第27讲 轨迹(四类知识点+四大题型+强化训练)-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（沪教版）

第27讲 轨迹（四大题型） 学习目标 1、 知道轨迹的意义； 2、 掌握几个基本轨迹； 3、 学会分析其他轨迹。 1.轨迹的意义： 问题1：线段的垂直平分线可以看作是符合什么条件的点的集合？为什么？ 问题2：角的平分线可以看作是符合什么条件的点的集合？为什么？ 归纳： 一般的我们把符合某些条件的所有的点的集合叫做点的轨迹. 轨迹就是点的集合，因此呈现出来的是一个图形. 点的轨迹必须具备两方面的条件： ①图形上的每一点都符合某个条件. ②符合某个条件的每一点都在图形上. 2.基本轨迹1：线段的垂直平分线 师问：和线段两个端点距离相等的点的轨迹是什么？ 基本轨迹1： 和线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线. 这条轨迹符合什么条件？ 3.基本轨迹2：角平分线 在一个角的内部（包括顶点）且到角两边距离相等的点的轨迹是什么呢？ 基本轨迹2： 在一个角的内部（包括顶点）且到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的角平分线. 这条轨迹符合什么条件？ 4.基本轨迹3、圆 师：中国的风云2号气象卫星在距离地心4万千米的太空运行，你能说出卫星的运动路线是什么形状的几何图形？ 师问：圆心和半径分别是什么呢？ 师：这时卫星的运动轨迹就是以地心为圆心，4万千米为半径的圆，而在这个圆上的每一点到地心的距离都等于4万千米. 基本轨迹3： 到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心、定长为半径的圆. 【即学即练1】到点A的距离等于1cm的点的轨迹是 ． 题型1：线段的垂直平分线的轨迹 【典例1】．和线段AB两个端点距离相等的轨迹是 ． 【典例2】．底边为已知线段BC的等腰三角形ABC的顶点A的轨迹是 ． 【典例3】．底边为定长的等腰三角形的顶点的轨迹是 ． 【典例4】．到两个定点P、Q的距离相等的点的轨迹是 ． 题型2：角平分线的轨迹 【典例5】．到已知角两边距离相等的点的轨迹是 ． 题型3：圆的轨迹 【典例6】．到定点的距离等于定长的点的轨迹是 ． 【典例7】．到点A的距离等于6cm的点的轨迹是 ． 题型4：其他的轨迹及综合 【典例8】．到直线的距离等于2的点的轨迹是（    ）． A．半径为2的圆 B．与平行且到的距离等于2的一条直线 C．与平行且到的距离等于2的两条直线 D．与垂直的一条直线 【典例9】．下列说法错误的是（    ）． A．在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线 B．到点距离等于的点的轨迹是以点为圆心，半径长为的圆 C．到直线距离等于的点的轨迹是两条平行于且与的距离等于的直线 D．等腰三角形的底边固定，顶点的轨迹是线段的垂直平分线 1．经过定点P，且半径等于2cm的圆的圆心的轨迹__________． 2．经过已知线段AB的两个端点的圆的圆心的轨迹是_________． 3．到已知角两边距离相等的点的轨迹是______． 4．过已知点且半径为3厘米的圆的圆心的轨迹是______． 5．和已知线段的两端点距离相等，且到一个已知点的距离等于定长的点最多有______个． 6．经过定点A且半径为5cm的圆的圆心的轨迹是_____． 7．已知、，点在轴上，若是等腰三角形，则满足这样条件的有________个． 8．和已知线段两个端点相等的点的轨迹是_____． 9．到点的距离都为3的点的轨迹是：______. 10．以线段MN为斜边的直角三角形直角顶点的轨迹是________． 11．以线段AB为底边的等腰三角形ABC的顶点C的轨迹是:________________. 12．如图，在中， ，将以点为旋转中心，顺时针旋转，得到，点经过的路径为点经过的路径为，则图中阴影部分的面积为__________． 二、单选题 13．如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，适当长为半径画弧，交轴于点，交轴于点，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点．若点的坐标为，则与的数量关系为（    ）． A． B． C． D． 14．如图，已知线段、，作等腰三角形，使，且，边上的高．张红的作法是：      （1）作线段； （2）作线段的垂直平分线，与相交于点； （3）在直线上截取线段； （4）连接、，为所求的等腰三角形． 上述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是（    ）． A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 三、解答题 15．一个三角形木板，去了一个角，你能作出所缺角的平分线所在的直线吗？ 16．探求到两平行直线、的距离相等的点的轨迹是什么？ 17．已知：锐角和线段如图所示．求作：等腰三角形，使它的底角为，腰为． 18．说出下列点的轨迹是什么图形，并画出图形． （1）在平面直角坐标系内，到x轴，y轴距离相等的点的轨迹． （2）以已知点A为端点的线段AB=10cm，这线段的另一个端点的轨迹． （3）已知直线上有两点A、B，且AB=3cm，与A、B构成面积为3cm2的三角形的点的轨迹． 19．尺规作图．如图，已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到∠AOB两边的距离相等．（不写画图过程，保留作图痕迹） 20．根据已知条件作出图形． 已知，如图，点A是圆O上一点，在圆O上求作一点P，使得PO=PA． 21．（1）已知和线段、，用直尺和圆规作，使，，和之间的距离为（作出图形，不写作法，保留痕迹） （2）在（1）中，若比大2，且与的和小于10，求的取值范围． 22．如图，，，点在上．以为直角顶点作等腰直角三角形，则当从运动到的过程中，探求点的运动轨迹． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第27讲 轨迹（四大题型） 学习目标 1、 知道轨迹的意义； 2、 掌握几个基本轨迹； 3、 学会分析其他轨迹。 1.轨迹的意义： 问题1：线段的垂直平分线可以看作是符合什么条件的点的集合？为什么？ 问题2：角的平分线可以看作是符合什么条件的点的集合？为什么？ 归纳： 一般的我们把符合某些条件的所有的点的集合叫做点的轨迹. 轨迹就是点的集合，因此呈现出来的是一个图形. 点的轨迹必须具备两方面的条件： ①图形上的每一点都符合某个条件. ②符合某个条件的每一点都在图形上. 2.基本轨迹1：线段的垂直平分线 师问：和线段两个端点距离相等的点的轨迹是什么？ 基本轨迹1： 和线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线. 这条轨迹符合什么条件？ 3.基本轨迹2：角平分线 在一个角的内部（包括顶点）且到角两边距离相等的点的轨迹是什么呢？ 基本轨迹2： 在一个角的内部（包括顶点）且到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的角平分线. 这条轨迹符合什么条件？ 4.基本轨迹3、圆 师：中国的风云2号气象卫星在距离地心4万千米的太空运行，你能说出卫星的运动路线是什么形状的几何图形？ 师问：圆心和半径分别是什么呢？ 师：这时卫星的运动轨迹就是以地心为圆心，4万千米为半径的圆，而在这个圆上的每一点到地心的距离都等于4万千米. 基本轨迹3： 到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心、定长为半径的圆. 【即学即练1】到点A的距离等于1cm的点的轨迹是 ． 【答案】以A为圆心，1cm为半径的圆 题型1：线段的垂直平分线的轨迹 【典例1】．和线段AB两个端点距离相等的轨迹是 ． 【答案】线段AB的垂直平分线 【分析】根据线段垂直平分线的性质解题即可． 【解析】到线段AB两个端点的距离相等的点的轨迹是线段AB的垂直平分线， 故答案为：线段AB的垂直平分线． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，是重要考点，难度容易，掌握相关知识是解题关键． 【典例2】．底边为已知线段BC的等腰三角形ABC的顶点A的轨迹是 ． 【答案】底边BC的垂直平分线（除底边中点外） 【分析】由等腰三角形三线合一的性质可以确定答案． 【解析】在已知线段BC的等腰三角形ABC中，根据等腰三角形三线合一的性质，顶点A必在底边BC的垂直平分线上． 故答案为：底边BC的垂直平分线（除底边中点外）． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握性质并运用是解题的关键． 【典例3】．底边为定长的等腰三角形的顶点的轨迹是 ． 【答案】底边的垂直平分线（底边的中点除外） 【分析】根据等腰三角形的性质，即已知等腰三角形的底边时，则第三个顶点到底边两个端点的距离相等，且不在底边上，结合线段的垂直平分线即可求解． 【解析】∵线段垂直平分线上的点和线段两个端点的距离相等， ∴底边为定长的等腰三角形的顶点的轨迹是底边的垂直平分线（底边的中点除外）． 故答案为底边的垂直平分线（底边的中点除外）． 【点睛】此题考查了点的轨迹问题，熟悉等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质是解题关键． 【典例4】．到两个定点P、Q的距离相等的点的轨迹是 ． 【答案】线段PQ的垂直平分线 【分析】根据线段垂直平分线的判定定理，即可得到答案． 【解析】解：到两个定点P、Q的距离相等的点的轨迹是线段PQ的垂直平分线； 故答案为：线段PQ的垂直平分线． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定定理，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的判定定理进行解题． 题型2：角平分线的轨迹 【典例5】．到已知角两边距离相等的点的轨迹是 ． 【答案】这个角的平分线所在的直线 【分析】根据角平分线的性质即可得答案. 【解析】∵角平分线上的点到角两边的距离相等, ∴在角的内部，到已知角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线. 故答案为：这个角的平分线所在的直线 【点睛】本题考查角平分线的性质,即角平分线上的点到角两边的距离相等；熟练掌握性质是解题关键. 题型3：圆的轨迹 【典例6】．到定点的距离等于定长的点的轨迹是 ． 【答案】以定点为圆心，定长为半径的圆 【分析】根据圆的定义即可得答案. 【解析】在平面内,到定点距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心,定长为半径的圆， 故答案为以定点为圆心，定长为半径的圆 【点睛】本题考查了圆的定义，圆是到定点的距离等于定长的点的轨迹. 【典例7】．到点A的距离等于6cm的点的轨迹是 ． 【答案】以A为圆心，6cm为半径的圆 【分析】到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，据此解题即可． 【解析】根据圆的定义，到点A的距离等于定长6cm的点的轨迹是以点A为圆心,6cm为半径的圆， 故答案为：以点A为圆心，6cm为半径的圆． 【点睛】本题考查点的轨迹、圆的定义，是基础考点，难度容易，掌握相关知识是解题关键． 题型4：其他的轨迹及综合 【典例8】．到直线的距离等于2的点的轨迹是（    ）． A．半径为2的圆 B．与平行且到的距离等于2的一条直线 C．与平行且到的距离等于2的两条直线 D．与垂直的一条直线 【答案】C 【分析】到直线距离相等的点的轨迹是它的平行线，在直线两侧都各有一条，所以有两条这样的直线． 【解析】解：到直线的距离等于2的点的轨迹是与平行，且到的距离等于2的两条直线． 故选C． 【点睛】本题考查两平行线间的距离，有两条这样的直线，容易漏掉一条，要注意． 【典例9】．下列说法错误的是（    ）． A．在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线 B．到点距离等于的点的轨迹是以点为圆心，半径长为的圆 C．到直线距离等于的点的轨迹是两条平行于且与的距离等于的直线 D．等腰三角形的底边固定，顶点的轨迹是线段的垂直平分线 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质、圆的轨迹、平行线和等腰三角形的性质结合图形进行解答即可． 【解析】A.在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线，故该选项正确， B.到点P距离等于1cm的点的轨迹是以点P为圆心，半径长为1cm的圆，故该选项正确， C.到直线l距离等于2cm的点的轨迹是两条平行于l且与l的距离等于2cm的直线，故该选项正确； D.等腰△ABC的底边BC固定，顶点A的轨迹是线段BC的垂直平分线（BC的中点除外），故该选项错误， 故选D． 【点睛】本题考查的是点的轨迹，掌握角平分线的性质、圆的轨迹、平行线和线段垂直平分线的性质是解题的关键． 一、填空题 1．经过定点P，且半径等于2cm的圆的圆心的轨迹__________． 【答案】以P点为圆心，2cm为半径的圆 【分析】求圆心的轨迹实际上是求距P点2厘米能画一个什么图形． 【解析】解：所求圆心的轨迹，就是到P点的距离等于2厘米的点的集合， 因此应该是一个以点P为圆心，2cm为半径的圆； 故答案为：以点P为圆心，2cm为半径的圆． 【点睛】此题所求圆心的轨迹，就是到顶点的距离等于定长的点的集合，因此应该是一个圆． 2．经过已知线段AB的两个端点的圆的圆心的轨迹是_________． 【答案】线段AB的垂直平分线 【分析】利用圆的性质可以得到圆上的所有点到圆心的距离相等，从而得到所有圆心到A、B两点的距离相等，从而得到结论． 【解析】解：∵圆上的所有点到圆心的距离相等， ∴无论圆心O在哪里，总有OA=OB， 即：所有圆心到A、B两点的距离相等， ∵到A、B两点的距离相等的点在线段AB的垂直平分线上， 故答案为：线段AB的垂直平分线． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 3．到已知角两边距离相等的点的轨迹是______． 【答案】这个角的平分线所在的直线 【分析】根据角平分线的性质即可得答案. 【解析】∵角平分线上的点到角两边的距离相等, ∴在角的内部，到已知角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线. 故答案为：这个角的平分线所在的直线 【点睛】本题考查角平分线的性质,即角平分线上的点到角两边的距离相等；熟练掌握性质是解题关键. 4．过已知点且半径为3厘米的圆的圆心的轨迹是______． 【答案】以为圆心，半径为的圆 【分析】根据圆的定义即可得答案. 【解析】∵所求圆心的轨迹，就是到A点的距离等于3厘米的点的集合， ∴是一个以A为圆心，半径为3cm的圆． 故答案为以A为圆心，半径为3cm的圆 【点睛】本题考查圆的定义，就是到定点的距离等于定长的点的集合. 5．和已知线段的两端点距离相等，且到一个已知点的距离等于定长的点最多有______个． 【答案】2 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得和已知线段的两端点距离相等的点在线段垂直平分线上，分别讨论定长m>PO、m=PO和m<PO三种情况，得出与垂直平分线的交点个数即可得答案. 【解析】如图，直线CD为相等AB的垂直平分线，过定点P作PO⊥CD，设定长为m， ∵已知线段的两端点距离相等的点在AB的垂直平分线上， ∴所求的点在直线CD上， ∴当m>PO时，与CD有2个交点， 当m=PO时，与CD有1个交点， 当m<PO时，与CD没有交点， ∴已知线段的两端点距离相等，且到一个已知点的距离等于定长的点最多有2个， 故答案为2 【点睛】本题考查本题考查的是点的轨迹，熟练掌握线段垂直平分线的性质并灵活运用分类讨论的思想是解题关键. 6．经过定点A且半径为5cm的圆的圆心的轨迹是_____． 【答案】以点A为圆心，5cm为半径的圆． 【分析】要求作经过定点A，且半径为5厘米的圆的圆心，则圆心应满足到点A的距离恒等于5cm，根据点和圆的位置关系与数量之间的联系进行分析． 【解析】解：所求圆心的轨迹，就是到A点的距离等于5厘米的点的集合，因此应该是一个以点A为圆心，5cm为半径的圆. 故答案为以点A为圆心，5cm为半径的圆． 【点睛】此题考查了轨迹，就是到定点的距离等于定长的点的集合，因此应该是一个圆． 7．已知、，点在轴上，若是等腰三角形，则满足这样条件的有________个． 【答案】 【分析】分为三种情况：AC=AB，BC=AB，AC=BC，根据等腰三角形的性质即可求得答案. 【解析】以A为圆心，以AB为半径画弧，交x轴于C1点，此时AC=AB； 以B为圆心，以AB为半径画弧，交x轴于C2，C3点，此时BC=AB； 作AB的垂直平分线交x轴于C4点，此时AC=BC. 故答案为4. 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质和判定. 8．和已知线段两个端点相等的点的轨迹是_____． 【答案】已知线段的垂直平分线 【分析】利用垂直平分线的判定定理可以得到答案． 【解析】∵到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上， ∴到线段两个端点距离相等的点的轨迹是线段的垂直平分线． 9．到点的距离都为3的点的轨迹是：______. 【答案】以点A为圆心，3为半径的圆． 【分析】圆的定义是在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合，所以到定点A的距离等于3的点的集合是圆． 【解析】根据圆的定义可知，到点A的距离等于3的点的集合是以点A为圆心，3为半径的圆． 故答案为以点A为圆心，3为半径的圆． 【点睛】此题考查圆的定义，正确理解定义是解题关键． 10．以线段MN为斜边的直角三角形直角顶点的轨迹是________． 【答案】以MN为直径圆（除M、N两点外） 【分析】根据直角三角形的性质，斜边即为外接圆的直径，故可确定答案． 【解析】根据直角三角形的性质，斜边即为外接圆的直径， 故以线段MN为斜边的直角三角形直角顶点的轨迹是以线段MN中点为圆心，MN为直径的圆（不包含M、N两点）． 故答案为：以MN为直径圆（除M、N两点外）． 【点睛】本题考查了直角三角形的外接圆，确定直角三角形外接圆的圆心位置是解题的关键． 11．以线段AB为底边的等腰三角形ABC的顶点C的轨迹是:________________. 【答案】线段AB的垂直平分线，不包括AB的中点． 【分析】满足△ABC以线段AB为底边且CA=CB，根据线段的垂直平分线判定得到点C在线段AB的垂直平分线上，除去与AB的交点（交点不满足三角形的条件）． 【解析】解：∵△ABC以线段AB为底边，CA=CB， ∴点C在线段AB的垂直平分线上，除去与AB的交点（交点不满足三角形的条件）， ∴以线段AB为底边的等腰三角形的顶点C的轨迹是 线段AB的垂直平分线，不包括AB的中点． 故答案为：线段AB的垂直平分线，不包括AB的中点． 【点睛】本题考查了轨迹：轨迹是动点按一定条件运动所经过的痕迹．也考查了线段的垂直平分线判定与性质． 12．如图，在中， ，将以点为旋转中心，顺时针旋转，得到，点经过的路径为点经过的路径为，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】 【分析】先根据勾股定理求出AB、AD的长度，再根据扇形面积公式和三角形面积公式求解即可． 【解析】由题意可得． 则阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了求阴影部分面积的问题，掌握勾股定理，扇形面积公式和三角形面积公式是解题的关键． 二、单选题 13．如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，适当长为半径画弧，交轴于点，交轴于点，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点．若点的坐标为，则与的数量关系为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据作图方法可得点P在第二象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第二象限内点的坐标符号可得2a+b+1=0，然后再整理可得答案． 【解析】解：根据作图方法可得点P在第二象限的角平分线上，所以点P的横坐标与纵坐标互为相反数，即2a+b+1=0， ∴2a+b=-1． 故选B． 【点睛】此题主要考查了角平分线的基本作图，关键是掌握角平分线的做法． 14．如图，已知线段、，作等腰三角形，使，且，边上的高．张红的作法是：      （1）作线段； （2）作线段的垂直平分线，与相交于点； （3）在直线上截取线段； （4）连接、，为所求的等腰三角形． 上述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是（    ）． A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【答案】C 【分析】在直线MN上截取线段h，说法不准确，应该是：在直线MN上截取线段DA=h． 【解析】解：在直线MN上截取线段h，说法不准确，应该是：在直线MN上截取线段DA=h．所以C的说法错误，符合题意. 故选：C． 【点睛】本题考查了学生运用准确几何语言表达作图方法与步骤的能力，平时要重视数学语言的训练． 三、解答题 15．一个三角形木板，去了一个角，你能作出所缺角的平分线所在的直线吗？ 【答案】能.详见解析. 【分析】先作出其它两角的角平分线交于点E，再延长两边交于一点F，连接EF，直线EF就是所缺角的平分线所在的直线． 【解析】解：如图：先作出其它两角的角平分线交于点，再延长两边交于一点，联结，直线就是所缺角的平分线所在的直线． 故能作出所缺角的平分线所在的直线. 【点睛】本题主要考查了角平分线的基本作图及应用，解题的关键是熟记三角形的三条角平分线交于一点． 16．探求到两平行直线、的距离相等的点的轨迹是什么？ 【答案】经过两直线垂线段的中点，且平行于直线、的直线． 【分析】根据平行线间的距离相等的性质即可得答案. 【解析】∵，平行线间的距离相等， ∴到直线、的距离相等的点的轨迹是一条经过两直线垂线段的中点，且平行于直线、的直线． 【点睛】本题考查的是点的轨迹，熟练掌握平行线间的距离相等的性质是解题关键. 17．已知：锐角和线段如图所示．求作：等腰三角形，使它的底角为，腰为． 【答案】详见解析 【分析】作射线CM，再作∠MCN=∠α；在射线CN上截取AC=a；以点A为圆心，线段a为半径作弧交CM于点B；连接AB．则△ABC为所求． 【解析】解：作法： （1）作射线CM，再作∠MCN=∠α； （2）在射线CN上截取AC=a； （3）以点A为圆心，线段a为半径作弧交CM于点B； （4）连接AB．则△ABC为所求． 如图所示：          【点睛】此题主要考查等腰三角形的作法，要能熟练运用基本作图解决综合作图问题． 18．说出下列点的轨迹是什么图形，并画出图形． （1）在平面直角坐标系内，到x轴，y轴距离相等的点的轨迹． （2）以已知点A为端点的线段AB=10cm，这线段的另一个端点的轨迹． （3）已知直线上有两点A、B，且AB=3cm，与A、B构成面积为3cm2的三角形的点的轨迹． 【答案】（1）x轴、y轴所构成的四个角的平分线；（2）以点A为圆心，半径长为10cm的圆；（3）平行于直线且与直线的距离为的两条直线. 【分析】（1）根据角平分线的性质即可得答案；（2）根据圆的定义即可得答案；（3）根据等底等高的三角形面积相等，平行线间的距离相等的性质即可得答案. 【解析】（1）如图：∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴在平面直角坐标系内，到x轴，y轴距离相等的点的轨迹是x轴、y轴所构成的四个角的平分线； （2）如图，∵到定点的距离为定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆， ∴点A为端点的线段AB=10cm，另一个端点B的轨迹为以点A为圆心，半径长为10cm的圆， （3）如图，∵AB=3cm，与A、B构成面积为3cm2， ∴AB边的高为2cm， ∵等底等高的三角形面积相等，平行线间的距离相等， ∴另一个点的轨迹为平行于直线且与直线的距离为的两条直线. 【点睛】本题考查的是点的轨迹，熟练掌握角平分线的性质、圆的定义及平行线的性质是解题关键. 19．尺规作图．如图，已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到∠AOB两边的距离相等．（不写画图过程，保留作图痕迹） 【答案】作图详见解析. 【分析】因为点P满足PC=PD 所以点 P在线段CD的垂直平分线上， 又P到∠AOB两边的距离相等 ，所以点P在∠AOB或∠AOB补角的角平分线上. 【解析】解：根据题意作图，得 其中，点P和点P’即为所求 20．根据已知条件作出图形． 已知，如图，点A是圆O上一点，在圆O上求作一点P，使得PO=PA． 【答案】答案见解析 【分析】由题意，作OA的垂直平分线，与圆相交于两个点，即可得到点P． 【解析】解：作线段OA的垂直平分线交圆O于点P，满足条件的点P有两点． 如图所示： 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质进行解题． 21．（1）已知和线段、，用直尺和圆规作，使，，和之间的距离为（作出图形，不写作法，保留痕迹） （2）在（1）中，若比大2，且与的和小于10，求的取值范围． 【答案】（1）详见解析；（2）． 【分析】（1）先作∠MAN=α，再在AM上截取AB=m，过点B作BP⊥AB，接着在BP上截取BE=h，过点E作DE⊥BE交AD于D，然后在DE上截取DC=m，则四边形ABCD满足条件； （2）根据题意得到m=n+2，m+n＜10，然后消去m得到n的不等式，再解不等式即可． 【解析】解：（1）如图，平行四边形为所作．          （2）根据题意得到m=n+2，m+n＜10，则2n+2＜10， 解得n＜4， 而n＞0， 所以0＜n＜4． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，利用几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 22．如图，，，点在上．以为直角顶点作等腰直角三角形，则当从运动到的过程中，探求点的运动轨迹． 【答案】线段． 【分析】过点作交直线于点，根据D点在B点，BC中点以及C点时，得出E点所在位置，进而得出E点在一条直线上，进而得出答案． 【解析】如图所示：过点作交直线于点， 当点与点重合时，点与点重合， 当点在中点时， ∵，， ∴． ∵在和中，， ∴≌（AAS）． ∴，． ∵，， ∴． ∴． ∵∠ACB=45°， ∴∠ECA=90°， 当点与点重合时， ∠ECA=90°， ∴点与另两个点都在过点C且垂直于AC的一条直线上． 综上所述：当从运动到的过程中，点的运动轨迹是线段． 【点睛】此题主要考查了点的轨迹问题，根据已知得出D点在不同位置时E点位置是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $$