湖南省长沙市一中集团2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

题　　答　　要　　不　　内　　线　　封　　密 ________________　号　学________________　名　姓________________　级　班____________________　校　学 (这是边文，请据需要手工删加) 数学试题卷Y 第页(共8页)(这是边文，请据需要手工删加) 2024—2025学年度第一学期九年级期中考试 考试时间：2024年11月6日　14∶00－16∶00 注意事项： 1．答题前，请先将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚； 2．必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示； 4．请注意卷面，保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁； 5．答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本试卷时量120分钟，满分120分． 一、单项选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．长沙国庆期间的人流量统计显示，10月4日瞬时客流量达到158.4万人次，成为当天的峰值，这一数据反映了长沙在国庆假期中的旅游热度，尤其是红色旅游景区的人气高涨．将数据158.4万用科学记数法表示应为 A．158.4×104 B．15.84×105 C．1.584×106 D．1.584×107 2．使有意义的x的取值范围是 A．x＞2024 B．x＜－2024 C．x≤2024 D．x≥2024 3．下表是长沙市一中现代舞蹈社团20名成员的年龄分布统计表，数据不小心被撕掉一块，仍能够分析得出关于这20名成员年龄的统计量是 A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数 4．已知m是方程x2－x－1＝0的一个根，则代数式m2－m＋2024的值等于 A．2025 B．0 C．－2024 D．2023 5．已知x1，x2是一元二次方程x2－x－2＝0的两个根，则x1＋x2的值是 A．1 B．2 C．－1 D．－2 6．将抛物线y＝x2＋4x－1向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是 A．(－2，－5) B．(－4，－2) C．(0，－2) D．(－2，－4) 7．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝30°，AB＝4，CD的长为 A．2 B．2 C．4 D．4 8．已知抛物线y＝ax2＋bx－3(a<0)过点A(－2，y1)，B(－3，y2)，C(1，y2)，D(4，y3)四点，则y1，y2，y3的大小关系是 A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3 C．y1>y3>y2 D．y3>y2>y1 9．如图，已知长方形ABCD的边长AB＝10 cm，BC＝8 cm，点E在边AB上，AE＝4 cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2 cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则能够使△BPE与△CQP全等的时间t为 A．1 s B．1或4 s C．1或2 s D．2或4 s 10．如图，若点M是等边△ABC的边BC上任意一点，将△AMC绕点A顺时针旋转得到△ANB，连接MN，则下列结论：①AB⊥MN；②∠BMN＝30°；③MN＝AM；④BN∥AM，其中正确的个数有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分) 11．若方程(m＋1)x|m－1|＋2x－3＝0是关于x的一元二次方程，则m＝____． 12．如图，菱形OABC的顶点A、B、C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D.若⊙O的半径为5，则AD的长为 ________． 13．若关于x的一元二次方程ax2－x－＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，则点P(a＋1，－3－a)在第 ________象限． 14．直线y1＝ax与直线y2＝x＋b在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，关于x的不等式ax<x＋b的解集为 ________________________________________________________________________. 　　　　　,15题图) 15．如图，在以AA′为直径的半圆O中，作一个矩形OABC，再将矩形OABC绕点C顺时针旋转至矩形O′A′B′C，且O′在半圆上，则旋转角(小于360°)为 ________°. 16．感恩的心是一种生活态度，它能够提升我们的生活质量，让我们更加快乐和满足．如图是小双同学在学习二次函数时设计的“爱心”图案．“爱心”是在平面直角坐标系中，由二次函数y＝－x2＋2x＋5的图象与其关于直线y＝－x对称的图象所组成，若两图象相交于A，B，C，D四点，则四边形ABCD的面积为 ________． 三、解答题(本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．计算：－－1＋＋. 18．先化简：÷，再从－3，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 19．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交CB于点D，连接AD.若AC＝8，BC＝15. (1)求△ACD的周长； (2)在AB下方取点K，以D为圆心DK为半径画弧，交AB于点E和点F，求证：AE＝BF. 20．为了解长沙市九年级学生每周校外锻炼身体的时长t(单位：小时)的情况，在全市随机抽取部分九年级学生进行调查，按五个组别：A组(3≤t＜4)，B组(4≤t＜5)，C组(5≤t＜6)，D组(6≤t＜7)，E组(7≤t＜8)进行整理，绘制如图两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题： (1)这次抽样调查的总人数是 ________，扇形统计图中m＝________，A组所在扇形的圆心角的大小是 ________； (2)将频数分布直方图补充完整； (3)若长沙市共约有6万名九年级学生，请你估计全市每周校外锻炼身体时长不少于6小时的九年级学生人数． 21．如图，直线y＝－x＋2与y轴、x轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的另一个交点为A(－1，0)． (1)求二次函数的解析式； (2)点P为该二次函数的图象在第一象限上一点，当△BCP的面积最大时，求P点的坐标； (3)在(2)的条件下，在平面直角坐标系中找一点Q，当B、C、P、Q为顶点所构成的四边形是平行四边形时，直接写出Q的坐标． 22．湖南长沙是一个充满文化底蕴的城市，拥有着丰富的旅游特色纪念品．随着国庆小长假旅游旺季的到来，我市某店铺购进了一批旅游纪念品，“文创T恤”和“纪念湘绣”，进货价和销售价如表： 　　　　　纪念品 价　格　　　　　 文创T恤 纪念湘绣 进货价(元/个) 59 66 销售价(元/个) 79 88 (1)该店铺购进“文创T恤”和“纪念湘绣”共80件，且进货总价不高于4900元，若进货后能全部售出，则分别购进“文创T恤”和“纪念湘绣”多少件，才能获得最大销售利润？最大销售利润是多少？ (2)该店铺为了在国庆假期中尽快售完“文创T恤”，打算调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售8件，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每个多少元时，能使“文创T恤”平均每天销售利润为256元？ 23.如图，已知正方形ABCD，以顶点B为直角顶点的等腰Rt△BEF在正方形外部绕点B旋转． (1)如图1，连接AE与CF，在旋转过程中小语同学发现AE＝CF，请你帮小语同学完成证明过程； (2)如图2，若AB＝10，BE＝BF＝8，在旋转过程中， ①求点D与点E之间的最大距离； ②当∠BCE最大时，连接AF，求△ABF的面积． 24.在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点A(x，y)是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差y－x称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 例如：点A(1，3)在函数y＝2x＋1图象上，点A的“纵横值”为3－1＝2，函数y＝2x＋1图象上所有点的“纵横值”可以表示为y－x＝2x＋1－x＝x＋1，当3≤x≤6时，x＋1的最大值为6＋1＝7，所以函数y＝2x＋1(3≤x≤6)的“最优纵横值”为7. 根据定义，解答下列问题： (1)①点B(－5，1)的“纵横值”为 ________； ②函数y＝＋x(－3≤x≤－1)的“最优纵横值”为 ________； (2)若二次函数y＝－x2＋bx＋c图象的顶点在直线x＝上，且“最优纵横值”为3，求c的值； (3)若二次函数y＝－(x－h)2＋k图象的顶点在直线y＝x＋9上，当－1≤x≤4时，二次函数的“最优纵横值”为7，求h的值． 25.已知⊙O是△ACD的外接圆，点D是的中点， (1)如图1，连接OD交AC于点E，过点A作CO的垂线交CO延长线于点F.设∠DAC＝α，∠FAC＝β，请用含α的代数式表示β； (2)如图2，过点C作BC⊥AC，交弦AD的延长线于点B. ①求证：AD＝BD； ②若⊙O的半径为4，AD＝5，求BC的值； (3)如图3，若是半圆，点P是⊙O上的动点，且点D，P分别位于AC的两侧，作△APD关于AD的轴对称图形△AQD，连接CQ，试探究CQ2，DQ2，AQ2三者之间满足的数量关系，并证明所得到的结论． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学参考答案Y－(这是边文，请据需要手工删加) 2024—2025学年度第一学期九年级期中考试 数学参考答案 一、选择题(每小题3分，共30分，每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C A A B B A C A 1.C　【解析】158.4万＝1.584×106，故选：C. 2．D　【解析】由题可知，x－2024≥0，解得x≥2024.故选：D. 3．C　【解析】由于17岁和18岁的人数不确定，所以平均数、方差和众数就不确定， 因为该组数据有20个，中位数为第10个和11个的平均数：＝16， 所以仍能够分析得出关于这20名成员年龄的统计量是中位数． 故选：C. 4．A　【解析】∵m是方程x2－x－1＝0的一个根， ∴m2－m－1＝0， ∴m2－m＝1， ∴m2－m＋2024＝1＋2024＝2025. 故选：A. 5．A　【解析】在一元二次方程x2－x－2＝0中，a＝1，b＝－1， 则x1＋x2＝－＝－＝1. 故选：A. 6．B　【解析】由题意，∵抛物线为y＝x2＋4x－1＝(x＋2)2－5， 又由抛物线的变化规律“上加下减，左加右减”， ∴向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，可得新抛物线为y＝(x＋2＋2)2－5＋3， 即y＝(x＋4)2－2. ∴此时顶点坐标为(－4，－2)． 故选：B. 7．B　【解析】连接OC，由圆周角定理得：∠BOC＝2∠A＝60°， ∵⊙O的直径AB＝4， ∴OC＝AB＝2， ∵AB⊥CD， ∴CE＝DE＝CD，∠OCE＝30°， ∴OE＝OC＝1，CE＝OE＝， ∴CD＝2CE＝2. 故选：B. 8．A　【解析】由题意，∵抛物线过B(－3，y2)，C(1，y2)， ∴抛物线的对称轴是直线x＝＝－1. 又∵a＜0， ∴抛物线开口向下． ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大． 又∵|－2－(－1)|＝1＜|－3－(－1)|＝2＜|4－(－1)|＝5， ∴y1＞y2＞y3. 故选：A. 9．C　【解析】分两种情况： ①当EB＝PC，BP＝QC时，△BPE≌△CQP， ∵AB＝10 cm，AE＝4 cm， ∴EB＝6 cm， ∴PC＝6 cm， ∵BC＝8 cm， ∴BP＝2 cm， ∵点P从点B出发在线段BC上以2 cm/s的速度向点C运动， ∴t＝2÷2＝1(s)； ②当BP＝CP，BE＝QC时，△BEP≌△CQP， 由题意得：2t＝8－2t， 解得：t＝2(s)， 故选：C. 10．A　【解析】设AB交MN于点D， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠CAB＝∠ABC＝∠C＝60°， ∵将△AMC绕点A顺时针旋转得到△ANB， ∴△AMC≌△ANB，AN＝AM，∠BAN＝∠CAM， ∴∠ABN＝∠C＝60°，∠MAN＝∠BAN＋∠BAM＝∠CAM＋∠BAM＝∠CAB＝60°， ∴△AMN是等边三角形， ∴MN＝AM，∠AMN＝60°， 故③正确； 若AB⊥MN，则∠ADM＝90°， ∴∠BAM＝30°，与点M是边BC上任意一点这一条件不符， ∴AB与MN不一定垂直， 故①错误； 若∠BMN＝30°，则∠AMB＝∠BMN＋∠AMN＝90°， ∴AM⊥BC，与点M是边BC上任意一点这一条件不符， ∴∠BMN不一定等于30°， 故②错误； ∵∠ABN＝∠CAB＝60°， ∴BN∥AC， ∴BN与AM不一定平行， 故④错误， 故选：A. 二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分) 11．3　【解析】由题意得|m－1|＝2， ∴m－1＝±2， 解得m＝3或m＝－1， ∵m＋1≠0，即m≠－1， ∴m＝3， 故答案为：3. 12．5　【解析】连接OB， ∵四边形OABC是菱形， ∴OA＝AB， ∵OA＝OB， ∴OA＝AB＝OB， ∴△AOB为等边三角形， ∴∠AOB＝60°， ∵BD是⊙O的切线， ∴∠DBO＝90°， ∵OB＝5， ∴OD＝2OB＝10， ∴AD＝OD－OA＝5， 故答案为：5. 13．四　【解析】∵关于x的方程ax2－x－＝0(a≠0)有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0，即(－1)2－4a×＞0， ∴a＞－1， ∴a＋1＞0，－3－a＜0， ∴P(a＋1，－3－a)在第四象限， 故答案为：四． 14．x＞－2　【解析】由图可知：两条直线的交点横坐标为－2， 由ax＜x＋b知，直线y1在直线y2的下方， ∵当x＞－2时，直线l1在直线l2的下方， ∴关于x的不等式ax＜x＋b的解集为x＞－2. 故答案为：x＞－2. 15．120　【解析】连接OO′， 由旋转的性质得：O′A′＝OA，O′C＝OC， ∵AA′为半圆O的直径，点O为圆心， ∴OA＝OA′＝OO′， ∴OA′＝OO′＝O′A′， ∴△OA′O′为等边三角形， ∴∠A′OO′＝60°， ∵四边形OABC为矩形， ∴∠AOC＝∠A′OC＝90°， ∴∠O′OC＝∠A′OC－∠A′OO′＝30°， ∵O′C＝OC， ∴∠OO′C＝∠O′OC＝30°， ∴∠OCO′＝180°－(∠OO′C＋∠O′OC)＝120°， ∴旋转角为120°. 故答案为：120. 16．5【解析】由题意，联立方程组 解得或 ∴A，C. ∴AC＝＝. 分别连接AB、BC、CD、AD和BD. 设D(a，b)， ∵点B、D关于直线y＝－x对称， ∴B(－b，－a)，AC⊥BD. 将D(a，b)，B(－b，－a)代入抛物线y＝－x2＋2x＋5， ∴ ∴②－①得，a2－b2－2b－2a＝－a－b. ∴(a＋b)(a－b－1)＝0. ∵a＋b≠0， ∴a－b－1＝0. ∴b＝a－1. 将b＝a－1代入①得－a2＋2a＋5＝a－1. ∴a＝3或a＝－2(舍去)． ∴D(3，2)，B(－2，－3)． ∴BD＝＝5. ∵AC⊥BD， ∴S＝AC·BD＝××5＝5. 故答案为：5. 三、解答题 17．【解析】原式＝1－＋－1＋.(4分) ＝(6分) 18．【解析】原式＝· ＝，(4分) 根据题意，当x＝2时，原式＝＝2.(6分) 19．【解析】(1)根据题意可得：AD＝BD， ∵C△ACD＝AC＋CD＋AD， ∴C△ACD＝AC＋CD＋BD＝AC＋CB， ∵AC＝8，CB＝15， ∴C△ACD＝AC＋CB＝8＋15＝23.(3分) (2)设MN交AB于点O， 根据作图可得：AO＝BO，EO＝FO， ∴AO－EO＝BO－FO， 即：AE＝BF.(6分) 20．【解析】(1)这次抽样调查的样本容量是100÷20%＝500， 所以C组的百分比为160÷500＝32%， A组所在扇形的圆心角的大小是360°×＝36°， 故答案为：500，32，36°.(3分) (2)D组人数为500－(50＋100＋160＋40)＝150(人)， 补全图形如下： (5分) (3)60000×＝22800(名)．(7分) 答：估计该市每周校外锻炼身体时长不少于6小时的九年级学生有22800名．(8分) 21．【解析】(1)∵直线y＝－x＋2与y轴、x轴分别交于点B、点C， ∴B(0，2)，C(4，0)， 将A(－1，0)，B(0，2)，C(4，0)代入y＝ax2＋bx＋c， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋2.(2分) (2)∵直线BC的解析式为y＝－x＋2， 过P点作PQ∥y轴交BC于点Q， 设P，则Q， ∴PQ＝－t2＋t＋2＋t－2＝－t2＋2t， ∴S△BCP＝×4×＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4， 当t＝2时，△BCP的面积最大，此时P(2，3)．(5分) (3)设Q(m，n)， ①当BC为平行四边形的对角线时：m＝0＋4－2＝2，n＝2＋0－3＝－1，故Q1(2，－1)； ②当BP为平行四边形的对角线时：m＝0＋2－4＝－2，n＝2＋3－0＝5，故Q1(－2，5)； ③当PC为平行四边形的对角线时：m＝2＋4－0＝6，n＝3＋0－2＝1，故Q1(6，1)， 综上所述：P点坐标为(2，－1)或(－2，5)或(6，1)．(8分) 22．【解析】(1)设购进x个“文创T恤”，则购进(80－x)个“纪念湘绣”， 依题意得：59x＋66(80－x)≤4900， 解得：x≥54(x为正整数且x≤79)， 设全部售出后获得的总利润为w元， 则w＝(79－59)x＋(88－66)(80－x)＝－2x＋1760， ∵－2＜0， ∴w随x的增大而减小， ∵x为正整数， ∴当x＝55时，w取得最大值，最大值为－2×55＋1760＝1650(元)， 此时80－x＝80－55＝25(个)．(4分) 答：分别购进“文创T恤”55个，“纪念湘绣”25个，才能获得最大销售利润，最大销售利润是1650元． (2)设每个降价m元，销售价定为每个(79－m)元，则每个的销售利润为(79－m－59)元，平均每天可售出(8＋2m)个， 根据题意得：(79－m－59)(8＋2m)＝256， 整理得：m2－16m＋48＝0， 解得：m1＝12，m2＝4， ∵该店铺要在国庆假期中尽快售完“文创T恤”， ∴m＝12， ∴79－m＝79－12＝67(元)． 答：销售价定为每个67元时，能使“文创T恤”平均每天销售利润为256元．(9分) 23．【解析】(1)∵∠ABC＝∠EBF＝90°， ∴∠ABC＋∠CBE＝∠EBF＋∠CBE， 即：∠ABE＝∠CBF， 在△ABE和△CBF中， ∴△ABE≌△CBF(SAS)， ∴AE＝CF.(3分) (2)如图，连接DE，DB， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BD＝AB＝10， ∵BE＝BF＝8， ∴点E在以点B为圆心，BE为半径的圆上运动， ∴当点E在线段DB的延长线上时，DE有最大值， ∴点D与点E之间的最大距离为10＋8.(6分) (3)如图，过点E作EH⊥BC于H，过点F作FN⊥直线AB于N， ∵点E在以点B为圆心，BE为半径的圆上运动， ∴当CE与⊙B相切时，∠BCE最大， ∴∠CEB＝90°， ∴CE＝＝＝6， ∵S△BCE＝BC·EH＝BE·CE， ∴10·HE＝6×8， ∴HE＝， ∵EH⊥BC，FN⊥AB， ∴∠EHB＝90°＝∠FNB＝∠EBF， ∴∠HBE＋∠EBN＝90°＝∠EBN＋∠FBN， ∴∠HBE＝∠FBN， 又∵BE＝BF， ∴△BEH≌△BFN(AAS)， ∴EH＝FN＝， ∴S△ABF＝×AB·FN＝×10×＝24.(9分) 24．【解析】(1)①点B(－5，1)的“纵横值”为1－(－5)＝6， 故答案为：6；(1分) ②∵y＝＋x， ∴y－x＝＋x－x＝， ∵－3≤x≤－1， ∴x＝－3时，y－x取最大值－1， ∴函数y＝＋x(－3≤x≤－1)的“最优纵横值”为－1； 故答案为：－1.(3分) (2)∵二次函数y＝－x2＋bx＋c的顶点在直线x＝上， ∴－＝， ∴b＝5， ∴y＝－x2＋5x＋c， ∴y－x＝－x2＋5x＋c－x＝－x2＋4x＋c＝－(x－2)2＋4＋c， ∵“最优纵横值”为3， ∴4＋c＝3， ∴c＝－1.(6分) (3)∵二次函数y＝－(x－h)2＋k的顶点在直线y＝x＋9上， ∴k＝h＋9， ∴y＝－(x－h)2＋h＋9， ∴y－x＝－(x－h)2＋h＋9－x＝－2＋， ∵当－1≤x≤4时，二次函数的“最优纵横值”为7， 若－1≤h－≤4，即－≤h≤，则x＝h－时，y－x有最大值＞7，不符合题意； 若h－＞4，即h＞，则x＝4时，y－x有最大值为7， ∴－2＋＝7， 解得h＝6或h＝3(舍去)； 若h－＜－1，即h＜－，则x＝－1时，y－x有最大值为7， ∴－＋＝7， 解得h＝－2或h＝1(舍去)． 故h的值为－2或6.(10分) 25．【解析】(1)∵点D是的中点， ∴OD⊥AC， 又∵CF⊥AF， ∴∠FAC＝90°－∠ACF＝∠COD， ∵∠COD＝2∠DAC， ∴∠FAC＝2∠DAC， 即：β＝2α.(2分) (2)①∵点D是的中点， ∴＝，AD＝DC， ∴∠BAC＝∠DCA， ∵∠ACB＝90°， ∴∠DCA＋∠BCD＝90°＝∠BAC＋∠B， ∴∠BCD＝∠B， ∴CD＝BD， ∴AD＝BD.(4分) ②连接OA，OD，如图， ∵点D是的中点， ∴＝， ∴OD⊥AC且AH＝CH. ∵⊙O的半径为4， ∴OA＝OD＝4. 设DH＝x，则OH＝4－x， ∵AH2＝OA2－OH2， AH2＝AD2－DH2， ∴52－x2＝42－(4－x)2. 解得：x＝. ∴DH＝. 由①知：BC⊥AC， ∵OD⊥AC， ∴OD∥BC. ∵AH＝CH，AD＝BD， ∴DH是△ABC的中位线， ∴BC＝2DH＝.(7分) (3)以D为直角顶点，作∠QDG＝90°，且使DG＝DQ，连接AG，QG， ∴△QDG为等腰直角三角形， ∴QD＝DG，QG2＝2QD2，∠DQG＝45°， ∵AC为⊙O的直径， ∴∠ADC＝90°＝∠QDG， ∴∠ADG＝∠CDQ， 又∵AD＝DC， 在△ADG和△CDQ中， ∴△ADG≌△CDQ(SAS)， ∴AG＝CQ， ∴AG2＝CQ2， ∴D为的中点， ∴∠P＝45°， 由折叠知：∠AQD＝∠P＝45°， ∴∠AQG＝∠AQD＋∠DQG＝90°， ∴AG2＝QG2＋AQ2， ∴CQ2＝2DQ2＋AQ2.(10分) 学科网（北京）股份有限公司 $$