6.1 余弦定理与正弦定理（第3课时 用余弦定理、正弦定理解三角形）同步练习-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

6.1　余弦定理与正弦定理 第3课时　用余弦定理、正弦定理解三角形 1.若等腰三角形的周长是底边长的5倍,则它的顶角的余弦值为(　　). A.- B. C.- D. 2.(多选题)已知△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足sin A=sin C且S△ABC=bc,则对△ABC判断错误的是(　　). A.一定是等腰非等边三角形 B.一定是等边三角形 C.一定是直角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 3.在△ABC中,A=120°,a=,S△ABC=,则b等于(　　). A.1 B.4 C.1或4 D.5 4.已知△ABC的周长为20,面积为10,A=60°,则BC边的长为(　　). A.5 B.6 C.7 D.8 5.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=2,=3,B=,则△ABC的面积为(　　). A. B. C. D. 6.在△ABC中,若b=2,A=120°,其面积S=,则△ABC外接圆的半径为(　　). A. B.2 C.2 D.4 7.在△ABC中,若a=2,b=3,cos(A+B)=,则c=(　　). A. B.4 C. D.3 8.已知圆内接四边形ABCD各边的长度分别为AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,则AC的长为(　　). A.6 B.7 C.8 D.9 9.在△ABC中,AB=2,AC=4,()·=8,则△ABC的面积等于　　　　　.  10.如图,在平面四边形ABCD中,AD⊥CD,∠BAD=,2AB=BD=4. (1)求sin∠ADB; (2)若BC=,求CD. 11.如图,在四边形ABCD中,∠ADC=,AD=3,sin C=,连接BD,3BD=4BC. (1)求∠BDC的值; (2)若BD=,∠E=,求△ABE面积的最大值. 答案 1.B　设等腰三角形的底边长为a,顶角为θ,则腰长为2a, 由余弦定理得,cos θ=. 2.ACD　在△ABC中,因为sin A=sin C,所以A=C,所以角A是锐角, 又有S△ABC=bcsin A=bc,所以sin A=,得A=60°,所以三角形是等边三角形. 3.C　S△ABC=bcsin A=bc=,故bc=4,① 又a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2+bc=21,② 解①②组成的方程组,可得b=1或b=4,选C. 4.C　由题设a+b+c=20,bcsin 60°=10,得bc=40. a2=b2+c2-2bccos 60°=(b+c)2-3bc=(20-a)2-120,解得a=7,即BC边的长为7. 5.D　由=3,得a2+c2=3ac.因为b=2,B=,b2=a2+c2-2accos B,得4=3ac+ac, 所以ac=1,故△ABC的面积S=acsin B=. 6.B　因为S=bcsin A,所以×2csin 120°, 解得c=2,所以a==2. 设△ABC外接圆的半径为R,则2R==4,R=2. 7.A 8.B　在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B=89-80cos B, 在△ACD中,由余弦定理得AC2=CD2+AD2-2AD·CDcos D=34-30cos D, ∴89-80cos B=34-30cos D. ∵B+D=180°,∴cos B=-cos D,∴cos D=-, ∴AC2=34-30×=49,∴AC=7. 9.2　因为()·=8,所以=8⇒22+2×4×cos A=8⇒cos A=, 故A=.所以S△ABC=·AB·AC·sin A=×2×4×=2. 10.解 (1)△ABD中,,即,解得sin∠ADB=. (2)因为AD⊥CD, 所以sin∠ADB==cos∠CDB. △BCD中,cos∠CDB=,即, 故CD2-2CD-6=0,化简得(CD-3)(CD+)=0,解得CD=3. 11.解 (1)在△BCD中,由正弦定理得,∴sin∠BDC=. ∵3BD=4BC,∴BD>BC, ∴∠BDC为锐角,∴∠BDC=. (2)在△ABD中,∵AD=3,BD=,∠ADB=, ∴AB==2. 在△ABE中,由余弦定理得AB2=AE2+BE2-2AE·BE·cos ,∴12=AE2+BE2-AE·BE≥2AE·BE-AE·BE=AE·BE,当且仅当AE=BE时等号成立,∴AE·BE≤12, ∴S△ABE=·AE·BE·sin ×12×=3,即△ABE面积的最大值为3. 学科网（北京）股份有限公司 $$