上海市控江中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

控江中学2024学年高二第一学期期中考试 数学学科试卷 考生注意：本卷共21道题，满分150分，考试时间120分钟. 一.填空题（1-6每题4分，7-12每题5分） 1. 若球的半径为5，圆为该球的一个小圆且面积为，则线段的长度是__________. 2. 如图，一水平放置的三角形的直观图是，且的面积为3，则原三角形的面积为__________. 3. 如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为_______. 4. 如图，在正方体中，二面角的大小是______. 5. 如图，在正四棱锥中，，直线与平面所成角为，则该正四棱锥的高是______ 6. 若球的体积是，则球的表面积是______. 7. 在正四面体中，棱与所成角大小为________. 8. 如图，平面.正方形的边长为，，则到平面的距离是__________. 9. 如图，在棱长为1的正方体中，是棱的中点，为棱上一个点，若，则__________. 10. 已知圆柱底面半径为1，高为2，是上底面圆的一条直径，为下底面圆的一条动弦且与平行，设与的距离为，则的取值范围是______. 11. 在正方体中，E，F分别为CD，的中点，则以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为____________. 12. 如图，对于一个给定的四面体.存在四个依次排列且互相平行的平面、、、，使得.且其中每相邻的两个平面间的距离都相等.记四面体夹在平面与之间的体积为，则__________. 二.选择题（13-14每题4分，15-16每题5分） 13. 若是平面与平面的交线，直线和是异面直线，在平面内，在平面内，则下列命题正确的是（ ） A. 至少与、中的一条相交 B. 与、都相交 C. 至多与、中的一条相交 D. 与、都不相交 14. 如图，在三棱锥中，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，经过、、的截面一定是（ ） A. 三角形 B. 矩形 C. 梯形 D. 平行四边形 15. 定义：通过小时内降水在平地上的积水厚度（）来判断降雨程度；其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（）；小明用一个圆锥形容器（如图）接了小时的雨水，则这天降雨属于哪个等级（ ） A. 小雨 B. 中雨 C. 大雨 D. 暴雨 16. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线（ ） A. 不存在 B. 有且只有两条 C. 有且只有三条 D. 有无数条 三.解答题（14+14+14+18+18） 17. 如图，在长方体中，、分别是棱、的中点，，. （1）求直线与平面所成的角的大小； （2）求直线与直线所成的角的大小. 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面，，为的中点. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的大小. 19. 如图，是圆柱下底面的直径且长度为，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点. （1）求圆柱的侧面积和体积； （2）若，点在线段上，点在线段上，求的最小值，并求此时的长. 20. 如图，已知是底面边长为2的正四棱柱，为与的交点，为与的交点． （1）证明：平面； （2）若点到平面的距离为，求正四棱柱的高； （3）若线段上存在点，使得直线与平面所成角为，求线段的取值范围． 21. 如图，是底面边长为1的正三棱锥，、、分别为棱、、上的动点，截面底面，且棱台与棱锥的棱长和相等.（注：棱长和是指多面体中所有棱的长度之和） （1）当为棱的中点时，求棱台的体积； （2）求在二面角的变化过程中，线段在平面上投影所扫过的平面区域的面积； （3）设常数，称较小内角为的菱形为-菱形.当点在棱上运动（不含端点）时，总存在底面为-菱形的直平行六面体，使得它与棱台有相同的体积，也有相同的棱长和，求的取值范围. 控江中学2024学年高二第一学期期中考试 数学学科试卷 考生注意：本卷共21道题，满分150分，考试时间120分钟. 一.填空题（1-6每题4分，7-12每题5分） 【1题答案】 【答案】3 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】##0.5 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】12 【12题答案】 【答案】##0.5 二.选择题（13-14每题4分，15-16每题5分） 【13题答案】 【答案】A 【14题答案】 【答案】D 【15题答案】 【答案】B 【16题答案】 【答案】D 三.解答题（14+14+14+18+18） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1）证明：连接，因为底面是边长为2的菱形，， 所以为等边三角形， 又为的中点，故⊥， 因为平面，平面， 所以， 因为，平面， 所以⊥平面， 又平面， 所以平面平面； （2） 【19题答案】 【答案】（1）侧面积为；体积为 （2）； 【20题答案】 【答案】（1） 证明：连接， 因为是底面边长为2的正四棱柱， 所以//， 故四边形为平行四边形，则，//， 又为与的交点，为与的交点， 所以，且， 故四边形为平行四边形， 所以，又平面，不在平面内， 所以平面； （2） （3）． 【21题答案】 【答案】（1） （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $