第05章 一次函数 章节测试练习卷- 2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第05章 一次函数 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．已知点，在直线上，则（   ） A． B． C． D．无法确定 2．已知直线：与直线：交于点，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 3．一次函数y=2x﹣4的图象与两坐标轴交点的距离是（  ） A． B． C． D． 4．若点P（2，1）在过原点的一条直线上，则这条直线所对应的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 5．若实数、满足，，则一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 6．如图，一次函数的图象过两点，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 7．已知一次函数，函数值随自变量的增大而减小，且，则函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在同一直角坐标系中，直线和的位置不可能是（    ） A． B． C． D． 9．如图，已知直线l：与x轴的夹角是30°，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点；过点作y轴的垂线交直线l于点，过点作直线l的垂线交y轴于点……按此作法继续下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 10．如图①，在中，动点P从点A出发，以的速度向点B运动．设运动时间为，，y与t的函数关系图象如图②所示，则图②中最低点M的纵坐标为（    ） A．10 B．12 C．11 D．12.5 第Ⅱ卷 二、填空题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 11．下图是一次函数的图像，当x 时，函数图像在x轴的上方． 12．汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是40千米/时，则汽车距天津的路程S（千米）与行驶时间t（时）的函数关系式及自变量的取值范围是 ． 13．如图，弹簧总长y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间是一次函数关系，则该弹簧不挂物体时的长度为 cm． 14．如图，直线y＝ax+b过点A（0，2）和点B（﹣3，0），则方程ax+b＝0的解是 ． 15．在平面直角坐标系xOy中，对于P、Q两点给出如下定义：如果点P到x、y轴的距离中的最小值等于点Q到x、y轴的距离中的最小值，那么称P、Q两点为“坐标轴等距点”，例如点与点为“坐标轴等距点”．已知点A的坐标为，如果点B在直线上，且A，B两点为“坐标轴等距点”，那么点B的坐标为 ． 16．【素材1】如图1某景区游览路线及方向如图所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等． 【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟，小明游玩路线①②⑧，他离入口的路程S与时间t的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟，小亮游玩路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟． 【问题】 （1）小明游玩行走速度为 米/分钟． （2）游玩路线①③⑥⑦⑧所需要的时间比游玩路线①④⑤⑥⑦⑧所需要的时间少 分钟． 三．解答题：（本大题共8题，17-22题每题6分，23-24题每题8分，满分52分） 17．某公司每月生产甲、乙两种型号的配件共20万个，且所有配件当月全部售出，其中成本、售价 （单位元）如下表： 配件 甲 乙 成本 售价 (1)若该公司三月份的销售收入为300万元，求生产甲、乙两种型号的配件分别是多少万个？ (2)如果公司四月份投入成本不超过216万元，应怎样安排甲、乙两种型号防疫口罩的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润． 18．如图所示，分别表示某工厂甲、乙两车间生产的产量y（吨）与所用时间x（天）之间的函数图象，根据图象回答：    (1)乙车间开始生产时，甲车间已生产了______吨； (2)从乙车间开始生产到第______天结束时，两车间生产的总产量相同； (3)求甲、乙两车间的产量y（吨）与所用时间x（天）的函数关系式； (4)第天结束时，哪个车间的产量多，多多少吨？ 19．已知一次函数． (1)画出函数的图象． (2)图象与x轴的交点坐标是　　，与y轴的交点坐标是　　． (3)当x　　时，． 20．某商店购进A、B两种商品，购买1个A商品比购买1个B商品多花10元，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等． (1)求购买1个A商品和1个B商品各需要多少元； (2)商店准备购买A、B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，怎样购买，使总费用最少？为多少？ 21．如图，直线分别与x轴、y轴交于点，．直线分别与x轴、y轴交于点，，与直线交于点E．求点E的坐标． 22．2023中国产业转移发展对接活动（河南）在郑州隆重举行，本届活动以“开放、合作、发展、共赢”为主题，提出要重点培育新兴产业、电子商务作为新兴行业，其迅速崛起带来了物流运输和配送的巨大需求，某快递公司采购A，B两种型号的3D视觉技术机器人进行5公斤以下的快递分拣，已知A型机器人比B型机器人每小时多分拣200件快递，且A型机器人分拣700件快递所用的时间与B型机器人分600件快递所用的时间相等． (1)求B型机器人每小时分拣快递的件数； (2)若快递公司共购进10台机器人，A型机器人售价20万元/台，B型机器人售价15万元/台，要满足快递公司每小时分拣不少于13000件快递的需求，如何设计采购方案费用最少？ 23．在平面直角坐标系中，有点A（m，0），B（0，n），且m，n 满足 ． （1）求A，B 两点坐标； （2）如图1，直线 轴，垂足为点 ．点 P为直线 上一点，且点 P在第四象限，若 的面积为 ，求点 的坐标； （3）如图 ，点 为 轴负半轴上一点，过点 作 ， 为线段 上任意一点，以 为顶点作 ，使 ， 交 于 ．点 为线段 与线段 之间一点，连接 ，，且 ．当点 在线段 上运动时， 始终垂直于 ，试写出 与 之间的数量关系，并证明你的结论． 24．下面图片是七年级教科书中“实际问题与一元一次方程”的探究3 电话计费问题 月使用费/元 主叫限定时间/min 主叫超时费/（元/min） 被叫 方式一 58 150 0.25 免费 方式二 88 350 0.19 免费 考虑下列问题： ①设一个月内用移动电话主叫为tmin（t是正整数）根据上表，列表说明：当t在不同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费 ②观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计算验证你的看法． 小明升入初三再看这个问题，发现两种计费方式，每一种都是因主叫时间的变化而引起计费的变化，他把主叫时间视为在正实数范围内变化，决定用函数来解决这个问题． （1）根据函数的概念，小明首先将问题中的两个变量分别设为自变量x和自变量的函数y，请你帮小明写出： x表示问题中的__________，y表示问题中的__________．并写出计费方式一和二分别对应的函数解析式； （2）在给出的正方形网格纸上画出（1）中两个函数的大致图象，并依据图象直接写出如何根据主叫时间选择省钱的计费方式．（注：坐标轴单位长度可根据需要自己确定） ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05章 一次函数 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．已知点，在直线上，则（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【知识点】判断一次函数的增减性、比较一次函数值的大小 【分析】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是根据一次项系数确定一次函数的增减性，由，结合一次函数的增减性即可得出结论． 【详解】， 函数y随x的增大而增大， ， ， 故选：A． 2．已知直线：与直线：交于点，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】根据直线解析式求出点C坐标，根据两函数交点坐标与方程组的解得关系即可求解． 【详解】将代入得：， 解得：， ∴方程组的解是， 故选B． 【点睛】本题考查两函数的交点坐标与方程组的解的关系，掌握两函数的交点坐标与方程组的解是解题关键． 3．一次函数y=2x﹣4的图象与两坐标轴交点的距离是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【详解】试题分析：令y=2x﹣4=0，则x=2，令x=0，则y=-4，∴一次函数y=2x﹣4的图象与坐标轴交于A、B两点的坐标是A（0，﹣4），B（2，0），∴OA=4，OB=2，∴AB= ，故选B 考点：一次函数图象上点的坐标特征． 4．若点P（2，1）在过原点的一条直线上，则这条直线所对应的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正比例函数的图象 【分析】由直线经过原点，可知该直线所对应的函数是正比例函数，设函数的表达式为，将P点的坐标代入求解即可． 【详解】解：∵点P（2，1）在过原点的一条直线上， ∴这条直线所对应的函数是正比例函数， 设函数的表达式为， 把P点的坐标代入得：， 解得：， ∴这条直线所对应的函数表达式为． 故选：B． 【点睛】本题考查了正比函数的图像与性质，熟练掌握函数图像与性质的内容是解题关键． 5．若实数、满足，，则一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断一次函数的图象 【分析】根据一次函数图象与系数的关系进行判断． 【详解】当a＞0，b＜0，图象经过一、三、四象限， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）． 6．如图，一次函数的图象过两点，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查一次函数和一元一次不等式的知识点，解答本题的关键是进行数形结合，此题比较简单．根据一次函数与一元一次不等式的关系即可直接得出答案． 【详解】解：由一次函数的图象经过两点， 根据图象可知：关于的不等式的解集是， 故选：A． 7．已知一次函数，函数值随自变量的增大而减小，且，则函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、根据一次函数增减性求参数 【分析】先根据一次函数的增减性得到，进而得到，则一次函数的图象经过第一、二、四象限，由此即可得到答案． 【详解】解；∵一次函数，函数值随自变量的增大而减小， ∴， ∵， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， 故选C． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，正确判断出k、b的符号是解题的关键． 8．如图，在同一直角坐标系中，直线和的位置不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正比例函数与一次函数的图象性质作答． 【详解】当k＞2时，正比例函数y=kx图象经过第一，三象限，一次函数y=（k-2）x+k的图象经过第一、二、三象限； 当0＜k＜2时，正比例函数y=kx图象经过第一，三象限，一次函数y=（k-2）x+k的图象经过第一、二、四象限； 当k＜0时，正比例函数y=kx图象经过第二，四象限，一次函数y=（k-2）x+k的图象经过第二、三、四象限， 当（k-2）x+k=kx时，x=＜0，所以两函数交点的横坐标小于0， 故选A． 【点睛】此题考查了一次函数的图象和正比例函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键． 9．如图，已知直线l：与x轴的夹角是30°，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点；过点作y轴的垂线交直线l于点，过点作直线l的垂线交y轴于点……按此作法继续下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数的规律探究问题、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】根据所给直线解析式可得l与x轴的夹角，进而根据所给条件依次得到点的坐标，通过相应规律得到坐标即可． 【详解】解：∵与x轴的夹角是30°， ∴∠ABO＝30°， ∵A（0，1），AB⊥y轴， 当y＝1时，代入上式得：x＝， 即AB＝，AO＝1， ∴OB＝2，B（，1）， ∵⊥l， ∴＝4， ∴（0，4），（4，4）， 同理可得，...，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，正比例函数的性质以及规律型：点的坐标，也考查了勾股定理，先根据所给一次函数判断出一次函数与x轴夹角是解决本题的突破点；根据含30°的直角三角形的特点依次得到的点的坐标是解决本题的关键． 10．如图①，在中，动点P从点A出发，以的速度向点B运动．设运动时间为，，y与t的函数关系图象如图②所示，则图②中最低点M的纵坐标为（    ） A．10 B．12 C．11 D．12.5 【答案】B 【知识点】动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键． 当点在点处时，，即，当点在点处时，，即，作于点，截取，利用勾股定理求出，即可利用勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：由图得，当点在点处时，， ， 当点在点处时，， ， 作于点，截取，如图， ， 当时，此时， ， 当点运动到点处时的， ， ， 在中，， 在中，， ， ， ， ， ， 点的纵坐标为12． 故选：B． 第Ⅱ卷 二、填空题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 11．下图是一次函数的图像，当x 时，函数图像在x轴的上方． 【答案】＞-2 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】观察图象，在x轴的上方时，找自变量的取值范围． 【详解】解∶根据图象，得 在x轴的上方时，y＞0 ∴x＞-2 故答案为：＞-2． 【点睛】本题考查一次函数图象问题，读懂图象是解决问题的关键． 12．汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是40千米/时，则汽车距天津的路程S（千米）与行驶时间t（时）的函数关系式及自变量的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求自变量的取值范围、用关系式表示变量间的关系 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求自变量的取值范围，用北京与天津的距离减去汽车行驶的距离即可得到S与t的关系式，再求出总时间即可求出自变量的取值范围． 【详解】解：由题意得，， ∵总路程为120千米，速度为40千米/时， ∴需要的总时间为小时， ∴， 故答案为：． 13．如图，弹簧总长y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间是一次函数关系，则该弹簧不挂物体时的长度为 cm． 【答案】12 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】先利用待定系数法求出函数的解析式是y=0.5x+12，当x=0时y=12，所以弹簧不挂物体时的长度为12cm． 【详解】设一次函数的解析式为y=kx+b， 把(5，14.5),(20，22)代入得： ，解之得， 所以一次函数的解析式为y=0.5x+12， 当x=0时，y=12． 即弹簧不挂物体时的长度为12cm． 故答案为：12． 【点睛】主要考查了利用一次函数的模型解决实际问题的能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义求解． 14．如图，直线y＝ax+b过点A（0，2）和点B（﹣3，0），则方程ax+b＝0的解是 ． 【答案】x＝﹣3 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】所求方程ax+b＝0的解，即为函数y＝ax+b图像与x轴交点横坐标，根据已知条件中点B即可确定． 【详解】解：方程ax+b＝0的解，即为函数y＝ax+b图象与x轴交点的横坐标， ∵直线y＝ax+b过B（﹣3，0）， ∴方程ax+b＝0的解是x＝﹣3， 故答案为：x＝﹣3． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程之间的关系是解题的关键. 15．在平面直角坐标系xOy中，对于P、Q两点给出如下定义：如果点P到x、y轴的距离中的最小值等于点Q到x、y轴的距离中的最小值，那么称P、Q两点为“坐标轴等距点”，例如点与点为“坐标轴等距点”．已知点A的坐标为，如果点B在直线上，且A，B两点为“坐标轴等距点”，那么点B的坐标为 ． 【答案】或 【知识点】求点到坐标轴的距离、求一次函数自变量或函数值 【分析】设，由等距点的定义列方程计算即可，注意分类讨论，求出不同情况下的值即可． 【详解】∵点B在直线上， ∴设， 点到x、y轴的距离中的最小值为， 当时，，此时点到x、y轴的距离中的最小值为， 由A，B两点为“坐标轴等距点”可得，，解得或（舍去）， 此时； 当时，，此时点到x、y轴的距离中的最小值为， 由A，B两点为“坐标轴等距点”可得，，解得或（舍去）， 此时； 当时，，此时点到x、y轴的距离中的最小值为， A，B两点不是“坐标轴等距点”； 综上所述，点B的坐标为或． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系的知识，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义的“坐标轴等距点”． 16．【素材1】如图1某景区游览路线及方向如图所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等． 【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟，小明游玩路线①②⑧，他离入口的路程S与时间t的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟，小亮游玩路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟． 【问题】 （1）小明游玩行走速度为 米/分钟． （2）游玩路线①③⑥⑦⑧所需要的时间比游玩路线①④⑤⑥⑦⑧所需要的时间少 分钟． 【答案】 60 45 【知识点】三元一次方程组的应用、从函数的图象获取信息 【分析】本题主要考查三元一次方程组的应用及函数图象，解题的关键是理解题中所给信息，找到它们之间的等量关系． （1）设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由题意及图象可知，求出的值，再利用路程除以时间求出速度即可； （2）根据“游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟．小亮游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟”求出，进而求出路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为，利用路程除以速度再加上停留时间求出游玩路线①③⑥⑦⑧所需要的时间，即可． 【详解】解：（1）由图象可知：小明游玩行走的时间为（分钟）， 设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由图象可得： ， 解得：， ∴小明游玩行走的速度为（米/分钟）； 故答案为：60． （2）由题意，得：小亮游玩行走的时间为（分钟）；由于游玩行走速度恒定，则小亮游路线①④⑤⑥⑦⑧的路程为， ∴， ∴路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（米）； ∴游玩路线①③⑥⑦⑧所用时间为（分钟）， ∴游玩路线①③⑥⑦⑧所需要的时间比游玩路线①④⑤⑥⑦⑧所需要的时间少（分钟）； 故答案为：45． 三．解答题：（本大题共8题，17-22题每题6分，23-24题每题8分，满分52分） 17．某公司每月生产甲、乙两种型号的配件共20万个，且所有配件当月全部售出，其中成本、售价 （单位元）如下表： 配件 甲 乙 成本 售价 (1)若该公司三月份的销售收入为300万元，求生产甲、乙两种型号的配件分别是多少万个？ (2)如果公司四月份投入成本不超过216万元，应怎样安排甲、乙两种型号防疫口罩的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1)甲、乙两种型号的配件分别为15万个，5万个 (2)甲型号配件生产万个，乙型号配件生产万个，最大利润为108万 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了二元一次方程的应、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设甲、乙两种型号的配件分别为万个，万个，依题意，列式，再解方程，即可作答． （2）设甲型号配件生产万个，利润为，列出不等式得，再根据题意得出，运用一次函数的性质进行作答即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两种型号的配件分别为万个，万个 根据题意得，， 解方程得，， 所以，甲、乙两种型号的配件分别为15万个，5万个 （2）解：设甲型号配件生产万个，利润为，则有 ， 解得：， 所以，， 而一次函数随的增大而增大， 故当时，有最大值， 所以公司4月份最大利润为108万元． 18．如图所示，分别表示某工厂甲、乙两车间生产的产量y（吨）与所用时间x（天）之间的函数图象，根据图象回答：    (1)乙车间开始生产时，甲车间已生产了______吨； (2)从乙车间开始生产到第______天结束时，两车间生产的总产量相同； (3)求甲、乙两车间的产量y（吨）与所用时间x（天）的函数关系式； (4)第天结束时，哪个车间的产量多，多多少吨？ 【答案】(1) (2) (3) (4)第天结束时，乙车间的产量多，多吨 【知识点】从函数的图象获取信息、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数在实际问题中的应用，旨在考查学生的信息提取能力． （1）由两函数图象与轴的交点即可求解； （2）由两函数图象的交点即可求解； （3）设，将点代入，将点代入即可求解； （4）当时，分别求出即可． 【详解】（1）解：由两函数图象与轴的交点可知，乙车间开始生产时，甲车间已生产了吨， 故答案为： （2）解：由两函数图象的交点可知，从乙车间开始生产到第天结束时，两车间生产的总产量相同， 故答案为： （3）解：设， 将点代入得： ， 解得： 将点代入得： ， 解得： ∴ （4）解：当时， （吨） ∴第天结束时，乙车间的产量多，多吨 19．已知一次函数． (1)画出函数的图象． (2)图象与x轴的交点坐标是　　，与y轴的交点坐标是　　． (3)当x　　时，． 【答案】(1)见解析 (2)， (3) 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、画一次函数图象、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】(1) 根据画一次函数的图象的方法，列表、描点、连线可以画出一次函数的图象； (2)根据图象即可求解； (3)根据函数图象，可以写出当x为何值时，． 【详解】（1）列表如下： x … ﹣2 0 … y … 0 2 … 描点．连线画出函数图象，如图所示； （2）图象与x轴的交点坐标是，与y轴的交点坐标是． 故答案为：，； （3）由函数图象可得： 当时，一次函数的图象在x轴上方， ∴当时，． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 20．某商店购进A、B两种商品，购买1个A商品比购买1个B商品多花10元，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等． (1)求购买1个A商品和1个B商品各需要多少元； (2)商店准备购买A、B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，怎样购买，使总费用最少？为多少？ 【答案】(1)购买一个A商品需要15元，购买一个B商品需要5元 (2)购买B商品16个，则购买A商品64个；1040元 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的实际应用 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设购买一个B商品需要x元，则购买一个A商品需要元，根据数量=总价÷单价结合花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设购买B商品m个，则购买A商品个，根据A商品的数量不少于B商品数量的4倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设进货成本为w，即可得出关于m的一次函数解析式，根据一次项系数判断增减性，即可求得． 【详解】（1）解：设B商品一个x元，则A商品一个元， 由题意得 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴， 答：购买一个A商品需要15元，购买一个B商品需要5元． （2）解：设购买B商品m个，则购买A商品个， 由题意得：， 解得：， 设购进成本为w元，则， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w有最小值（元）， 答：本次进货商店花费成本最低为1040元． 21．如图，直线分别与x轴、y轴交于点，．直线分别与x轴、y轴交于点，，与直线交于点E．求点E的坐标． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、求一次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式以及两直线交点问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 利用待定系数法分别求得直线、的解析式，然后联立方程即可求得． 【详解】解：设直线的解析式为， 将代入得，， 解得， 所以直线的解析式为， 设直的解析式为， 将代入得，， 解得， 所以直线的解析式为， 解方程组，得， 所以点的坐标为． 22．2023中国产业转移发展对接活动（河南）在郑州隆重举行，本届活动以“开放、合作、发展、共赢”为主题，提出要重点培育新兴产业、电子商务作为新兴行业，其迅速崛起带来了物流运输和配送的巨大需求，某快递公司采购A，B两种型号的3D视觉技术机器人进行5公斤以下的快递分拣，已知A型机器人比B型机器人每小时多分拣200件快递，且A型机器人分拣700件快递所用的时间与B型机器人分600件快递所用的时间相等． (1)求B型机器人每小时分拣快递的件数； (2)若快递公司共购进10台机器人，A型机器人售价20万元/台，B型机器人售价15万元/台，要满足快递公司每小时分拣不少于13000件快递的需求，如何设计采购方案费用最少？ 【答案】(1)B型机器人每小时分拣件 (2)采购5台A型机器人，5台B型机器人，费用最小 【知识点】分式方程的实际应用、用一元一次不等式解决实际问题、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）设B型机器人每小时分拣件，根据A型机器人比B型机器人每小时多分拣200件快递，且A型机器人分拣700件快递所用的时间与B型机器人分600件快递所用的时间相等，列出方程进行求解即可； （2）设购进台A型机器人，根据题意，列出不等式，求出的范围，设采购费用为万元，列出一次函数解析式，利用一次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：设B型机器人每小时分拣件，则A型机器人每小时分拣件，由题意， 得：， 解得：； 经检验是原方程的解； ∴B型机器人每小时分拣件． （2）由（1）知A型机器人每小时分拣件快递， 设购进台A型机器人，则购进台B型机器人，由题意，得： ， 解得：； 设需要采购的费用为万元，则：， ∵，随着的增大而增大， ∴当时，采购费用最小； ∴采购5台A型机器人，5台B型机器人，费用最小． 【点睛】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式和一次函数的实际应用，解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程，不等式和一次函数表达式． 23．在平面直角坐标系中，有点A（m，0），B（0，n），且m，n 满足 ． （1）求A，B 两点坐标； （2）如图1，直线 轴，垂足为点 ．点 P为直线 上一点，且点 P在第四象限，若 的面积为 ，求点 的坐标； （3）如图 ，点 为 轴负半轴上一点，过点 作 ， 为线段 上任意一点，以 为顶点作 ，使 ， 交 于 ．点 为线段 与线段 之间一点，连接 ，，且 ．当点 在线段 上运动时， 始终垂直于 ，试写出 与 之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1），；（2）；（3），理由见解析 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件，求出n的值，再求出m的值即可解决问题； （2）如图1中，设P（1，m），作BM⊥l于M，连接AM．根据S△PAB=S△ABM+S△AMP-S△PMB，构建方程即可解决问题； （3）利用平行线的性质，以及四边形内角和定理即可解决问题； 【详解】解：（1） ， ， ， ，． （2） 如图，设 ，作 于 ，连接 ． ， ， 解得：， ． （3）结论：∠GFO=2∠GFC． 理由：如图2中，设∠AEG=x，∠GFC=y，则∠GEO=2x． ∵∠EGF=∠EOF=90°， ∴∠GEO+∠GFO=180°， ∵， ∴∠AEG+∠GFC=∠EGF=90°， ∴x+y=90°，2x+∠GFO=180°， ∴∠GFO=180°-2（90°-y）=2y， ∴∠GFO=2∠GFC． 【点睛】本题考查一次函数综合题、平行线的性质、四边形内角和定理、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用分割法求三角形面积，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题． 24．下面图片是七年级教科书中“实际问题与一元一次方程”的探究3 电话计费问题 月使用费/元 主叫限定时间/min 主叫超时费/（元/min） 被叫 方式一 58 150 0.25 免费 方式二 88 350 0.19 免费 考虑下列问题： ①设一个月内用移动电话主叫为tmin（t是正整数）根据上表，列表说明：当t在不同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费 ②观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计算验证你的看法． 小明升入初三再看这个问题，发现两种计费方式，每一种都是因主叫时间的变化而引起计费的变化，他把主叫时间视为在正实数范围内变化，决定用函数来解决这个问题． （1）根据函数的概念，小明首先将问题中的两个变量分别设为自变量x和自变量的函数y，请你帮小明写出： x表示问题中的__________，y表示问题中的__________．并写出计费方式一和二分别对应的函数解析式； （2）在给出的正方形网格纸上画出（1）中两个函数的大致图象，并依据图象直接写出如何根据主叫时间选择省钱的计费方式．（注：坐标轴单位长度可根据需要自己确定） 【答案】（1）主叫时间，计费；方式一：；方式二：；（2）见解析，当主叫时间在270分钟以内选方式一，270分钟时两种方式相同，超过270分钟选方式二 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据题意即可知道x、y的实际意义，根据两种方式的计算方式即可列出分段式函数关系式； （2）根据函数表达式，描点法画出函数图像即可． 【详解】解：（1）根据题意可知：x表示主叫时间，y表示计费， 通过表格数据可知两种方式都属于分段函数，主叫超时费即为一次函数“k”值，即可直接写出函数表达式为： 方式一： 即 方式二： 即 （2）大致图象如下： ， 解得x=270， 由图可知：当主叫时间在270分钟以内选方式一，270分钟时两种方式相同，超过270分钟选方式二． 【点睛】本题考查了一次函数的表达式求法和函数图像的画法，结合函数图像确定方案选择问题，理解数据与函数的关系是解决问题的关键． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$