解：， ，， ， ； 点的坐标为， 把代入， 解得； （2）解：当时，；当时，， 当时，的取值范围为． 19．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，正方的边在x轴的正半轴上，点，反比例函数的图象分别交于点E，F，已知 (1)求反比例函数的解析式． (2)连接 求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】 题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数系数k的几何意义，正方形的性质，求得点的坐标是解题的关键． （1）根据正方形的性质得到，，而，则，可得到E点坐标为，从而确定； （2）首先求得F的坐标，然后根据，利用梯形的面积公式即可求得． 【详解】（1）解：∵正方的边在x轴的正半轴上，点， ∴，， ∵ ∴， ∴E点坐标为， ∵的图象经过点， ∴ ∴反比例函数的解析式为； （2）解：连接，作于P， ∵， 把代入，求得， ∴ ∵， ∴． 20．（22-23九年级上·广西贵港·期末）如图，点在双曲线上，点在轴的正半轴上，点在双曲线上，过点作轴，过点作轴，垂足分别为，．    (1)求阴影部分的面积； (2)若四边形是平行四边形，求的值； (3)在（2）的条件下，若，直接写出点的坐标． 【答案】(1)5 (2) (3)点 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，平行四边形的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）由反比例函数的性质可求和的面积，即可求解； （2）由平行四边形的性质可求点，点的横坐标互为相反数，可求，的长，即可求解； （3）先求出点，点坐标，由中点坐标公式可求点坐标，由平行四边形的性质可求解． 【详解】（1）解：由题意得，，， 阴影部分的面积； （2）解：如图所示，连接交于点，   四边形是平行四边形， ，即点H为的中点， ， ，， ； （3）解：，， ∴， 在中，当时， ，， ， 点， ， 四边形是平行四边形， ， ， 点． 一、单选题 1．（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数与相交于点，与相交于点，若，且的面积是12，则的值为 （         ）．    A．10 B．8 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的的值，解题的关键是根据进行计算． 设点的坐标为，由可得，从而可得，根据，即可得到，从而即可得到答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 设点的坐标为， ， ∴， 点，在反比例函数的图象上， ， ∴， ， ， ， 故选：C． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，，是双曲线图像上的两点，过A作轴，交于点D，垂足为点C，若为的中点，则的面积为（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义以及相似三角形的判定和性质，先根据比例函数系数的几何意义得出的面积，再根据相似三角形的性质和中点的意义可得出，进而求出的面积即可． 【详解】解：过点作轴于， ∵是双曲线图像上的点， ∴， 轴， ∴平行于 ∴， ， 又是的中点， ∴， ∴， 故选：A． 3．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于，两点若是轴上一点，则的面积为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是反比例函数系数k的几何意义与反比例函数图象上点的坐标特征．由直线与y轴平行，可得的面积等于的面积，设点P的坐标为，由此可得出点A、B的横坐标都为a，再将分别代入反比例函数解析式，得出A、B的纵坐标，继而得出的值，从而得出三角形的面积． 【详解】解：如下图，连接， 由题意可知直线与y轴平行， ∴ 设，则点A、B的横坐标都为a， 将代入得出，得， 故； 将代入得出，得， 故； ∴， ∴． 故选：B． 4．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点，关于轴对称，，点在双曲线 上，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，求得和利用反比例函数系数的几何意义求出值是解题的关键．记与轴的交点为，先据轴对称求得，由反比例函数系数的几何意义，即可求出，再根据反比例函数在第二象限有图象即可确定的符号，即可求解． 【详解】解：如下图，记与轴的交点为， 点，关于轴对称， 轴，且， ， ， ， ， 在第二象限， ， ， 故选：B． 5．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，，，连接，，，记、的面积分别为、．若，则的面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比函数系数的几何意义，图形与坐标，根据长方形的性质得，，，继而得出轴，轴，根据三角形的面积及反比函数系数的几何意义得，，推出，继而得到，， ∴，再根据即可得解．求出、的长是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是长方形，，， ∴，，， ∴轴，轴， ∵反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，、的面积分别为、，， ∴，， ∴， 解得：， ∴，，即，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ∴， ∴的面积为． 故选：B． 6．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴，是轴上一点，连接，，若的面积是，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，连接、，设与轴交于点，由题意得出，，，再结合得出，即可得解． 【详解】解：如图，连接、，设与轴交于点， ， 由轴，可得，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 7．（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，，两点在反比例函数的图象上，，两点在反比例函数y＝的图象上，轴于点，轴于点，，，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，比例系数的几何意义，连接，由反比例函数的性质可知，，由，即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， 由反比例函数的性质可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， 由两式解得， 则， 故选：． 8．（21-22九年级下·浙江宁波·自主招生）如图，已知反比例函数的图象过斜边的中点D，与直角边相交于C，连接、，若的周长为，，则的面积为（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】在直角三角形中，由斜边上的中线等于斜边的一半，求出的长，根据周长求出直角边之和，设其中一直角边，表示出，利用勾股定理求出与的长，过作垂直于轴，得到为中点，求出的长，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，利用反比例函数的几何意义求出的值，确定出三角形面积即可． 【详解】解：在中，，为斜边的中线， ， 由周长为，得到， 设，则， 根据勾股定理得：，即， 整理得：， 解得，， ，， 过作轴，交轴于点， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵D是的中点， ∴ ∴为中点， （假设，若，求出结果相同）， 在中，利用勾股定理得：， ， ， 故选：A． 【点睛】本题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：勾股定理，直角三角形斜边的中线性质，三角形面积求法，以及反比例函数的几何意义，相似三角形的判定与性质，熟练掌握反比例的图象与性质是解本题关键． 9．（19-20九年级·山东枣庄·自主招生）如图，点E，F在函数的图象上，直线分别与轴、轴交于点A、B，且，则的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义、相似三角形的判定与性质；掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的比例系数的几何意义，证明三角形相似是解决问题的关键．证明，利用相似比可得，设E点坐标为，则F点的坐标为，由于，得到，然后根据梯形面积公式计算即可． 【详解】解：作轴于P，轴于C，轴于D，轴于H，如图所示： ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴，即， 设E点坐标为，则F点的坐标为， ∴ ∵， 而， ∴． 故选：C． 10．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，点A 在反比例函数上，过点A作轴，交y 轴于点C，交反比例函数于点 B．若，则k 的值为（        ） A．6 B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数值的几何意义，连接，易得，根据同高三角形的面积比等底边比，求出的面积，即可得出k 的值． 【详解】解：连接， ∵轴， ∴轴， ∵点A 在反比例函数上，点 B在反比例函数上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 二、填空题 11．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，点，在反比例函数的图象上，轴，垂足为，，垂足为．若四边形的面积为，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，矩形的判定和性质．延长CB交轴于点E，连接OC，根据三个角是直角的四边形是矩形得出四边形是矩形，根据矩形的对角线将矩形分为面积相等的两个三角形、矩形的四个角都是直角得出，，根据反比例函数比例系数的几何意义可得，推得，根据三角形的面积公式可得，根据即可求出的值． 【详解】解：延长交轴于点，连接，如图： ∵，，， 故四边形是矩形， ∴，， ∵点、在反比例函数的图象上， 故， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，点A是反比例函数（，）的图象上一点，过点A作轴于点B，点P是y轴上任意一点，连接，．若的面积等于3，则k的值为 ．    【答案】6 【分析】本题主要考查反比例函数中k的几何意义．连接，由于同底等高的两个三角形面积相等，则，然后根据反比例函数中k的几何意义有，再结合函数图象所在的象限，确定k的值． 【详解】解：如图，连接，    轴， ， ， ， 反比例函数的图象的一支位于第一象限， ， ， 故答案为：6． 13．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，双曲线经过A、B两点，连接、，过点B作轴，垂足为D，交于点E，且E为的中点，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义、相似三角形的判定与性质，作轴于，连接，则，证明，得出，，由三角形面积得出，从而得出，求出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作轴于，连接， ， 则， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（2024九年级下·全国·专题练习）已知反比例函数的图象经过两点，下列结论：①若则；②若，则；③过点A作轴，垂足为M，作轴，垂足为N，若，则四边形的面积为17．其中正确的结论是 ． 【答案】②③ 【分析】本题考查反比例函数的性质以及比例系数的几何意义．利用反比例函数的增减性、对称性、反比例函数比例系数的几何意义分别回答即可． 【详解】解：① ，比例系数， 图象分别位于第一、三象限，在所在的每一个象限随着的增大而减小， 当时，，故①错误； ②当、两点关于原点对称时，，则，故②正确； ③若，则．过点作轴，垂足为点，作 轴，垂足为点，则四边形的面积为，故③是正确； 故答案为：②③． 15．（24-25九年级上·全国·期中）如图，A、B为反比例函数图象上不同的两点，，的面积为，则k的值为 ． 【答案】 【分析】如图，作轴于C，轴于D，则，由，可得，进而可求，则，，由，可得，①，由，可得，即，②，由①②解得，，则，根据，求解即可． 【详解】解：如图，作轴于C，轴于D， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，① ∵， ∴， ∴， ∴，② 由①②解得，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数解析式，反比例函数与几何综合，完全平方公式，勾股定理等知识．熟练掌握反比例函数解析式，反比例函数与几何综合，完全平方公式，勾股定理是解题的关键． 三、解答题 16．（2024·山西·模拟预测）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴，垂足为，连接，．    (1)求反比例函数的表达式． (2)若，以，为边作平行四边形，点在第三象限内，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立正比例函数与反比例函数，解方程组可得，图形结合分析，再根据，由此即可求解； （2）把点代入反比例函数解析式可得，则，根据点关于原点对称可得，再根据平行四边形的性质可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于点， ∴， 解得，，， 根据图形可得，， ∴， ∵轴， ∴，点到的距离为， ∵， ∴， ∴反比例函数解析式为：； （2）解：由（1）可知，反比例函数解析式为，且点在反比例函数图象上， ∴，即， ∵轴， ∴， ∵正比例函数与反比例函数交于点， ∴点关于原点对称， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握一次函数与反比例函数交点的计算，解一元二次方程的方法，几何图形面积的计算方法，平行四边形的性质是解题的关键． 17．（2024·湖南郴州·模拟预测）项目式学习： 项目主题 反比例函数k的几何意义之三角形面积 项目情境 已知矩形的两邻边、分别落在x正半轴与y正半轴上，反比例函数的图象经过点B，的图象分别与、交于点D、E． 活动任务一 （1）如图（1），若顶点B的坐标是，，则反比例函数的解析式是______． 驱动问题一 （2）在（1）的条件下，则的面积是______； 活动任务二 （3）如图（2），当，时，则的面积是______． 驱动问题二 （4）通过观察、思考上题的计算方法、结果，猜想到的面积有何规律或特征吗？请你用含，的代数式，表示的面积（写出推理过程）． 【答案】（1）；（2）4.5；（3）；（4） 【分析】本题考查反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、反比例函数k的几何意义、矩形的性质、三角形的面积等知识，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解答此题的关键． （1）先根据点B的坐标和矩形的性质，求得点，再把点代入，即可求解； （2）根据点B的坐标和矩形的性质，求得点D的纵坐标为4，代入求出横坐标，即可得出点，从而可求得，，然后利用，即可求解； （3）设，则，，则，，根据求解即可； （4）设，则，，则，，根据求解即可． 【详解】解：（1）∵B的坐标是，，四边形是矩形， ∴， ∵E在上， ∴， ∴； （2）∵B的坐标是，，D在上， ∴D的纵坐标为4， ∵D在上， ∴D的横坐标， ∴， ∴，， ∵B的坐标是， ∴， ∴ ； （3）∵，， 设，则，， ∴，， ∴； （4）设，则，， ∴，， ∴； 即． 18．（2024·贵州黔东南·一模）如图，平行四边形中，，，它的边在轴的负半轴上，对角线在轴的正半轴上．反比例函数的图像经过点．    (1)求反比例函数的表达式； (2)过点的直线与反比例函数在第三象限的图像相交于点，连接，直接写出面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查反比例与几何图形的关系，根据几何图形面积的计算方法求反比例函数的值， （1）如图所示，过点作轴于点，设，根据反比例函数图象的性质可得四边形是矩形，，根据平行四边形的性质可得，结合，可得求出，由此可得，即可求解； （2）设，点到的距离为，由三角形的面积公式得，再根据点位于第三象限的特点即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作轴于点，设，    ∵平行四边形中，边在轴的负半轴上，对角线在轴的正半轴上， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形平行四边形， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为：； （2）解：根据题意，设， ∵， ∴设点到的距离为，则， ∴， ∵点位于第三象限，即，且， ∴，则， ∴． 19．（21-22九年级上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，，两点在函数的图象上，其中，轴于点，轴于点，且． (1)若，则的长为________，的面积为________； (2)若点的横坐标为，且，当时，求的值． 【答案】(1)；1 (2) 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义以及两点间的距离公式， （1）由和的值可得出点A的坐标，利用勾股定理即可求出的长度，由点B在反比例函数图像上，利用反比例函数系数k的几何意义即可得出的面积； （2）根据反比例函数图像上点的坐标特征可找出点A、B的坐标，利用两点间的距离公式即可求出、的长度，由即可得出关于的方程，解之即可求出值，再根据即可确定值． 【详解】（1）解：∵，， ∴点， ∴， ． ∵点B在反比例函数的图像上， ∴． 故答案为；1． （2）解：∵A，B两点在函数的图像上， ∴，， ∴，． ∵， ∴， 解得：或． ∵， ∴． 20．（2023·广东佛山·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积的数值相等，则这个点叫做“和谐点”，围成的矩形叫做“和谐矩形”． 如图1，矩形的周长与面积的数值相等，则点 是“和谐点”，矩形是“和谐矩形”．    (1)在图1中画出矩形以点O为位似中心的位似图形，使它与“和谐矩形”的相似比是，并判断点P的对应点是不是“和谐点”； (2)如图2，若点是反比例函数图象上的“和谐点”，请直接写出满足条件的所有M点的坐标；    (3)是否存在一个新的矩形，使它的周长和面积分别是“和谐矩形”周长和面积的一半？若存在，求出它的长和宽；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点不是“和谐点” (2)所有M点的坐标为、、、 (3)不存在，理由见解析 【分析】本题是一道新定义型代数几何综合题，考查反比例函数图象的性质、位似图形性质，矩形性质，平面直角坐标系中图形面积的求法，理解新定义是解题的关键． （1）画出位似图形，再根据和谐点的定义，利用矩形的面积和周长公式进行证明即可； （2）利用和谐点的定义列出关于x，y的方程组，由此可以求得M点坐标． （3）假设存在，根据定义列方程求解． 【详解】（1）如图1，四边形为所求．  P的对应点不是“和谐点”．    由题意得，点的坐标为， ∵，， ， ∴点不是“和谐点” （2）若点是反比例函数图象上的“和谐点”， 依题意得： ∴， 解得：，，，， 所有M点的坐标为：、、、， （3）不存在． 假设存在，不妨设新矩形长为x， 则宽为， 依题意有 ∵，此方程无实数根． ∴不存在． ( 45 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$