精品解析：广东省肇庆市德庆县香山中学2024-2025学年高三上学期学业水平考试（春季高考）11月月考数学试题

肇庆市香山中学2025届高三广东省学业水平考试（春季高考）11月月考数学科试题 一､选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，设，则 A. B. C. D. 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 在空间中，下列命题为真命题的是（ ） A. 垂直于同一条直线的两条直线平行 B. 垂直于同一条直线的两个平面平行 C. 平行于同一条直线的两条直线垂直 D. 平行于同一个平面的两条直线平行 5. 下列函数中既是奇函数，又在R上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是，则圆锥的体积是（ ） A. B. C. D. 8. 为了得到函数的图象，只要将的图象上所有的点（ ） A. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 B. 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 D. 向右移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 9. 函数的零点所在的一个区间是（ ） A. （-2，-1） B. （-1，0） C. （0，1） D. （1，2） 10. 已知单位向量的夹角为，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 11. 某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(单位:只)与引入时间x(单位:年)的关系为y=alog2(x+1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到（ ） A. 300只 B. 400只 C. 600只 D. 700只 12. 在中，点D在边AB上，．记，则（ ） A. B. C. D. 二､填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分. 13. 是虚数单位，则，则的值为______． 14. 长､宽､高分别为1，2，3的长方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为___________. 15. 已知向量，，若，则______． 16. 从1，2，3，4，5这5个数字中不放回地任取两个数，则两个数都是奇数的概率是__________. 17. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设其面积为S，若，则角A等于______． 18. 已知定义域为的偶函数在区间上严格单调递减，且，则不等式的解集为______. 三､解答题：本大题共4小题，第19~21题各10分，第22题12分，共42分.解答需写出文字说明､证明过程和演算步骤. 19. （1）已知角的终边经过点，求值． （2）已知，计算的值． 20. 正三棱柱的底面正三角形的边长为，为的中点，. （1）证明：平面； （2）求该三棱柱的体积. 21. 热力公司为某生活小区铺设暖气管道，为减少热量损耗，管道外表需要覆盖保温层．经测算要覆盖可使用20年的保温层，每厘米厚的保温层材料成本为2万元，小区每年的气量损耗用（单位：万元）与保温层厚度（单位：）满足关系： 若不加保温层，每年热量损耗费用为5万元．设保温费用与20年的热量损耗费用之和为. （1）求的值及的表达式； (2)问保温层多厚时，总费用最小，并求最小值. 22. 已知函数． （1）求的最小正周期和值域； （2）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，且的面积为，求c的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 肇庆市香山中学2025届高三广东省学业水平考试（春季高考）11月月考数学科试题 一､选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义计算． 【详解】由已知， 故选：B． 2. 已知函数，设，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数的定义即可求解. 【详解】解：∵函数，又， ∴， 故选：C. 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由真数大于0，解不等式可得. 【详解】由，解得或. 故选：C 4. 在空间中，下列命题为真命题的是（ ） A. 垂直于同一条直线的两条直线平行 B. 垂直于同一条直线的两个平面平行 C. 平行于同一条直线的两条直线垂直 D. 平行于同一个平面的两条直线平行 【答案】B 【解析】 【分析】运用空间中点线面的位置关系逐一判断即可. 【详解】垂直于同一条直线的两条直线可能平行、异面、相交，选项A说法错误; 垂直于同一直线的两个平面平行，选项B说法正确; 平行于同一直线的两条直线互相平行，选项C说法错误; 平行于同一平面的两条直线可能平行，相交或异面，选项D说法错误; 故选：B. 5. 下列函数中既是奇函数，又在R上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依次分析函数的奇偶性和单调性即可得解. 【详解】对于A，为奇函数，但是定义域为，在和上单调递减，不满足题意； 对于B，不满足在R上单调递增； 对于C，为奇函数且在R上单调递增； 对于D，定义域为非奇非偶函数. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了基本初等函数的奇偶性和单调性，属于基础题. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用诱导公式即可得. 【详解】. 故选：A. 7. 圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是，则圆锥的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设底面半径为r，母线为l，由轴截面是等腰直角三角形得，代入求出r和l，再求出圆锥的高，代入体积公式计算． 【详解】设圆锥的底面半径为r，母线为l， 圆锥的轴截面是等腰直角三角形， ，即， 由题意得，侧面积， 解得， ，圆锥的高， 圆锥的体积， 故选：A． 【点睛】本题考查圆锥的体积、侧面积，以及轴截面问题，属于基础题． 8. 为了得到函数的图象，只要将的图象上所有的点（ ） A. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 B. 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 D. 向右移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 【答案】A 【解析】 【分析】首先向左平移，可得，再横坐标缩小原来的倍，即可确定选项. 【详解】因为函数 将函数图象向左平移个单位后所得到的函数图象对应的解析式为，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍， 所得到的函数图象对应的解析式为． 故选：A． 9. 函数的零点所在的一个区间是（ ） A. （-2，-1） B. （-1，0） C. （0，1） D. （1，2） 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的零点判定定理，先判断函数的单调性，然后判断端点值的符合关系． 【详解】解：∵f（x）＝2x+x﹣2在R上单调递增 又∵f（0）＝﹣1＜0，f（1）＝1＞0 由函数的零点判定定理可知，函数的零点所在的一个区间是（0，1） 故选：C． 【点睛】本题主要考查函数零点区间的判断，判断的主要方法是利用根的存在性定理，判断函数在给定区间端点处的符号是否相反． 10. 已知单位向量的夹角为，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据数量积运算性质展开，结合数量积定义即可得解. 【详解】由题知， 所以. 故选：C 11. 某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(单位:只)与引入时间x(单位:年)的关系为y=alog2(x+1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到（ ） A. 300只 B. 400只 C. 600只 D. 700只 【答案】A 【解析】 【分析】先根据已知求出a=100，所以y=100log2(x+1)，把x=7代入函数的解析式即得解. 【详解】将x=1，y=100代入y=alog2(x+1)得， 100=alog2(1+1)， 解得a=100， 所以y=100log2(x+1) 所以当x=7时，y=100log2(7+1)=300. 故选：A 【点睛】本题主要考查对数函数模型的应用，考查函数值的计算和对数运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 12. 在中，点D在边AB上，．记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出． 【详解】因为点D在边AB上，，所以，即， 所以． 故选：B． 二､填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分. 13. 是虚数单位，则，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法法则计算，进而利用复数相等的意义可求得，进而可求的值. 【详解】因为， 所以，所以. 故答案为：. 14. 长､宽､高分别为1，2，3的长方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由长方体的体对角线为其外接球的直径，可计算出长方体的外接球的半径，再利用球体的表面积公式可求得结果. 【详解】设球的半径为，由于长方体的体对角线为其外接球的直径，则，故该球的表面积为. 故答案为：. 15. 已知向量，，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由向量垂直关系的坐标表示可构造方程求得，由向量模长运算可求得结果. 【详解】，， ， 解得：，，. 故答案为：. 16. 从1，2，3，4，5这5个数字中不放回地任取两个数，则两个数都是奇数的概率是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】列举所有可能的情况求解即可. 【详解】由题意，任取两个数所有可能的情况有，，，，，，，，，共10种情况， 其中两个数都是奇数的情况有，，共3种情况，故两个数都是奇数的概率是. 故答案为： 17. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设其面积为S，若，则角A等于______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知利用三角形面积公式，同角三角函数基本关系式及余弦定理化简，结合A的范围利用特殊角的三角函数值即可得解A的值． 【详解】由题意，因为， 所以，即， 又由,所以， 故答案为 【点睛】本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式及余弦定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的综合应用，其中解答中熟记正、余弦定理和三角形的面积公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 18. 已知定义域为的偶函数在区间上严格单调递减，且，则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】由偶函数和函数的单调性可得出，可得出，解之即可. 【详解】因为定义域为的偶函数在区间上严格单调递减， 则， 所以，即或，解得或， 即所求解集为. 故答案为：. 三､解答题：本大题共4小题，第19~21题各10分，第22题12分，共42分.解答需写出文字说明､证明过程和演算步骤. 19. （1）已知角的终边经过点，求值． （2）已知，计算的值． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数定义计算可得，再由同角三角函数之间的商数关系计算可得结果； （2）根据商数关系化简可得，再利用平方关系以及“1”的应用计算可得结果. 【详解】（1）由角的终边经过点，可知， 则可得. （2）由，化简得， 因此. 所以. 20. 正三棱柱的底面正三角形的边长为，为的中点，. （1）证明：平面； （2）求该三棱柱的体积. 【答案】（1） 证明：连接，设，连接 ∵是正三棱柱的侧面， ∴为矩形， ∴是的中点， ∴是的中位线， ∴， 又平面，平面， ∴平面. （2） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到线线平行，从而线面平行； （2）求出底面正三角形的面积，进而利用柱体体积公式进行求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为在正三棱柱中，底面正三角形的边长为2，为的中点 所以，， 故， 又平面，， 所以正三棱柱的体积 21. 热力公司为某生活小区铺设暖气管道，为减少热量损耗，管道外表需要覆盖保温层．经测算要覆盖可使用20年的保温层，每厘米厚的保温层材料成本为2万元，小区每年的气量损耗用（单位：万元）与保温层厚度（单位：）满足关系： 若不加保温层，每年热量损耗费用为5万元．设保温费用与20年的热量损耗费用之和为. （1）求的值及的表达式； (2)问保温层多厚时，总费用最小，并求最小值. 【答案】（1） （2）保温层的厚度为厘米时，总费用最小，最小为19万元. 【解析】 【分析】（1）先根据题意确定k的值，再根据题意求和确定，（2）根据函数解析式，利用基本不等式求最值. 【详解】(1)由题意知， ∴ （2） 当且仅当即时，等号成立 所以保温层的厚度为厘米时，总费用最小，最小为19万元. 22. 已知函数． （1）求的最小正周期和值域； （2）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，且的面积为，求c的值. 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用三角函数周期公式以及图象性质可得周期以及值域； （2）由可得，再由三角形面积公式计算可得，利用余弦定理计算可得. 【小问1详解】 由三角函数的周期公式可得最小正周期为； 再由三角函数图象可知其最大值为，最小值为; 所以其值域为. 【小问2详解】 ， 即，- 所以， 所以，因为， 所以 由三角形面积公式，且， 解得， 由余弦定理， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $