精品解析：青海省西宁市第十四中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

2024年高一数学期中考试试题 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ）条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 3. 下列各组函数是同一函数的是（ ） ①与； ②与； ③与； ④与． A. ①② B. ①③ C. ③④ D. ①④ 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数 是幂函数，且在上单调递减，则实数m 的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 或2 6. 设，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 7. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：”数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在数学的学习和研究过程中，常用函数图像来研究函数的性质，也经常用函数解析式来分析函数的图像特征，函数在[﹣2，2]上的图像大致是（　　） A. B. C. D. 8. 已知是奇函数且在单调递增，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分．全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分） 9. 下列函数中，在上单调递增且图像关于轴对称的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数， 关于函数的结论正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. D. 若， 则的值是 11. 下列说法正确的有（ ） A. “，使得”的否定是“，都有” B. 若命题“”为假命题，则实数的取值范围是 C. 若，则“”的充要条件是“” D. 已知，则的最小值为9 第II卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则的解析式为______. 13. 已知关于的不等式的解集为， ① ② ③ ④ 关于的不等式的解集为 则上述结论正确的序号是____________. 14. 已知函数，是上的严格增函数，则实数的取值范围是_______． 四、解答题（共5小题共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合. （1）当时，求和； （2）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围. 16. 已知函数经过，两点. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性并用定义进行证明； （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 17. 已知关于不等式的解集为. （1）当为空集时，求的取值范围； （2）在（1）的条件下，求的最小值； 18. 若函数的定义域是，且对任意的，，都有成立. （1）试判断的奇偶性； （2）若当时，，求的解析式； （3）在条件（2）前提下，解不等式. 19. 对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点． （1）求二次函数的不动点； （2）若二次函数有两个不相等的不动点，且、，求的取值范围； （3）若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年高一数学期中考试试题 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得集合，再求交集即可. 【详解】； ， 故. 故选：B. 2. 已知，则“”是“”的（ ）条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】若，，满足，但不成立； 若，则，则成立. “”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 下列各组函数是同一函数的是（ ） ①与； ②与； ③与； ④与． A. ①② B. ①③ C. ③④ D. ①④ 【答案】C 【解析】 【分析】通过验证定义域和对应法则，判断两个函数是否为同一函数. 【详解】①与的定义域是，而，故这两个函数不是同一函数； ②与的定义域都是，，这两个函数的定义域相同，对应法则不同，故这两个函数不是同一函数； ③与的定义域都是，并且定义域内，对应法则也相同，故这两个函数是同一函数； ④与定义域相同，对应法则相同，是同一函数； 所以是同一函数的是③④． 故选：C． 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数形式得到不等式组，解出即可. 【详解】由题意得，解得，则定义域为， 故选：C. 5. 已知函数 是幂函数，且在上单调递减，则实数m 的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 或2 【答案】B 【解析】 【分析】由幂函数的概念，可得，求出的值，并验证是否在上为减函数即可. 【详解】因为函数是幂函数，所以，解得或. 若，则，函数在上为增函数，不符合题意，舍去； 若，则，函数在上为减函数，符合题意； 所以实数的值是. 故选：B. 6. 设，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：D 7. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：”数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在数学的学习和研究过程中，常用函数图像来研究函数的性质，也经常用函数解析式来分析函数的图像特征，函数在[﹣2，2]上的图像大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据奇偶性定义判定函数是偶函数，从而排除选项CD；再根据的值排除选项A即可作出判断选择B． 【详解】定义域为R， ， 则是偶函数，其图象关于y轴轴对称，排除选项CD； 又因为，则排除选项A，选B. 故选：B． 8. 已知是奇函数且在单调递增，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据的性质作出示意图，再根据分情况讨论求解即可. 【详解】因为是奇函数且在单调递增，，作出的示意图： 因为有： 当时，，即或，解得； 当时，，即或，解得； 综上有解集为. 故选：A 二、多选题（每小题6分，共18分．全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分） 9. 下列函数中，在上单调递增且图像关于轴对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据单调性与奇偶性可得答案 【详解】关于A选项，函数为奇函数，其图像关于原点对称，故A错误； 关于B选项，函数为偶函数，其图像图像关于轴对称，且函数在上单调递增，故B正确； 关于C选项，函数的定义域是，故函数为非奇非偶函数，故C错误； 关于D选项，函数的定义域为，，所以函数为偶函数，当时，，所以函数在上单调递增，故D正确． 故选：BD. 10. 已知函数， 关于函数的结论正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. D. 若， 则的值是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据分段函数解析式可得到其定义域，判断A选项，分别在各自自变量范围内，求解其函数范围，最后取其并集，为最终值域，即可判断B选项，将代入，可判断C，在各自范围内，令其等于3，得到或，即可判断D选项. 【详解】由分段函数解析式可知其定义域为，故A错误； 当时，此时，在上单调递增，则此时； 当时，此时，对称轴为，则，且，故此时， 故值域为，作出如图所示图象，故B正确； ，故C正确， 当时，，；当时，，（舍去另一个负值）， 故若,则的值是或，故D错误； 故选：BC. 11. 下列说法正确的有（ ） A. “，使得”的否定是“，都有” B. 若命题“”为假命题，则实数的取值范围是 C. 若，则“”的充要条件是“” D. 已知，则的最小值为9 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据特称命题的否定形式进行判断即可； 对于B，根据假命题相关知识求解即可； 对于C，根据充要条件相关知识判断即可； 对于D，根据基本不等式相关知识进行判断即可. 【详解】对于A，“，使得”的否定是“，都有”，故A正确； 对于B，若命题“”为假命题，则无实根， 则，得，则实数的取值范围是，故B正确； 对于C，若，则由不能推出，故“”不是“”的充要条件，故C错误； 对于D，， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为9，故D正确. 故选：ABD 第II卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则的解析式为______. 【答案】 【解析】 【分析】依题换元，求出新元的范围和函数关于新元的表达式，再将新元改成即得. 【详解】令,因，故，且可得 故 所以. 故答案为：. 13. 已知关于的不等式的解集为， ① ② ③ ④ 关于的不等式的解集为 则上述结论正确的序号是____________. 【答案】②③ 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解法可知，且是方程的两根，再结合韦达定理可得，，结合这些条件再逐一判断即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以，且是方程的两根， 所以， 所以， 所以，， 故①错，②，③正确； 对于④，等式，即有， 所以，解得， 所以不等式的解集为，故④错误. 故答案为：②③ 14. 已知函数，是上的严格增函数，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合分段函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】因为函数是上的严格增函数， 则满足 ，解得，故实数的取值范围是. 故答案为：． 四、解答题（共5小题共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合. （1）当时，求和； （2）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1），； （2）或. 【解析】 【分析】（1）把代入，利用补集、并集、交集的定义求解即得. （2）利用充分条件的定义，结合集合的包含关系列式求解即得. 【小问1详解】 当时，，而，则或， 所以，. 【小问2详解】 由“”是“”的充分条件，得， 当，即时，，满足，则； 当时，由，得，解得， 因此或， 所以实数a的取值范围是或. 16. 已知函数经过，两点. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性并用定义进行证明； （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）在上单调递减，证明如下： 任取，且， 则， ，且， ，， ∴， ，即， 所以函数在上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入列方程组求解即可； （2）利用单调性的定义证明即可； （3）将问题转化为，然后利用单调性求解最值即可得解. 【小问1详解】 ，， ，解得， . 【小问2详解】 在上单调递减，证明略； 【小问3详解】 由对任意恒成立得， 由（2）知在上单调递减， 函数在上的最大值为， ， 所求实数的取值范围为. 17. 已知关于不等式的解集为. （1）当为空集时，求的取值范围； （2）在（1）的条件下，求的最小值； 【答案】（1）；（2）最小值为. 【解析】 【分析】（1）当为空集时，通过判别式小于0，转化求的取值范围； （2）化简，利用基本不等式求解最小值； 【详解】解：(1)为空集，所以方程无实根, ,即,解得, 实数的取值范围为; (2)由（1）知,则, 当且仅当,即时等号成立. 所以的最小值为. 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，基本不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用，属于中档题． 18. 若函数的定义域是，且对任意的，，都有成立. （1）试判断的奇偶性； （2）若当时，，求的解析式； （3）在条件（2）前提下，解不等式. 【答案】（1）为奇函数 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用已知求出，可得，即可证出； （2）先利用奇函数性质求出时，，再结合已知和，即可求解析式； （3）作出函数的图象，利用图象得是定义在上的增函数，将不等式转化为，再利用的单调性可得，解一元二次不等式即可得解. 【小问1详解】 为奇函数， 理由如下： 函数的定义域为，关于原点对称， 令得，解得， 令得，所以对任意恒成立， 所以为奇函数， 【小问2详解】 由题知当时，， 则时，， 又， 所以. 【小问3详解】 作出函数的图象，如下图所示： 由图可知，是定义在上的增函数， 因为，所以， 所以，即， 解得或， 所以不等式的解集为或. 19. 对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点． （1）求二次函数的不动点； （2）若二次函数有两个不相等的不动点，且、，求的取值范围； （3）若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围． 【答案】（1）不动点为和 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出方程，即可得到结果； （2）根据题意，由不动点的定义，列出不等式，即可得到结果； （3）根据题意，由不动点的定义，列出不等式，即可得到结果； 【小问1详解】 由题意知：， 解得，，所以不动点为和． 【小问2详解】 依题意，有两个不相等的正实数根， 即方程有两个不相等的正实数根， 所以，解得 【小问3详解】 由题知：， 所以，由于函数恒有不动点， 所以，即， 又因为是任意实数，所以， 即（），解得，所以的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $