第4章 幂函数、指数函数与对数函数 单元知识梳理+综合检测-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第一册）

第4章 幂函数、指数函数与对数函数 单元综合讲义 一、幂函数 1．幂函数 (1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1. (2)五种幂函数的图象 (3)性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 二、指数函数的概念、图象与性质 1．指数函数的概念 函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是底数． 温馨提示：形如y＝kax，y＝ax＋kk∈R且k≠0，a>0且a≠1的函数叫做指数型函数，不是指数函数. 2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象与性质 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域为，值域为(0，＋∞) 图象过定点(0,1) 当x>0时，恒有y>1；当x<0时，恒有0<y<1 当x>0时，恒有0<y<1；当x<0时，恒有y>1 在定义域R上严格递增 在定义域R上严格递减 注意 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质与a的取值有关，应分a>1与0<a<1来研究 温馨提示： 1. 指数幂运算原则 （1）指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： ①必须同底数幂相乘，指数才能相加； ②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数． (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 2. 指数函数图象的画法 画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，. 3．指数函数的图象与底数大小的比较 1.如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0.由此可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大． 2.有关指数函数图象问题的解题思路 (1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除； (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论； (3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解； (4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．　 3.比较指数式的大小的方法是 (1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小； (2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小． 4.指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化． 三、对数函数 1.对数函数的定义：函数 且叫做对数函数． 2.对数函数的图象与性质 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上严格递增 在上严格递减 当时，，当时， 当时，，当时， 温馨提示： 在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图) 4、 双勾函数：形如（ab≠0）函数，不属于基本初等函数，所以单调性用于解答题时应予以证明。双勾函数在各种情况下的图像： 渐近线y轴和y=ax（a≠0） 性质： 函数 参数范围 单调递增区间 单调递减区间 a>0,b>0 a≥0,b<0 (-00,0)和(0,+00) 无 a<0,b<0 a≤0,b>0 无 (-00,0)和(0,+00) 五、由具体函数抽象出来的函数性质的特征表达式： (1)正比例函数：f(x+y)=f(x)+f(y) 或 f(x-y)=f(x)-f(y) 或f(nx)=nf(x)(n∈N*); (2)幂函数：f(x·y)=f(x)·f(y)或或f(x")=f"(x)(n∈N*); (3)指数函数：f(x+y)=f(x)·f(y)或或f(nx)=f"(x)(n∈N“); (4)对数函数：f(x·y)=f(x)+f(y) 或或f(x")=nf(x)(n∈N*) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 幂函数、指数函数与对数函数 单元综合检测 一、填空题 1．已知幂函数满足，则 ． 2．下列函数是指数函数的序号为 ．（请填入全部正确的序号） ①；    ②；    ③；    ④；    ⑤． 3．函数的定义域为 ． 4．若幂函数为奇函数，则该函数的表达式 . 5．函数的严格增区间为 . 6．函数（且）恒过定点 ． 7．已知，则的值域是 ； 8．已知幂函数，若，则的取值范围是 ． 9．若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是 . 10．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．专家发现：两岁燕子的飞行速度可以表示为（米/秒），若某只两岁的燕子耗氧量为时的飞行速度为（米/秒），另一只两岁的燕子耗氧量为时的飞行速度为（米/秒），两只燕子同时起飞，当时，一分钟后第一只燕子比第二只燕子多飞行的路程为 米 11．已知函数若函数在上是严格增函数，则a的取值范围为 ． 12．已知定义在的严格增函数与.若对任意实数，存在实数和，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 二、单选题 13．下列关于幂函数的描述中，正确的是（    ） A．幂函数的图象都经过点和； B．幂函数的图象不经过第三象限； C．当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的严格增函数； D．若幂函数的图像过点，则它的图像也经过点. 14．图中、、分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 15．函数是幂函数，对任意，且，满足，若，且，，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 16．设函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：①在上是单调函数；②在上的值域是，则称区间是函数的“和谐区间”，下列结论错误的是（    ） A．函数存在“和谐区间” B．函数不存在“和谐区间” C．函数存在“和谐区间” D．函数不存在“和谐区间” 三、解答题 17．已知函数，其中是指数函数． （1）求的表达式； （2）解不等式：． 18．已知函数（，）． (1)若时，判断函数在上的单调性，并说明理由． (2)若对于定义域内一切x，恒成立，求实数m的值． 19．某种生物身体的长度（单位：米）与其生长年限（单位：年）大致关系如下：（其中为自然对数的底，该生物出生时）． （1）求需要经过多少年，该生物身长才能超过8米（精确到0.1）； （2）该生物出生年后的一年里身长生长量可以表示为，求的最大值（精确到0.01）． 20．已知函数，，，其中均为实数. (1)若函数的图像经过点，，求的值; (2)如果函数的定义域和值域都是，求的值. (3)若满足不等式，且函数在区间上有最小值，求实数a的值. 21．对于函数，若其定义域内存在实数满足，则称为“伪奇函数”． （1）已知函数，试问是否为“伪奇函数”？说明理由； （2）若幂函数使得为定义在上的“伪奇函数”，试求实数的取值范围； （3）是否存在实数，使得是定义在上的“伪奇函数”，若存在，试求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 幂函数、指数函数与对数函数 单元综合检测 一、填空题 1．已知幂函数满足，则 ． 【答案】 【分析】先求得的解析式，然后求得. 【解析】设， 则 故答案为： 2．下列函数是指数函数的序号为 ．（请填入全部正确的序号） ①；    ②；    ③；    ④；    ⑤． 【答案】②③⑤ 【分析】根据指数函数的定义判断即可. 【解析】形如且的函数叫做指数函数， 因此②③⑤对. 故答案为：②③⑤. 3．函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】由被开方数大于等于0、对数的真数大于0及分母不为0，列不等式组即可求解. 【解析】由解析式可得，解得，可得. 故答案为:. 4．若幂函数为奇函数，则该函数的表达式 . 【答案】 【分析】根据给定的条件，利用幂函数的定义，结合性质求解作答. 【解析】由为幂函数，得，解得或， 当时，，函数是偶函数，不符合题意， 当时，，函数是奇函数，符合题意， 所以. 故答案为： 5．函数的严格增区间为 . 【答案】（或） 【分析】求出函数的定义域，利用复合函数法可求得函数的单调递增区间. 【解析】对于函数，有，即，解得， 所以，函数的定义域为， 因为内层函数的增区间为，减区间为， 外层函数在其定义域上为增函数， 所以，函数函数的严格增区间为. 故答案为：（或）. 6．函数（且）恒过定点 ． 【答案】 【分析】根据对数函数恒过定点，运算即可. 【解析】令，得，此时， 所以函数（且）恒过定点. 故答案为：. 7．已知，则的值域是 ； 【答案】 【分析】分段讨论的范围即可. 【解析】当 时, 根据指数函数的图象与性质知， 当 时, . 综上: 的值域为 . 故答案为：. 8．已知幂函数，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的单调性和定义域求参数取值范围 【解析】解：幂函数，所以定义域为且在定义域上单调递减， 所以需满足，解得， 故答案为：． 9．若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是 . 【答案】, 【分析】先将方程变形为变形为，再利用程在,上有解，可得的不等式，从而可确定实数的取值范围． 【解析】方程可变形为，由于方程在上有解， 而当,时，，所以，解得， 即实数的取值范围是,． 故答案为：,． 10．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．专家发现：两岁燕子的飞行速度可以表示为（米/秒），若某只两岁的燕子耗氧量为时的飞行速度为（米/秒），另一只两岁的燕子耗氧量为时的飞行速度为（米/秒），两只燕子同时起飞，当时，一分钟后第一只燕子比第二只燕子多飞行的路程为 米 【答案】 【分析】由条件列出及的关系，结合，求出，由此可得结论. 【解析】因为，所以， 所以，， 又， 所以， 所以， 所以， 所以一分钟后第一只燕子比第二只燕子多飞行的路程为（米）， 故答案为：. 11．已知函数若函数在上是严格增函数，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据对数函数以及一次函数的单调递增求出的范围，同时需要满足即可． 【解析】解：对数函数在时是增函数，所以， 又，是增函数， ， 当时，取到最大值， 要使得函数在上是严格增函数， 则， 即， 所以， 则a的取值范围为， 故答案为：． 12．已知定义在的严格增函数与.若对任意实数，存在实数和，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先由的单调性转化得恒成立，从而求得；再由与的相关恒成立条件转化得恒成立，从而利用绝对值不等式求得；由此得解. 【解析】因为在上是严格增函数， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 而，故； 因为对任意实数，存在实数和，不等式恒成立， 又，所以，即， 则，且在上恒成立， 令，则，恒成立， 若，则存在使得在恒成立， 故存在使得成立，故，故， 当且仅当时等号成立, 若，不妨设， 若即，则存在，使得成立即， 故， 而，故即. 此时，可使得等号成立， 若，则存在，使得成立， 故，故， 综上：. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是取特殊值，利用绝对值不等式求得的最小值，从而得解. 二、单选题 13．下列关于幂函数的描述中，正确的是（    ） A．幂函数的图象都经过点和； B．幂函数的图象不经过第三象限； C．当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的严格增函数； D．若幂函数的图像过点，则它的图像也经过点. 【答案】C 【分析】利用幂函数的性质判断每个选项即可. 【解析】当时，幂函数不过原点，故A错误； 当时，幂函数过第三象限，故B错误； 当，幂函数为，在定义域单调递增， 当，幂函数为，在定义域单调递增， 当，幂函数为，在定义域单调递增，故C正确； 若幂函数的图像过点，则， 所以幂函数为，当时，此时，故D错误. 故选:C 14．图中、、分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】根据幂函数在第一象限中图象的性质得到，即可得答案. 【解析】由幂函数在第一象限，在部分图象由下向上，逐渐增大， 且时在第一象限递增，且递增速度以为界点，时在第一象限递减， 所以，故A满足. 故选：A 15．函数是幂函数，对任意，且，满足，若，且，，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】A 【分析】确定函数在上单调递增，根据幂函数得到或，验证单调性得到，代入数据计算得到答案. 【解析】对任意的，且，满足，函数是单调增函数， 是幂函数，可得，解得或， 当时，；当时，，不满足单调性，排除， 故，． ，，故恒成立． 故选：A 16．设函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：①在上是单调函数；②在上的值域是，则称区间是函数的“和谐区间”，下列结论错误的是（    ） A．函数存在“和谐区间” B．函数不存在“和谐区间” C．函数存在“和谐区间” D．函数不存在“和谐区间” 【答案】B 【分析】结合函数新定义，利用常见函数的单调性判断ABC，结合函数新定义和对数函数的的性质利用反证法判断D即可. 【解析】A中，当时，在上是单调增函数，且在上的值域是， 存在“和谐区间”，原命题正确； B中，当时，在上是单调增函数，且在上的值域是， 存在“和谐区间”，原命题错误； C中，，分子分母同时除以，得， 函数在是严格增函数，且在上的值域是存在“和谐区间”， 原命题正确； D中，当时，是单调增函数， 假设存在满足题意，则，且， 即，且，且，即，且； 由和的图象可知，方程无解，假设不成立，即函数不存在“和谐区间”， 原命题正确； 故选：B. 三、解答题 17．已知函数，其中是指数函数． （1）求的表达式； （2）解不等式：． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）根据指数函数的定义，有，结合求a，写出； （2）由（1）的结论，结合对数函数的性质及其单调性列不等式组求解集即可. 【解析】（1）是指数函数，所以，解得或(舍)， ∴. （2）由（1）知：， ∴，解得，解集为. 18．已知函数（，）． (1)若时，判断函数在上的单调性，并说明理由． (2)若对于定义域内一切x，恒成立，求实数m的值． 【答案】(1)当时，在上单调递减 当时，在上单调递增 (2) 【分析】（1）按单调性的定义即可证明. （2）按题意列方程即可求解. 【解析】（1）时，记，任取 ， 故，在上单调递减 当时，在上单调递减 当时，在上单调递增 （2）由恒成立可得 化简得，解得 时，，而，无意义 符合题意 故. 19．某种生物身体的长度（单位：米）与其生长年限（单位：年）大致关系如下：（其中为自然对数的底，该生物出生时）． （1）求需要经过多少年，该生物身长才能超过8米（精确到0.1）； （2）该生物出生年后的一年里身长生长量可以表示为，求的最大值（精确到0.01）． 【答案】（1）约需要6.8年；（2）． 【分析】（1）根据题意由，利用指数和对数互化求解； （2）由，令，转化为，利用基本不等式求解； 【解析】（1）由题意得， 即， 解得：， 因为， 所以， 因为， 所以， 又因为， 所以， 即约需要6.8年． （2）， 令， 则 因为，当且仅当即时，等号成立， 所以， 所以的最大值为． 20．已知函数，，，其中均为实数. (1)若函数的图像经过点，，求的值; (2)如果函数的定义域和值域都是，求的值. (3)若满足不等式，且函数在区间上有最小值，求实数a的值. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）将点坐标代入直接求解即可； （2）根据指数函数的单调性结合定义域和值域的概念分情况讨论即可； （3）先根据指数函数的单调性求出的范围，再由对数函数的单调性求出a的值即可. 【解析】（1）因为函数的图像经过点，， 所以，解得. （2）当时，函数在上为增函数， 由题意可得无解； 当时，函数在上为减函数， 由题意可得，解得， 所以. （3）因为，所以，解得， 又，所以，函数在区间上单调递减， 所以当时，取得最小值， 即， 解得. 21．对于函数，若其定义域内存在实数满足，则称为“伪奇函数”． （1）已知函数，试问是否为“伪奇函数”？说明理由； （2）若幂函数使得为定义在上的“伪奇函数”，试求实数的取值范围； （3）是否存在实数，使得是定义在上的“伪奇函数”，若存在，试求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）不是；（2）；（3）． 【分析】（1）先假设为“伪奇函数”，然后推出矛盾即可说明； （2）先根据幂函数确定出的解析式，然后将问题转化为“在上有解”，根据指数函数的值域以及对勾函数的单调性求解出的取值范围； （3）将问题转化为“在上有解”，通过换元法结合二次函数的零点分布求解出的取值范围. 【解析】（1）假设为“伪奇函数”，存在满足， 有解，化为，无解， 不是“伪奇函数”； （2）为幂函数，，， ， 为定义在的“伪奇函数”， 在上有解， 在上有解， 令，在上有解， 又对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 且时，，时，， ，的值域为， ，； （3）设存在满足，即在上有解， 在上有解， 在上有解， 令，取等号时， 在上有解， 在上有解（*）， ，解得， 记，且对称轴， 当时，在上递增， 若（*）有解，则，， 当时，在上递减，在上递增， 若（*）有解，则，即，此式恒成立，， 综上可知，. 【点睛】关键点点睛：解答本题（2）（3）问题的关键在于转化思想的运用，通过理解“伪奇函数”的定义，将问题转化为方程有解的问题，利用换元的思想简化运算并完成计算. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 $$