精品解析：广西壮族自治区百色市凌云县中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

凌云县中学2024年秋季学期期中考试 高二数学科试卷 出题人：孙美玲 审题人：王健 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 3. 已知圆，过点作圆的一条切线，切点为，则（ ） A. 6 B. C. D. 3 4. 已知圆关于直线对称，则圆的半径为（ ） A. B. 2 C. D. 4 5. 设点，斜率为的直线过点且与线段相交，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在直三棱柱中，且，则直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在长方体中，为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点A(－5,0)，B(－1，－3)，若圆C:上恰有两点M，N，使得△MAB和△NAB的面积均为5，则r的取值范围是 A. B. (1,5) C. (2,5) D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量，，，则（ ） A. B. C. D. 是共面向量 10. 已知圆与直线，下列选项正确的是（ ） A. 圆的圆心坐标为 B. 直线过定点 C. 直线与圆相交且所截最短弦长为 D. 直线与圆可以相离 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为面的中心，、分别为和的中点，则（ ） A. 平面 B. 若为上的动点，则的最小值为 C. 点到直线的距离为 D. 平面与平面相交 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为______． 13. 已知圆与圆有4条公切线，则a的取值范围为___________． 14. 已知直线与圆相交于两点，当的面积取得最大值时，直线的斜率为，则______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点坐标是为的中点. （1）求中线的方程； （2）求经过点且与直线平行的直线方程. 16. 已知直线，，其中为实数， （1）当时，求直线，之间的距离； （2）当时，求过直线，的交点，且平行于直线的直线方程． 17. 已知直线过点且与圆相切. （1）求直线的方程； （2）若圆与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为，求圆的标准方程. 18. 如图，在四棱锥中，，，点为棱上一点. （1）证明：； （2）当点为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值. 19. 如图，在三棱锥中，平面平面，且，． （1）证明：平面； （2）若，点满足，求二面角的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 凌云县中学2024年秋季学期期中考试 高二数学科试卷 出题人：孙美玲 审题人：王健 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助斜率与倾斜角的关系计算即可得. 【详解】直线的斜率为，设倾斜角为， 则有，即. 故选：B. 2. 已知向量，若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算可得，结合向量垂直的坐标表示运算求解. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 解得： 故选：B. 3. 已知圆，过点作圆的一条切线，切点为，则（ ） A. 6 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的方程，结合圆的切线的性质进行求解即可. 【详解】，圆的半径为， 所以， 故选：B. 4. 已知圆关于直线对称，则圆的半径为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先由圆的一般式得到圆心坐标，再利用圆的对称性得到关于的方程，进而再将圆的一般式化为标准方程，从而得解. 【详解】由，可得圆的圆心为. 因为圆关于直线对称， 所以由圆的对称性可知，圆心在直线上， 则，解得， 故圆，可化为， 所以圆的半径为. 故选：A. 5. 设点，斜率为的直线过点且与线段相交，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出图象，结合斜率公式求得正确答案. 【详解】如图，直线的斜率， 直线的斜率， 所以当直线与线段相交时， 的斜率的取值范围是. 故选：D 6. 如图，在直三棱柱中，且，则直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，用向量方法求角，先求向量与的夹角，再转化为线线角即可. 【详解】如图，由题意，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 不妨设，则， 则， 则， 又由两直线所成角的范围为， 则直线与所成的角为. 故选：C. 7. 如图，在长方体中，为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量运算的三角形法则、平行四边形法则表示出即可. 【详解】在长方体中，为与的交点， 因为，，， 则，， 所以 故选：B. 8. 已知点A(－5,0)，B(－1，－3)，若圆C:上恰有两点M，N，使得△MAB和△NAB的面积均为5，则r的取值范围是 A. B. (1,5) C. (2,5) D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，根据题意可得两点到直线的距离为2，得的方程为 ，当圆上只有一个点到直线的距离为2时，求得半径的值，当圆上只有3个点到直线的距离为2时，求出半径，从而求出满足条件的半径的取值范围，即可得到答案. 【详解】由题意可得， 根据和的面积为5，可得两点到直线的距离为2， 由于的方程为， 若圆上只有一个点到圆的距离为2， 则有圆心到直线的距离， 若圆上只有三个点到圆的距离为2， 则有圆心到直线的距离， 所以实数的取值范围是，故选B. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式的应用，其中解答中合理应用直线与圆的位置关系，利用点到直线的距离公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量，，，则（ ） A. B. C. D. 是共面向量 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，利用空间向量的坐标运算与表示，共线向量的坐标运算，共面向量定理，逐项判定，即可求解. 【详解】由向量， 可得，，所以A、B正确； 设，可得，所以，此时方程组无解， 所以向量与向量不共线，所以C错误； 设，可得， 所以，解得，所以共面，所以D正确. 故选：ABD. 10. 已知圆与直线，下列选项正确的是（ ） A. 圆的圆心坐标为 B. 直线过定点 C. 直线与圆相交且所截最短弦长为 D. 直线与圆可以相离 【答案】AC 【解析】 【分析】根据圆的标准方程，可判定A正确；化简直线为，可判定B不正确；根据圆的性质和圆的弦长公式，可判定C正确；根据点在圆内，可判定D不正确. 【详解】对于A中，由圆，可得圆的圆心坐标为，半径为，所以A正确； 对于B中，由直线，可化为， 令，解得，所以直线恒过点，所以B不正确； 对于C中，由圆心坐标为和定点，可得， 根据圆的性质，当直线与垂直时，直线与圆相交且所截的弦长最短， 则最短弦长为，所以C正确； 对于D中，由直线恒过定点，且，即点在圆内，所以直线与圆相交，所以D不正确. 故选：AC. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为面的中心，、分别为和的中点，则（ ） A. 平面 B. 若为上的动点，则的最小值为 C. 点到直线的距离为 D. 平面与平面相交 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，得到，故故与平面不平行，A错误；B选项，将两平面展开到一个平面内，利用勾股定理求出最小值；C选项，利用点到直线距离向量公式求出答案；D选项，求出平面的法向量，与平面的法向量不平行，得到两平行相交. 【详解】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 设平面的法向量为， 则， 令得，故， 所以， 故与平面不平行，A错误； B选项，把平面与平面以为公共边展开到同一平面内，如图， 连接与相交于点，此时最小， 最小值为，B正确； C选项，，，， ， 点到直线的距离为，C错误； D选项，，所以， 设平面的法向量为， 则， 令，则，故， 显然与不平行，故平面与平面不平行， 又两平面不重合，故两平面相交，D正确. 故选：BD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】由即可求解. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 13. 已知圆与圆有4条公切线，则a的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由两圆有4条公切线得两圆外离，可出不等式求解即可． 【详解】由题可得，圆，圆心为，半径为2， 圆，圆心为，半径为1， 因为两圆有4条公切线，所以两圆外离， 故圆心距，解得， 故答案为：． 14. 已知直线与圆相交于两点，当的面积取得最大值时，直线的斜率为，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】设圆的半径为且，根据三角形的面积公式，得到时，的最大值为，结合圆的性质和点到直线的距离公式，列出方程，即可求解. 【详解】由，可化为，则圆心， 设圆的半径为且，则， 当时，的最大值为， 不妨取直线的方程为，因为， 所以点到直线的距离为，所以，解得， 又由，可得，解得. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点坐标是为的中点. （1）求中线的方程； （2）求经过点且与直线平行的直线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出点的坐标，再根据两点式方程即可得解； （2）先求出直线的斜率，再根据点斜式方程即可得解. 【小问1详解】 因为，所以， 故的方程是，即； 【小问2详解】 因为直线的斜率， 所以经过点且与直线平行的直线方程为，即. 16. 已知直线，，其中为实数， （1）当时，求直线，之间的距离； （2）当时，求过直线，的交点，且平行于直线的直线方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由两条直线平行求得，然后求平行直线距离即可； （2）先求两个直线的交点，然后设平行直线的方程，求解即可. 【小问1详解】 由题可知，，解得， 所以， 此时直线，之间的距离为. 【小问2详解】 由题可知，，联立，解得， 所以与的交点坐标为. 设所求直线为，所以有，得， 所求直线为. 17. 已知直线过点且与圆相切. （1）求直线的方程； （2）若圆与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为，求圆的标准方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）判断出点为切点，根据切线的性质，即可求得答案； （2）设所求圆的圆心坐标为，结合圆心到直线的距离，根据弦长列式求出t的值，即可得答案. 【小问1详解】 可化为，即圆心为，半径为 将点的坐标代入圆的方程，成立，则点在圆上， 点与点连线的斜率为， 所以直线的斜率为1， 故直线的方程为，即. 【小问2详解】 设所求圆的圆心坐标为，由于该圆与轴相切，因此该圆的半径为， 所以该圆的方程是. 因为该圆被直线截得的弦长为， 所以该圆圆心到直线的距离， 由，解得. 故圆的标准方程为或. 18. 如图，在四棱锥中，，，点为棱上一点. （1）证明：； （2）当点为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：因为， 所以，所以， 又，且平面，所以平面， 又平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明平面来证得. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以，则. 由（1）可知两两垂直，以为原点，以所在直 线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则， 当点为棱的中点时，. 设平面的一个法向量， 则即令，解得，故， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 19. 如图，在三棱锥中，平面平面，且，． （1）证明：平面； （2）若，点满足，求二面角的大小． 【答案】（1） 过作于点，平面平面，且平面平面，平面， 故平面．又平面，． 又，，平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质定理得证线面垂直后可得线线垂直，再由线面垂直的判定定理证明结论成立； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）平面，平面,故, 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则,0,，，,1,，， 故，,所以, ， 设平面的法向量， 则，令有，故， 平面的法向量， 则， 又二面角所成角为锐角， 二面角所成角的余弦值为，角的大小为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $