第30讲 勾股定理（第1课时）(六类知识点+九大题型+强化训练)-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（沪教版）

第30讲 勾股定理（第1课时）（九大题型） 学习目标 1、 了解勾股定理的内容并学会应用； 2、 掌握勾股定理的证明方法； 3、 知道勾股定理的逆定理；勾股数等概念。 一、勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 要点： （1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式： ，， . 二、勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　　　 图（1）中，所以. 　　　　　 　　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　　　　 　　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　　 　　　　 ，所以. 三、勾股定理的作用 1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 用于解决带有平方关系的证明问题； 2. 利用勾股定理，作出长为的线段. 四、勾股定理的逆定理 如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 要点：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 五、如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 要点：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 六、勾股数 满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 1 熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　 2 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41…… 如果()是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 要点：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长； （2）（是自然数）是直角三角形的三条边长； （3） （是自然数）是直角三角形的三条边长； 【即学即练1】如图，在中，，，，求的长是（    ） A．5 B．8 C．4 D．7 【即学即练2】在中，已知两边长为5和12，则第三边的长为（    ） A．13 B． C．13或 D．9 【即学即练3】在下列各组数中，是勾股数的一组是（   ） A．0.3，0.4，0.5 B．6，8，10 C．，，1 D．1，2，3 【即学即练4】在中，若其三条边的长度分别为、、，则这个三角形的面积是 ． 【即学即练5】如图，在中，，垂足为是边上的中线，，则的长是 ． 题型1：利用勾股定理求解 【典例1】．已知一个直角三角形的两边长分别为和，则第三边长是（    ） A． B． C． D．或 【典例2】．已知一直角三角形的木版，三边的平方和为1800，则斜边长为（    ） A．80 B．30 C．90 D．120 【典例3】．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则的值为（　　） A．24 B．18 C．12 D．9 【典例4】．下列说法正确的是（    ） A．若，，是的三边，则 B．若，，是的三边，则 C．若，，是的三边，，则 D．若，，是的三边，，则 题型2：勾股定理在三角形中的应用 【典例5】．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则点C到AB的距离是（　　） A． B． C． D． 【典例6】．中，，，，于D，则_________，_________，_________，_________，_________． 题型3：验证勾股定理 【典例7】．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“勾股方圆图”（又称赵爽弦图），它是由四个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积为11，小正方形的面积为3，则的值为（    ） A．68 B．89 C．119 D．130 【典例8】．如图，图中的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形，其中正方形的面积分别记为A，B，C，D，则它们之间的关系为（    ） A． B． C． D．以上都不对 【典例9】．如图，在四边形ABDE中，，，点C是边BD上一点，，，．下列结论：①；②90°；③四边形ABDE的面积是；④；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【典例10】．下面图形能够验证勾股定理的有（　　）个 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型4：勾股数 能否构成直角三角形的条件 【典例11】．下列各组数中，是勾股数的是(      ) A．3，4，7 B．0.5，1.2，1.4 C．9，12，15 D． 【典例12】．下列给出的四组数中，能构成直角三角形三边的一组是（　　） A．5，12，14 B．6，8，9 C．7，24，25 D．8，13，15 【典例13】．由下列条件不能判定为直角三角形的是（　　） A． B．，， C． D． 【典例14】．在下列四组数中，属于勾股数的是（　　） A．0.3，0.4，0.5 B．3，4，5 C．2，8，10 D．1，， 【典例15】．下列各组数中，是勾股数的是（    ）． A．1，2，3 B． C． D．9，12，15 题型5：勾股定理的逆定理 【典例16】．下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（    ） A．三内角之比为1∶2∶3 B．三边长的平方之比为1∶2∶3 C．三边长之比为3∶4∶5 D．三内角之比为3∶4∶5 【典例17】．在中，、、的对边分别为、、，下列条件中，能判断是直角三角形的有（    ）个． ①，，；    ②；③；④，，． A．1 B．2 C．3 D．4 【典例18】．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（    ） A．如果a2=b2−c2，那么△ABC是直角三角形且∠A=90° B．如果∠A:∠B:∠C=1:2:3，那么△ABC是直角三角形 C．如果，那么△ABC是直角三角形 D．如果，那么△ABC是直角三角形 【典例19】．下列各组线段中的三个长度：①9，12，15；②7，24，25；③32，42，52；④3a，4a，5a（a＞0）；⑤m2﹣n2，2mn，m2+n2（m，n为正整数，且m＞n）其中可以构成直角三角形的有（　　） A．5组 B．4组 C．3组 D．2组 【典例20】．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 题型6：解答题 【典例21】．（1）如图，在中，，求证：； （）在中，，，边上的高，求边的值． 【典例22】．如图，已知等腰的底边，是腰上一点，连接，且．    (1)求证：是直角三角形； (2)求的长． 【典例23】．如图，已知在中，于点D，，，， (1)求、的长； (2)求证：是直角三角形． 【典例24】．已知在中，，，，，过点作于点． (1)求的长； (2)求的长． 题型7：勾股定理的逆定理的应用 【典例25】．已知某开发区有一块四边形空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，∠CBD=90°，DB=5m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，问需要多少投入? 题型8：勾股定理的逆定理的网格问题 【典例26】．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，于点D，则AD的长为（    ） A．1 B．2 C． D． 【典例27】．如图，在单位为1的正方形网格图中有a，b，c，d四条线段，从中任取三条线段所构成的三角形中恰好是直角三角形的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型9：勾股定理的折叠问题 【典例28】．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm、BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（    ） A．4 cm B．4.75 cm C．6 cm D．5cm 【典例29】．如图，在△ABC纸片中，∠ABC=90°，将其折叠，使得点C与点A重合，折痕为DE，若AB=3cm，AC=5cm，则△ABE的周长为（     ） A．4 cm B．6 cm C．7 cm D．8 cm 【典例30】．如图，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则BD的长为（    ） A．2 B． C． D．4 一、单选题 1．已知一个直角三角形的两边长分别为和，则第三边长是（ ） A． B． C． D．或 2．在中，，a，b，c分别为的对边，若，，则c为(  ) A．26 B．18 C．20 D．21 3．下列说法正确的是（    ） A．若，，是的三边，则 B．若，，是的三边，则 C．若，，是的三边，，则 D．若，，是的三边，，则 4．下面四组数中是勾股数的有（   ） ①3，4，；②，，2；③12，16，20；④0.5，1.2，1.3. A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 5．如图，在四边形ABCD中，，，且，则BC为（    ） A．1 B． C． D． 6．如图所示的一块地，已知，，，，，则这块地的面积为（      ）． A． B． C． D． 7．如图，在的方格纸，每个小正方形边长均为1，已知点A，B在方格顶点上，则长为（    ） A． B． C．2 D． 8．如图，在ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝45°，若AC＝2，则ABC的面积是（    ） A． B．1+ C．2 D．2+ 9．已知ΔABC的三边分别长为a，b，c，且满足+|b-15|+-16c+64=0，则ΔABC是（    ） A．以a为斜边的直角三角形 B．以b为斜边的直角三角形 C．以c为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形 10．如图，正方形的边长为1，其面积为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为…，按此规律继续下去，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．在中，，若，，则 ． 12．的三边为a、b、c，若满足，则 ；若满足，则是 角；若满足，则是 角． 13．如图 中，，垂足为 ，若 ，，，则 的长是 ． 14．如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝9， AC＝17，则BC边上的高为 ． 15．如图所示，已知在中，，分别以， 为直径作半圆，面积分别记为，则的值等于 ． 16．如图，在中，，，平分，，，则的周长 ． 17．如图，将三边长分别为3，4，5的沿最长边翻转成，则的长 ． 18．如图，△ABC是边长6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上均速移动，它们的速度分别为Vp=2cm/s，VQ=1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t= s时，△PBQ为直角三角形． 三、解答题 19．如图，在四边形中，，，，，且．求的度数． 20．如图，在中、，，，．判断下列结论是否正确，并说明理由． (1)． (2)． 21．如图，在RtABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，AD为ABC角平分线，求CD的长度． 22．如图，在Rt中，，，，于． 求：（1）斜边的长； （2）高的长． 23．如图，四边形中，，，，．则的度数是多少度？说明理由． 24．如图，，，，，把沿折叠，点折叠到点，的延长线与射线交于点． （1）求的长； （2）求的面积． 25．我们根据图形的移、拼、补可以简单直观地推理验证数学规律和公式，这种方法称之为“无字证明”．下面是用三块全等的直角三角形移拼、补所形成的“无字证明”图形．已知直角三角形直角边长分别为、，斜边长为，图①、图②的面积相等，请你根据此图验证勾股定理． 图①的面积 ； 图②的面积 ； 26．问题背景： 在中，已知，求这个三角形的面积． 一名同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需，的高，而借用网格就能计算出它的面积． (1)请你直接写出的面积_________； 思维拓展： (2)我们把上述求面积的方法叫做构图法，若三边的长分别为，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的，并求出它的面积． 27．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，其中AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE． （1）如图①，连接BE、CD，求证：BE＝CD； （2）如图②，连接BD、CD，若∠BAC＝∠DAE＝60°，CD⊥AE，AD＝3，CD＝5，求BD的长； （3）如图③，若∠BAC＝∠DAE＝90°，且C点恰好落在DE上，试探究CD、CE和CA之间的数量关系，并加以说明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第30讲 勾股定理（第1课时）（九大题型） 学习目标 1、 了解勾股定理的内容并学会应用； 2、 掌握勾股定理的证明方法； 3、 知道勾股定理的逆定理；勾股数等概念。 一、勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 要点： （1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式： ，， . 二、勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　　　 图（1）中，所以. 　　　　　 　　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　　　　 　　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　　 　　　　 ，所以. 三、勾股定理的作用 1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 用于解决带有平方关系的证明问题； 2. 利用勾股定理，作出长为的线段. 四、勾股定理的逆定理 如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 要点：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 五、如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 要点：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 六、勾股数 满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 1 熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　 2 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41…… 如果()是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 要点：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长； （2）（是自然数）是直角三角形的三条边长； （3） （是自然数）是直角三角形的三条边长； 【即学即练1】如图，在中，，，，求的长是（   ） A．5 B．8 C．4 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理得到，代入计算即可得的值． 【解析】解：在中，， ， ∵，， ， （负值舍去）， 故选：B． 【即学即练2】在中，已知两边长为5和12，则第三边的长为（    ） A．13 B． C．13或 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，掌握分类讨论思想是解本题的关键．本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边12既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即12是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解． 【解析】解：当12是斜边时，第三边是； 当12是直角边时，第三边是． 故第三边长为或． 故选：C． 【即学即练3】在下列各组数中，是勾股数的一组是（   ） A．0.3，0.4，0.5 B．6，8，10 C．，，1 D．1，2，3 【答案】B 【分析】本题考查勾股数，根据三个正整数，满足两个较小数的平方和等于较大数的平方，则这三个数是勾股数，进行判断即可． 【解析】解：A、不是正整数，不是勾股数，不符合题意； B、，是勾股数，符合题意； C、，，不是正整数，不是勾股数，不符合题意； D、，不是勾股数，不符合题意； 故选B． 【即学即练4】在中，若其三条边的长度分别为、、，则这个三角形的面积是 ． 【答案】/0.5 【分析】利用勾股定理逆定理可判断出为直角三角形，然后再求面积即可． 【解析】解：∵， ∴ ∴为直角三角形且斜边为，两直角边都为， ∴这个三角形的面积是：． 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，判断一个三角形是不是直角三角形，必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． 【即学即练5】如图，在中，，垂足为是边上的中线，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，由题意得，根据即可求解． 【解析】解：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴ 故答案为： 题型1：利用勾股定理求解 【典例1】．已知一个直角三角形的两边长分别为和，则第三边长是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分为两种情况：斜边是有一条直角边是，和都是直角边，根据勾股定理求出即可． 【解析】解：如图， 分为两种情况：斜边是有一条直角边是， 由勾股定理得：第三边长是； 和都是直角边， 由勾股定理得：第三边长是； 即第三边长是或， 故选：D． 【点睛】本题考查了对勾股定理的应用，注意：在直角三角形中的两条直角边、的平方和等于斜边的平方． 【典例2】．已知一直角三角形的木版，三边的平方和为1800，则斜边长为（    ） A．80 B．30 C．90 D．120 【答案】B 【分析】设此直角三角形的斜边是c，两直角边分别为a，b，则，根据勾股定理可得，即可求解． 【解析】解：设此直角三角形的斜边是c，两直角边分别为a，b，则， 根据勾股定理得：， 所以， 解得或-30（舍去）， 即斜边长为30． 故选：B 【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握之间三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键． 【典例3】．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则的值为（　　） A．24 B．18 C．12 D．9 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出的值，再加上的值即可． 【解析】解：如图， 在Rt△ABC中， ， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，整体解答是解题的关键． 【典例4】．下列说法正确的是（    ） A．若，，是的三边，则 B．若，，是的三边，则 C．若，，是的三边，，则 D．若，，是的三边，，则 【答案】D 【分析】勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理依次进行判断即可． 【解析】解：A、当是直角三角形且时，，故此选项不符合题意； B、若，，是的三边，，则，故此选项不符合题意； C、若，，是的三边，，则，故此选项不符合题意； D、若，，是的三边，，则，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理，运用勾股定理的前提条件是在直角三角形中．理解和掌握勾股定理是解题的关键． 题型2：勾股定理在三角形中的应用 【典例5】．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则点C到AB的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用勾股定理得出AB的长，进而利用三角形面积求出CD的长． 【解析】解：如图所示：过点C作CD⊥AB于点D， ∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12， ∴AB=13， ∴×AC×BC=×CD×AB ∴5×12=13CD， 解得：CD=， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及三角形面积，熟练利用三角形面积求出是解题关键． 【典例6】．中，，，，于D，则_________，_________，_________，_________，_________． 【答案】     2          3     1     【分析】根据勾股定理可以求出AC，根据直角三角形的面积公式，S△ABC＝BC•AC＝AB•CD可以求出CD的长，再利用勾股定理即可求出BD、AD的长． 【解析】解：如图： 根据勾股定理AC2＝AB2−BC2＝16−12＝4， ∴AC＝2， 根据直角三角形的面积公式，S△ABC＝BC•AC＝AB•CD 即×2×4＝×4•CD， 解得CD＝， BD＝, AD＝AB−BD＝4−3＝1, S△ABC＝BC•AC＝×2×2＝2， 故答案为：2；；3；1；． 【点睛】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力以及直角三角形的面积计算． 题型3：验证勾股定理 【典例7】．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“勾股方圆图”（又称赵爽弦图），它是由四个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积为11，小正方形的面积为3，则的值为（    ） A．68 B．89 C．119 D．130 【答案】B 【分析】利用含a，b，c表示出大正方形和小正方形的面积，由两式相减可求得，再对利用完全平方公式进行变形即可求得答案． 【解析】解：大正方形的面积为：， 小正方形的面积为：， 由得， ，即， ， 故选B． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、已知等式的值求多项式的值的问题。正方形的面积公式，把多项式化为已知多项式形的形式是解题的关键． 【典例8】．如图，图中的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形，其中正方形的面积分别记为A，B，C，D，则它们之间的关系为（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】设正方形A、B、C、D的边长分别为a、b、c、d，根据勾股定理和正方形的面积公式可以得到结果． 【解析】解：如图，设正方形A、B、C、D的边长分别为a、b、c、d， ∵，， ∴， ∴A+B=C+D． 故选A． 【点睛】本题考查了勾股定理．勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，熟练掌握运用勾股定理是解题关键． 【典例9】．如图，在四边形ABDE中，，，点C是边BD上一点，，，．下列结论：①；②90°；③四边形ABDE的面积是；④；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据边边边证得，故①正确；可得∠DCE=∠BAC，从而得到∠DCE+∠ACB=90°，进而得到∠ACE=90°，故②正确；再根据梯形的面积公式可得四边形ABDE的面积是，故③错误；然后根据直角三角形ABC和直角三角形CDE的面积等于梯形ABDE的面积减去△ACE的面积，可得，故④错误；进而得到，即该图可以验证勾股定理．故⑤正确，即可求解． 【解析】解：∵，，． ∴，故①正确； ∴∠DCE=∠BAC， ∵， ∴∠B=90°， ∴∠BAC+∠ACB=90°， ∴∠DCE+∠ACB=90°， ∴∠ACE=90°，故②正确； ∵，， ∴DE⊥BD， ∴四边形ABDE的面积是，故③错误； 根据题意得：直角三角形ABC和直角三角形CDE的面积等于梯形ABDE的面积减去△ACE的面积， ∴，故④错误； ∴， ∴， ∴，即该图可以验证勾股定理．故⑤正确； ∴正确的有3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的证明，垂直的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 【典例10】．下面图形能够验证勾股定理的有（　　）个 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】分别计算图形的面积进行证明即可． 【解析】解：A、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理； B、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理； C、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理； D、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理； 故选：A． 【点睛】此题考查了图形与勾股定理的推导，熟记勾股定理的计算公式及各种图形面积的计算方法是解题的关键． 题型4：勾股数 能否构成直角三角形的条件 【典例11】．下列各组数中，是勾股数的是(      ) A．3，4，7 B．0.5，1.2，1.4 C．9，12，15 D． 【答案】C 【分析】判断每组数是否是勾股数，只需要判断两个较小的数的平方的和是否等于较大的数的平方即可． 【解析】解：A、，不是勾股数，不符合题意； B、，不是勾股数，不符合题意； C、，是勾股数，符合题意； D、，不是勾股数，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了勾股数，熟知勾股数的定义是解题的关键． 【典例12】．下列给出的四组数中，能构成直角三角形三边的一组是（　　） A．5，12，14 B．6，8，9 C．7，24，25 D．8，13，15 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理逐项验证即可得到答案． 【解析】A、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； B、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； C、，能构成直角三角形，故此选项符合题意； D、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理计算三角形两边的平方和是否等于第三边的平方是解决问题的关键． 【典例13】．由下列条件不能判定为直角三角形的是（　　） A． B．，， C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和及即可判断A，根据勾股定理逆定理即可判断B，根据平方差公式及勾股定理逆定理即可判断C，根据三角形内角和及即可得到答案． 【解析】解：∵，， ∴， ∴为直角三角形，故A不符合题意； ∵， ∴不能判定三角形为直角三角形，故B符合题意； ∵， ∴为直角三角形，故C符合题意； ∵，， ∴， ∴为直角三角形，故D符合题意， 故选B． 【点睛】本题考查三角形内角和定理及勾股定理逆定理，解题的关键是熟练掌握直角三角形边角关系． 【典例14】．在下列四组数中，属于勾股数的是（　　） A．0.3，0.4，0.5 B．3，4，5 C．2，8，10 D．1，， 【答案】B 【分析】利用勾股数的定义进行分析即可． 【解析】解：A．0.3，0.4，0.5不是整数，不是勾股数，不符合题意； B．， 、4、5是勾股数，符合题意； C．， ，8，10不是勾股数，不符合题意； D．，，均不是整数， ，，不是勾股数，不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了勾股数，关键是掌握满足的三个正整数，称为勾股数． 【典例15】．下列各组数中，是勾股数的是（    ）． A．1，2，3 B． C． D．9，12，15 【答案】D 【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【解析】解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意； B、22+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故不符合题意； C、（）2+（）2＝（）2，能构成直角三角形，但不是整数、故不符合题意； D、92+122=152，能构成直角三角形且是整数，是勾股数，故符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股数的定义及勾股定理的逆定理，已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形． 题型5：勾股定理的逆定理 【典例16】．下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（    ） A．三内角之比为1∶2∶3 B．三边长的平方之比为1∶2∶3 C．三边长之比为3∶4∶5 D．三内角之比为3∶4∶5 【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理判定是否为直角三角形． 【解析】A、设三个内角的度数为，，根据三角形内角和公式，求得，所以各角分别为30°，60°，90°，故此三角形是直角三角形； B、三边符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形； C、设三条边为，，，则有，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形； D、设三个内角的度数为，，，根据三角形内角和公式，求得，所以各角分别为45°，60°，75°，所以此三角形不是直角三角形； 故选D． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理和勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 【典例17】．在中，、、的对边分别为、、，下列条件中，能判断是直角三角形的有（    ）个． ①，，；    ②；③；④，，． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用勾股定理的逆定理可以判断①④；根据即可推出即可判断②；利用三角形内角和等于180度，即可求出∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，即可判断③． 【解析】解：∵在中，、、的对边分别为、、， ∴当，，时，， ∴此时△ABC是直角三角形，故①正确； ∵， ∴即， ∴此时△ABC是直角三角形，故②正确； ∵，∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°， ∴此时△ABC是直角三角形，故③正确； ∵，，， ∴，，， ∴此时△ABC是直角三角形，故④正确； 故选D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理的逆定理． 【典例18】．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（    ） A．如果a2=b2−c2，那么△ABC是直角三角形且∠A=90° B．如果∠A:∠B:∠C=1:2:3，那么△ABC是直角三角形 C．如果，那么△ABC是直角三角形 D．如果，那么△ABC是直角三角形 【答案】A 【分析】根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可． 【解析】解：A、如果 a2=b2-c2，即b2=a2+c2，那么△ABC 是直角三角形且∠B=90°，选项错误，符合题意； B、如果∠A：∠B：∠C=1：2：3，由∠A+∠B+∠C=180°，可得∠A=90°，那么△ABC 是直角三角形，选项正确，不符合题意； C、如果 a2：b2：c2=9：16：25，满足a2+b2=c2，那么△ABC 是直角三角形，选项正确，不符合题意； D、如果∠A-∠B=∠C，由∠A+∠B+∠C=180°，可得∠A=90°，那么△ABC 是直角三角形，选项正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查的是直角三角形的判定和勾股定理的逆定理的应用，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形． 【典例19】．下列各组线段中的三个长度：①9，12，15；②7，24，25；③32，42，52；④3a，4a，5a（a＞0）；⑤m2﹣n2，2mn，m2+n2（m，n为正整数，且m＞n）其中可以构成直角三角形的有（　　） A．5组 B．4组 C．3组 D．2组 【答案】B 【分析】根据勾股定理的逆定理知，当三角形的三边关系为：a2+b2=c2时，它是直角三角形，由此可解出本题． 【解析】①中有92+122=152，可以构成直角三角形； ②中有72+242=252，可以构成直角三角形； ③中(32)2+(42)2≠(52)2，不构成直角三角形； ④中有(3a)2+(4a)2=(5a)2，可以构成直角三角形； ⑤中有(−n2)2+(2mn)2=(m2+n2)2，可以构成直角三角形； 所以可以构成4组直角三角形. 故选B. 【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理的应用，只要计算出两数的平方和等于第三个数的平方即可． 【典例20】．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【解析】解：A、，，，故A不正确，不符合题意； B、，，故B不正确，不符合题意； C、，，故C正确，符合题意； D、，，故D不正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 题型6：解答题 【典例21】．（1）如图，在中，，求证：； （）在中，，，边上的高，求边的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理证明即可； （2）利用勾股定理求解即可． 【解析】解：（）在，中，根据勾股定理得： ，， ∴， ∴； （）在，中，根据勾股定理得： ， ， ∴． 【典例22】．如图，已知等腰的底边，是腰上一点，连接，且．    (1)求证：是直角三角形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行判断即可得到答案； （2）设，根据等腰三角形的性质可得，在直角三角形中，由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【解析】（1）证明：， ，， 即 为直角三角形； （2）解：设， 是等腰三角形， ． 为直角三角形， 为直角三角形， ， 即， 解得：， 故的长为：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理． 【典例23】．如图，已知在中，于点D，，，， (1)求、的长； (2)求证：是直角三角形． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）在中，利用勾股定理求得的长，然后在中，再利用勾股定理求得的长，根据即可求解； （2）利用勾股定理的逆定理即可判断． 【解析】（1）解：∵在中，，， ， 在中，，， ． ． （2）证明：，，， ，， ， 是直角三角形． 【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，正确理解定理的内容是关键． 【典例24】．已知在中，，，，，过点作于点． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理； （1）中，由勾股定理得，进而根据，即可求解； （2）根据等面积法，即可求解． 【解析】（1）解：，，， 中，由勾股定理得：， ． （2）， ， ， ． 题型7：勾股定理的逆定理的应用 【典例25】．已知某开发区有一块四边形空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，∠CBD=90°，DB=5m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，问需要多少投入? 【答案】需要投入资金为7200元 【分析】仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果，连接BD，在直角三角形CBD中由勾股定理可求BC的长，在直角三角形ABD中可求得BA的长，由此看，四边形ABCD由Rt△ABD和Rt△DBC构成，则容易求解． 【解析】证明：连接BD ∵∠A=90°，∠CBD=90°， ∴△CBD，△ABD为直角三角形， 在Rt△CBD中， BC2 = CD2- BD2 ∴m 在△ABD中，AB2 =BD2-AD2 ∴AB=m ∴四边形ABCD面积 = S△BAD十S∆DBC=∙AD∙AB+∙DB∙ BC=m2， 36×200=7200（元） 所以需要投入资金为7200元． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，得出△CBD，△ABD为直角三角形，用勾股定理求出BC，AB的长是解题的关键． 题型8：勾股定理的逆定理的网格问题 【典例26】．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，于点D，则AD的长为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理计算BC的长，再利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论． 【解析】解：由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键． 【典例27】．如图，在单位为1的正方形网格图中有a，b，c，d四条线段，从中任取三条线段所构成的三角形中恰好是直角三角形的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据图形和勾股定理可以求得a，b，c，d四条线段的长，然后根据勾股定理的逆定理，即可得到构成直角三角形的个数． 【解析】解：由图可得， 线段a，b，c，d的长度分别为：，，，， ∴， ∴从a，b，c，d四条线段中任取三条线段所构成的三角形中恰好是直角三角形的个数为2， 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理和勾股定理的逆定理解答． 题型9：勾股定理的折叠问题 【典例28】．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm、BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（    ） A．4 cm B．4.75 cm C．6 cm D．5cm 【答案】D 【分析】根据勾股定理可求出AB的长，由AB的长度可求出BE的长度． 【解析】解：∵AC＝6 cm、BC＝8 cm， 在△ABC中，由勾股定理可知：=10， ∵将△ABC折叠，使点B与点A重合， 故E为AB的中点， ∴AE=BE=5， 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，折叠变换，能够熟练应用勾股定理是解决本题的关键． 【典例29】．如图，在△ABC纸片中，∠ABC=90°，将其折叠，使得点C与点A重合，折痕为DE，若AB=3cm，AC=5cm，则△ABE的周长为（     ） A．4 cm B．6 cm C．7 cm D．8 cm 【答案】C 【分析】先利用勾股定理求出BC，利用折叠得出AE=CE，然后△ABE的周长转化为AB+BC即可． 【解析】解：△ABC纸片中，∵∠ABC=90°，AB=3cm，AC=5cm， ∴BC=cm， ∵△DEC沿DE折叠得到△ADE， ∴AE=CE， ∴△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC=3+4=7cm． 故选C． 【点睛】本题考查勾股定理，折叠轴对称性质，三角形周长，掌握勾股定理，折叠轴对称性质，三角形周长是解题关键． 【典例30】．如图，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则BD的长为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出AB的长，利用翻折得到AE=AB=10，DE=BD，求出CE，由勾股定理得到，列得，求出BD． 【解析】解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴， 由翻折得AE=AB=10，DE=BD， ∴CE=AE-AC=10-8=2， 在Rt△CED中，， ∴， 解得BD=， 故选：B． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，翻折的性质，熟记勾股定理的计算公式是解题的关键． 一、单选题 1．已知一个直角三角形的两边长分别为和，则第三边长是（ ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分为两种情况：斜边是有一条直角边是，和都是直角边，根据勾股定理求出即可． 【解析】解：如图， 分为两种情况：斜边是有一条直角边是， 由勾股定理得：第三边长是； 和都是直角边， 由勾股定理得：第三边长是； 即第三边长是或， 故选：D． 【点睛】本题考查了对勾股定理的应用，注意：在直角三角形中的两条直角边、的平方和等于斜边的平方． 2．在中，，a，b，c分别为的对边，若，，则c为(  ) A．26 B．18 C．20 D．21 【答案】C 【分析】在中，利用勾股定理求斜边c的长即可． 【解析】解：∵在中，，，， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查勾股定理的运用，关键是找到斜边，直角边，根据勾股定理求解． 3．下列说法正确的是（    ） A．若，，是的三边，则 B．若，，是的三边，则 C．若，，是的三边，，则 D．若，，是的三边，，则 【答案】D 【分析】勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理依次进行判断即可． 【解析】解：A、当是直角三角形且时，，故此选项不符合题意； B、若，，是的三边，，则，故此选项不符合题意； C、若，，是的三边，，则，故此选项不符合题意； D、若，，是的三边，，则，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理，运用勾股定理的前提条件是在直角三角形中．理解和掌握勾股定理是解题的关键． 4．下面四组数中是勾股数的有（   ） ①3，4，；②，，2；③12，16，20；④0.5，1.2，1.3. A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】A 【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【解析】（1）32+=42，能构成直角三角形，但不是正整数，故错误； （2），能构成直角三角形，但不是整数，故错误； （3）122+162=202，三边是整数，同时能构成直角三角形，故正确； （4）0.52+1.22=1.32，但不是正整数，故错误． 故选A． 【点睛】本题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形． 5．如图，在四边形ABCD中，，，且，则BC为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】过点D作DE⊥AC于点E，证明△DAE≌△ABC（AAS），由全等三角形的性质得出AE＝BC，设BC＝x，则AC＝2x，由勾股定理得出（2x）2＋x2＝22，求出x的值则可得出答案． 【解析】过点D作DE⊥AC于点E，则∠DEA＝90°， ∵AD⊥AB，AC⊥BC， ∴∠DAB＝∠ACB＝90°， ∴∠DAE＋∠CAB＝90°，∠CAB＋∠B＝90°， ∴∠DAE＝∠B， 又∵AD＝AB，∠DEA＝∠ACB＝90°， ∴△DAE≌△ABC（AAS）， ∴AE＝BC， ∵AD＝CD，DE⊥AC， ∴AE＝CE， 设BC＝x，则AC＝2x， ∵AC2＋BC2＝AB2， ∴（2x）2＋x2＝22， ∴x＝，即BC＝， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 6．如图所示的一块地，已知，，，，，则这块地的面积为（      ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，先利用勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，再由的面积减去的面积就是所求的面积，即可． 【解析】解：如图，连接．   在中，∵， ∴， 又∵， ∴是直角三角形， ∴这块地的面积 ． 故答案为：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，根据勾股定理逆定理得到是直角三角形是解题的关键． 7．如图，在的方格纸，每个小正方形边长均为1，已知点A，B在方格顶点上，则长为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】利用网格特点，确定相应的直角三角形，再利用勾股定理直接计算即可． 【解析】解：由勾股定理可得：， 故选D． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟练的利用勾股定理求解网格三角形中边的长度是解本题的关键． 8．如图，在ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝45°，若AC＝2，则ABC的面积是（    ） A． B．1+ C．2 D．2+ 【答案】D 【分析】如图，过点A作AD⊥AC于A，交BC于D，过点A作AE⊥BC于E，先证明△ADC是等腰直角三角形，得AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD＝AC＝2，再证明AD＝BD，计算AE和BC的长，根据三角形的面积公式可解答． 【解析】解：如图，过点A作AD⊥AC于A，交BC于D，过点A作AE⊥BC于E， ∵∠C＝45°， ∴△ADC是等腰直角三角形， ∴AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD＝AC＝2， ∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝22.5°， ∴∠DAB＝22.5°， ∴∠B＝∠DAB， ∴AD＝BD＝2， ∵AD＝AC，AE⊥CD， ∴DE＝CE， ∴ ∴△ABC的面积． 故选：D． 【点睛】本题考查的是勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，熟知掌握等腰三角形的性质是解本题的关键． 9．已知ΔABC的三边分别长为a，b，c，且满足+|b-15|+-16c+64=0，则ΔABC是（    ） A．以a为斜边的直角三角形 B．以b为斜边的直角三角形 C．以c为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形 【答案】A 【分析】由绝对值和偶次方的非负性求出a=17，b=15，c=8，由82+152=172，得出△ABC是以a为斜边的直角三角形即可． 【解析】∵(a-17)2+|b-15|+c2-16c+64=0， ∴(a-17)2+|b-15|+(c-8)2=0， ∴a-17=0，b-15=0，c-8=0， ∴a=17，b=15，c=8， ∵82+152=172， ∴△ABC是以a为斜边的直角三角形； 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、绝对值和偶次方的非负性质；熟练掌握绝对值和偶次方的非负性，由勾股定理的逆定理得出结论是关键． 10．如图，正方形的边长为1，其面积为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为…，按此规律继续下去，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出，写出部分的值，根据数的变化找出变化规律“，依此规律即可得出结论． 【解析】解：正方形的边长为1，为等腰直角三角形， ，， ． 观察，发现规律：，，，，， ． 当时，． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题的关键是找出规律，本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，写出部分Sn的值，根据数值的变化找出变化规律是关键． 二、填空题 11．在中，，若，，则 ． 【答案】 【分析】直接根据勾股定理进行求解即可． 【解析】解：∵在中，，若，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理解直角三角形是解本题的关键． 12．的三边为a、b、c，若满足，则 ；若满足，则是 角；若满足，则是 角． 【答案】 钝 锐 【分析】根据勾股定理的逆定理：若三角形三边满足 ，则这个三角形是直角三角形，进行求解即可． 【解析】解：若，则∠B=90°；若，则∠B是钝角；若，则∠B是锐角， 故答案为：∠B，钝，锐． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形三边的关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 13．如图 中，，垂足为 ，若 ，，，则 的长是 ． 【答案】 【分析】根据，由勾股定理计算出的长，在中，由勾股定理即可求解． 【解析】解：∵，， ∴， ∵，， ∴在中，， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查直角三角形的勾股定理，掌握直角三角形的勾股定理是解题的关键． 14．如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝9， AC＝17，则BC边上的高为 ． 【答案】8 【分析】作交的延长于点，在中，，在中,，根据列出方程即可求解． 【解析】如图，作交的延长于点， 则即为BC边上的高， 在中，， 在中,， ， AB＝10，BC＝9， AC＝17， ， 解得， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了勾股定理，掌握三角形的高，直角三角形是解题的关键． 15．如图所示，已知在中，，分别以， 为直径作半圆，面积分别记为，则的值等于 ． 【答案】 【分析】此题考查勾股定理的应用，观察图形理解各部分图形的面积的关系，利用勾股定理解决问题是解题的关键. 根据图形得到，，根据勾股定理推出. 【解析】解：由题意，得，， 所以， 故答案为：. 16．如图，在中，，，平分，，，则的周长 ． 【答案】 【分析】先证明，即有，，在中，，，，利用勾股定理可得，即：，根据图中线段间的关系问题随之得解． 【解析】∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵在中，，，， ∴，， ∴，即：， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等角对等边等知识，掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 17．如图，将三边长分别为3，4，5的沿最长边翻转成，则的长 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质以及勾股定理的逆定理的应用，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．根据勾股定理逆定理判断是直角三角形，根据翻转得出垂直平分，根据三角形面积公式求出，即可求出答案． 【解析】解： 记交于点D，    ∵，，， ∴， ∴是直角三角形． ∴， ∵沿最长边翻转成， ∴垂直平分， ∴， 故答案为：． 18．如图，△ABC是边长6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上均速移动，它们的速度分别为Vp=2cm/s，VQ=1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t= s时，△PBQ为直角三角形． 【答案】或. 【分析】先分别表示出BP，BQ的值，当∠BQP和∠BPQ分别为直角时，由等边三角形的性质就可以求出结论． 【解析】∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=6cm，∠A=∠B=∠C=60°， 当∠PQB=90°时，∠BPQ=30°， ∴BP=2BQ． ∵BP=6-2t，BQ=t， ∴6-2t=2t， 解得t= ； 当∠QPB=90°时，∠PQB=30°， ∴BQ=2PB， ∴t=2（6-2t）， 解得t= ， ∵0<t≤3， ∴t=或t= 故答案为或 【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用，30°角的直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，利用分类讨论是解题的关键． 三、解答题 19．如图，在四边形中，，，，，且．求的度数． 【答案】 【分析】根据勾股定理得，根据可得为直角三角形，． 【解析】解：在中，根据勾股定理：，     在中，，， ，     为直角三角形， ． 【点睛】此题考查勾股定理的定义和勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，掌握勾股定理逆定理是解题关键． 20．如图，在中、，，，．判断下列结论是否正确，并说明理由． (1)． (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据题意得到，即可证明； （2）根据勾股定理求出，然后得到即可证明． 【解析】（1）∵，，， ∴， ∴ ∴； （2）由（1）得 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴． 【点睛】此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理． 21．如图，在RtABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，AD为ABC角平分线，求CD的长度． 【答案】CD=． 【分析】首先证明CD=DP，AC=AP=8，设CD=DP=x，在Rt△BDP中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【解析】解：（1）如图，过点D作AB的垂线，垂足为P，设CD=DP=x 在Rt△ABC中，∵AC=8，BC=6， ∴AB==10， ∵∠CAD=∠PAD，∠C=∠APD=90°，AD=AD， ∴△ADC≌△ADP（AAS）， ∴AC=AP=8，CD=PD，设CD=PD=x， 在Rt△BDP中，∵PB=AB-AP=2，BD=6-x， ∴x2+22=（6-x）2， ∴x=， ∴CD=． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 22．如图，在Rt中，，，，于． 求：（1）斜边的长； （2）高的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用勾股定理计算出的长即可； （2）根据三角形的面积公式计算出的长即可． 【解析】解：（1）在中，，，， ； （2）， ， 解得． 故高的长为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，以及三角形的面积，解题的关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 23．如图，四边形中，，，，．则的度数是多少度？说明理由． 【答案】．理由见解析． 【分析】连接，根据等腰直角三角形的性质求出，再根据勾股定理逆定理求出即可求解． 【解析】解：， 理由如下：连接， ，， 在中， 在中，， ， ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和勾股定理逆定理，解题关键是熟练运用相关性质进行推理证明和计算． 24．如图，，，，，把沿折叠，点折叠到点，的延长线与射线交于点． （1）求的长； （2）求的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）首先由折叠的性质得出，进而利用直角三角形两锐角互余得出，进而利用30°所对的直角边是斜边的一半即可求解； （2）首先根据勾股定理得出EC的长度，进而求出EB的长度，最后利用求解即可． 【解析】（1）∵把沿折叠，点折叠到点， ∴， ． ， ． ， ； （2）， ． ， ， ． 【点睛】本题主要考查折叠与勾股定理，掌握折叠的性质及勾股定理的内容是关键． 25．我们根据图形的移、拼、补可以简单直观地推理验证数学规律和公式，这种方法称之为“无字证明”．下面是用三块全等的直角三角形移拼、补所形成的“无字证明”图形．已知直角三角形直角边长分别为、，斜边长为，图①、图②的面积相等，请你根据此图验证勾股定理． 图①的面积 ； 图②的面积 ； 【答案】； 【分析】图①的面积将两部分相加：长为（a＋b）、宽为a的矩形和上下底分别为（a＋b）、b、高为b的梯形；图②的面积将三个相同的三角形和一个正方形面积相加，两图形面积相等进而可得证． 【解析】解：图①的面积 图②的面积 ∵ 两图形面积相等， ∴， 即： ． 【点睛】本题考查勾股定理的证明，利用“分割法”计算图形面积是关键． 26．问题背景： 在中，已知，求这个三角形的面积． 一名同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需，的高，而借用网格就能计算出它的面积． (1)请你直接写出的面积_________； 思维拓展： (2)我们把上述求面积的方法叫做构图法，若三边的长分别为，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的，并求出它的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用边长为3的正方形的面积减去三个直角三角形的面积即可得到答案； （2）由勾股定理得出即可画出图形，用矩形的面积减去三个直角三角形的面积即可得出所求三角形的面积． 【解析】（1）解：根据题意可得： ， 故的面积为：； （2）解：，，， 即为所求作三角形， 则 故的面积为：． 【点睛】本题考查了勾股定理、三角形面积的计算方法，熟练掌握勾股定理，根据边长画出三角形是解决问题的关键． 27．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，其中AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE． （1）如图①，连接BE、CD，求证：BE＝CD； （2）如图②，连接BD、CD，若∠BAC＝∠DAE＝60°，CD⊥AE，AD＝3，CD＝5，求BD的长； （3）如图③，若∠BAC＝∠DAE＝90°，且C点恰好落在DE上，试探究CD、CE和CA之间的数量关系，并加以说明． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）2AC2＝CD2+CE2，理由见解析 【分析】（1）先判断出∠BAE＝∠CAD，进而得出△ACD≌△ABE，即可得出结论； （2）先求出∠CDA＝∠ADE＝30°，进而求出∠BED＝90°，最后用勾股定理即可得出结论； （3）连接BE，由等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质可得BE＝CD，∠BEA＝∠CDA＝45°，由勾股定理可得2AC2＝CD2+CE2． 【解析】证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC+∠CAE＝∠DAE+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD； 又∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△ACD≌△ABE（SAS）， ∴CD＝BE； （2）如图②，连接BE， ∵AD＝AE，∠DAE＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴DE＝AD＝3，∠ADE＝∠AED＝60°， ∵CD⊥AE， ∴∠CDA＝∠ADE＝×60°＝30°， ∵由（1）得△ACD≌△ABE， ∴BE＝CD＝5，∠BEA＝∠CDA＝30°， ∴∠BED＝∠BEA+∠AED＝30°+60°＝90°，即BE⊥DE， ∴． （3）2AC2＝CD2+CE2， 理由如下：连接BE， ∵AD＝AE，∠DAE＝90°， ∴∠D＝∠AED＝45°， 由（1）得△ACD≌△ABE， ∴BE＝CD，∠BEA＝∠CDA＝45°， ∴∠BEC＝∠BEA+∠AED＝45°+45°＝90°，即BE⊥DE， 在Rt△BEC中，BC2＝BE2+CE2， 在Rt△ABC中，AB2+AC2＝BC2， ∴2AC2＝CD2+CE2． 【点睛】此题考查了等腰直角三角形、全等三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握相关基本性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 18 页 共 42 页 学科网（北京）股份有限公司 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