第33讲 几何证明 单元重点检测 （重点）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（沪教版）

第33讲 几何证明 单元重点检测 （重点） 一、单选题 1．在下列四组数中，属于勾股数的是（     ） A．0.3，0.4，0.5 B．7，24，25 C．，， D．1，， 2．下列说法正确的是（    ） A．命题一定有逆命题 B．所有的定理一定有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题 3．如图，中，，平分，，点D到的距离为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．直角三角形的两条直角边分别为和，那么它斜边上的中线长是（　 　） A． B． C． D． 5．在下列定理中，逆命题错误的是（    ） A．全等三角形的面积相等 B．等腰三角形的底角相等 C．线段的垂直平分线上的点和这条线段的两个端点距离相等 D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 6．如图，在和中，，，，则（     ） A．30° B．40° C．50° D．60° 7．如图所示的图形中,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为8cm,则正方形a、b、c、d、e、f、g面积的和是(     )cm2. A．64 B．81 C．128 D．192 8．如图，在中，是钝角，以点C为圆心、的长为半径画弧，再以点A为圆心、的长为半径画弧，这两条弧相交于点D，连接，延长交于点E．下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，如果D是的中点，，垂足是E，那么的值等于（    ） A． B． C． D． 10．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EFBC交AC于点M，若CM＝3，则的值为（    ） A．6 B．9 C．18 D．36 二、填空题 11．“若，则，” 命题（选填“是”或“不是”）． 12．把命题“同角的补角相等”改写为“如果……，那么……”的形式，如果 那么 ． 13．已知点A、B都在轴上（点A 在点B的左边），点A(-3，0)，AB=6，则点Ｂ的坐标为 ． 14．底边为已知线段BC的等腰三角形ABC的顶点A的轨迹是 ． 15．如图，在中，是的垂直平分线，垂足为，交于点．若，的周长为15，则 ． 16．如图，在中，，，，，平分，则 ． 17．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图，在中，于点E，，，，点D是边上的“好点”，则线段的长为 ． 18．如图，在中，已知，，点在边上，，把绕着点逆时针旋转（）度后，如果点恰好落在初始的边上，那么    三、解答题 19．已知：，，，且为等腰三角形，求的值． 20．已知命题“等腰三角形底边上的高线与顶角的平分线重合”． （1）请写出它的逆命题； （2）判断该逆命题的真假，若为假命题，请说明理由，若为真命题，请证明． 21．如图，AC和BD交于点O，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD． 求证：AB＝CD． 22．已知：如图，在四边形中，，，，．    (1)求的度数． (2)求四边形的面积． 23．在中，，D为中点，于E，交的延长线于F． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 24．今年，第13号台风“贝碧嘉”9月16日登陆后的影响还在持续，第14号台风“普拉桑”和第15号台风“苏力”又于19日登陆．A市接到台风警报时，台风中心位于距离A市的B处（即），正以的速度沿直线方向移动． (1)已知A市到的距离，那么台风中心从B点移到D点经过多长时间？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？ 25．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AB中点，ED∥BC，且与∠ABC的平分线BD交于点D，联结AD． (1)求证：AD⊥BD； (2)记BD与AC的交点为F，求证：BF＝2AD． 26．已知在中，，，，过点作直线，点为直线上一点，连接，作交直线于点． (1)如图，当在线段上时． ①设，那么_____．（用含的代数式表示）． ②求证：； (2)设点到直线的距离为，当的面积为4时，请直接写出的值． 27．如图，在中，，，，是边上的中线，动点从点出发以每秒个单位的速度沿线段向终点运动，动点从点出发以每秒个单位的速度在线段上运动，点与点同时出发，设动点运动时间为． (1)求的长； (2)若动点在线段上运动，设，求关于的函数解析式，并写出定义域； (3)若动点在射线上运动，当点运动到终点时，点也停止运动，直接写出当时，的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第33讲 几何证明 单元重点检测 （重点） 一、单选题 1．在下列四组数中，属于勾股数的是（    ） A．0.3，0.4，0.5 B．7，24，25 C．，， D．1，， 【答案】B 【分析】利用勾股数的定义进行分析． 【解析】、，0.4，0.5都不是正整数，，0.4，0.5不是勾股数，不符合题意； 、，，24，25是勾股数，符合题意； 、，，都不是正整数，，，不是勾股数，不符合题意； 、，，都不是正整数，，，不是勾股数，不符合题意． 故选：． 【点睛】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义：满足 的三个正整数，称为勾股数． 2．下列说法正确的是（   ） A．命题一定有逆命题 B．所有的定理一定有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题 【答案】A 【分析】根据命题的定义和定理及其逆定理之间的关系，分别举出反例，再进行判断，即可得出答案． 【解析】解：A、命题一定有逆命题，故此选项符合题意； B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形对应角相等没有逆定理，故此选项不符合题意； C、真命题的逆命题不一定是真命题，如：对顶角相等的逆命题是：相等的两个角是对顶角，它是假命题而不是真命题，故此选项不符合题意； D、假命题的逆命题定不一定是假命题，如：相等的两个角是对顶角的逆命题是：对顶角相等，它是真命题，故此选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了命题与定理，掌握好命题的真假及互逆命题的概念是解题的关键．把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，所有的命题都有逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题． 3．如图，中，，平分，，点D到的距离为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，过点D作于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，从而得解． 【解析】解：如图，过点D作，垂足为E，          ，平分交于点D， 即点D到的距离为2． 故答案为∶2． 4．直角三角形的两条直角边分别为和，那么它斜边上的中线长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，再根熟记“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是解题的关键．根据勾股定理求出斜边长，据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求解即可． 【解析】解：直角三角形的两条直角边分别为和， 斜边长， 它斜边上的中线长是， 故选：D． 5．在下列定理中，逆命题错误的是（    ） A．全等三角形的面积相等 B．等腰三角形的底角相等 C．线段的垂直平分线上的点和这条线段的两个端点距离相等 D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 【答案】A 【分析】本题考查判断逆命题的真假．先写出逆命题，再判断真假即可．将一个命题的题设和结论互换，得到的命题为原命题的逆命题． 【解析】解：A、逆命题为：面积相等的两个三角形是全等三角形，为假命题，符合题意； B、逆命题为：底角相等的三角形为等腰三角形，为真命题，不符合题意； C、逆命题为：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，为真命题，不符合题意； D、逆命题为：三角形一边上的中线等于这条边长度的一半的三角形为直角三角形，为真命题，不符合题意； 故选A． 6．如图，在和中，，，，则（    ） A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】D 【分析】由题意可证，有，由三角形内角和定理得，计算求解即可． 【解析】解：∵ ∴△ABC和△ADC均为直角三角形 在和中 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 故选D． 【点睛】本题考查了三角形全等，三角形的内角和定理．解题的关键在于找出角度的数量关系． 7．如图所示的图形中,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为8cm,则正方形a、b、c、d、e、f、g面积的和是(     )cm2. A．64 B．81 C．128 D．192 【答案】D 【分析】根据勾股定理可知，Sg = Se+Sf=Sa+Sb+Sc+Sd，求出最大正方形的面积即可求解. 【解析】解：根据勾股定理知, Sg= Se+Sf，Se=Sa+Sb， Sf= Sc+Sd， ∴Sg = Se+Sf=Sa+Sb+Sc+Sd， ∵最大的正方形的面积为Sg =（8×8）cm2=64cm2， ∴正方形a、b、c、d、e、f、g面积的和是64×3=192cm2， 故选D． 【点睛】本题考查了勾股定理，一个直角三角形的斜边的平方等于另外两边的平方和，这里边的平方的几何意义就是以该边为边的正方形的面积． 8．如图，在中，是钝角，以点C为圆心、的长为半径画弧，再以点A为圆心、的长为半径画弧，这两条弧相交于点D，连接，延长交于点E．下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了尺规作图、垂直平分线的判定与性质等知识点，掌握5种基本作图是解决问题的关键． 根据作图过程可得，则根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可判断垂直平分，进而即可得到答案 【解析】解：由作法得， ∴垂直平分， ∴． 故选：C． 9．如图，在中，，，如果D是的中点，，垂足是E，那么的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，连接，三线合一，得到，等边对等角，求出，进而求出，利用含30度的直角三角形的性质，求出的长，进一步求解即可． 【解析】解：连接， ∵，，D是的中点， ∴，，                                                     ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 10．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EFBC交AC于点M，若CM＝3，则的值为（    ） A．6 B．9 C．18 D．36 【答案】D 【分析】根据角平分线得出△EFC为直角三角形，再由等角对等边确定CM=EM=MF=3，EF=6，最后根据勾股定理求解即可． 【解析】解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD， ∴∠ACE=∠ACB，∠ACF=∠ACD，即∠ECF=(∠ACB+∠ACD)=90°， ∴△EFC为直角三角形， 又∵EFBC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD， ∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF， ∴CM=EM=MF=3，EF=6， 由勾股定理可知， 故选D． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，平行线的性质以及角平分线的定义，证出△EFC为直角三角形是解决本题的关键． 二、填空题 11．“若，则，” 命题（选填“是”或“不是”）． 【答案】是 【分析】根据命题的定义判断即可． 【解析】若，则，是一个命题. 故答案为：是． 【点睛】本题主要考查了命题的判断，掌握定义是解题的关键．即是表示判断一件事情的句子是命题. 12．把命题“同角的补角相等”改写为“如果……，那么……”的形式，如果 那么 ． 【答案】 两个角是同一个角的补角 这两个角相等 【分析】命题由题设和结论两部分组成，命题可以写成“如果，那么”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论，由此即可得． 【解析】解：把命题“同角的补角相等”改写为“如果，那么”的形式：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等， 故答案为：两个角是同一个角的补角，这两个角相等． 【点睛】本题考查了命题，熟练掌握命题的表达形式是解题关键． 13．已知点A、B都在轴上（点A 在点B的左边），点A(-3，0)，AB=6，则点Ｂ的坐标为 ． 【答案】(3，0)或(-9，0) 【分析】数轴上两点间的距离即是两点间横坐标之间的距离，据此解题即可． 【解析】 xB=3或-9 故答案为：3或-9 【点睛】本题考查两点间的距离、数轴上两点间的距离等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 14．底边为已知线段BC的等腰三角形ABC的顶点A的轨迹是 ． 【答案】底边BC的垂直平分线（除底边中点外） 【分析】由等腰三角形三线合一的性质可以确定答案． 【解析】在已知线段BC的等腰三角形ABC中，根据等腰三角形三线合一的性质，顶点A必在底边BC的垂直平分线上． 故答案为：底边BC的垂直平分线（除底边中点外）． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握性质并运用是解题的关键． 15．如图，在中，是的垂直平分线，垂足为，交于点．若，的周长为15，则 ． 【答案】9 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式即可得到答案． 【解析】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∵， ∴ 故答案为：9． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 16．如图，在中，，，，，平分，则 ． 【答案】 【分析】过点作于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【解析】解：过点作于， ∵平分，，， ∴， ∴：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质、三角形的面积计算，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 17．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图，在中，于点E，，，，点D是边上的“好点”，则线段的长为 ． 【答案】5或10 【分析】本题考查等腰三角形的判定及性质，勾股定理，解一元二次方程等知识，由等题意得，，设，得，，然后根据“好点”定义及勾股定理得到是解决问题的关键． 【解析】解：∵，， ∴，则， ∵， ∴， 设，如图，可得，， ∵点是边上的“好点”， ∴， 在中，由勾股定理可得：， 则，即：， 解得：，， 即：或10； 故答案为：5或10． 18．如图，在中，已知，，点在边上，，把绕着点逆时针旋转（）度后，如果点恰好落在初始的边上，那么    【答案】或 【分析】根据题意，分类讨论，①当点落在边上时，得，②当点落在边上时，得；根据旋转的性质，直角三角形的性质即可求解． 【解析】解：在中，已知，， ∴, 如图所述，      ①当点落在边上时，得， ∴， ∴，即是等腰三角形， ∴在中，； ②当点落在边上时，得， 在中，，， ∴， ∴； 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，旋转的性质，掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题 19．已知：，，，且为等腰三角形，求的值． 【答案】或 【分析】根据等腰三角形的定义，结合两点距离公式得，，，然后进行分类讨论，即可列式作答． 【解析】解：∵，，， ∴， ， ， ∵为等腰三角形， ∴当时，即， 则 解得； 或当时，即， 因为， 所以 此种情况不存在； 或当时，即， 则， 即， 那么 综上所述，或． 【点睛】本题考查了两点的距离公式以及等腰三角形的性质，灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 20．已知命题“等腰三角形底边上的高线与顶角的平分线重合”． （1）请写出它的逆命题； （2）判断该逆命题的真假，若为假命题，请说明理由，若为真命题，请证明． 【答案】（1）底边上的高线和顶角的角平分线重合的三角形是等腰三角形；（2）该逆命题是真命题，证明见解析． 【分析】（1）两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题；据此写出逆命题即可； （2）由（1）中写出的逆命题判断其真假，根据证明的步骤，先写出已知、求证，再写出证明过程即可． 【解析】（1）原命题的条件是：三角形是等腰三角形；结论是：底边上的高线和顶角的角平分线重合， ∴逆命题是：底边上的高线和顶角的角平分线重合的三角形是等腰三角形． （2）该逆命题是真命题，证明如下： 如图，已知：△ABC中，AD是BC边的高线也是顶角∠BAC的角平分线． 求证：AB=AC． ∵AD是BC边的高， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB=∠ADC=90°， ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠BAD=∠CAD， 在△BAD和△CAD中，， ∴AB=AC． 【点睛】本题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 21．如图，AC和BD交于点O，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD． 求证：AB＝CD． 【答案】见解析 【分析】根据直角三角形的判定方法，直接运用HL就可以得出△ABC≌△DCB，就可以得出结论． 【解析】证明：∵∠A=∠D=90°， ∴△ABC和△DCB都是直角三角形． 在Rt△ABC和Rt△DCB中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）． ∴AB=CD． 【点睛】本题考查了运用HL判定两直角三角形全等及全等三角形的性质的运用，解答时证明△ABC≌△DCB是关键． 22．已知：如图，在四边形中，，，，．    (1)求的度数． (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】对于（1），连接，根据勾股定理求出及，再根据勾股定理逆定理说明是直角三角形，即可求出答案； 对于（2），根据两个三角形的面积和求出答案即可． 【解析】（1）连接，如图所示． ∵，， ∴， 根据勾股定理得， 在中，， ∴是直角三角形，且， ∴；    （2）． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及逆定理的应用，求四边形的面积，将不规则四边形转化为两个直角三角形是解题的关键． 23．在中，，D为中点，于E，交的延长线于F． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由证明，即可得出结论； （2）连接，交于点G，由（1）得，再由，得，则，然后由等腰三角形的性质即可得出结论． 【解析】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：如图，连接，交于点G， 由（1）得：， ∵D为的中点， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 即垂直平分． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 24．今年，第13号台风“贝碧嘉”9月16日登陆后的影响还在持续，第14号台风“普拉桑”和第15号台风“苏力”又于19日登陆．A市接到台风警报时，台风中心位于距离A市的B处（即），正以的速度沿直线方向移动． (1)已知A市到的距离，那么台风中心从B点移到D点经过多长时间？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？ 【答案】(1)台风中心从B点移到D点需要6小时 (2)A市受台风影响的时间为小时 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，等腰三角形三线合一性质，根据题意熟练应用勾股定理是解题关键． （1）在中，根据勾股定理求出，台风的速度已知，即可得出台风中心从点移到点所经过长时间； （2）假设市从点开始受到台风的影响，到点结束，根据题意在图中画出图形，可知，市在台风从点到点均受影响，即得出两点的距离，便可求出市受台风影响的时间． 【解析】（1）解：由题意得，在中， ， ， （小时）， 即台风中心从点移到点需要6小时； （2）解：以为圆心，以为半径画弧，交于、， 则市在点开始受到影响，离开点恰好不受影响（如图）， 由题意，，在中， ， ，， ， ， （小时） 市受台风影响的时间为小时． 25．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AB中点，ED∥BC，且与∠ABC的平分线BD交于点D，联结AD． (1)求证：AD⊥BD； (2)记BD与AC的交点为F，求证：BF＝2AD． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的性质可得，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，可证； （2）由“”可证，可得，由“”可证，可得． 【解析】（1）解：证明：为中点， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：延长，交于点， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是添加恰当辅助线构造全等三角形． 26．已知在中，，，，过点作直线，点为直线上一点，连接，作交直线于点． (1)如图，当在线段上时． ①设，那么_____．（用含的代数式表示）． ②求证：； (2)设点到直线的距离为，当的面积为4时，请直接写出的值． 【答案】(1)①；②见解析 (2)或 【分析】（1）①根据等边对等角可求出，根据余角的性质可得出，然后在中，根据三角形内角和定理求解即可； ②在上取点R，使，联结，根据证明，即可得证； （2）分P在线段上，在点的右侧，在点的左侧讨论，根据的面积为4列出关于m的方程，求解即可． 【解析】（1）①解∶∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②在上取点R，使，联结， ， ∴， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴， 由①知：， ∴， ∴； （2）解：当P在线段上，过P作于Q， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：， 又的面积为4， ∴，即， ∴， ∴， ∴方程无解， ∴在线段上，不存在点P，使的面积为4； 点P在点的右侧，过P作于Q，在的延长线上取点R，使，联结， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， 同理可求， ∴， ∴， 解得，（舍去）， 点P在点的左侧，过P作于Q，在的延长线上取点R，使，联结， 同理可证， ∴， 同理可求， ∴， ∴， 解得，（舍去）， 综上，当m的值为或时，的面积为4． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，解一元二次方程，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论，构造全等三角形是解题的关键． 27．如图，在中，，，，是边上的中线，动点从点出发以每秒个单位的速度沿线段向终点运动，动点从点出发以每秒个单位的速度在线段上运动，点与点同时出发，设动点运动时间为． (1)求的长； (2)若动点在线段上运动，设，求关于的函数解析式，并写出定义域； (3)若动点在射线上运动，当点运动到终点时，点也停止运动，直接写出当时，的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）设，则，利用勾股定理求出，再根据直角三角形的性质即可求出的长； （）利用勾股定理求出，再根据三角形面积公式得到，代入即可求解，由即可确定的取值范围； （）由动点在射线上运动得到，同方法求出，进而得到，解方程即可求解； 本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，求函数解析式，三角形的面积，利用勾股定理得到是解题的关键． 【解析】（1）解：∵，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∵点为的中线， ∴； （2）解：如图，过点作于，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵动点在线段上运动， ∴， ∴的取值范围为， 故； （3）解：动点在射线上运动时，， ∴， ∴， 由整理得，， 即， 解得． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 23 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$