（计算问题专项讲义）专题14 积和商的变化规律-小升初数学模块化思维提升（通用版）

专题14-积和商的变化规律 小升初数学模块化思维提升 （知识梳理+典题精讲+专项训练） 1、积的变化规律： （1）如果一个因数乘或除以一个数，另一个因数不变，那么，它们的积也乘或除以同一个数。 （2）如果一个因数乘或除以一个数，另一个因数除以或乘同一个数，那么，它们的积不变。 2、商的变化规律： ①除数不变，被除数乘（除以）一个数，商也乘（除以）同一个数； ②被除数不变，除数乘（除以）一个数，商除以（乘）同一个数； ③被除数和除数同时乘（除以）同一个数，商不变。 【典例一】根据，直接写出下面各题的得数。 【典例二】妈妈准备用96元钱买一些花苗来美化自家的院子。 花苗的单价（元 2 4 6 8 花苗的棵数（株 　　 　　 　　 　　 （1）请将表格填写完整。 （2）你发现了什么？ 一．选择题（共8小题） 1．与得数相同的算式是　　 A． B． C． D． 2．如果把两个数的积由165.2改成1.652，一个因数不变，那么另一个因数就应　　 A．扩大到原来的10倍。 B．缩小到原来的。 C．扩大到原来的100倍。 D．缩小到原来的。 3．一个不等于0的数除以，再乘，结果　　 A．比原数大 B．比原数小 C．与原数相等 4．在中，如果被除数和除数同时扩大到原来的10倍，商和余数分别是　　 A．5和3 B．50和30 C．50和3 D．5和30 5．浩浩说：“两个分数的积一定比这两个数都小。”下面算式说明他的说法错误的是　　 A． B． C． 6．根据，不用计算，判断下面算式不正确的一项是　　 A． B． C． D． 7．根据□△△，可知下面选项中错误的是　　 A．□△ B．□△ C．□△ 8．，为大于零的自然数），当，同时扩大到原来的100倍时，结果是　　 A． B． C． D． 二．填空题（共6小题） 9．已知，那么 　　， 　　。 10．在横线上填上“”“ ”或“”。 　　0.5 　　0.55 　　 11．根据直接写出下面各题的积。 　　 　　 12．如果，则一定 　　1。（填“大于”、“小于”或“等于” 13．在算式、中，当　　时，商大于；当　　时，商小于；当　　时，商等于。 14．两个数相除商80余20，如果被除数和除数同时缩小到原来的，那么商是 　　，余数是 　　。 三．计算题（共3小题） 15．根据，直接写出下面各题的得数。 16．根据，写出下面各式的得数． 17．根据每组题的第1题的商，写出下面两题的商。 四．应用题（共7小题） 18．幸福社区的中心广场有一块宽是6米、面积是114平方米的长方形草坪，如果长不变，宽扩大到18米。扩大后的草坪面积是多少？ 19．一个长方形鱼塘的面积是2000平方米，扩建后长扩大到原来的5倍，宽扩大到原来的4倍。扩建后鱼塘的面积是多少公顷？ 20．聪聪学习计算时发现，不考虑0参与运算的情况下：一个数加上另一个数，和比原数大；一个数减去另一个数，差比原数小；而乘法运算则有不一样的规律，一个数乘比1大的数，积才会比原数大，乘比1小的数，积却比原数小，聪聪举例验证乘法运算的规律，他的想法如图，请你仿照聪聪的方法说明： （1） （2） 21．两个因数相乘，如果第一个因数增加1.3，积就增加9.1；第二个因数减少3，积就减少5.7，这两个因数分别是多少？ 22．两数相乘，如果一个因数加上5，积增加80；如果另一个因数减少4，积就减少100。原来两个数相乘的积是多少？ 23．小马在计算7.38除以一个数时，由于商的小数点向左多点了一位，结果得0.492．这道题的除数是多少？ 24．计算一个数除以600，利用商不变的规律，被除数和除数的末尾同时去掉两个0，这时余数减少了198。原来的余数是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14-积和商的变化规律 小升初数学模块化思维提升 （知识梳理+典题精讲+专项训练） 1、积的变化规律： （1）如果一个因数乘或除以一个数，另一个因数不变，那么，它们的积也乘或除以同一个数。 （2）如果一个因数乘或除以一个数，另一个因数除以或乘同一个数，那么，它们的积不变。 2、商的变化规律： ①除数不变，被除数乘（除以）一个数，商也乘（除以）同一个数； ②被除数不变，除数乘（除以）一个数，商除以（乘）同一个数； ③被除数和除数同时乘（除以）同一个数，商不变。 【典例一】根据，直接写出下面各题的得数。 【分析】积的变化规律： （1）如果一个因数扩大（或缩小）若干倍除外），另一个因数不变，那么它们的积也扩大（或缩小）同样的倍数； （2）如果一个因数扩大若干倍除外），另一个因数缩小相同的倍数，那么它们的积不变。 【解答】解： 故答案为：33.97；3.397；4.3。 【点评】此题重点考查积的变化规律的应用。 【典例二】妈妈准备用96元钱买一些花苗来美化自家的院子。 花苗的单价（元 2 4 6 8 花苗的棵数（株 　　 　　 　　 　　 （1）请将表格填写完整。 （2）你发现了什么？ 【分析】我们通过认真观察统计表可以发现，总钱数花苗的单价花苗的棵数；计算出花苗的棵数，同时会发现花苗总钱数是一定的，花苗的单价越小，买的棵数就越多。 【解答】解：（株 （株 （株 （株 （1）填表如下： 花苗的单价（元 2 4 6 8 花苗的棵数（株 48 24 16 12 （2）我发现花苗总钱数是一定的，花苗的单价越小，买的棵数就越多。 故答案为：48，24，16，12。 【点评】明确“总钱数花苗的单价花苗的棵数；”是解答此题的关键。 一．选择题（共8小题） 1．与得数相同的算式是　　 A． B． C． D． 【分析】如果一个因数乘或除以几除外），另一个因数除以或乘相同的数，那么，它们的积不变。 【解答】解：，相比于原式是一个因数除以100，另一个因数乘10，得数不相同； ，相比于原式是一个因数除以100，另一个因数乘100，得数相同； ，相比于原式是一个因数乘10，另一个因数也乘10，得数不相同； ，相比于原式是一个因数除以10，另一个因数不变，得数不相同。 故选：。 【点评】此题主要考查了积不变性质的运用。 2．如果把两个数的积由165.2改成1.652，一个因数不变，那么另一个因数就应　　 A．扩大到原来的10倍。 B．缩小到原来的。 C．扩大到原来的100倍。 D．缩小到原来的。 【分析】根据积的变化规律：如果一个因数缩小到原来的几分之一，另一个因数不变，那么积也缩小到原来的几分之一；据此解答。 【解答】解：如果把两个数的积由165.2改成1.652，相当于积缩小到原来的，一个因数不变，那么另一个因数就应缩小到原来的。 故选：。 【点评】熟练掌握积的变化规律是解决此题的关键。 3．一个不等于0的数除以，再乘，结果　　 A．比原数大 B．比原数小 C．与原数相等 【分析】根据积的变化规律，一个不等于0的数除以，就是把这个数扩大了5倍，再乘，就是又把结果缩小了5倍，所以结果与原数相等，据此解答即可． 【解答】解：一个不等于0的数除以，就是把这个数扩大了5倍，再乘，就是又把结果缩小了5倍，所以结果与原数相等． 故选：． 【点评】熟练掌握分数乘除法的计算方法以及积的变化规律是解答此类问题的关键． 4．在中，如果被除数和除数同时扩大到原来的10倍，商和余数分别是　　 A．5和3 B．50和30 C．50和3 D．5和30 【分析】有余数的除法算式，被除数和除数同时扩大到原来的10倍，则商不变，余数也扩大到原来的10倍。 【解答】解： 答：商是5，余数是30。 故选：。 【点评】本题主要考查了学生对有余数除法的计算方法的掌握。 5．浩浩说：“两个分数的积一定比这两个数都小。”下面算式说明他的说法错误的是　　 A． B． C． 【分析】一个数（大于，乘一个大于1的数，积大于第一个因数，乘一个小于1的数，积小于第一个因数。 【解答】解：因为，所以。 所以两个分数的积不一定比这两个数都小，能说明他的说法错误的算式是。 故选：。 【点评】本题解题的关键是熟练掌握积的变化规律。 6．根据，不用计算，判断下面算式不正确的一项是　　 A． B． C． D． 【分析】根据商的变化规律，确定商随被除数乘几或除以几，或随除数乘几除以几反而除以几乘几作答。 【解答】解：式中，被除数乘2，除数不变，商应该也乘2，结果正确。 式中，被除数乘10，除数乘20，所以商应该先乘10再除以20，相当于除以2，结果正确。 式中，被除数、除数同时乘100，商不变，结果正确。 式中，被除数除以10，商16改作除数，除数0.14改作商应该也除以10，结果应该是0.014，而不是1.4，结果错误。 综上可得：不正确的一项是。 故选：。 【点评】商不变规律主要体现为三个方面： 一是除数不变，被除数乘几或除以几，商也随之乘几或除以几。 二是被除数不变，除数乘几或除以几，商反而除以几或乘几。 三是被除数、除数都变，商先随被除数乘或除以相同的数除外），再随除数乘几或除以几而除以几或乘几除外）。 7．根据□△△，可知下面选项中错误的是　　 A．□△ B．□△ C．□△ 【分析】商的变化规律： ①除数不变，被除数乘（除以）一个数除外），商也乘（除以）同一个数； ②被除数不变，除数乘（除以）一个数除外），商除以（乘同一个数； ③被除数和除数同时乘（除以）同一个数除外），商不变。 【解答】解：根据□△△，可知下面选项中错误的是□△。 故选：。 【点评】此题考查了商的变化规律。 8．，为大于零的自然数），当，同时扩大到原来的100倍时，结果是　　 A． B． C． D． 【分析】被除数和除数都乘或除以一个相同的数除外），商不变，余数也同时乘或除以一个相同的数除外）。据此判断即可。 【解答】解：，为大于零的自然数），当，同时扩大到原来的100倍时，结果是。 故选：。 【点评】熟练掌握商的变化规律是解题的关键。 二．填空题（共6小题） 9．已知，那么 　2.7　， 　　。 【分析】在除法算式中，被除数和除数同时乘或除以相同的数除外），商不变；据此解答。 【解答】解：已知，那么，。 故答案为：2.7，2.7。 【点评】此题考查商不变规律的运用：只有被除数和除数同时乘或除以相同的数除外），商才不变。 10．在横线上填上“”“ ”或“”。 　　0.5 　　0.55 　　 【分析】一个数除外）除以小于1的数除外），商大于这个数；一个数除外）乘小于1的数，积小于这个数；据此解答。 【解答】解： 故答案为：，，。 【点评】此题考查了不用计算判断因数与积之间、商与被除数之间大小关系的方法。 11．根据直接写出下面各题的积。 　56250　 　　 【分析】根据积的变化规律：两数相乘，如果一个因数不变，另一个因数乘几，积也会随之乘几；据此解答。 【解答】解：根据，可得： 故答案为：56250，4500。 【点评】本题考查的是积的变化规律，准确判断因数发生的变化是解决本题的关键。 12．如果，则一定 　大于　1。（填“大于”、“小于”或“等于” 【分析】一个数除外）乘大于1的数，积大于这个数；据此解答。 【解答】解：如果，则一定大于1。 故答案为：大于。 【点评】此题考查了不用计算判断因数与积之间大小关系的方法。 13．在算式、中，当　　时，商大于；当　　时，商小于；当　　时，商等于。 【分析】一个数除外）除以一个小于1的数，商大于这个数；一个数除外）除以一个大于1的数，商小于这个数；一个数除以1，商等于这个数。据此解答。 【解答】解：在算式、中，当时，商大于；当时，商小于；当时，商等于。 故答案为：，，。 【点评】解答本题需熟练掌握商的变化规律及用字母表示数的方法。 14．两个数相除商80余20，如果被除数和除数同时缩小到原来的，那么商是 　80　，余数是 　　。 【分析】被除数和除数都乘或除以一个相同的数除外），商不变，余数也同时乘或除以一个相同的数除外）。据此判断即可。 【解答】解：两个数相除商80余20，如果被除数和除数同时缩小到原来的，那么商是80，余数是。 故答案为：80，2。 【点评】熟练掌握商不变的规律和余数的变化规律是解题的关键。 三．计算题（共3小题） 15．根据，直接写出下面各题的得数。 【分析】积的变化规律： （1）如果一个因数扩大（或缩小）若干倍除外），另一个因数不变，那么它们的积也扩大（或缩小）同样的倍数； （2）如果一个因数扩大若干倍除外），另一个因数缩小相同的倍数，那么它们的积不变。 【解答】解： 故答案为：33.97；3.397；4.3。 【点评】此题重点考查积的变化规律的应用。 16．根据，写出下面各式的得数． 【分析】根据积的变化规律，一个因数不变，另一个因数扩大或缩小几倍除外），积也扩大或缩小相同的倍数；如果两个因数扩大相同的倍数除外），积扩大的倍数就等于两个因数扩大倍数的乘积；两个因数都缩小相同的倍数除外），积缩小的倍数等于两个因数缩小倍数的乘积；由此解答． 【解答】解：根据，可得： ． 【点评】此题主要考查的是积的变化规律的灵活应用． 17．根据每组题的第1题的商，写出下面两题的商。 【分析】商的变化规律：除数不变，被除数扩大到原来的几倍或缩小到原来的几分之一，商就扩大到相同的倍数或缩小到原来的几分之一除外）；在除法算式中，被除数和除数同时乘或除以相同的数除外），商不变。 【解答】解： 【点评】此题考查了商的变化规律的灵活运用。 四．应用题（共7小题） 18．幸福社区的中心广场有一块宽是6米、面积是114平方米的长方形草坪，如果长不变，宽扩大到18米。扩大后的草坪面积是多少？ 【分析】长方形的面积公式：，根据因数与积的变化规律，一个因数不变，另一个因数扩大到原来的几倍，积也扩大到原来的几倍，据此解答。 【解答】解： （平方米） 答：扩大后的草坪面积是342平方米。 【点评】此题主要考查长方形的面积公式以及积的变化规律的灵活运用。 19．一个长方形鱼塘的面积是2000平方米，扩建后长扩大到原来的5倍，宽扩大到原来的4倍。扩建后鱼塘的面积是多少公顷？ 【分析】根据题意，根据长方形的面积公式，长方形的面积长宽，长扩大到原来的5倍，宽扩大到原来的4倍，所以面积扩大到原来的20倍，再根据面积单位平方米和公顷之间的进率为10000，据此计算。 【解答】解：原来的面积：原来的长原来的宽（平方米） 扩大后的面积：（原来的长（原来的宽原来的面积（平方米）（公顷） 答：扩建后的鱼塘的面积是4公顷。 【点评】熟练掌握长方形的面积的计算方法以及积的变化规律是解题的关键。 20．聪聪学习计算时发现，不考虑0参与运算的情况下：一个数加上另一个数，和比原数大；一个数减去另一个数，差比原数小；而乘法运算则有不一样的规律，一个数乘比1大的数，积才会比原数大，乘比1小的数，积却比原数小，聪聪举例验证乘法运算的规律，他的想法如图，请你仿照聪聪的方法说明： （1） （2） 【分析】依据乘法分配律和积的变化规律解答。 【解答】解：（1）因为 又因为， 所以。 （2）因为 又因为， 所以。 【点评】掌握积的变化规律是解题关键。 21．两个因数相乘，如果第一个因数增加1.3，积就增加9.1；第二个因数减少3，积就减少5.7，这两个因数分别是多少？ 【分析】第一个因数增加1.3，积就增加9.1，那么第二个因数是； 第二个因数减少3，积就减少5.7，则第一个因数是。 【解答】解： 答：这两个因数分别是7和1.9。 【点评】此题主要考查的是积的变化规律的灵活应用。 22．两数相乘，如果一个因数加上5，积增加80；如果另一个因数减少4，积就减少100。原来两个数相乘的积是多少？ 【分析】如果一个因数加上5，积增加80，可知另一个因数是；如果另一个因数减少4，积就减少100，可知另一个因数是。那么原来两个数相乘的积是。 【解答】解： 答原来两个数相乘的积是400。 【点评】此题主要考查的是积的变化规律的灵活应用。 23．小马在计算7.38除以一个数时，由于商的小数点向左多点了一位，结果得0.492．这道题的除数是多少？ 【分析】由于商的小数点向左多点了一位，结果得0.492，根据小数点移动的规律可得正确结果为，再利用被除数商除数可以得到结果． 【解答】解： 答：这道题的除数是1.5． 【点评】此题主要考查被除数、除数和商的关系，关键是熟悉被除数商除数的知识点． 24．计算一个数除以600，利用商不变的规律，被除数和除数的末尾同时去掉两个0，这时余数减少了198。原来的余数是多少？ 【分析】被除数和除数都乘或除以一个相同的数除外），商不变，余数也同时乘或除以一个相同的数除外）。据此把现在的余数看作1份，则原来的余数是100份，用余数减少的数除以现在的余数与原来余数的份数差，求出1份是多少，再乘100就是原来的余数。 【解答】解： 答：原来的余数是200。 【点评】考查商的变化规律：被除数和除数都乘或除以一个相同的数除外），商不变，余数也同时乘或除以一个相同的数除外）。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$