（计算问题专项讲义）专题12 高斯求和-小升初数学模块化思维提升（通用版）

专题12-高斯求和 小升初数学模块化思维提升 （知识梳理+典题精讲+专项训练） (a1+an)×n 2 1、高斯求和公式就是等差求和公式：Sn= 2、解题思路。 先观察数据的变化趋势，然后套用高斯求和公式． 【典例一】观察下列数列：；，；，，；，，，，，分数是这列数中的第　　个。 A．3112 B．6124 C．3124 D．6122 【典例二】。（要求简便计算） 【典例三】100个连续自然数的和是8450，取出其中第一个，第三个，第五个，第九十九个（所有奇数个），再把这50个数相加，和是多少？ 一．选择题（共4小题） 1．德国数学家高斯在计算“”时，他这样算。“、、，，共有50个101，用”。以下式子可以用高斯的方法计算的有　　个。 ① ② ③ ④ A．4 B．3 C．2 D．1 2．用100个盒子装杯子，每盒装的个数都不相同，并且每盒不空，那么至少要用　　个杯子． A．100 B．500 C．1000 D．5050 3．小明在计算器上从1开始，按自然数的顺序做连加练习，当他加到某一数时，结果是1991，后来发现中间漏加了一个数，那么漏加的那个数是　　 A．24 B．25 C．28 D．29 4．观察下列数列：；，；，，；，，，，，分数是这列数中的第　　个。 A．3112 B．6124 C．3124 D．6122 二．填空题（共8小题） 5．仿照高斯算法，计算从101到200这连续100个自然数的和：　 　． 6．小虎练习跳绳，第一次跳了32下，以后每一次都比前一次多跳6下，他第四次跳了 　　下。 7．小明在计算器上从1开始，按自然数的顺序做连加练习，当他加到某数时，结果是2014，后来发现中间有个数多加了一次，多加的那个数是 　　。 8．　 　． 9．100、98、96、94、、8、6、4、2．这列数中，每个数都是　 　的倍数，第15个数是　 　． 10．学校合唱队庆祝国庆表演排列的队形为第一排5人，以后的每一排比前排多2人，这样共排了6排，合唱队第6排有　　人，这个合唱队一共有　　人． 11．（1），计算结果的个位上的数字是 　　。 （2）计算：　　。 12．在一次聚会中，客人们按照一定的规则随门铃声进入会场．第1次铃声，1个客人进入会场；第2次铃声，3个客人进入会场；第3次铃声，5个客人进入会场；第4次铃声，7个客人进入会场 ①第10次门铃响时，这一次有　　个客人进入会场； ②第次门铃响时，这一次有　　客人进入会场； ③某一次门铃响起时有31个客人同时进入会场，这是第　　次门铃响起． 三．计算题（共2小题） 13．简算： 14．计算：． 四．解答题（共8小题） 15．四年级小朋友做数学游戏．第1个小朋友拿3粒弹子，第2个小朋友拿4粒弹子，第3个小朋友拿5粒弹子，以此类推，后面的小朋友总比他前面的小朋友多拿1粒子弹，最后把弹子全拿完了．这些子弹如果平均分，每人可分到23粒．有　　个小朋友做数学游戏． 16．有10个盒子，44只乒乓球．把这44只乒乓球放到盒子中，每个盒子中至少要放一个球，能不能做到每个盒子中的球数都不相同？ 17．为庆祝建国六十周年，罗东中心小学举行了“我与祖国共奋进”系列活动，五年一班同学参加了诗歌朗诵．为了让每一个人都不被前面的同学挡住，从第二排起，每一排都比前一排多站1人．第一排站了8人，共站了4排，五年一班同学参加诗歌朗诵共有多少人？ 18．一个剧场设置了25排座位，第一排有32个座位，后面每排都比前面一排多两个座位，这个剧场共有多少个座位？ 19．小青每年都和家长一起参加植树节劳动．七岁那年，他种了第一棵树，以后每年都比前一年多种一棵．现在他已经长到15岁了，连续地种了九年树．请你算一算，这九年中小青一共种了多少棵树？ 20．叔叔在外地打零工，第一天领到的工钱是246元，比前一天多赚6元钱，最后一天他领到了312元，他共打了多少天零工？ 21．小糊涂对小博士说：“我想把54个围棋子放进十个盒子，每个盒子里都有棋子且每个盒子中的棋子数各不相同．”小博士听了，笑着说：“小糊涂你又糊涂了，你说的情况根本办不到．”小博士为什么能判断出这种情况根本办不到？说说你的理由． 22． 小朋友读了上面的故事后，你能快速计算出下面这道题吗？ 小明在课外书上看到这样的一道题，计算：。 他用高斯的方法怎么也算不出来。爸爸见小明愁眉紧锁的样子，对他说：“这是一道多个数进行加、减运算的综合题，加、减项数共有100项。若要简化计算，可通过前后次序的交换，把两个数结合为一组，共可结合成50组，每组值均为2。”在爸爸的指导下，小明很快算出了答案，爸爸说：“也可以依次序把四个数结合为一组，你再算算。”小明一边算，一边说：“这种数学解题方法真巧妙呀！”爸爸说：“是呀！解数学题要像高斯那样善于观察、善于思考，灵活运用解题方法，不能生搬硬套！” 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12-高斯求和 小升初数学模块化思维提升 （知识梳理+典题精讲+专项训练） (a1+an)×n 2 1、高斯求和公式就是等差求和公式：Sn= 2、解题思路。 先观察数据的变化趋势，然后套用高斯求和公式． 【典例一】观察下列数列：；，；，，；，，，，，分数是这列数中的第　　个。 A．3112 B．6124 C．3124 D．6122 【分析】第一组：，分子和分母和是2的一共1个分数； 第二组：，，分子和分母和是3的一共2个分数 第三组：，，，分子和分母和是4的一共3个分数 第四组：，，，，分子和分母和是5的一共4个分数 ，分子和分母的和是112一共有111个分数，根据分母从小到大，得出是这组数的第多少个，再加上前面111组的个数即可，计算时可以根据高斯求和的方法进行计算。 【解答】解：，分子和分母的和是112一共有111个分数，是这组数的第19个； 第：分数是这列数中的第6124个。 故选：。 【点评】本题难度较大，求解的关键是找出规律；当分数的分子和分母的和为的一组分数有个；另外要掌握累加求和的计算方法。 【典例二】。（要求简便计算） 【分析】根据高斯求和的方法，首先用1加上100，求出它们的和是多少；然后用所得的和乘所有的加数的个数，再除以2，求出算式的值是多少即可。 【解答】解： 【点评】高斯求和属于等差数列的求和，等差数列和（首项末项）项数。 【典例三】100个连续自然数的和是8450，取出其中第一个，第三个，第五个，第九十九个（所有奇数个），再把这50个数相加，和是多少？ 【分析】连续自然数相邻两数之差是1，所以第2个数比第1个数大1，第4个数比第3个数大1，，第50个数比第99个数大1，50个取出的数比没取出的50个数总共少50，再把取出的与没有取出的看成一个整体，由和差公式即可求出结果． 【解答】解：根据题意，由分析可得： 答：和是4200． 【点评】根据自然数相邻两数之差是1，把取出的与没有取出的看成一个整体，求出它们之间的差，由和差公式进行解答即可． 一．选择题（共4小题） 1．德国数学家高斯在计算“”时，他这样算。“、、，，共有50个101，用”。以下式子可以用高斯的方法计算的有　　个。 ① ② ③ ④ A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】高斯求和是在等差数列中利用结合的方法，把数列中的数变成相同的数，再用相同的数乘项数的一半。 【解答】解：② ③ ④ 故选：。 【点评】熟悉高斯求和原理是解决本题的关键。 2．用100个盒子装杯子，每盒装的个数都不相同，并且每盒不空，那么至少要用　　个杯子． A．100 B．500 C．1000 D．5050 【分析】用100个盒子装杯子，每盒装的个数都不相同，并且盒盒不空，所以有100种不同的装法，要求至少需要多少个杯子，那么可以从最少的个数装起：即每个盒子里的杯子数分别为1、2、3、4、5、，由此可得出所需要的杯子数为：，利用高斯求和的方法即可解决问题． 【解答】解：根据题干分析可得：每个盒子里的杯子数分别为1、2、3、4、5、， 所以需要的杯子数为：， ， ， （个， 故选：。 【点评】此题考查了利用高斯求和的方法解决此类计算题目的灵活应用，这里要求的是最少需要的杯子数，要考虑每个箱子可装的最少杯子数． 3．小明在计算器上从1开始，按自然数的顺序做连加练习，当他加到某一数时，结果是1991，后来发现中间漏加了一个数，那么漏加的那个数是　　 A．24 B．25 C．28 D．29 【分析】根据自然数连加的公式：．如果连加到，结果应当为，因为漏加一项，变为1991 所以大于1991 探讨得出大于63 显然是连加到63了，其中漏加的数为加到63的和减去1991． 【解答】解：； ； 漏加之数为： ． 答：漏加的那个数是25． 故选：． 【点评】本题关键是会利用自然数连加公式求出是连加到了多少，知道了连加到了多少就可求解． 4．观察下列数列：；，；，，；，，，，，分数是这列数中的第　　个。 A．3112 B．6124 C．3124 D．6122 【分析】第一组：，分子和分母和是2的一共1个分数； 第二组：，，分子和分母和是3的一共2个分数 第三组：，，，分子和分母和是4的一共3个分数 第四组：，，，，分子和分母和是5的一共4个分数 ，分子和分母的和是112一共有111个分数，根据分母从小到大，得出是这组数的第多少个，再加上前面111组的个数即可，计算时可以根据高斯求和的方法进行计算。 【解答】解：，分子和分母的和是112一共有111个分数，是这组数的第19个； 第：分数是这列数中的第6124个。 故选：。 【点评】本题难度较大，求解的关键是找出规律；当分数的分子和分母的和为的一组分数有个；另外要掌握累加求和的计算方法。 二．填空题（共8小题） 5．仿照高斯算法，计算从101到200这连续100个自然数的和：　4950　． 【分析】本题根据高斯求和公式计算即可：（末项首项）项数． 【解答】解： ． 故答案为：4950． 【点评】本题考查了学生对于高斯求和分式的掌握与应用． 6．小虎练习跳绳，第一次跳了32下，以后每一次都比前一次多跳6下，他第四次跳了 　50　下。 【分析】第一次跳了32下，以后每一次都比前一次多跳6下，第四次跳的下数比第一次多了3个6下；据此即可解答。 【解答】解： （下 答：他第四次跳了50下。 故答案为：50。 【点评】分析清楚每次跳的下数与第一次跳的下数的关系，再作进一步解答。 7．小明在计算器上从1开始，按自然数的顺序做连加练习，当他加到某数时，结果是2014，后来发现中间有个数多加了一次，多加的那个数是 　61　。 【分析】高斯求和公式：。多加了一个数，结果是2014，那么的结果小于2014。探讨得出小于63，则连加到62了，多加的数是2014减去连加到62的和。 【解答】解： 多加的数为：。 【点评】此题的关键是先求出连加到了哪个数，然后再进一步解答。 8．　220　． 【分析】根据高斯求和的原理，把、依次结合，最后再加上20，由此进行求解即可． 【解答】解： 故答案为：220． 【点评】解决本题关键是正确的进行两两结合，不要漏了最后的20． 9．100、98、96、94、、8、6、4、2．这列数中，每个数都是　2　的倍数，第15个数是　 　． 【分析】根据给出的数列，得出此数列都是2的倍数；并且是以100为首项，公差是2的等差数列，由此利用求项公式解答． 【解答】解：这列数中，每个数都是2的倍数． ． 故答案为：2，72． 【点评】本题主要是利用等差数列的求项公式解答． 10．学校合唱队庆祝国庆表演排列的队形为第一排5人，以后的每一排比前排多2人，这样共排了6排，合唱队第6排有　15　人，这个合唱队一共有　　人． 【分析】每排人数构成一个公差为“2”的等差数列，首项为5，项数为6．因此本题根据高斯求和公式进行计算即可：末项首项（项数公差，等差数列和（首项末项）项数． 【解答】解： （人 （人 答：合唱队第6排有 15人，这个合唱队一共有 60人． 故答案为：15；60． 【点评】高斯求和相关公式：末项首项（项数公差，项数（末项首项）公差，首项末项（项数公差，数列和（首项末项）项数． 11．（1），计算结果的个位上的数字是 　2　。 （2）计算：　　。 【分析】（1）要求加减混合运算的计算结果的个位上的数字是几，只需要考虑算式中的每个数的个位上的数字即可； （2）按首尾数字相加，，，，，共有50个101，化为乘法运算即可。 【解答】解：（1）， 所以，计算结果的个位上的数字是2。 （2） 故答案为：2；5050。 【点评】本题主要考查了高斯求和及数字问题，解题的关键是根据算式的特点找出简算方法。 12．在一次聚会中，客人们按照一定的规则随门铃声进入会场．第1次铃声，1个客人进入会场；第2次铃声，3个客人进入会场；第3次铃声，5个客人进入会场；第4次铃声，7个客人进入会场 ①第10次门铃响时，这一次有　19　个客人进入会场； ②第次门铃响时，这一次有　　客人进入会场； ③某一次门铃响起时有31个客人同时进入会场，这是第　　次门铃响起． 【分析】①②：根据题意：第1次铃声，1个客人进入会场；第2次铃声，3个客人进入会场；第3次铃声，5个客人进入会场；第4次铃声，7个客人进入会场可知门铃是按自然数的顺序排列，而客人数是按奇数的顺序排列的．规律是：进入会场的客人数是铃响次数的2倍减1；据此规律可算出第10次和第次门铃响时进入会场的客人数． ③：根据第②问的规律设是第次门铃响起时有31个客人同时进入会场，列方程进行求解． 【解答】解：①：根据题意：第1次铃声，1个客人进入会场；第2次铃声，3个客人进入会场；第3次铃声，5个客人进入会场；第4次铃声，7个客人进入会场可知门铃是按自然数的顺序排列，而客人数是按奇数的顺序排列的．规律是：进入会场的客人数是铃响次数的2倍减1；所以第10次铃声，进入会场的客人有： （个 答：第10次门铃响时，这一次有19个客人进入会场． ②依据规律进入会场的客人数是铃响次数的2倍减1，所以第次门铃响时，有个客人进入会场． ③设第次门铃响起时有31个客人同时进入会场． 答：是第16次门铃响起． 故答案为：①19，②，③16． 【点评】在认真分析所给条件的基础上发现规律，并将规律进行总结是完成本题的关键． 三．计算题（共2小题） 13．简算： 【分析】运用高斯求和的方法，把第一个加数和最后一个加数相结合，得到200，第二个加数和倒数第二个加数相结合得到200，以此类推，一共是99个200，还剩下一个加数100，再加上100即可。 【解答】解： 【点评】熟练运用高斯求和的原理是解决本题的关键；注意找清楚有多少个算式的和是200。 14．计算：． 【分析】根据高斯求和公式直接进行计算即可：等差数列和（首项末项）项数． 【解答】解： 【点评】本题考查了高斯求和的灵活应用，其它相关公式：末项首项（项数公差，项数（末项首项）公差，首项末项（项数公差． 四．解答题（共8小题） 15．四年级小朋友做数学游戏．第1个小朋友拿3粒弹子，第2个小朋友拿4粒弹子，第3个小朋友拿5粒弹子，以此类推，后面的小朋友总比他前面的小朋友多拿1粒子弹，最后把弹子全拿完了．这些子弹如果平均分，每人可分到23粒．有　41　个小朋友做数学游戏． 【分析】此题可以设有个小朋友，那么就有弹子粒，第个小朋友应拿个；然后根据高斯求和公式和建立等式：，求出结果． 【解答】解：设有个小朋友，由题意得： ， ， ； 答：有41个小朋友做数学游戏． 故答案为：41． 【点评】此题考查学生高斯求和公式的具体运用，同时考查了学生分析问题的能力．此题重点推出第个小朋友应拿个． 16．有10个盒子，44只乒乓球．把这44只乒乓球放到盒子中，每个盒子中至少要放一个球，能不能做到每个盒子中的球数都不相同？ 【分析】这是一个等差数列的应用题，解题关键是由已知数列所有项的个数按最少量算出它们的总和，然后与题意中给的乒乓球的总数44相比较，如果相等，就说明能够将44个乒乓球放到10个盒子中去，且使各盒子里的乒乓球数不相等；否则就不能． 【解答】解：由题意，要使10个盒子中乒乓球的数量不相等， 最少的放法是： 1，2，、10个， 计算总和： （个 因为， 所以44个乒乓球不能满足题目的假设． 答：不能做到每个盒子中的球数都不相同． 【点评】本题是一个等差数列求和的应用题，解题方法是由题设条件，得到一个符合题意的等差数列，计算这个数列的和，来判断题设中给出的总和是否能使题目的假设成立． 17．为庆祝建国六十周年，罗东中心小学举行了“我与祖国共奋进”系列活动，五年一班同学参加了诗歌朗诵．为了让每一个人都不被前面的同学挡住，从第二排起，每一排都比前一排多站1人．第一排站了8人，共站了4排，五年一班同学参加诗歌朗诵共有多少人？ 【分析】已知第一排站了8人，又每排都要比前一排多站1人，共站满了4排，所以最后一排站了人，所以共有人数为：人． 【解答】解： （人 答：五年一班同学参加诗歌朗诵共有38人． 【点评】高斯求和公式为：（首项末项）项数． 18．一个剧场设置了25排座位，第一排有32个座位，后面每排都比前面一排多两个座位，这个剧场共有多少个座位？ 【分析】由题意可知，25排座位数是首项为32，公差为2，项数为25的等差数列，根据“首项公差（项数末项”可求得末项是多少，再根据“（首项末项）项数数列和”解答即可． 【解答】解：第25排的座位数： （个； 这个剧场一共设置的座位总数是： （个； 答：这个剧场共有1400个座位． 【点评】本题考查了高斯求和公式的实际应用，相关的知识点是：和（首项末项）项数；首项末项公差（项数；末项首项公差（项数；项数（末项首项）公差． 19．小青每年都和家长一起参加植树节劳动．七岁那年，他种了第一棵树，以后每年都比前一年多种一棵．现在他已经长到15岁了，连续地种了九年树．请你算一算，这九年中小青一共种了多少棵树？ 【分析】由题意可知，小青连续九年所种树的棵数就是一个首项为1、公差为1的等差数列，根据等差数列通项公式：（首项末项）项数和解答即可． 【解答】解： （棵 答：这九年中小青一共种了45棵树． 【点评】此题考查了等差数列通项公式：（首项末项）项数和的运用． 20．叔叔在外地打零工，第一天领到的工钱是246元，比前一天多赚6元钱，最后一天他领到了312元，他共打了多少天零工？ 【分析】本题的钱数构成一个公差为“6”的等差数列，首项为246，末项为312，求项数．因此本题根据高斯求和相关公式：项数（末项首项）公差进行计算即可． 【解答】解： （天 答：他共打了12天零工． 【点评】高斯求和其它相关公式：等差数列和（首项末项）项数，末项首项（项数公差，项数（末项首项）公差，首项末项（项数公差． 21．小糊涂对小博士说：“我想把54个围棋子放进十个盒子，每个盒子里都有棋子且每个盒子中的棋子数各不相同．”小博士听了，笑着说：“小糊涂你又糊涂了，你说的情况根本办不到．”小博士为什么能判断出这种情况根本办不到？说说你的理由． 【分析】假设正好放进十个盒子，每个盒子里都有棋子且每个盒子中的棋子数各不相同，设这些围棋子的个数是一个公差为“1”的等差数列，首项为1，末项为10，项数为10．因根据高斯求和公式：等差数列和（首项末项）项数求出需要的个数，再和54比较即可． 【解答】解：因为， （个 ，说明54粒棋子少了， 所以，小糊涂所说的情况肯定办不到． 【点评】高斯求和其它相关公式：末项首项（项数公差，项数（末项首项）公差，首项末项（项数公差． 22． 小朋友读了上面的故事后，你能快速计算出下面这道题吗？ 小明在课外书上看到这样的一道题，计算：。 他用高斯的方法怎么也算不出来。爸爸见小明愁眉紧锁的样子，对他说：“这是一道多个数进行加、减运算的综合题，加、减项数共有100项。若要简化计算，可通过前后次序的交换，把两个数结合为一组，共可结合成50组，每组值均为2。”在爸爸的指导下，小明很快算出了答案，爸爸说：“也可以依次序把四个数结合为一组，你再算算。”小明一边算，一边说：“这种数学解题方法真巧妙呀！”爸爸说：“是呀！解数学题要像高斯那样善于观察、善于思考，灵活运用解题方法，不能生搬硬套！” 【分析】1按照高斯求和的方法，第一个数和最后一个数结合第二个数和倒数第二个数结合，这样算下来共有25组； 2根据爸爸的方法第一种方法第一个加数和第一个减数结合，第二个加数和第二个减数结合，共有50个2，根据第二种方法，依次序把四个数结合为一组，一组就是一个4，100个数组成25组。 【解答】解： 。 【点评】本题侧重考查知识点的能力。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$