天津经济技术开发区第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

天津经济技术开发区第一中学2024—2025学年度第一学期 高二年级数学学科（强基）期中考试卷答案 1、 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C D D B C C B A D D B 2、 多选题 题号 13 14 15 16 答案 BC BC ABD  ABD 3、 填空题 17.【答案】-5  18.【答案】   19.【答案】 20.【答案】 21.【答案】 14 22.【答案】  三．解答题 23.【答案】解：设圆的方程为， 则，，， 联立解得，，， 圆的方程为，即． 直线的斜率不存在时，设直线的方程为，则，满足． 直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离， 由题意可得， 解得， 直线的方程为，即． 综上可得直线的方程为：，  20.【答案】解：证明：由于，，所以， 根据直三棱柱的性质可知， 由于，、平面， 所以平面， 由于平面，所以平面平面． 解：设是的中点，连接，则，，，，两两相互垂直． 以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系， ，，，， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 设直线和平面所成角为，则； 设，则， 过作，垂足为， 设， ， ，即， 解得， ， 即， 长即为点到直线的距离 ， ， ，或舍 25.【答案】解：Ⅰ椭圆：的离心率为， ， 过右焦点的直线与椭圆交于、两点，且的周长为． ． 故， 故 故椭圆的方程为： Ⅱ若直线的方程为，则，不符合题意． 设直线的方程为，代入椭圆方程消去得， 显然成立，设，， 则，分 所以 由已知，解得 当时，直线的方程为，即， 点到直线的距离 所以的面积 同理，当时，的面积也等于． 综上，的面积等于 26.【答案】解：由题意可得：，，， 解得，， 椭圆的方程为． 证明：，，，， 直线的方程为，化为． 设直线的方程为：，，． 联立，化为：， 解得或， 直线方程为：，即， 与联立，解得，． ， ， ．  学科网（北京）股份有限公司 $$ 天津经济技术开发区第一中学2024—2025学年度第一学期高二年级数学学科（强基）期中考试试卷 一、单选题（每小题2分，共24.0分） 1.已知向量，，若，则(    ) A. B. C. D. 2.正方体中，为中点，则直线，所成角的正弦值为(    ) A. B. C. D. 3.在棱长为的正四面体中，点与满足，且，则的值为(    ) A. B. C. D. 4.过抛物线的焦点，且与直线垂直的直线方程为(    ) A. B. C. D. 5.直线：与圆：相交于，两点，则的面积为(    ) A. B. C. D. 6.已知线段的端点的坐标为，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹所围成图形的面积为  (    ) A. B. C. D. 7.“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8.设抛物线与过焦点的直线交于，两点，则的值是(    ) A. B. C. D. 9.在数列中，，且，则(    ) A. B. C. D. 10.已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 11.双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左右两支分布交于两点，，若，，则双曲线的离心率为    A. B. C. D. 12.已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，在抛物线上且满足，当取最大值时，点恰好在以，为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为(    ) A. B. C. D. 二、多选题（每小题5分，共20.0分.每题有多个选项符合题目要求，全选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分） 13.在空间直角坐标系中，已知点，，，则(    ) A. B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. D. 在上的投影向量的模为 14.已知，直线：，直线：，则(    ) A. 若，则或 B. 若，则与间距离为 C. 若，则或 D. 若在轴和轴上的截距相等，则 15.已知椭圆的离心率为，长轴长为，，分别是椭圆的左、右焦点，是一个定点，是椭圆上的动点，则下列说法正确的是(    ) A. B. 椭圆的标准方程为 C. D. 的最大值为 16.已知抛物线的焦点为，过原点的动直线交抛物线于另一点，交抛物线的准线于点，下列说法正确的是(    ) A. 若，则为线段中点 B. 若，则 C. 存在直线，使得 D. 面积的最小值为 三、填空题（每小题5分，共30.0分） 17.已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量，若，则ab的值为          。 18.已知圆，直线，直线被圆所截的最短弦长为          ． 19.抛物线x上的点到直线的最小距离为________． 20.数列的前项和记为，若，则          ． 21.已知抛物线的焦点为，其准线与轴交点为，，直线过点，且与抛物线交于，两点，若，则          ． 22.已知椭圆的离心率是，一个顶点是，，是椭圆上异于点的任意两点，且，则直线过定点          ． 四、解答题（本大题共3小题，共46.0分） 23.（10分）已知圆的圆心在直线上，且经过点，． 求圆的标准方程； 过点的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程． 24.（12分）如图所示，在直三棱柱中，侧面为长方形，，，，． 求证：平面平面； 求直线和平面所成角的正弦值； 在线段上是否存在一点，使得点到直线的距离是，若存在求的长，不存在说明理由． 25.（12分）已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为、，过右焦点的直线与椭圆交于、两点，且的周长为． Ⅰ求椭圆的方程； Ⅱ过点的直线与椭圆相交于，两点．且，求的面积． 26.（12分）已知椭圆：的离心率为，、分别为的上、下顶点，、分别为的左、右顶点，． 求的方程； 点为第一象限内上的一个动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点求证： 学科网（北京）股份有限公司 $$