精品解析：陕西省咸阳市 泾阳县高庄镇高庄中学2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024～2025学年度第一学期期中调研试题（卷） 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. ，若，，则与的相似比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质、相似三角形的相似比；根据相似三角形的性质及相似比的概念即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即相似比为； 故选：A． 2. 菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是，点A的纵坐标是1，则点B的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，坐标与图形，连接交于点D，菱形的性质，得到，进而求出点B的坐标即可． 【详解】解：连接交于点D， ∵四边形是菱形，点C的坐标是，点A的纵坐标是1， ∴， ∴点B的坐标是． 故选：B． 3. 为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获30条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼，通过多次重复试验后发现捕捞的鱼中有做记号的频率稳定在左右，则估计鱼塘中鱼的条数为（ ） A. 600条 B. 1000条 C. 1200条 D. 2200条 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查统计中用样本估计总体的思想，熟练掌握并利用样本总量除以所求量占样本的比例即可估计总量．由题意已知鱼塘中有记号的鱼所占的比例，用样本中的鱼除以鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数． 【详解】解：． 故选：C． 4. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则a的值为（） A. B. 4 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，掌握方程的解是满足方程的未知数的值成为解题的关键． 将代入方程得到关于a的方程求解即可． 【详解】∵是方程的根， ∴将代入得，即，解得：． 故选B． 5. 如图，一只松鼠先经过第一道门（A，B或C），再经过第二道门（D或E）出去，则松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的只有1种结果， 所以松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的概率为， 故选：A． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为:概率所求情况数与总情况数之比． 6. 如图，在正方形中，为其对角线，点E为上一个动点，连接，，过D作交于F，连接．下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，先由平行线的性质得到，再由平角的定义证明，由正方形的性质得到，则可证明得到，，进而可证明得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，，故A、D结论正确，不符合题意； ∴， ∴，故B结论正确，不符合题意； 根据现有条件无法证明，故C结论错误，符合题意； 故选：C． 7. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，应邀请多少个队参加比赛．设应邀请x个队参加比赛，则x的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】设邀请x个球队参加比赛，那么第一个球队和其他球队打（x−1）场球，第二个球队和其他球队打（x−2）场，以此类推可以知道共打（1＋2＋3＋…＋x−1）场球，然后根据计划安排21场比赛即可列出方程求解． 【详解】解：设邀请x个球队参加比赛， 依题意得x(x−1)＝21， ∴x＝7或x＝−6（不合题意，舍去）． ∴应邀请7个球队参加比赛． 故选A． 【点睛】此题和实际生活结合比较紧密，准确找到关键描述语，从而根据等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．此题还要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解． 8. 如图，在矩形中，，，点E、F分别为、的中点，、相交于点G，过点E作，交于点H，则线段的长度是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的性质得出，求出，，求出，根据勾股定理求出，求出，根据三角形的中位线求出，根据相似三角形的判定得出，根据相似三角形的性质得出，再求出答案即可． 【详解】解析：四边形是矩形，，， ，，， 点E、F分别为、的中点， ，， ， ， ， ． 由勾股定理得：， ， ， ， ， ， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质和相似三角形的性质和判定，能熟记矩形的性质是解此题的关键． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 如图，四边形是平行四边形，对角线与交于点，要使它成为菱形，那么需要添加的条件是：______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可添加条件． 【详解】解：添加条件，则可根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得到四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 10. 如图，，与相交于点．若，，，则的长为_____． 【答案】2． 【解析】 【分析】易得，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键． 11. 如图，延长矩形的边至点，使，连结，若，则____． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角与内角关系，解题关键是添加辅助线构造等腰三角形，掌握矩形对角线互相平分且相等，对边平行等性质．如图，连接，根据矩形对角线互相平分且相等，对边分别平行，得，，，根据“等边对等角”及平行线的性质得，已知，根据等量代换得，然后根据“等边对等角”，即可得，再根据“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和”，得，求解即可得出答案． 【详解】解：如图，连接交于点， 四边形是矩形， ，，， ，则， ， ， ， ， ， 故答案为：． 12. 一种新款汽车刚上市的价格是18万元/辆，每年的降价率为，如果该款车在上市满两年后的价格为万元/辆，求年降价率的值．根据题意列出关于的方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，由每年的降价率为可得一年后的价格为万元/辆，则二年后的价格为万元/辆，据此建立方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 13. 从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，该顶点与该交点间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个小三角形是等腰三角形，另一个与原三角形相似，那么我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线，如图，在△ABC中，DB＝1，BC＝2，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，则CD的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设AB=x，利用△BCD∽△BAC，得=，列出方程即可解决问题． 【详解】∵△BCD∽△BAC， ∴=， 设AB=x， ∴22=x， ∵x＞0， ∴x=4， ∴AC=AD=4-1=3， ∵△BCD∽△BAC， ∴=＝， ∴CD=． 故答案为 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是利用△BCD∽△BAC解答． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 用公式法解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：原方程整理得， ，，， ， ∴， ∴，． 15. 某商铺推出不同拼装方式的“口味牛奶”盲盒促销活动（即箱子中装有不同口味的牛奶，但每个口味的牛奶数量不祥），莉莉想要购买两种口味的牛奶，于是她选择了“口味牛奶拼装”的盲盒（共120袋牛奶），收到货后，她想要估计两种口味的牛奶各有多少袋，于是她将这些牛奶放在一个大箱子中摇匀，随机在箱子中拿出一袋牛奶记下口味后放回，记为一次试验，经过多次重复试验后发现，摸出的牛奶是种口味的频率稳定在，估计莉莉购买的牛奶中口味牛奶有多少袋？ 【答案】66袋 【解析】 【分析】本题主要考查了已知概率求数量，用频率估计概率，大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，据此可得摸出的牛奶是种口味的概率为，再用牛奶总数乘以摸出B的概率求出B的数量，进而可求出A的数量． 【详解】解：∵，经过多次重复试验后发现，摸出的牛奶是种口味的频率稳定在， ∴摸出的牛奶是种口味的概率为， ∴莉莉购买的牛奶中口味牛奶有袋， ∴莉莉购买的牛奶中口味牛奶有袋． 16. 如图，在中，D，E分别是边，上的点，连接，且，，．求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据三角形内角和定理可得，即可证明． 【详解】略 17. 如图，四边形是正方形，点E在边上，点F在的延长线上，，连接．求证：． 【答案】 证明：四边形是正方形，F是延长线上一点， ， 在和中， ， ； ． 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质．根据正方形的性质和定理判定三角形全等，然后根据全等三角形的性质求解． 【详解】略 18. 如图，四边形为菱形，，点是上一点．，交于，求证：． 【答案】 证明：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形外角的性质，根据菱形对边平行得到，则由平行线的性质得到，再由三角形外角的性质得到，据此可证明． 【详解】略 19. 某班四个数学小组，准备研读四部古代数学著作．现制作背面完全相同的4张卡片，正面分别写有《九章算术》《周髀算经》《五经算术》《数術记遗》，将4张卡片混合后正面朝下放置在桌面上，每个小组选一代表从中依次抽取一张卡片． （1）第一学习小组抽到《五经算术》的概率是__________________________． （2）若第一和第二小组依次从中抽取一张，请利用列表或画树状图的方法，求这两组抽取的两张卡片正面写的是《九章算术》和《周髀算经》的概率． 【答案】（1）； （2）两组抽取的两张卡片正面写的是《九章算术》和《周髀算经》的概率是． 【解析】 【分析】（）直接利用概率公式进行计算即可； （）画出树状图，利用概率公式计算即可； 本题考查了概率公式，树状图或列表法求概率，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵共有张卡片混合后正面朝下放置在桌面上， ∴第一学习小组抽到《五经算术》的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设正面分别写有《九章算术》，《周髀算经》，《五经算术》，《数術记遗》的卡片分别用表示， 画树状图， 一共有种等可能情况，两张卡片正面写的是《九章算术》和《周髀算经》有种， ∴两组抽取的两张卡片正面写的是《九章算术》和《周髀算经》的概率是． 20. 某商店经销的某种商品，每件成本为40元．调查表明，当这种商品的售价为60元/件时，每月可售出200件，售价每增加1元，其每月销售量将减少4件．为了实现每月4900元的销售利润，这种商品的售价应定多少元？ 【答案】为了实现每月4900元的销售利润，这种商品的售价应定75元/件 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设该商品售价在60元/件的基础上上涨x元，则每件商品的利润为元，销售量为件，再根据总利润等于每件商品的利润乘以销售量建立方程求解即可． 【详解】解：设该商品售价在60元/件的基础上上涨x元， 由题意得，， 整理得：， 解得， ∴， 答：为了实现每月4900元的销售利润，这种商品的售价应定75元/件． 21. 某学校数学课外活动小组测量校园内一棵树的高度．采用的方法如下：如图，首先把支架放在离树适当距离的水平地面上点处，再把镜子水平放置在支架上点处，然后观测者沿着直线后退至点处，这时恰好在镜子里看到树的顶端．用皮尺分别测得，．若观测者目高为，支架的高为，求这棵树的高度． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用及矩形的判定及性质，通过作辅助线构造相似三角形，并利用相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．过点作水平线交于点，交于点，根据镜面反射的性质求出，再根据对应边成比例解答即可． 【详解】解：过点作水平线交于点，交于点，由是水平线，都是铅垂线，则四边形是矩形，四边形是矩形，如图， ，，， ， 又根据题意，得，， ， ，即， 解得：， ， 答：这棵树的高度为． 22. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且两个根为连续偶数，那么称这样的方程是“连偶根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，则方程是“连偶根方程”． （1）通过计算，判断方程是否是“连偶根方程”； （2）已知关于的一元二次方程（是常数）是“连偶根方程”，求的值． 【答案】（1）方程是“连偶根方程” （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，新定义： （1）利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“连偶根方程”的定义判断即可； （2）利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“连偶根方程”的定义求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得， ∴方程是“连偶根方程”； 【小问2详解】 解：∵， ∴或， 解得， ∵关于的一元二次方程（是常数）是“连偶根方程”， ∴或． 23. 如图，在中，是边上的高线，点E，F分别在上，且， （1）求证：． （2）当时，求的长． 【答案】（1） 证明：是边上的高线， ， ， ， ； （2）32 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，平行线的判定及平行线分线段成比例性质，关键是熟练掌握等腰三角形的性质，平行线的判定及平行线分线段成比例性质． （1）根据等腰三角形的性质可得，再证明，根据平行线的判定即可得出结论； （2）由平行线分线段成比例性质可得，求出，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， ， ， ， 是边上的高线， ． 24. 如图，点E是对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点G，，． （1）求证：是矩形； （2）若点E为的中点，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）先由平行四边形的性质得到，则，由等边对等角得到，则可证明，进而可证明平行四边形是矩形； （2）由矩形的性质得到，则可证明是等边三角形，得到，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形，点E为的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质等等，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键： 25. 如图1，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成． （1）要使所围矩形猪舍的面积达到，求猪舍的长和宽． （2）农户想在现有材料的基础上扩建矩形猪舍面积达到，小红为该农户提出了一个意见：“为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门就行”，如图2，请通过计算求小红设计的猪舍的长和宽？ 【答案】（1）所围猪舍的长是，宽是；（2）所围猪舍的长是，宽是． 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键． （1）设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为，可以得出平行于墙的一边的长为，根据矩形的面积公式建立方程求出其解即可； （2）设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为，可以得出平行于墙的一边的长为，根据矩形的面积公式建立方程求出其解即可． 【详解】解：（1）设与住房墙垂直的一边长为， 则与住房墙平行的一边长为， 根据题意，列方程得： ， 解得：，， 当时，与住房墙平行的一边长， 不符合题意，舍掉， 当时，与住房墙平行的一边长， 答：所围猪舍的长是，宽是； (2) 设与住房墙垂直的一边长为，则与住房墙平行的一边长为 根据题意，列方程得： ， 解得：，， 当时，与住房墙平行的一边长， 不符合题意，舍掉， 当时，与住房墙平行的一边长， 答：所围猪舍的长是，宽是． 26. 如图1，在等腰三角形中，，，有两动点P、Q分别在边、上运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，它们分别从点A和点B同时出发，点P沿线段按方向向终点B运动，点Q沿线段按方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒，请解答下列问题： （1）如图1，当t为何值时，； （2）当t为何值时，以点P、B、Q为顶点的三角形与相似； （3）点P、Q在运动过程中，是否存在这样的t，使得的面积等于4？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质判定，得到，表示出，，代入比例式，解方程即可； （2）分和分别讨论即可； （3）过P作，垂足为D，作边上的高，利用三线合一和勾股定理求出，证明，得到，表示出，再根据三角形的面积得出关于t的方程，解之即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 解得：， 当时，； 【小问2详解】 ∵，，， ∴当时， 同（1）可得：； 当时， ，即， 解得：； 综上：当或时，以点P、B、Q为顶点的三角形与相似； 【小问3详解】 存在，理由是： 如图，过P作，垂足为D，作边上的高， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 解得：或， 当时，，故不合题意， ∴，即存在，使得的面积等于4． 【点睛】本题考查了三角形综合题，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形三线合一，解一元二次方程，分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度第一学期期中调研试题（卷） 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. ，若，，则与的相似比是（ ） A. B. C. D. 2. 菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是，点A的纵坐标是1，则点B的坐标是（　　） A. B. C. D. 3. 为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获30条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼，通过多次重复试验后发现捕捞的鱼中有做记号的频率稳定在左右，则估计鱼塘中鱼的条数为（ ） A. 600条 B. 1000条 C. 1200条 D. 2200条 4. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则a的值为（） A. B. 4 C. 2 D. 5. 如图，一只松鼠先经过第一道门（A，B或C），再经过第二道门（D或E）出去，则松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方形中，为其对角线，点E为上一个动点，连接，，过D作交于F，连接．下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，应邀请多少个队参加比赛．设应邀请x个队参加比赛，则x的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 8. 如图，在矩形中，，，点E、F分别为、的中点，、相交于点G，过点E作，交于点H，则线段的长度是（ ） A. B. 1 C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 如图，四边形是平行四边形，对角线与交于点，要使它成为菱形，那么需要添加的条件是：______．（写出一个即可） 10. 如图，，与相交于点．若，，，则的长为_____． 11. 如图，延长矩形的边至点，使，连结，若，则____． 12. 一种新款汽车刚上市的价格是18万元/辆，每年的降价率为，如果该款车在上市满两年后的价格为万元/辆，求年降价率的值．根据题意列出关于的方程是______． 13. 从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，该顶点与该交点间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个小三角形是等腰三角形，另一个与原三角形相似，那么我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线，如图，在△ABC中，DB＝1，BC＝2，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，则CD的长为_____． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 用公式法解方程：． 15. 某商铺推出不同拼装方式的“口味牛奶”盲盒促销活动（即箱子中装有不同口味的牛奶，但每个口味的牛奶数量不祥），莉莉想要购买两种口味的牛奶，于是她选择了“口味牛奶拼装”的盲盒（共120袋牛奶），收到货后，她想要估计两种口味的牛奶各有多少袋，于是她将这些牛奶放在一个大箱子中摇匀，随机在箱子中拿出一袋牛奶记下口味后放回，记为一次试验，经过多次重复试验后发现，摸出的牛奶是种口味的频率稳定在，估计莉莉购买的牛奶中口味牛奶有多少袋？ 16. 如图，在中，D，E分别是边，上的点，连接，且，，．求证：． 17. 如图，四边形是正方形，点E在边上，点F在的延长线上，，连接．求证：． 18. 如图，四边形为菱形，，点是上一点．，交于，求证：． 19. 某班四个数学小组，准备研读四部古代数学著作．现制作背面完全相同的4张卡片，正面分别写有《九章算术》《周髀算经》《五经算术》《数術记遗》，将4张卡片混合后正面朝下放置在桌面上，每个小组选一代表从中依次抽取一张卡片． （1）第一学习小组抽到《五经算术》的概率是__________________________． （2）若第一和第二小组依次从中抽取一张，请利用列表或画树状图的方法，求这两组抽取的两张卡片正面写的是《九章算术》和《周髀算经》的概率． 20. 某商店经销的某种商品，每件成本为40元．调查表明，当这种商品的售价为60元/件时，每月可售出200件，售价每增加1元，其每月销售量将减少4件．为了实现每月4900元的销售利润，这种商品的售价应定多少元？ 21. 某学校数学课外活动小组测量校园内一棵树的高度．采用的方法如下：如图，首先把支架放在离树适当距离的水平地面上点处，再把镜子水平放置在支架上点处，然后观测者沿着直线后退至点处，这时恰好在镜子里看到树的顶端．用皮尺分别测得，．若观测者目高为，支架的高为，求这棵树的高度． 22. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且两个根为连续偶数，那么称这样的方程是“连偶根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，则方程是“连偶根方程”． （1）通过计算，判断方程是否是“连偶根方程”； （2）已知关于的一元二次方程（是常数）是“连偶根方程”，求的值． 23. 如图，在中，是边上的高线，点E，F分别在上，且， （1）求证：． （2）当时，求的长． 24. 如图，点E是对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点G，，． （1）求证：是矩形； （2）若点E为的中点，求的度数． 25. 如图1，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成． （1）要使所围矩形猪舍的面积达到，求猪舍的长和宽． （2）农户想在现有材料的基础上扩建矩形猪舍面积达到，小红为该农户提出了一个意见：“为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门就行”，如图2，请通过计算求小红设计的猪舍的长和宽？ 26. 如图1，在等腰三角形中，，，有两动点P、Q分别在边、上运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，它们分别从点A和点B同时出发，点P沿线段按方向向终点B运动，点Q沿线段按方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒，请解答下列问题： （1）如图1，当t为何值时，； （2）当t为何值时，以点P、B、Q为顶点的三角形与相似； （3）点P、Q在运动过程中，是否存在这样的t，使得的面积等于4？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $