期末测试卷（测试范围：第1-4章）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用）

2024-2025学年九年级数学上册期末测试卷（测试范围：第1-4章） 一、单选题 1．下列属于一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的判断，根据定义（只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程 ）判断即可． 【解析】解：A、当时方程变为一元一次方程，故本选项不符合题意； B、有分式不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、满足一元二次方程的定义，故本选项符合题意； D、去括号后为是一元三次方程，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．用配方法解一元二次方程，下列变形结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把方程化为，从而可得答案． 【解析】解：∵， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查的是利用配方法解一元二次方程，掌握“配方法解方程的步骤”是解本题的关键． 3．先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】整个实验分两步完成，每步有两个等可能结果，用列表法或树状图工具辅助处理． 【解析】    如图，所有结果有4种，满足要求的结果有1种，故概率为. 故选：A 【点睛】本题考查概率的计算，运用树状图或列表工具是解题的关键． 4．下列命题：①一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；②平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；③相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；④不在同一直线上的三个点确定一个圆；⑤三角形的外心到三角形的三边距离相等．其中正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，圆的确定，三角形外心定义，根据几个定义逐个判断即可得到答案． 【解析】解：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，故①正确， 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故②错误， 在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，故③错误 不在同一直线上的三个点确定一个圆，故④正确， 三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等，故⑤错误， 故选：A． 5．关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】分两种情况讨论：时为一元一次方程，有实根；时为一元二次方程，根据判别式的意义即可解答． 【解析】解：依题意得： 时，则， 方程有实根， 时，， 解得． 综上所述： ． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及一元一次方程的解，对学生的思维缜密性有一定要求，体现了分类讨论的数学思想． 6．如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（　　）    A．50° B．55° C．60° D．65° 【答案】A 【分析】连接BC，由弦切角定理得∠ACE=∠ABC，再由切线的性质求得∠DBC，最后由切线长定理求得∠D的度数． 【解析】解：连接BC，    ∵DB、DE分别切⊙O于点B、C， ∴BD＝DC， ∵∠ACE＝25°， ∴∠ABC＝25°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠DBC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°， ∴∠D＝50°． 故选A． 【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、弦切角定理等知识，综合性强，难度较大． 7．已知一组数据，，，，的平均数是，方差是，则另一组数据，，，，的平均数和方差分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查平均数，方差的计算，同一组数据同时乘以一个相同非零数，再加或减去同一个数对平均数，方差的影响，掌握平均数，方差的计算方法是解题的关键．根据平均数，方差的计算公式即可求解． 【解析】解：根据题意得：，， ， ， 数据，，，，的平均数和方差分别是，， 故选：D． 8．如图，，以点B为圆心，作半径为2的圆，点C在上，连接作等腰直角三角形，使，，则的面积的最大值为（ ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【分析】如图，以为边向下作等腰直角三角形，且，连接，证明，可得，可得在以为圆心，为半径的圆上运动，结合的面积最大，可得到的距离最大，从而可得答案． 【解析】解：如图，以为边向下作等腰直角三角形，且，，连接， ∴，， 同理：，， ∴，， ∴， ∴，而， ∴， ∴在以为圆心，为半径的圆上运动， ∵的面积最大， ∴到的距离最大， ∴当即，，共线时最大， 最大值为：， ∴的面积最大面积为． 故选：B． 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，圆的确定，熟练的构建相似三角形得到D的运动轨迹是解本题的关键． 二、填空题 9．一组数据，，，，的平均数是，则这组数据的众数是 ． 【答案】3 【分析】根据平均数的定义可以先求出x的值，再根据众数的定义求出这组数的众数即可． 【解析】利用平均数的计算公式，得， 解得， 则这组数据的众数即出现最多的数为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是平均数和众数的概念．注意一组数据的众数可能不只一个． 10．方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为 ． 【答案】15 【解析】解：， 解得x1=3，x2=6， 当等腰三角形的三边是3，3，6时，3+3=6，不符合三角形的三边关系定理，∴此时不能组成三角形； 当等腰三角形的三边是3，6，6时，此时符合三角形的三边关系定理，周长是3+6+6=15． 故答案是：15． 11．若关于x的一元二次方程的一个根为3，则 ． 【答案】-3 【分析】把x=3代入，整理即可求出的值． 【解析】解：把x=3代入，得 ， ∴， ∴， 故答案为：-3． 【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解得定义是解答本题的关键． 12．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是 ． 【答案】（2，1） 【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心． 【解析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是（2，1）． 故答案为：（2，1）． 【点睛】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”． 13．某超市今年八月份的营业额为20万元，今年十月份的营业额为24万元，设平均每月营业额的增长率为，根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，熟练找出等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键，利用公式：列出一元二次方程，即可得到答案． 【解析】解：设平均每月营业额的增长率为， 增长前：八月份营业额20万元， 增长后：十月份营业额24万元， 从八月份到十月份共增长2次， 则由题意列方程为：， 故答案为：． 14．如图，在中，弦的长度是弦长度的两倍，连接，，，，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，弧、弦、圆心角的关系等，过点作交于点，先根据垂径定理证明，，根据等弧所对的圆心角相等可得，再证，可得，进而推出． 【解析】解：过点作交于点，连接． ，， ， 又， ， 在中，， ， ， ， 即， 故答案为：． 15．如图，点O为正六边形对角线上一点，随机在正六边形内取一点P，那么点P取在阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率．连接、、，则交点为M，设正六边形的边长为a，每个小三角形底边上的高为h，则的长为，利用正六边形的面积公式及割补法分别计算出正六边形的面积及阴影部分的面积，在利用几何概率计算公式即可求解，计算求解即可解题的关键在于正确表示阴影部分、正六边形的面积． 【解析】解：∵正六边形，如图，连接、、，则交点为M， 设正六边形的边长为a，每个小三角形底边上的高为h， 则的长为， ∴正六边形的面积为，， ∴这个点取在阴影部分的概率是， 故答案为：． 16．如图，边长为6的正方形的顶点、在一个半径为6的圆上，顶点、在圆内，将正方形沿圆的内壁逆时针方向作无滑动的滚动．当点第一次落在圆上时，点运动的路径长为 ． 【答案】 【分析】作辅助线，首先求出的大小，进而求出旋转的角度，再以点为圆心，使点落在圆上，则点C第一次落在圆上的点处，求出旋转角，利用弧长公式问题即可解决． 【解析】解：如图，分别连接， ∴是等边三角形， ∴； 同理可证：， ∴； ∵， ∴， 由旋转变换的性质可知； ∵四边形为正方形，且边长为6， ∴， ∴当点D第一次落在圆上时，点C运动的路线长为：， 再以点为圆心，使点落在圆上，则点C第一次落在圆上的点处， 同理可得， ∴点的运动路径长为：， ∴当点第一次落在圆上时，点运动的路径长为， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了旋转的性质及其应用问题，弧长的计算公式，解题的关键是作辅助线，准确求出旋转角． 三、解答题 17．用适当的方法解下列方程： (1)； (2). 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程特点选择合适的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解； （2）利用公式法求解． 【解析】（1）解：， ， ， 或， 解得，； （2）解：， 其中，，， 则， ， 解得，． 18．如图，图中两条弦相交于点E，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是圆周角定理、全等三角形的判定和性质，掌握圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理得到，证明，根据全等三角形的性质得到，结合图形计算，证明结论． 【解析】证明：由圆周角定理得，， 在和中， ， ∴， ， ， 即． 19．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？ 【答案】所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m时，猪舍面积为80m2 【分析】可以设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，可以得出平行于墙的一边的长为m，由题意得出方程 求出边长的值． 【解析】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，可以得出平行于墙的 一边的长为m， 由题意得 ， 化简，得，解得：， 当时，（舍去）， 当时，， 答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m． 【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键． 20．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为任何实数，此方程总有两个实数根； (2)若方程的两个实数根为、，满足，求的值． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，先求出△，若，则此方程总有两个实数根. （2）根据根与系数的关系，先求出和的值，将 整理成，然后将，的值代入即可求出k的值. 【解析】（1）证明： ∵无论k为任何实数时，即 ∴无论k为任何实数，此方程总有两个实数根. （2）根据根与系数的关系可得 由   得 得 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握公式是解题的关键. 21．在一个不透明的纸盒里装有红、白、黄三种颜色的乒乓球4个（除颜色外完全相同），其中白球2个，红球、黄球各1个． (1)从纸盒中随机摸出一个球，事件“摸到白球”的概率是______； (2)若摸到红球得1分，摸到白球得2分，摸到黄球得3分．小明随机从纸盒中一次摸出两个球，请用画树状图法或列表法求小明至多得4分的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中小明至多得4分的结果有8种，再由概率公式求解即可． 【解析】（1）解：由题意，共4种等可能结果，其中符合题意的结果有2种， ∴事件“摸到白球”的概率是， 故答案为：； （2）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中小明至多得4分的结果有8种， ∴小明至多得4分的概率为． 【点睛】本题考查的是树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 22．某校甲乙两班联合举办了“经典阅读”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理、分析，下面给出了部分信息． 【收集数据】 甲班10名学生竞赛成绩：85，78，86，79，72，91，79，71，70，89 乙班10名学生竞赛成绩：85，80，77，85，80，73，90，74，75，81 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 80 a b 51．4 乙班 80 80 80，85 c 【解决问题】根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：__________，__________，__________； (2)甲班共有学生45人，乙班共有学生40人，按竞赛规定，80分及80分以上的学生可以获奖，估计这两个班可以获奖的总人数是多少？ 【答案】(1)79，79，27； (2)42人． 【分析】（1）根据中位数，众数，方差的定义求解； （2）样本估计总体，用样本中符合条件的数据占比估计总体，计算符合条件的数据个数． 本题考查数据统计分析，样本估计总体，掌握数据统计分析中位数，众数，方差的定义是解题的关键． 【解析】（1）解：甲班成绩从低到高排列：70，71，72，78，79，79，85， 86，89， 91，故中位数，众数； 乙班数据方差 （2）获奖人数：人 答：两个班获奖人数为42人． 23．如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AB=5， (1)尺规作图：作劣弧BC的中点D．（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接AD，BD，若AC=3，求弦AD的长． 【答案】(1)见解析； (2)AD＝． 【分析】（1）根据垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，作线段BC的垂直平分线交劣弧BC于点D，点D即为所求； （2）设OD交BC于点E，连接AD，BD，根据直径所对的圆周角是直角结合勾股定理求出BC，然后可得BE，根据中位线定理求出OE，然后可得DE，再利用勾股定理求出BD、AD即可． 【解析】（1）解：如图所示，点D即为所求． （2）解：设OD交BC于点E，连接AD，BD， ∵AB是直径，AB＝5， ∴∠ACB＝90°，OD＝， ∵AC＝3， ∴BC＝＝4， ∵OD垂直平分BC， ∴CE＝BE＝BC＝2， ∵点E是BC的中点，点O是AB的中点， ∴OE＝AC＝， ∴DE＝OD−OE＝， ∴BD＝， ∴AD＝． 【点睛】此题考查了尺规作线段垂直平分线，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，中位线定理等知识，熟练掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题关键． 24．如图，中，，以为直径的交于，交于． (1)求证：； (2)若，求和的度数． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是直角、等腰三角形性质以及三角形内角和定理等知识． （1）连接，先由圆周角定理得，则，再由等腰三角形的性质得即可得出结论； （2）先求出，根据三角形内角和定理求出，等腰三角形的性质得，再由三角形外角的性质求出，再根据四边形是的内接四边形，结合，即可得出的度数． 【解析】（1）证明：连接，如图所示： 是的直径， ， ， ， ． （2）解：是的直径， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵四边形是的内接四边形 ∴ 又∵ ∴． 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是直角、等腰三角形性质以及三角形内角和定理和外角的性质等知识． 25．如图，已知是的直径，点在上，为外一点，且，． (1)试说明：直线为的切线； (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明：连接，由，，得，则，所以，即可证明直线为的切线． （2）连接，则，所以是等边三角形，则，所以，，则，，，即可由求得阴影部分的面积是． 【解析】（1）解：如图，连接， ， ， ， ， ． ， ， ， 即，又是的半径， 直线为的切线． （2）如图，连接，作，垂足为，则， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ，即的半径为4， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题重点考查平行线的判定与性质、切线的判定、等边三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理、含30度角的直角三角形的性质、扇形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 26．【问题情境】 如图1，P是外一点，直线分别交于A，B两点，则的长是点P到上的点的最短距离．    【初步探究】 如图2，小明为了证明【问题情境】中的结论，给出如下思路：在上任取一点C（不与A，B两点重合），连接，．请你根据小明的思路继续思考，完成的证明过程；    【直接运用】 如图3，在中，，，以为直径的半圆交于点D，P是上的一个动点，连接，求出线段长度的最小值；    【构造运用】 如图4，在正方形中，，点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边，上移动，连接和交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请求出线段长度的最小值．    【答案】【初步探究】见解析；【直接运用】长度的最小值为；【构造运用】线段的最小值为． 【分析】初步探究：本题考查连点间线短距离最短，根据两点间线短距离最短结合半径相等即可得到答案； 直接运用：本题考查圆外一点与圆上点最小距离问题，连接圆心与圆外点交圆于一点即为最小距离点，结合勾股定理求解即可得到答案； 构造运用：先证明得到定角，即可得到点P的路径是一段以为直径的弧，结合最短距离问题及勾股定理即可得到答案； 【解析】初步探究： 证明：∵，，， ∴； 直接运用： 解：取的中点E，连接，交半圆于，在半圆上任取P1，连接，，可见，，即是的最小值．      在中，，，， ∴， ∵， ∴； 即长度的最小值为． 构造运用： 解：如图，    ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． ∴； 由于点P在运动中保持， ∴点P的路径是一段以为直径的弧， 设的中点为Q，连接交弧于点P，此时的长度最小， 在中，， ∴． 答：线段的最小值为． 【点睛】本题主要考查圆外一点到圆上点最小距离问题，勾股定理，三角形全等的判定与性质，解题的关键是找到最小距离点及定直角得到动点在圆上． 27．【新知】 19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、B（−b，c），以AB为直径作⊙P．若⊙P交x轴于点M（m，0）、N（n，0），则m、n为方程两个实数根． 【探究】 （1）由勾股定理得，AM2＝12+m2，BM2＝c2+（−b−m）2，AB2＝（1−c）2+b2，在Rt△ABM中，AM2+BM2＝AB2，所以12+m2+c2+（−b−m）2＝（1−c）2+b2．化简得：m2+bm+c＝0，同理可得： ．所以m、n为方程的两个实数根． 【运用】 （2）在图2中的x轴上画出以方程x2−3x−2＝0两根为横坐标的点M、N． （3）已知点A（0，1）、B（6，9），以AB为直径作⊙C．判断⊙C与x轴的位置关系，并说明理由． 【拓展】 （4）在平面直角坐标系中，已知两点A（0，a）、B（−b，c），若以AB为直径的圆与交x轴有两个交点M、N，则以点M、N的横坐标为根的一元二次方程 ． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）相切，理由见解析；（4） 【分析】（1）仿照已知中的推理过程即可得到，从而问题解决； （2）以及两点为端点的线段为直径画圆，圆与x轴的交点的横坐标即为方程的两个根，两交点M、N即为所画的点； （3）由题意得有两个相等的实数根，从而可得与x轴只有一个交点，即与x轴相切； （4）仿照（1）的过程即可求得． 【解析】（1）如图，连接，，由勾股定理得，，，， 在中，， 所以． 化简得：， 所以n为方程的一个实数根． 故答案为：． （2）以及两点为端点的线段为直径画圆，圆与x轴的交点的横坐标即为方程的两个根，两交点M、N即为所画的点，如图所示； （3）与x轴相切；理由如下： 由题意知，与x轴两个交点的横坐标为于方程的两个根， ， ∴方程有两个相等的实数根， 对应地，与x轴只有一个交点，即与x轴相切． （4）如图，由勾股定理得，，， 在中，， 所以， 化简得：， 同理可得：． 所以m、n为方程的两个实数根． 故答案为：． 【点睛】本题是材料问题，考查了勾股定理、一元二次方程解的概念，直线与圆的位置关系，代数式的变形等知识，关键是读懂题中材料提供的方法，并能加以灵活运用，体现了数形结合思想． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上册期末测试卷（测试范围：第1-4章） 一、单选题 1．下列属于一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．用配方法解一元二次方程，下列变形结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（    ） A． B． C． D． 4．下列命题：①一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；②平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；③相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；④不在同一直线上的三个点确定一个圆；⑤三角形的外心到三角形的三边距离相等．其中正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 6．如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（　　）    A．50° B．55° C．60° D．65° 7．已知一组数据，，，，的平均数是，方差是，则另一组数据，，，，的平均数和方差分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 8．如图，，以点B为圆心，作半径为2的圆，点C在上，连接作等腰直角三角形，使，，则的面积的最大值为（ ） A． B． C．4 D．8 二、填空题 9．一组数据，，，，的平均数是，则这组数据的众数是 ． 10．方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为 ． 11．若关于x的一元二次方程的一个根为3，则 ． 12．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是 ． 13．某超市今年八月份的营业额为20万元，今年十月份的营业额为24万元，设平均每月营业额的增长率为，根据题意可列方程为 ． 14．如图，在中，弦的长度是弦长度的两倍，连接，，，，则 ．（填“”“”或“”） 15．如图，点O为正六边形对角线上一点，随机在正六边形内取一点P，那么点P取在阴影部分的概率是 ． 16．如图，边长为6的正方形的顶点、在一个半径为6的圆上，顶点、在圆内，将正方形沿圆的内壁逆时针方向作无滑动的滚动．当点第一次落在圆上时，点运动的路径长为 ． 三、解答题 17．用适当的方法解下列方程： (1)； (2). 18．如图，图中两条弦相交于点E，且，求证：． 19．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？ 20．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为任何实数，此方程总有两个实数根； (2)若方程的两个实数根为、，满足，求的值． 21．在一个不透明的纸盒里装有红、白、黄三种颜色的乒乓球4个（除颜色外完全相同），其中白球2个，红球、黄球各1个． (1)从纸盒中随机摸出一个球，事件“摸到白球”的概率是______； (2)若摸到红球得1分，摸到白球得2分，摸到黄球得3分．小明随机从纸盒中一次摸出两个球，请用画树状图法或列表法求小明至多得4分的概率． 22．某校甲乙两班联合举办了“经典阅读”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理、分析，下面给出了部分信息． 【收集数据】 甲班10名学生竞赛成绩：85，78，86，79，72，91，79，71，70，89 乙班10名学生竞赛成绩：85，80，77，85，80，73，90，74，75，81 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 80 a b 51．4 乙班 80 80 80，85 c 【解决问题】根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：__________，__________，__________； (2)甲班共有学生45人，乙班共有学生40人，按竞赛规定，80分及80分以上的学生可以获奖，估计这两个班可以获奖的总人数是多少？ 23．如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AB=5， (1)尺规作图：作劣弧BC的中点D．（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接AD，BD，若AC=3，求弦AD的长． 24．如图，中，，以为直径的交于，交于． (1)求证：； (2)若，求和的度数． 25．如图，已知是的直径，点在上，为外一点，且，． (1)试说明：直线为的切线； (2)若，求阴影部分的面积． 26．【问题情境】 如图1，P是外一点，直线分别交于A，B两点，则的长是点P到上的点的最短距离．    【初步探究】 如图2，小明为了证明【问题情境】中的结论，给出如下思路：在上任取一点C（不与A，B两点重合），连接，．请你根据小明的思路继续思考，完成的证明过程；    【直接运用】 如图3，在中，，，以为直径的半圆交于点D，P是上的一个动点，连接，求出线段长度的最小值；    【构造运用】 如图4，在正方形中，，点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边，上移动，连接和交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请求出线段长度的最小值．    27．【新知】 19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、B（−b，c），以AB为直径作⊙P．若⊙P交x轴于点M（m，0）、N（n，0），则m、n为方程两个实数根． 【探究】 （1）由勾股定理得，AM2＝12+m2，BM2＝c2+（−b−m）2，AB2＝（1−c）2+b2，在Rt△ABM中，AM2+BM2＝AB2，所以12+m2+c2+（−b−m）2＝（1−c）2+b2．化简得：m2+bm+c＝0，同理可得： ．所以m、n为方程的两个实数根． 【运用】 （2）在图2中的x轴上画出以方程x2−3x−2＝0两根为横坐标的点M、N． （3）已知点A（0，1）、B（6，9），以AB为直径作⊙C．判断⊙C与x轴的位置关系，并说明理由． 【拓展】 （4）在平面直角坐标系中，已知两点A（0，a）、B（−b，c），若以AB为直径的圆与交x轴有两个交点M、N，则以点M、N的横坐标为根的一元二次方程 ． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$