24.4弧长和扇形面积（2）扇形面积（分层培优提升40题）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（人教版）

24.4弧长和扇形面积（2）扇形面积 （分层培优提升40题） 一、单选题 1．（22-23九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）某扇形的圆心角为160°，其半径为3cm，则此扇形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查扇形面积的计算，解题的关键是熟练掌握扇形的面积公式． 扇形的面积公式：，代入数据计算即可． 【详解】解：根据扇形的面积公式： ． 故选：C． 2．（23-24六年级上·上海崇明·期末）扇形的半径和圆心角分别扩大到原来的2倍，则扇形面积扩大到原来的（   ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【分析】本题主要考查扇形面积公式，熟练应用扇形面积公式是解题的关键．根据扇形面积公式进行分析即可求解． 【详解】解：，扇形的半径和圆心角分别扩大为原来的2倍， 扩大后的扇形面积为， 面积扩大为原来的8倍． 故选：C． 3．（2023·安徽合肥·三模）如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以为圆心．，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据扇形面积的计算方法，计算圆环的面积即可求解． 【详解】解：圆心角，，， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查扇形面积的计算，理解图示，掌握扇形面积的计算方法，圆环面积的计算方法是解题的关键． 4．（23-24九年级上·湖南湘西·期末）如图，在矩形中，．若将绕点旋转后，点落在延长线上的点E处，点D经过的路径，则图中阴影部分的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式，属于基础题． 用扇形面积减去的面积来求得正确答案． 【详解】解：由题意可知，，， ，， 所以图中阴影部分的面积是． 故选：C． 5．（2024·山西忻州·三模）如图，某广场欲在角落半径为5米的扇形区域内做绿化，先在外围种植一圈大叶黄杨作为隔离带，再在内部扇形区域内种植月季花，已知若种植大叶黄杨和月季花的区域面积相等，则扇形的半径为（    ）    A．米 B．米 C．米 D．π米． 【答案】A 【分析】本题考查的是求解扇形的面积，一元二次方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键，根据面积相等建立方程求解即可． 【详解】解：∵，设， 而种植大叶黄杨和月季花的区域面积相等， ∴， 解得， 故选A 6．（2024·湖北恩施·模拟预测）如图，边长为4的正方形的顶点B在上，顶点A，C在内，的延长线交于点D，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查求不规则图形的面积，掌握扇形的面积公式，是解题的关键．根据正方形的性质和勾股定理得的半径为，结合扇形与三角形的面积公式，即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴， ∵正方形的边长为4， ∴， ∴， 即：的半径为， ∴． 故选：B． 7．（2024·山西朔州·模拟预测）如图，是半圆O的直径，，B，C是半圆O上两点．若，则图中阴影部分的面积是（    ） D A． B． C． D． 【答案】A 【解题分析】本题考查的知识点是扇形面积的计算，根据圆心角与弧的关系得到，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴阴影部分面积 故选A． 8．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，已知矩形，的半径为3，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，根据矩形的性质可以求得的度数，然后根据扇形面积公式即可求得阴影部分的面积． 【详解】矩形， ， ∵的半径为3， 图中阴影部分的面积是：， 故选：C． 9．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，边长为2的正方形的中心和半径为2的的圆心重合，点E，F分别是，的延长线与的交点，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆的性质，正方形的性质，求不规则的图形的面积，延长，分别交于M，N，阴影部分的面积就是圆的面积减去正方形的面积的差的四分之一，据此求解即可． 【详解】如图，延长，分别交于M，N， 阴影部分的面积为：． 故选：B． 10．（2024·湖南益阳·模拟预测）如图，正五边形的边长为5，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则圆与正五边形重叠部分（图中阴影部分）的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算．根据正五边形的内角和定理求出正五边形的一个内角的度数，再根据扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：五边形是正五边形， ， ， 故选：B． 二、填空题 11．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）已知一个扇形的圆心角为，其弧长为，则该扇形的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了弧长公式，扇形面积的计算等知识点，注意：圆心角为，半径为的扇形的面积弧长．设扇形的半径为，根据弧长公式和已知条件得出，求出，再根据扇形的面积公式求出面积即可． 【详解】解：设扇形的半径为， 扇形的圆心角为，弧长为， ， 解得：， 扇形的面积为， 故答案为：． 12．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，是边长均为6的正八边形和正六边形的组合图形，以顶点A为圆心，长为半径画圆，则阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算．根据正八边形、正六边形的性质求出它的内角的度数，进而求出阴影部分扇形的圆心角的度数，由扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：正八边形和正六边形， ，， ， ． 故答案为：． 13．（23-24九年级下·全国·期末）如图，外侧大圆的半径是10，在里边有两条互相垂直的直径和两个同心圆，其中阴影部分的面积是，请问中间圆的半径是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 设中间圆的半径为r，通过旋转可将阴影部分转化为最大圆的和中间圆的，然后根据圆的面积公式得到，再解方程即可． 【详解】解：设中间圆的半径为r， 根据题意得， 解得 (舍去)， 即中间圆的半径为 故答案为：6． 14．（24-25七年级上·重庆·开学考试）如图所示，在直角三角形中，，，从中剪掉两个半径相等的扇形，求阴影部分的面积为 ．（结果保留π） 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形的面积和扇形的面积的计算，用直角三角形的面积减去两个半径相等的扇形的面积，就是剩余部分的面积． 【详解】解：， ， 故答案为：． 15．（2024九年级下·河南周口·专题练习）两个直径分别为，的半圆按如图位置摆放，，，则图中阴影部分的面积是 （用含的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是圆的性质、扇形面积的计算公式，解题关键是熟练掌握扇形面积的计算公式． 交半圆于点，连接，由圆的性质求出、后，根据即可得解． 【详解】解：交半圆于点，点为半圆的圆心，连接， 依题得：， ， ，， ， 两半圆面积相等， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题 16．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图是一个管道的横截面，圆心O到水面的距离是2，水面宽． (1)求这个管道横截面的半径． (2)求阴影弓形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，求不规则图形面积，等腰直角三角形的性质等等： （1）根据垂径定理得到，根据勾股定理即可解； （2）根据等腰直角三角形的性质得到，进而得到，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， 在中， 这个管道横截面的半径为． （2）解：如图所示，连接， 由（1）可得， ∴， 同理可得， ． ∴. 17．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，一扇形纸扇完全打开后，和的夹角为，长为，贴纸部分的宽为．    (1)求弧的长度； (2)求纸扇上贴纸部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查弧长公式，扇形的面积等知识，解题的关键是记住弧长公式，扇形的面积公式，属于中考常考题型． （1）利用弧长公式求解即可， （2）求出两个扇形面积的差即可． 【详解】（1）解：； （2）解：，， ， ， ， 贴纸部分的面积． 18．（2024九年级下·全国·专题练习）求下图中阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积公式．根据阴影部分的面积等于3个扇形面积之和计算即可． 【详解】解：． 19．（2024·湖北恩施·模拟预测）如图，是的直径，点P是外一点，与相切于点A，点C为上的一点．连接、、，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质与判定、三角形全等、扇形的面积、求不规则图形的面积以及含三角形的性质．解决本题的关键是掌握切线的判定定理以及求扇形的面积． （1）利用是的切线，是的半径，求出，再证明出，求出，从而证明出切线． （2）利用含三角形的性质求出边长，从而求出的面积．再利用扇形公式求出扇形的面积，求差即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵是的切线，是的半径． ∴ 连接 在与中， ∴ ∴ ∵C为上的一点． ∴是的切线； （2）∵， ∴ ， ∵， ， ∴， ∴ ∴． 20．（2024·湖北襄阳·一模）如图，在中，，是中点，以为圆心，为半径作，分别交及其延长线、于，，点，连接交于点． (1)求证：是的切线； (2)若是的中点，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】此题重点考查圆中不规则图形的面积、等腰三角形的“三线合一”、切线的判定定理、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、锐角三角函数与解直角三角形等知识，证明及求得是解题的关键． （1）连接，由，是中点，得，即可证明是的切线； （2）由是的中点，得，推出，再证，则可求出，和，最后可由求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ，是中点， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：是的中点，， ， ， ， ，是中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积是． 一、单选题 1．（2024·山西·模拟预测）如图，在中，，以点A为圆心，以的长为半径画弧，交于点E，且E为的中点，若的长度为π，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了扇形的面积，弧长公式，平行四边形的面积，三角函数，熟练掌握扇形的面积公式，弧长公式是解题的关键；过B作于F，根据弧长公式求出，根据扇形面积公式，求出，利用三角函数求出，进而求出，再求阴影部分的面积即可． 【详解】解：过B作于F，   ，以点A为圆心，以的长为半径画弧，交于点E， ， E为的中点， ， 设所对的圆心角为， 的长度为π， ，， ， ， 在中，， ， ， 故选：． 2．（2024·山西·模拟预测）如图，与相切于点A，点E在上，连接，与相交于点C，与相交于点D，已知，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接．证明得，求出，然后根据阴影部分的面积即可求解． 【详解】解：如图，连接． 是的切线， ． ． ， ， 阴影部分的面积． 故选A． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质， 扇形的面积公式，证明相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 3．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，半径，将圆沿折叠，点与圆心重合，图中阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，，，，与交于，由折叠的性质可证，是等边三角形，由扇形面积公式可计算出扇形的面积，再求出的面积，由可求出阴影面积．本题考查了扇形面积的计算，等腰三角形的性质，轴对称的性质，含的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握分割法求阴影面积． 【详解】解：连接，，，，与交于， 由折叠性质可得，，，， ， ，， ∴，是等边三角形， ， ， ， ，， ，， ， ， ， 故选：D． 4．（2023九年级·甘肃·专题练习）如图，在平行四边形中，，，，以为直径的交于点，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是扇形面积计算、平行四边形的性质．连接，作，先求出、，，，再根据阴影部分面积是扇形与三角形的面积和求解可得． 【详解】解：如图，连接，作于点， 四边形是平行四边形，且， ， 则， ， ， ，， ， 图中阴影部分的面积为， 故选：A． 5．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，是半径为2的外的一点，，切于点，弦，连接，则图中阴影部分的面积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用切线的性质，再利用特殊角的三角函数值可求出，则，接着利用平行线的性质得到，利用三角形面积公式可得到，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积进行计算． 【详解】解：∵切于点， ∴， ∴， 在中，∵，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，图中阴影部分的面积， ∴图中阴影部分的面积． 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的性质和扇形的面积计算公式，特殊角的三角函数，平行线的性质等知识，根据面积相等进行转化是解题的关键． 6．（2024·山东日照·中考真题）如图，在菱形中，，点O是对角线的中点，以点O为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】连接，将绕点O顺时针旋转得到．证明，推出，利用即可求解． 【详解】解：如图，连接，将绕点O顺时针旋转得到． ， ， 在菱形中，点O是对角线的中点，， ，， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定与性质，解直角三角形，扇形的面积，作出辅助线，构造三角形全等，利用是解题的关键． 7．（2024·安徽·模拟预测）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质，扇形面积公式，由是等边三角形，得，，过作于点，然后由勾股定理得，求出，，然后代入求值即可，熟练掌握等边三角形的性质和扇形面积公式是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 设， 如图，过作于点， ∴，，， ∴由勾股定理得：， ∴，即， 则， ∴， 故选：． 8．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，为半圆O的直径，C是半圆上一点，且，设扇形弓形的面积分别为，则它们的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查扇形面积公式及弓形面积公式，作交与点D，设圆的半径为，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式表示出三个图形面积，比较即可求解． 【详解】解：作交与点D，设圆的半径为， ∵， ∴，则． ∴； ． 在三角形中，， ∴，，， ∴， ， ， ∴． 故选：B． 9．（2024·山西·模拟预测）如图，正六边形的边长为4，以A为圆心，的长为半径画弧，得，连接，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查正六边形的性质和扇形的面积计算，连接，过点B作，先计算正六边形的面积，再计算扇形的面积，相减即可得出答案． 【详解】解：连接，过点B作，如图， ∵正六边形的边长为4， ∴， ∵ ∴， ∴， 在中，， ∴ 同理可证，， ∴， ∴， 又， ∴图中阴影部分的面积为 故选：A 10．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，为的直径，将弧沿翻折，翻折后的弧交于点，若，，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查圆的综合及三角函数，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键；连接，过点C作于H，然后根据圆的基本性质可得，则有，进而根据三角函数及割补法可进行求解． 【详解】解：如图，连接，过点C作于H， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴设， 根据勾股定理，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 11．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，，斜边，是的中点，以为圆心，线段的长为半径画圆心角为的扇形，经过点，则图中阴影部分的面积为 . 【答案】 【分析】本题考查了三角形的全等的判定、扇形的面积、解直角三角形．作，，证明，则，求得扇形的面积，则阴影部分的面积即可． 【详解】解：作，，垂足分别为，连接． ，，点为的中点， ，， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形， ∴四边形是正方形， ∵， ∴， 则扇形的面积是：． ， ， 则在和中， ， ， ． 则阴影部分的面积是：． 故答案为：． 12．（2024·广东·模拟预测）如图，在长方形中，，以点D为圆心，长为半径画弧，交线段延长线于点E，点F为边上一点，若，连接，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积的计算及长方形的性质，明确是解答本题的关键． 用长方形的面积加上扇形的面积减去三角形的面积即可求得阴影部分的面积． 【详解】解：在长方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 13．（2024·广东·模拟预测）如图，在扇形中放置三个边长均为1的正方形方格，点O为扇形的圆心，格点A，B，C分别在扇形的两条半径和弧上，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形的面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．连接，先根据正方形的性质可得，扇形的半径，再根据图中阴影部分的面积等于求解即可得． 【详解】解：如图，连接， 由题意得：，扇形的半径， 则图中阴影部分的面积为 ， 故答案为：． 14．（2024·广东·模拟预测）如图，已知正六边形的边长为2，分别以顶点C，E为圆心，正六边形边长为半径画，两弧的交点为O，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正六边形的性质、扇形的面积、等边三角形的判定与性质等知识点，连接，作，可推出四边形是菱形；根据正六边形的性质可得，进一步推出均为等边三角形；根据阴影部分的面积即可求解． 【详解】解：连接，作如图所示： 由题意得：， ∴四边形是菱形， ∵是正六边形， ∴， ∴， ∴均为等边三角形， ∴ ∴ ∴阴影部分的面积， 故答案为： 15．（23-24九年级上·安徽·期末）如图，以菱形对角线上的点O为圆心，的长为半径作圆，与相交于点E，点A，C恰好都在上，若，的直径为12，解决下列问题： （1）的长为 ． （2）连接，则扇形的面积约为 ． （参考数据：，，） 【答案】 16 34.54 【分析】本题主要考查了解直角三角形，菱形的性质，扇形的面积． （1）由题意可得，根据，令，，即可求解； （2）连接交于点H，根据菱形的性质，解直角三角形，求出，可得，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：（1）的直径为12， ． ∵． 令，． ∴． ∴． ∴， 故答案为：16； （2）如图．连接交于点H． ∵四边形为菱形． ∴，． ∴． ∴， ∴， ∴． ∴， 故答案为：． 三、解答题 16．（22-23九年级上·广东湛江·期中）如图，四边形中，，，，连接，以点为圆心，长为半径作，交于点． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)相切，理由见解析 (2) 【分析】（1）过点作，证明，得到，即可证明与圆相切； （2）先证明是等边三角形，根据三线合一得到，求出，再利用求出阴影部分面积． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， ， ， ， ， ． 在和中， ， ， ，则点在圆上， 与相切； （2）解：，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积 ． 【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，直角三角形的计算，题目的综合性较强，难度不小，解题的关键是正确作出辅助线． 17．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，点A在的直径的延长线上，点B在上，连接、． (1)给出下列信息：①；②；③与相切．请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，第三个作为结论，组成一个正确的命题并作出证明． 你选择的条件是_____，结论是_____（填写序号，只需写出你认为正确的一种情形)． (2)在（1）的条件下，若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）若选择①②，证明③．连接，根据等边对等角得到，，从而得到，根据三角形的内角和可证明，由此即可证得与相切．若选择①③，证明②．连接，由等边对等角与三角形外角的性质得到，根据切线的性质得到，从而，将代入后即可求解．若选择②③，证明①．连接，由切线的性质得到，从而求得，由等边对等角与三角形外角的性质得到，，即可求得，从而，得证． （2）过点O作于，在中，可求出，在中，可求出，，根据三角形的面积公式求出，根据扇形面积公式求出，根据，即可求解． 【详解】（1）解：选择①②可证明③，或选择①③可证明②，或选择②③可证明①， 若选择的条件是①②，结论是③，证明如下： 如图，连接， ， ， ∵， ∴ ， ， ∴， ∵是半径， ∴与相切． 若选择的条件是①③，结论是②，证明如下： 如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线，是半径， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 若选择的条件是②③，结论是①，证明如下： 如图，连接， ∵是的切线，是半径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：①②，③，或①③，②，或②③，①． （2）解：如图所示，过点O作于， ∴在中， ∴， ∴在中，， ， ∵，， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查圆的基础知识，切线的证明与性质，等腰三角形的判定及性质，三角形外角的性质，不规则图形的面积，解直角三角形，熟练运用相关知识是解题的关键． 18．（2024·山东德州·中考真题）如图，圆与都经过A，B两点，点在上，点C是上的一点，连接并延长交于点P，连接． (1)求证： (2)若，． ①求的半径； ②求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①2 ② 【分析】对于（1），连接，在中，先根据同弧所对的圆周角相等得，然后在中，根据圆周角定理得，可得答案； 对于（2）①，由结合（1），可得，再连接，作，可得，，进而得出，然后在中，根据得出答案； 对于②，先说明是等边三角形，即可求出其面积，在中，求出弓形的面积，然后根据得出答案． 【详解】（1）如图所示． 连接， 在中，， 在中，， ∴； （2）①，∵， ∴． 连接，过点作，交于点D， ∴，， ∴． 在中，， 即， ∴， 所以的半径是2； ②∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴垂直平分，垂直平分， ∴点三点共线． 在中，， 在中，． 在中，上标点，． 在中， ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，线段垂直平分线的性质和判定，勾股定理，余弦，求扇形的面积，等边三角形的性质和判定，构造辅助线是解题的关键． 19．（2024·河北·模拟预测）如图1是对心曲柄滑块机构，如图2是对心曲柄滑块机构运动的模型示意图，滑块B和曲柄的端点在一条直线上，曲柄从开始绕回转中心逆时针整周转动的过程中，连杆使滑块在直线上往复运动．直线与交于，两点（点在点的左侧），连杆在运动过程中与的另一交点为点．曲柄的长度为．当连杆与相切时，点恰好为的中点． (1)求连杆的长； (2)当曲柄转动使得首次与相切时，求滑块在直线上移动的距离； (3)如图3，当曲柄转动，首次使得时，求曲柄扫过的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查圆的综合，涉及切线的性质，圆内接四边形的性质，勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定与性质，扇形的面积，熟练掌握这些性质是解题的关键． （1）利用相切得，利用中点和圆半径得，利用勾股定理即可求解； （2）当曲柄未开始转动时，点、、三点共线，点在点的位置，点在点的位置，可得此时，再当曲柄转动使得与相切时，可得，即可求移动距离的长； （3）连接，，利用四边形为的内接四边形，得出，证明，相似性质可得，再证是直角三角形，即可求出转动的角度，即可求面积． 【详解】（1）解：当曲柄转动使得连杆与相切时，此时， 如图，连接， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：当曲柄未开始转动时，点、、三点共线，如图，点在点的位置，点在点的位置， 此时， 当曲柄转动使得与相切时，如图， 由（1）可知， ∴， ∴滑块在直线上移动的距离为； （3）解：如图，连接，， ∵，由（1）知， ∴， ∵， ∴，， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：（负值舍）， ∴， 在中，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴曲柄扫过的面积为． 20．（2024·河北·模拟预测）如图1，在中，，，，延长至点D，使，连接，以为直径的绕点A顺时针旋转． (1)如图2，旋转　　　　°时，与第一次相切． (2)在（1）的条件下，判断与的位置关系并加以证明． (3)如图3，若与相切于点M，与相交于点N，设阴影部分的面积为S，求S的值． 【答案】(1)90 (2)与相切，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据旋转的性质结合圆的切线可得答案； （2）证明四边形为矩形，可得，可得是的切线； （3）如图，连接，则，作于，证明四边形为矩形，可得， 证明为等边三角形，可得，再进一步可得答案． 【详解】（1）解：当与相切时， ∴， ∴， ∴旋转角为； （2）解：与相切，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵为直径， ∴是的切线． （3）解：如图，连接，则，作于， 而， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是旋转的性质，等边三角形的判定与性质，切线的判定与性质，矩形的判定与性质，扇形面积的计算，掌握基础知识是解本题的关键． ( 42 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.4弧长和扇形面积（2）扇形面积 （分层培优提升40题） 一、单选题 1．（22-23九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）某扇形的圆心角为160°，其半径为3cm，则此扇形的面积是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24六年级上·上海崇明·期末）扇形的半径和圆心角分别扩大到原来的2倍，则扇形面积扩大到原来的（   ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 3．（2023·安徽合肥·三模）如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以为圆心．，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是（    ）    A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·湖南湘西·期末）如图，在矩形中，．若将绕点旋转后，点落在延长线上的点E处，点D经过的路径，则图中阴影部分的面积是（    ）    A． B． C． D． 5．（2024·山西忻州·三模）如图，某广场欲在角落半径为5米的扇形区域内做绿化，先在外围种植一圈大叶黄杨作为隔离带，再在内部扇形区域内种植月季花，已知若种植大叶黄杨和月季花的区域面积相等，则扇形的半径为（    ）    A．米 B．米 C．米 D．π米． 6．（2024·湖北恩施·模拟预测）如图，边长为4的正方形的顶点B在上，顶点A，C在内，的延长线交于点D，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·山西朔州·模拟预测）如图，是半圆O的直径，，B，C是半圆O上两点．若，则图中阴影部分的面积是（    ） D A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，已知矩形，的半径为3，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，边长为2的正方形的中心和半径为2的的圆心重合，点E，F分别是，的延长线与的交点，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 10．（2024·湖南益阳·模拟预测）如图，正五边形的边长为5，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则圆与正五边形重叠部分（图中阴影部分）的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）已知一个扇形的圆心角为，其弧长为，则该扇形的面积为 ． 12．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，是边长均为6的正八边形和正六边形的组合图形，以顶点A为圆心，长为半径画圆，则阴影部分的面积是 ． 13．（23-24九年级下·全国·期末）如图，外侧大圆的半径是10，在里边有两条互相垂直的直径和两个同心圆，其中阴影部分的面积是，请问中间圆的半径是 ． 14．（24-25七年级上·重庆·开学考试）如图所示，在直角三角形中，，，从中剪掉两个半径相等的扇形，求阴影部分的面积为 ．（结果保留π） 15．（2024九年级下·河南周口·专题练习）两个直径分别为，的半圆按如图位置摆放，，，则图中阴影部分的面积是 （用含的式子表示）． 三、解答题 16．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图是一个管道的横截面，圆心O到水面的距离是2，水面宽． (1)求这个管道横截面的半径． (2)求阴影弓形的面积． 17．（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，一扇形纸扇完全打开后，和的夹角为，长为，贴纸部分的宽为．    (1)求弧的长度； (2)求纸扇上贴纸部分的面积． 18．（2024九年级下·全国·专题练习）求下图中阴影部分的面积．（结果保留） 19．（2024·湖北恩施·模拟预测）如图，是的直径，点P是外一点，与相切于点A，点C为上的一点．连接、、，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 20．（2024·湖北襄阳·一模）如图，在中，，是中点，以为圆心，为半径作，分别交及其延长线、于，，点，连接交于点． (1)求证：是的切线； (2)若是的中点，，求阴影部分的面积． 一、单选题 1．（2024·山西·模拟预测）如图，在中，，以点A为圆心，以的长为半径画弧，交于点E，且E为的中点，若的长度为π，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 2．（2024·山西·模拟预测）如图，与相切于点A，点E在上，连接，与相交于点C，与相交于点D，已知，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，半径，将圆沿折叠，点与圆心重合，图中阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2023九年级·甘肃·专题练习）如图，在平行四边形中，，，，以为直径的交于点，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，是半径为2的外的一点，，切于点，弦，连接，则图中阴影部分的面积等于（   ） A． B． C． D． 6．（2024·山东日照·中考真题）如图，在菱形中，，点O是对角线的中点，以点O为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D．无法确定 7．（2024·安徽·模拟预测）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，为半圆O的直径，C是半圆上一点，且，设扇形弓形的面积分别为，则它们的大小关系是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·山西·模拟预测）如图，正六边形的边长为4，以A为圆心，的长为半径画弧，得，连接，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 10．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，为的直径，将弧沿翻折，翻折后的弧交于点，若，，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C．8 D．10 二、填空题 11．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，，斜边，是的中点，以为圆心，线段的长为半径画圆心角为的扇形，经过点，则图中阴影部分的面积为 . 12．（2024·广东·模拟预测）如图，在长方形中，，以点D为圆心，长为半径画弧，交线段延长线于点E，点F为边上一点，若，连接，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）． 13．（2024·广东·模拟预测）如图，在扇形中放置三个边长均为1的正方形方格，点O为扇形的圆心，格点A，B，C分别在扇形的两条半径和弧上，则图中阴影部分的面积为 ． 14．（2024·广东·模拟预测）如图，已知正六边形的边长为2，分别以顶点C，E为圆心，正六边形边长为半径画，两弧的交点为O，则图中阴影部分的面积为 ． 15．（23-24九年级上·安徽·期末）如图，以菱形对角线上的点O为圆心，的长为半径作圆，与相交于点E，点A，C恰好都在上，若，的直径为12，解决下列问题： （1）的长为 ． （2）连接，则扇形的面积约为 ． （参考数据：，，） 三、解答题 16．（22-23九年级上·广东湛江·期中）如图，四边形中，，，，连接，以点为圆心，长为半径作，交于点． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 17．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，点A在的直径的延长线上，点B在上，连接、． (1)给出下列信息：①；②；③与相切．请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，第三个作为结论，组成一个正确的命题并作出证明． 你选择的条件是_____，结论是_____（填写序号，只需写出你认为正确的一种情形)． (2)在（1）的条件下，若，求图中阴影部分的面积． 18．（2024·山东德州·中考真题）如图，圆与都经过A，B两点，点在上，点C是上的一点，连接并延长交于点P，连接． (1)求证： (2)若，． ①求的半径； ②求图中阴影部分的面积． 19．（2024·河北·模拟预测）如图1是对心曲柄滑块机构，如图2是对心曲柄滑块机构运动的模型示意图，滑块B和曲柄的端点在一条直线上，曲柄从开始绕回转中心逆时针整周转动的过程中，连杆使滑块在直线上往复运动．直线与交于，两点（点在点的左侧），连杆在运动过程中与的另一交点为点．曲柄的长度为．当连杆与相切时，点恰好为的中点． (1)求连杆的长； (2)当曲柄转动使得首次与相切时，求滑块在直线上移动的距离； (3)如图3，当曲柄转动，首次使得时，求曲柄扫过的面积． 20．（2024·河北·模拟预测）如图1，在中，，，，延长至点D，使，连接，以为直径的绕点A顺时针旋转． (1)如图2，旋转　　　　°时，与第一次相切． (2)在（1）的条件下，判断与的位置关系并加以证明． (3)如图3，若与相切于点M，与相交于点N，设阴影部分的面积为S，求S的值． ( 11 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$