专题02 绝对值问题（3个知识点6类热点题型讲练+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（华东师大版2024）

专题02绝对值问题 知识要点精讲 知识点01 绝对值的基本概念: （1）绝对值定义：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值。 （2）绝对值的表示方法：的绝对值记作 知识点02 绝对值的几何意义： （1）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离；到原点的距离越远，说明这个数的绝对值越大；离原点的距离越近，说明这个数的绝对值越小． 如上图，点到原点的距离比点到原点的距离远，所以；反之，若，则点到原点的距离比点到原点的距离远。 （2）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的． 由此可以发现，数轴上的一个有理数由两个因素决定：符号和绝对值。 符号：决定了这个数在数轴上的对应点在原点的哪一侧； 绝对值：决定了这个数在数轴上的对应点到原点有多远。 知识点03 绝对值的性质: 性质1：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 性质2：（非负性），即任何一个数的绝对值总是正数或0，即． （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； 重难点题型训练 题型一：含字母的绝对值化简 1．（24-25七年级上·四川眉山·期中）如果a、b、c都不为零，且，则的所有可能的值为（    ） A．0 B．1或 C．2或 D．0或 【答案】A 【分析】此题考查了绝对值，有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据题意确定出a，b，c中负数的个数，原式利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果． 【详解】解：∵a、b、c为非零有理数，且， ∴a、b、c只能为两正一负或一正两负． ①当a、b、c为两正一负时，设a、b为正，c为负， 原式， ②当a、b、c为一正两负时，设a为正，b、c为负， 原式， 综上，的值为0，故选：A． 2．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）若，则 的值为（    ） A． B．4 C．0或4 D．0或 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简绝对值，有理数的四则运算，根据乘法计算法则得到中负数的个数为奇数个，则可分两种情况：当三个数都为奇数时，当中有一个负数，两个正数时，不妨设是负数，两种情况分别化简绝对值后计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴中负数的个数为奇数个， 当三个数都为奇数时， 则； 当中有一个负数，两个正数时，不妨设是负数， 则， 综上所述，的值为0或，故选：D． 3．（24-25七年级上·四川德阳·阶段练习）表示有理数a，b，c的点在数轴上的位置如图所示，则的值是（ ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】本题考查化简绝对值，有理数的混合运算，先根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，进而化简绝对值，利用有理数的运算法则进行计算即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴；故选B． 4．（23-24七年级上·贵州遵义·期中）已知，则_________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘法运算，除法运算，化简绝对值，根据乘法运算的符号法则，得到异号，为负数，进而化简绝对值，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴异号，为负数， ∴一个为1，一个为，， ∴原式；故答案为：． 5．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）已知非零有理数，，满足，则_________． 【答案】或 【分析】本题考查绝对值的概念，由绝对值的概念，即可求解，解题的关键是掌握正有理数的绝对值是它本身，负有理数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零． 【详解】解：∵非零有理数，，满足， ∴，或，， 当，时， ， 当，时， ，故答案为：或． 6．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）已知，，若，则x的最大值与最小值的乘积为_________． 【答案】 【分析】先化简x的表达式，再利用a，b，c中负因数的个数为奇数个分别求出最大值与最小值即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴a，b，c中负因数的个数为奇数个 ∴当时，x的最大值为， 当时，x的最小值为， ∴x的最大值与最小值的成绩为，故答案为： ． 【点睛】本题考查了有理数的除法，有理数的乘法，绝对值的性质，熟记运算法则是解题的关键． 7．（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）有理数a，b，c在数轴上所对应的点的位置如图： (1)在数轴上表示； (2)用“>”或“<”填空：　　　　0，　　　　0，　　　　0； (3)化简：． 【答案】(1)见解析;(2);(3)0 【分析】本题主要考查了有理数大小比较、数轴、绝对值等知识点，掌握有理数大小比较的方法是解题的关键． （1）根据绝对值的性质作图即可； （2）观察数轴可知，由此逐个判断即可解答； （3）由结合绝对值的定义，即可得出的值． 【详解】（1）解：如图：表示的点即为所求． （2）解：由题意得：， ∴． 故答案为：，． （3）解：∵， ∴ ． 8．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）阅读下列材料：，即当时，，当时，，运用以上结论解决下面问题： (1)当时，若，，则______0； (2)当时，若，则______0； (3)已知，，是非零有理数，则______； (4)当与都是整数，且，求的值．（写出分类讨论的过程） 【答案】(1);(2);(3)或;(4)，过程见解析 【分析】本题考查了有理数的乘法和加法，绝对值的化简，运用分类讨论思想是解答本题的关键． （1）根据有理数的乘法法则和加法法则即可确定； （2）根据有理数的乘法法则即可确定； （3）分别对当a，b，c都是正数时，a，b，c都是负数时，当a，b，c中有两个正数，一个负数时，当a，b，c中有两个负数，一个正数时，四种情况下分别计算即可； （4）a与b都是整数，且，分情况讨论∶①，；②，；③，；④，，分别计算的值即可． 【详解】（1）解∶ 因为，， 所以， 因为， 所以， 故答案为：； （2）解：因为，， 所以， 故答案为：； （3）解∶ 当、、均为正数时，； 当、、均为负数时，； 当、、中有两个正数一负数时，不妨设，，，则 ； 当、、中有一个正数两个负数时，不妨设，，，则 ， 综上，的值为或， 故答案为：或； （4）解∶因为与都是整数，且， 分情况讨论： ①，，此时； ②，，此时； ③，，此时； ④，，此时， 所以的值为． 9．（21-22七年级上·福建龙岩·阶段练习）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】已知有理数x，y，z满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得x，y，z三个都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当x，y，z都为正数，即，，时，； ②当x，y，z中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， 则． 综上所述，的值为3或． 【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知x，y是不为0的有理数，当时，__________； (2)已知x，y，z是有理数，当时，求的值． 【答案】(1)0;(2)1或 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，有理数的混合运算，运用分类讨论的数学思想是解题的关键． （1）根据绝对值的意义及有理数乘法运算法则确定异号，然后根据绝对值的意义进行化简即可； （2）根据有理数乘法运算法则判断的符号，然后根据绝对值的意义进行化简，注意分情况讨论即可． 【详解】（1）解：，且是不为0的有理数， ，即异号， 不妨设， 原式，故答案为：0； （2）解：，且是有理数， 三个有理数均为负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①当三个有理数均为负数时，即， ∴原式 ； ②当中一个为负数，另两个为正数时， 不妨设， ∴原式 ； 综上，的值为1或； 题型二：绝对值的非负性应用 1．（2024七年级上·江苏·专题练习）若，则（    ） A．2 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．根据非负数的性质列式求出m、n，然后代入计算即可得解． 【详解】解：由题意得，，解得， 所以，． 故选：D． 2．（24-25七年级上·云南曲靖·阶段练习）若与互为相反数，则的值为（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的非负性，代数式求值，根据与互为相反数可得，进而得，，求出的值再代入代数式计算即可求解，掌握绝对值的非负性是解题的关键． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故选：． 3．（23-24七年级上·四川达州·期中）若a、b、c是整数，且，则_________． 【答案】1 【分析】本题考查了绝对值，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性，以及采用分类讨论的思想，根据绝对值的非负性以及题意，可知当时，则，当时，则，分类讨论计算即可． 【详解】解：a、b、c是整数， ，是整数， ， 又， 时，则或时，则， 当时， 则， ； 当时， 则， ； 当时， 则， 当时， 则， ， 综上可得：，故答案为：1． 4．（23-24六年级下·上海黄浦·期中）若，则=_________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，以及非负数的性质，利用非负数的性质求出a与b的值，代入所求式子中拆项后，抵消即可求出值是解本题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得： ∴ ，故答案为：． 5．（2024七年级·全国·竞赛）已知整数满足，则的值为_________． 【答案】0或 【分析】本题考查了绝对值的意义，整数的意义，分类计算即可． 【详解】∵，且整数， ∴或，或 ∴； 或； 或； 综上，的值为0或． 故答案为：0或． 6．（22-23七年级上·湖南衡阳·期中）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，，x与在数轴上表示的点相距2个单位长度，求：的值． 【答案】或 【分析】根据、互为相反数，、互为倒数，，与在数轴上表示的点相距2个单位长度，可以得到，，，，，然后即可求出、、的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：、互为相反数，、互为倒数，，与在数轴上表示的点相距2个单位长度， ，，，，， ，，或， 当时， ； 当时， ； 由上可得，的值为或． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，非负数的性质，相反数、倒数的应用，绝对值的意义，解答本题的关键是掌握相关知识内容以及明确有理数混合运算的计算方法． 题型三：解含绝对值的方程 1．（2024·吉林长春·模拟预测）若x为实数，，则x的绝对值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的意义，根据绝对值的意义得一元一次方程是正确解决本题的关键． 根据绝对值的意义得两个一元一次方程分别求解即可． 【详解】解：由绝对值的意义得：，或， ①，无解，解②得， 则x的绝对值为，故答案为：C． 2．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）已知互为相反数，且，则的值为（　 　） A．1.5或4.5 B．2或3 C．1.5或4 D．2或4 【答案】A 【分析】本题考查代数式求值，根据互为相反数的两数和为0，又因为，可求得的值，代入即可求得结果判定正确选项，把相反数和绝对值的运算结合求解是解决问题的关键． 【详解】解：∵互为相反数， ∴，即， ∵， ∴，即，解得或， ∴或， 故选：A． 3．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）若，则_______． 【答案】或 【分析】此题考查了绝对值方程，根据题意得到，则或，即可求出答案． 【详解】解：， ∴， 则或， 解得或， 故答案为：或． 4．（2024七年级上·北京·专题练习）解方程：； 【答案】 【分析】本题考查了绝对值方程，根据正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数求解即可． 【详解】解：当时，， 不成立； 当时，， 解得； 当时，， 不成立； 综上，． 5．（2024七年级上·北京·专题练习）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值方程，先整理成，然后根据绝对值等于一个正数的数有2个，它们是互为相反数的关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．（23-24七年级下·四川资阳·阶段练习）先阅读下列解题过程，然后解答问题． 解方程：． 解：当时，原方程可化为，解得； 当时，原方程可化为，解得． 所以原方程的解是或． (1)解方程： (2)已知关于x的方程 ①若方程无解，则m的取值范围是______； ②若方程只有一个解，则m的值为______； ③若方程有两个解，则m的取值范围是______； (3)解方程： 【答案】(1)或；(2)；；；(3)无解 【分析】本题主要考查了含绝对值符号的一元一次方程，利用分类讨论得出是解题关键． （1）首先要认真审题，解此题时要理解绝对值的意义，要会去绝对值，然后化为一元一次方程即可求得； （2）运用分类讨论进行解答； （3）先去分母，再分别根据当，以及当分别求出即可． 【详解】（1）解：当时，原方程可化为：，解得； 当时，原方程可化为：，解得． 所以原方程的解是或； （2）解：∵， ∴①当时，方程无解； ②当时，方程只有一个解； ③当时，方程有两个解； 故答案为：；；； （3）解： 去分母，得， ①当，即时， 原方程化为，， 解得，不符合题意，舍去； ②当，即时， 原方程化为， 解得 ，不符合题意，舍去； 所以，原方程无解． 题型四：最小值与最大值问题 1．（22-23七年级上·河南安阳·阶段练习）关于下列叙述正确的是（ ） A．有最大值2 B．有最小值2 C．有最小值0 D．有最大值0 【答案】B 【分析】利用绝对值的定义，非负数的性质来判断即可． 【详解】解：， ，即有最小值2，故选：B． 【点睛】本题考查了绝对值，非负数，做题的关键是掌握绝对值的定义，非负数的性质． 2．（24-25七年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）如果x为有理数，式子存在最大值，那么这个最大值是（   ） A．2024 B．4048 C．20 D．0 【答案】A 【分析】本题考查的是绝对值的意义，根据绝对值的非负性，可知，得出式子存在最大值，即可选出答案． 【详解】解：∵绝对值具有非负性 ∴， ∵有最大值， ∴当时，式子有最大值，此时的值是2024，故A正确． 故选：A． 3．（2022七年级上·全国·专题练习） (1)已知 |a+2|+|b−1|=0，求 a+b 的值． (2)当a= 时，|1−a|+2 会有最小值，且最小值是_________． (3)当x= 时，5−|2x−3| 有最大值． 【答案】(1)-1；(2) 1 2；(3) 【分析】（1）根据绝对值的非负性即可求得答案； （2）根据绝对值的非负性即可求得答案； （3）根据绝对值的非负性即可求得答案． 【详解】（1）解：|a+2|+|b−1|=0， ∵|a+2|≥0，|b−1|≥0， ∴a+2=0，b−1=0， ∴a=-2，b=1， ∴a+b=-2+1=-1； （2）解：∵|1−a|≥0， ∴|1−a|+2 会有最小值， 当a=1时，|1−a|+2 会有最小值，最小值为2， 故答案为：1，2； （3）解：∵|2x−3|≥0， ∴5−|2x−3| 有最大值， 当x=时，5−|2x−3| 有最大值， 故答案为：； 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，绝对值一定会是大于等于零的，这就是绝对值的非负性． 4．（22-23七年级上·浙江·阶段练习）式子能取得的最小值是，这时；式子能取得的最大值是，这时_________． 【答案】 4 1 3 【分析】根据绝对值都是非负数，加数最小时，和最小，减数最小时，差最大，即可得出答案． 【详解】解：， 当时，最小，最小值，此时； ， 当时，最大，最大值，此时． 故答案为：①4，②1，③3，④． 【点睛】本题考查了非负数的性质，利用了绝对值是非负数的性质，加数最小时和最小，减数最大时差最大． 5．（22-23七年级上·广东梅州·阶段练习）解答下列问题： (1)代数式有最大值或最小值吗？有的话，是多少？ (2)当代数式取得最大值或最小值时，代数式的值是多少？ 【答案】(1)有最小值，最小值是；(2) 【分析】（1）利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可； （2）根据代数式取得最小值时，确定出x与y的值，原式化简后代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∴当，即，时， 代数式有最小值，最小值是． （2）解：当，时，代数式． 【点睛】本题考查了整式的加减的化简求值和非负数的性质，解题的关键是熟练掌握运算法则． 6．（22-23七年级下·广西玉林·阶段练习）阅读理解：目前，我们学过两类非负数，它们分别是绝对值和平方数． 小明学习后总结如下：因为，所以的最小值为m，所以的最大值为m． 迁移发现： 绝对值是否有类似的结论呢？下面是小明的探究过程，请将其补充完整． (1)对和进行讨论，发现可以求得的最______值，可以求得的最______值； (2)多选择一些特殊实例进行讨论，请你写出一般的结论：________________ (3)请用迁移发现中的结论讨论是否有最小值或最大值，最值是什么？ 【答案】(1)小，大；(2)的最小值为，的最大值为；(3)有最大值，最大值为 【分析】（1）根据绝对值的非负性进行判断即可； （2）选择几组特殊实例，讨论后，得到一般规律即可； （3）根据（2）中结论进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即：的最小值为：；的最大值为； 故答案为：小，大； （2）∵， ∴， ∴， ∴； ∴ ∴； 故答案为：的最小值为，的最大值为； （3）由（2）可知：有最大值，最大值为． 【点睛】本题考查绝对值的非负性．熟练掌握是解题的关键． 7．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）用字母a表示一个有理数，一定是非负数，也就是它的值为正数或者0，所以的最小值为0，而一定是非正数，即它的值为负数或者0，所以有最大值为0，根据这个结论完成以下问题： (1) 有最______值为______；有最______值为 ______； (2)当 _______  时，有最______值_____； (3)当_______  时，有最______值_____； (4)当，求的值 【答案】(1)小；1；大；5；(2)1；小；2；(3)3；大；9；(4) 【分析】本题考查了绝对值非负性，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键． （1）根据非负数的性质，可以求出有最小值；根据，可以求出有最小值； （2）把看作一个整体，根据非负数的性质求解； （3）把看作一个整体，根据非负数的性质求解； （4）根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入进行计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴有最小值1， ∵ ∴ ∴有最大值5 故答案为：小；1；大；5． （2）解：∵ ∴， ∴当时，有最小值2， 故答案为：1；小；2． （3）解：∵ ∴ ∴当时，有最大值9， 故答案为：3；大；9． （4）解：∵ ∴，， 解得：，， ∴． 题型五：绝对值的几何意义应用 1．（23-24七年级上·广东汕头·期中）绝对值的几何意义：表示一个数在数轴上对应的点到原点的距离，表示x，y两数在数轴上对应两点之间的距离．则的最小值为(　  　)，的最大值为(　  　) A．1， B．1，5 C．5，5 D．1，1 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的几何意义，理解绝对值的几何意义是解题的关键． （1）表示表示x的点到表示3和的点之间的距离之和，当表示x的点位于表示3的点和表示的点之间时，取得最小值，即可解答； （2）表示表示x的点到表示3和的点之间的距离之差，当表示x的点位于表示3的点的左侧，或位于表示的点的右侧时，取得最大值，即可解答． 【详解】解：∵表示表示x的点到表示3和的点之间的距离之和， ∴当表示x的点位于表示3的点和表示的点之间时，取得最小值，最小值为． ∵表示表示x的点到表示3和的点之间的距离之差， ∴当表示x的点位于表示3的点的左侧，或位于表示的点的右侧时，取得最大值，最大值为． 故选：C 2．（2024七年级·全国·竞赛）已知有理数满足，则式子的最大值是_________，最小值是_________． 【答案】 9 5 【分析】本题主要考查了绝对值的意义．根据题意可得表示数轴上数x表示的点到表示的点与数x表示的点到2表示的点的距离的和，再根据数轴上两点间的距离，即可求解． 【详解】解：根据题意得：表示数轴上数x表示的点到表示的点与数x表示的点到2表示的点的距离的和， ∵有理数满足， ∴当数x表示的点在表示的点与数x表示的点到2表示的点之间时，最小，最小值为， 当时，最大，最大值为． 故答案为：9；5 3．（24-25七年级上·重庆巴南·阶段练习）已知，求的最大值与最小值的差是_________． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点间距离计算，理解数轴上两点间距离公式是解题的关键． 表示数轴上表示x的点到表示和2的两个点的距离之和，得．同理，，，可得，，．于是． 【详解】解：表示数轴上表示x的点到表示和2的两个点的距离之和， ∴． 同理，，， 而， ∴，，． ∴． ∴． ∴的最大值为14，最小值为， ∴的最大值与最小值的差为． 故答案为：． 4．（22-23七年级上·广东汕头·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示6和2的两点之间的距离为＝　　；表示和2两点之间的距离为＝　　；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于，如果表示数a和的两点之间的距离是3，那么a＝　　． (2)若数轴上表示数a的点位于与3之间(包括与3两点)，求 的值； (3)当　　时，的值最小，最小值为　　． (4)当x，y满足时，的最大值为 　　． 【答案】(1)4，3，2或；(2)8；(3)，8；(4)11 【分析】（1）根据数轴上两点间距离公式进行计算即可； （2）表示数a到和3两点的距离之和，然后根据表示数a的点的位置求解即可； （3）表示x到，，3三个点的距离之和，结合数轴可知， 当时，有最小值，由此可求解； （4）先根据已知式子可得，求出x、y的范围，再求出的最大值即可． 【详解】（1）数轴上表示6和2的两点之间的距离为； 表示和2两点之间的距离为； ∵表示数a和的两点之间的距离是3， ∴， ∴或， ∴或， 故答案为：4；3；2或； （2）表示数a到和3两点的距离之和， ∵表示数a的点位于与3之间， ； （3）表示x到，，3三个点的距离之和， ∵当时，有最小值，且当时，有最小值， ∴当时，有最小值， 最小值为， 故答案为：，8； （4）， ∴， ∵， ， ， ∴当时有最大值， 最大值为， 故答案为：11． 【点睛】本题主要考查了绝对值与数轴的综合运用，解题的关键是理解绝对值的几何意义． 5．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是__________；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于__________； (2)如果，那么__________； (3)找出所有符合条件的x，使，则__________； (4)已知，求的最大值和最小值. 【答案】(1)3；；(2)或；(3)或；(4)的最大值为7，最小值为 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，绝对值的意义，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的意义是解题的关键． （1）根据数轴上两点间距离的求法解题即可； （2）根据题意可得方程或，求出x的值即可求解； （3）根据绝对值的几何意义可知，当当时，，当时，当时； （4）根据绝对值的几何意义可知，当时，的最小值为3，当时，的最小值为3，当时，的最小值为4，再由已知可得，根据x、y、z的范围求的最大值和最小值即可． 【详解】（1）解：数轴上表示4和1的两点之间的距离是， 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于， 故答案为：；； （2）， 或， 解得：或； （3）表述数轴上有理数x所对应的点到和5所对应的点的距离之和， 当时，， ， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 的值为或， 故答案为：或； （4）当时，的最小值为3， 当时，的最小值为3， 当时，的最小值为4， ， ， 当时，有最大值7， 当时，有最小值． 6．（23-24七年级上·福建宁德·阶段练习）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．请根据数轴解决以下问题： （1）式子在数轴上的意义是_______； （2）当取最小值时，x可以取整数_______； （3）最大值为_______； 【解决问题】 （4）如图，一条笔直的公路边有四个居民区A、B、C、D和市民广场O，居民区A、B、C、D分别位于市民广场左侧，左侧，右侧，右侧．现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在何处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短？最短路程是多少？试说明理由．    【答案】（1）数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离；（2），0，1，2，3；（3）4；（4）便民服务点P建在点B或点C处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短，最短距离是 【分析】（1）根据题意即可得出结论； （2）的最小值表示有理数x的点到的点的距离与表示x的点到3的点的距离之和，x应该在和3之间的线段上，即可求出结果； （3）根据的几何意义是表示x的点到的距离减去x到3的距离，可得时取得最大值， 即可求出结果； （4）设便民服务点P在数轴上表示x的点处，由题意可得点P到各点的距离之和即，求出最小值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，式子在数轴上的意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离； 故答案为：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离． （2）解：根据题意可得， 的几何意义是数轴上表示有理数x到的距离与x到3的距离之和， ∴当时，取最小值， 即当x可以取整数，0，1，2，3； 故答案为：，0，1，2，3． （3）解：的几何意义是表示x的点到的点的距离减去表示x的点到表示3的点的距离， 时取得最大值， 的最大值是：． （4）解：设便民服务点P在数轴上表示x的点处， 根据题意可得，便民服务点到四点的距离为， 当表示x的点在表示的点到表示1的点的线段上，有最小值，即， 当时， 取得最小值， 此时， 答：便民服务点P建在点B或点C处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短，最短距离是． 【点睛】本题考查了数轴表示数的意义和绝对值的意义，理解绝对值的意义是解题的关键． 7．（23-24七年级上·广东广州·期中）我们知道：的几何意义可以理解为数轴上表示数a的点与原点之间的距离．请大家运用相关知识继续探索数轴上多个点之间的距离问题：    (1)数轴上的点A、点B分别是数、3对应的点，则点A与点B之间的距离为． (2)再选几个点试试，猜想：若点A、点B分别是数a、b对应的点，则点A与点B之间的距离为． (3)若数轴上的点A对应的数为a，且，则点A对应的数为． (4)继续利用绝对值的几何意义，探索的最小值是． (5)已知数x，y满足，则的最小值是，最大值是． 【答案】(1)4；(2)；(3)或；(4)17；(5)，11 【分析】（1）用3减去即可得到点A、点B间的距离； （2）若点A、点B分别是有理数a、b对应的点，则点A、点B间的距离用两数之差的绝对值表示； （3）可以把理解为表示点A到2对应点和对应的点的距离之和为12，而与2对应的点表示的距离为3，则点A对应的实数为或； （4）根据线段上的点与线段两端点的距离的和最小，可得答案； （5）先移项可得，根据线段上的点与线段两端点的距离的和最小，可得答案． 【详解】（1）解：点A、点B间的距离； 故答案为：4； （2）解：若点A、点B分别是有理数a、b对应的点， 则点A、点B间的距离为； 故答案为：； （3）解：理解为表示点A到2对应点和对应的点的距离之和为12，而与2对应的点表示的距离为3， 则点A对应的实数为或； 故答案为：或； （4）解：表示的几何意义：数轴上点x与12的距离与点x与距离的和， 则最小值是； 故答案为：17； （5）解：原式变形为：， 所以要使等式满足，可得：， 所以的最小值是，最大值是． 故答案为：，11． 【点睛】本题考查了数轴、绝对值及两点之间线段最短，熟练掌握相关知识是解题关键． 8．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： (1)若，则x的值为______； (2)当取最小值时，x可以取正整数______；最大值为______； (3)当______时，的值最小，最小值为______； (4)如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人．现因物流需要，需要在该公路上建菜鸟驿站，用于接收这3个小区的快递，若快递的运输成本为1元/（千份·千米），那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？ 【答案】(1)1或；(2)，，，0，1；4；(3)，7； (4)菜鸟驿站建在点，点之间才能使总运输和包装成本最低，最低成本是12元 【分析】（1），根据题意即可得其值； （2）表示有理数的点到有理数的点，有理数的点到有理数的点的距离之和，按照题意即可得其值； （3）的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离， （4）列出式子，求其最小值即可． 本题考查绝对值的几何意义，数轴上表示有理数，综合性较强，难度较大，理清题意是解题的关键． 【详解】（1）解：式子在数轴上的意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离， ∵ ∴当在的左边时，则； ∴当在的右边时，则； 则的值为：1或； 故答案为：数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离，1或； （2）解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离， 当取最小值时，则在和1之间， 当时，即当可以取整数，，，0，1； 的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离的差， 当在的右边时，则为表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离，即为4； 当在的左边时，则， ∴最大值为4； 故答案为：，，，0，1；4． （3）解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离， 当时，的值最小，此时即为和1之间的距离，即为7， ∴最小值为7； 故答案为：，7； （4）解：设菜鸟驿站在处， 根据题意可得，运输距离为：， 的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数1的点和与表示有理数3的点之间的距离， 由（2）得，在之间才能取最小值， ∵A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人． ∴当时，取得最小值， 则， ∴此时最低成本12（元）， 菜鸟驿站建在点，点之间才能使总运输和包装成本最低，最低成本是12元． 题型六：绝对值的综合问题 1．（23-24七年级上·陕西西安·期中）（1）若数轴上M，N两点分别表示数m与数n，则M，N两点之间的距离是，例如：表示2和在数轴上对应的两点之间的距离．数轴上x和的两点之间的距离可表示为______． （2）如图，数轴上的点A表示的是，点B表示的是4，P是数轴上任意一点，且点P表示的是x，求的最小值．    （3）古城某条街上有3家新开的自习室A，B，C．小浩是大学生，小浩参与了大学生创业计划，在政府的支持下，小浩想在自习室附近开设一家复印店，为来自习室学习的学生提供方便，复印店记为点P．如图，小浩家在O处，自习室A在小浩家西边60米处，B在小浩家东边180米处，C在小浩家东边240米处．请问：小浩把复印店开设在什么地方，复印店到三个自习室和家的距离之和最小，即的值最小？最小值是多少？    【答案】（1）；（2）的最小值是6；（3）把复印店开设在之间（含端点O，B）处，复印店到三个自习室和家的距离之和最小，最小值是480米． 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，理解和应用数轴上两点间的距离公式是解题的关键. （1）根据数轴上两点间的距离求解即可. （2）分三种情况：当点P在点A左侧时，得；当点P在点B右侧时，；当点P在点A，B之间时（包括端点A，B），．即可得出答案. （3）以小浩家O为原点，向东（右）为正方向，所在直线为轴，建立数轴，则A表示，B表示180，C表示240．当点P在之间时，；当点P在之间时，；当点P在点之间（含端点O，B）时，；即可求解. 【详解】解：（1）． （2）PA的值为，的值为， 则． 如图，当点P在点A左侧时，．    如图，当点P在点B右侧时，．    如图，当点P在点A，B之间时（包括端点A，B），．    因为，所以， 所以的最小值是6，即的最小值是6． （3）如图，以小浩家O为原点，向东（右）为正方向，所在直线为轴，建立数轴，则A表示，B表示180，C表示240．    当点P在之间时，， 当点P在之间时，， 当点P在点之间（含端点O，B）时，， 此时，的值最小，最小值是． 所以，小浩把复印店开设在OB之间（含端点O，B）处，复印店到三个自习室和家的距离之和最小，最小值是480米． 2．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读理解：我们知道的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离．举例：数轴上表示数a和的两点A和B之间的距离是． 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题． (1)①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________， ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是_________． (2)若数轴上表示数a的点位于与5之间，求的值是_________； (3)当取最小值时，相应的数a的取值范围是_________； (4)求的最小值是_________． 实际应用： (5)问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，，，，，…，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店P，点P选在______，才能使这2023户居民到点P的距离总和最小．（填住户标记字母） 拓展提升： (6)若数a，b满足，求的最小值为_________． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6) 【分析】本题主要考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的几何意义是解题的关键． （1）由两点间距离直接求解即可； （2）根据绝对值的性质化简绝对值，在计算即可； （3）由两点距离的意义进行解得； （4）当时代数式的值最小，即可得到答案； （5）取最中间点即可； （6）在范围内，解方程便可得到答案． 【详解】（1）解：数轴上表示2和5的两点之间的距离是； 数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是； （2）解：， ； （3）解：表示数的点与表示数和的点的距离之和， 当位于和之间时，其距离之和最小， 故当取最小值时，相应的数a的取值范围是； （4）解：当时，取最小值， 原式； （5）解：点选在最中间时，距离总和最小， 故答案为：； （6）解：， 当时， ， ， 数a，b满足，求的最小值为． 3．（23-24六年级上·山东烟台·期中）阅读理解：数轴上表示有理数的点到原点（有数数0表示的点）的距离，叫做这个有理数的绝对值例如：，它表示数轴上有理数2表示的点到原点0的距离，从数轴上容易发现，有理数2表示的点到原点0的距离是2个单位长度，即（如图1）． 同样的，数轴上表示m和表示n的两个有理数之间的距离可以用来表示．例如：数轴上表示的点到表示2的点的距离用表示，从数轴上容易发现，表示-3的点到表示2的点的距离是5个单位长度，即（如图2）． 以上这种借助直观的数轴来解决问题的方法就是研究数学问题常用的“数形结合”的方法．请你根据以上学到的方法完成下列任务解答： 任务一： 请根据以上阅读列式并计算（不必在卷面上画数轴）：数轴上表示2的点和表示的点之间的距离； 任务二： 根据绝对值的意义求字母的值： （1）若，求x所表示的有理数． 根据绝对值的意义，“”指数轴上表示x的点到表示3的点的距离是2个单位长度，x表示的有理数是______． （2）若，求x所表示的有理数． 根据绝对值的意义，“”指数轴上表示x的点到表示_______的点的距离是4个单位长度，x表示的有理数是______． 任务三： 设点P在数轴上表示的有理数是x，借助数轴解答下列问题： （1）当x取哪些有理数时，的值最小？最小值是多少？ （2）若，求x所表示的有理数； （3）若，求x所表示的有理数． 【答案】任务一：数轴上表示2的点和表示的点之间的距离为9个单位长度；任务二：（1）1或5；（2）；3或；任务三：（1）x取与4之间（包含和4）的有理数时，+的值最小；最小值是5；（2）x所表示的有理数是或；（3）x所表示的有理数的值是 【分析】此题主要考查了数轴上两点间的距离的求法，以及相反数和绝对值的含义和求法，熟练掌握数形结合是解题关键． 任务一，阅读：数轴上表示m和表示n的两个有理数之间的距离可以用表示，，可求出． 任务二∶（1）数轴上表示x的点到表示3的点的距离是2个单位长度，x有两个值；（2）数轴上表示必的点到表示的点的距离是4个单位长度，必有两个值，计算即可． 任务三∶（1）指数轴上表示必的点到表示4和的两点的距离的和； （2）指数轴上表示x的点到表示4和的两点的距离的和等于8；(3) 指数轴上表示必的点到表示2和-3的两点的距离相等． 【详解】任务一： ， 所以，数轴上表示2的点和表示的点之间的距离为9个单位长度； 任务二： （1）， 数轴上表示x的点到表示3的点的距离是2个单位长度， ， ， 故答案为：1或5 （2）， 数轴上表示x的点到表示-1的点的距离是4个单位长度， ， ， 故答案为：；3或 任务三： （1）指数轴上表示x的点到表示4和的两点的距离和， x取与4之间（包含和4），的值最小； 最小值是； （2）①当点P在和4之间时，， ∴点P表示的数不在和之间， ②当点P在左边时，，， ③当点P在4右边时， ， ， 所以x的值是或， （3）即数轴上点P到2表示的点的距离与到表示的点的距离相等， 2到的距离是5个单位长度， ， ， 所以x的值是． 4．（23-24七年级上·福建泉州·期末）为响应垃圾分类，改善小区环境，物业公司在某小区内准备增设一个垃圾分类回收站，小区内有6栋楼，6栋楼依次编号为1号至6号，并且6栋楼按号数从小到大排列在同一条直线上，相邻两栋楼间隔都相同，回收站的位置成为居民关心的问题．小明结合数轴与绝对值的知识进行数学建模说明理由：1号楼至6号楼分别抽象为数轴上的连续的6个整数点（记1，2，3，4，5，6），回收站设置在其中相邻两栋楼之间，位置记为． (1)根据问题的实际意义，表示___________________； (2)当每栋楼住户相同时，回收站的最佳位置应该使得每栋楼的居民到回收站的距离之和最小，记，求的最小值和回收站的位置． (3)现该小区内1号楼有20个住户，2号楼有18个住户，3号楼有16个住户，4号楼为22个住户，5号楼为18个住户，6号楼为19个住户，求出小区所有住户到回收站的距离之和的最小值和回收站的位置． 【答案】(1)回收站到号楼的距离；(2)的最小值是，回收站的位置建在号楼和号楼之间；(3)的最小值是，回收站的位置建在号楼处 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的实际应用； （1）根据数轴上两点之间的距离，即可求解； （2）分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，⑤当时，分别去绝对值，进行计算，即可求解； （3）距离总和为分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，⑤当时，分别去绝对值，进行计算，即可求解； 理解绝对值的实际意义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 表示回收站到号楼的距离； 故答案：回收站到号楼的距离． （2）解：①当时， ， 当时， ； ②当时， ， 当时， ； ③当时， ， ； ④当时， ， 此时无最小值； ⑤当时， ， 此时无最小值； 综上所述：的最小值是，回收站的位置建在号楼和号楼之间. （3）解：由题意得 解：①当时， ， 当时， ； ②当时， ， 当时， ； ③当时， ， 当时， ； ④当时， ， 此时无最小值； ⑤当时， ， 此时无最小值； 综上所述：的最小值是，回收站的位置建在号楼处． 5．（23-24七年级上·全国·单元测试）我们知道一个数的绝对值的几何意义是：在数轴上表示这个数的点离原点（表示数0）的距离，在数轴上表示两个数x，y的点之间的距离可以表示为．如可以表示点与点1之间的距离跟点与之间的距离的和，根据图示易知：当点的位置在点A和点B之间（包含点A和点B）时，点与点A的距离跟点与点B的距离之和最小，且最小值为3，即的最小值是3，且此时的的取值范围为．请根据以上阅读，解答下列问题： (1)表示3的点与的点之间的距离表示为； (2)的最小值是，此时的值为； (3)当的最小值是4.5时，求出的值及的值． 【答案】(1)4；(2)3，0；(3)或 【分析】本题考查了绝对值的应用． （1）根据绝对值的几何意义，得出3的点与的点之间的距离为4． （2）根据绝对值的几何意义，得出的最小值； （3）画出数轴，分两种情况进行讨论：当或时，的最小值是4.5． 【详解】（1）解：根据绝对值的几何意义，得出3的点与的点之间的距离为． （2）解：根据绝对值的几何意义可得，当时，的最小值是3， 故答案为：3，． （3）解：由图可得， 只有当或时，的最小值是4.5， ∴当的最小值是4.5时，或． 6．（24-25七年级上·湖南湘西·期中）陈英杰老师要求同学们，结合数轴与绝对值的相关知识回答下列问题： (1)探究： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______； ②数轴上表示和的两点之间的距离是_______； ③数轴上表示4和的两点之间的距离是_______； (2)归纳：一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离是_______； (3)应用： ①优秀的陈英杰老师发现代数式的几何意义是：表示有理数的点到表示数2的点和表示数_______的点距离之和；利用几何意义，可求得的最小值为_______； ②求的最小值． 【答案】(1)故答案为：①3，②3，③7；(2)；(3)①，3；②1025156 【分析】本题考查了数轴、绝对值的有关知识，明确数轴上两点间的距离及绝对值之间的关系是解题的关键． （1）根据两点间结合绝对值的几何意义，可得答案； （2）根据两点间结合绝对值的几何意义，可得答案； （3）根据题意可知，当为1至2025中间的那个数时，原式取得最小值，由此可得答案． 【详解】（1）①数轴上表示2和5的两点之间的距离是； ②数轴上表示和的两点之间的距离是； ③数轴上表示4和的两点之间的距离是， 故答案为：①3，②3，③7； （2）：一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离是， 故答案为：； （3）①优秀的陈英杰老师发现代数式的几何意义是：表示有理数的点到表示数2的点和表示数的点距离之和； 利用几何意义，当数在左侧时， ， 当数在2右侧时， ， 当数在和2之间时， ， 的最小值为3． 故答案为：，3； ②表示数到1，2，3…2025的距离的和，由①受到启发，当为1至2025中间的那个数， 即时，原式取得最小值，且最小值为： ． 7．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）（1）探索材料1（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为；数轴上表示数3和的两点距离为；的意义可理解为数轴上表示数和这两点的距离； （2）探索材料2（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？    ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A，B，C三点的距离之和最小？    ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小？    （3）结论应用（填空）： ①代数式的最小值是______，此时x的范围是_______； ②代数式的最小值是_______，此时x的值为______； ③代数式的最小值是______，此时x的范围是______． 【答案】（1）；（2）①点A、点B之间；②点B；③点C、点B之间；（3）①；②8，；③ 【分析】（1）根据材料1填空，直接写出答案； （2）根据材料2填空，分情况讨论点的位置，得出到其他点的距离之和最小； （3）根据问题（2）得出的结论填空即可． 【详解】解：（1）， 的意义可理解为数轴上表示数x和这两点的距离； 故答案为：． （2）①当点在点左边， 当点在点、点之间， 当点在点右边， ∴当点在点、点之间时才能使到的距离与到的距离之和最小． 故答案为：点、点之间． ②当点在点左边， 当点在点、点之间时， 当点在点、点之间时，， 当点在点、点之间时，， 当点在点右边，， ∴点应设在点时才能使到三点的距离之和最小． 故答案为：点． ③当点在点左边，， 当点在点、点之间时，， 当点在点、点之间时，， 当点在点、点之间时，， 当点在点右边时，， ∴当点在点、点之间时，到四点的距离之和最小． 故答案为：点、点之间． （3）①由探究材料2得，当时，有最小值，最小值为7． ∴有最小值，最小值为7． 故答案为：． ②由探究材料2得，这是在求点到、、三点的最小距离， ∴当时，有最小值，最小值为8，8． 故答案为：． ③由探究材料2得，这是在求点到、、、5四点的最小距离， ∴当时，有最小值，最小值为18，． 故答案为：． 【点睛】此题考查了数轴绝对值的性质，掌握点在数轴上的位置，一定分情况讨论，（3）的解题思路是在探究（2）的基础上知识进一步的延伸是解决此题的关键． 8．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）阅读：已知点在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为． 理解： （）数轴上表示数和的两点之间的距离是_______；（用含的式子表示） （）当时，则的值为_____； （）当时，则的值为______； （）当代数式取最小值时，相应的的取值范围是______；最小值是_____． 应用： 某环形道路上顺次排列有四家快递公司：，它们顺次有快递车辆，辆，辆，辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 【答案】理解：（）；（）或；（）或；（），；应用：种调配方案，调出的最少车辆数为辆． 【分析】理解：（）根据题意即可求解； （）根据绝对值的意义即可求解； （）分、和三种情况，根据绝对值的性质解答即可求解； （）由可得代数式表示到和的距离之和，据此即可求解； 应用：根据题意画出图形，再根据图形即可求解； 本题考查了数轴与绝对值，掌握绝对值的意义和性质是解题的关键． 【详解】解：理解：（）由题意得，数轴上表示数和的两点之间的距离是， 故答案为：； （）∵， ∴或， ∴或， 故答案为：或； （）当时，， 解得； 当时，， 此时方程无解； 当时，， 解得； 综上，的值为或， 故答案为：或； （）∵， ∴代数式表示到和的距离之和，当在和之间，即时，和最小，最小值为， 故答案为：，； 应用：根据题意，画图如下，共有种调配方案： 由图可得，调出的最少车辆数为辆． ( 38 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02绝对值问题 知识要点精讲 知识点01 绝对值的基本概念: （1）绝对值定义：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值。 （2）绝对值的表示方法：的绝对值记作 知识点02 绝对值的几何意义： （1）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离；到原点的距离越远，说明这个数的绝对值越大；离原点的距离越近，说明这个数的绝对值越小． 如上图，点到原点的距离比点到原点的距离远，所以；反之，若，则点到原点的距离比点到原点的距离远。 （2）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的． 由此可以发现，数轴上的一个有理数由两个因素决定：符号和绝对值。 符号：决定了这个数在数轴上的对应点在原点的哪一侧； 绝对值：决定了这个数在数轴上的对应点到原点有多远。 知识点03 绝对值的性质: 性质1：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 性质2：（非负性），即任何一个数的绝对值总是正数或0，即． （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； 重难点题型训练 题型一：含字母的绝对值化简 1．（24-25七年级上·四川眉山·期中）如果a、b、c都不为零，且，则的所有可能的值为（    ） A．0 B．1或 C．2或 D．0或 2．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）若，则 的值为（    ） A． B．4 C．0或4 D．0或 3．（24-25七年级上·四川德阳·阶段练习）表示有理数a，b，c的点在数轴上的位置如图所示，则的值是（ ） A． B． C．1 D．3 4．（23-24七年级上·贵州遵义·期中）已知，则_________． 5．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）已知非零有理数，，满足，则_________． 6．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）已知，，若，则x的最大值与最小值的乘积为_________． 7．（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）有理数a，b，c在数轴上所对应的点的位置如图： (1)在数轴上表示； (2)用“>”或“<”填空：　　　　0，　　　　0，　　　　0； (3)化简：． 8．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）阅读下列材料：，即当时，，当时，，运用以上结论解决下面问题： (1)当时，若，，则______0； (2)当时，若，则______0； (3)已知，，是非零有理数，则______； (4)当与都是整数，且，求的值．（写出分类讨论的过程） 9．（21-22七年级上·福建龙岩·阶段练习）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】已知有理数x，y，z满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得x，y，z三个都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当x，y，z都为正数，即，，时，； ②当x，y，z中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， 则． 综上所述，的值为3或． 【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知x，y是不为0的有理数，当时，__________； (2)已知x，y，z是有理数，当时，求的值． 题型二：绝对值的非负性应用 1．（2024七年级上·江苏·专题练习）若，则（    ） A．2 B．7 C．8 D．9 2．（24-25七年级上·云南曲靖·阶段练习）若与互为相反数，则的值为（   ） A． B． C． D．或 3．（23-24七年级上·四川达州·期中）若a、b、c是整数，且，则_________． 4．（23-24六年级下·上海黄浦·期中）若，则=_________． 5．（2024七年级·全国·竞赛）已知整数满足，则的值为_________． 6．（22-23七年级上·湖南衡阳·期中）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，，x与在数轴上表示的点相距2个单位长度，求：的值． 题型三：解含绝对值的方程 1．（2024·吉林长春·模拟预测）若x为实数，，则x的绝对值为（    ） A．2 B．3 C． D． 2．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）已知互为相反数，且，则的值为（　 　） A．1.5或4.5 B．2或3 C．1.5或4 D．2或4 3．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）若，则_______． 4．（2024七年级上·北京·专题练习）解方程：； 5．（2024七年级上·北京·专题练习）解方程：． 6．（23-24七年级下·四川资阳·阶段练习）先阅读下列解题过程，然后解答问题． 解方程：． 解：当时，原方程可化为，解得； 当时，原方程可化为，解得． 所以原方程的解是或． (1)解方程： (2)已知关于x的方程 ①若方程无解，则m的取值范围是______； ②若方程只有一个解，则m的值为______； ③若方程有两个解，则m的取值范围是______； (3)解方程： 题型四：最小值与最大值问题 1．（22-23七年级上·河南安阳·阶段练习）关于下列叙述正确的是（ ） A．有最大值2 B．有最小值2 C．有最小值0 D．有最大值0 2．（24-25七年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）如果x为有理数，式子存在最大值，那么这个最大值是（   ） A．2024 B．4048 C．20 D．0 3．（2022七年级上·全国·专题练习） (1)已知 |a+2|+|b−1|=0，求 a+b 的值． (2)当a= 时，|1−a|+2 会有最小值，且最小值是_________． (3)当x= 时，5−|2x−3| 有最大值． 4．（22-23七年级上·浙江·阶段练习）式子能取得的最小值是，这时；式子能取得的最大值是，这时_________． 5．（22-23七年级上·广东梅州·阶段练习）解答下列问题： (1)代数式有最大值或最小值吗？有的话，是多少？ (2)当代数式取得最大值或最小值时，代数式的值是多少？ 6．（22-23七年级下·广西玉林·阶段练习）阅读理解：目前，我们学过两类非负数，它们分别是绝对值和平方数． 小明学习后总结如下：因为，所以的最小值为m，所以的最大值为m． 迁移发现： 绝对值是否有类似的结论呢？下面是小明的探究过程，请将其补充完整． (1)对和进行讨论，发现可以求得的最______值，可以求得的最______值； (2)多选择一些特殊实例进行讨论，请你写出一般的结论：________________ (3)请用迁移发现中的结论讨论是否有最小值或最大值，最值是什么？ 7．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）用字母a表示一个有理数，一定是非负数，也就是它的值为正数或者0，所以的最小值为0，而一定是非正数，即它的值为负数或者0，所以有最大值为0，根据这个结论完成以下问题： (1) 有最______值为______；有最______值为 ______； (2)当 _______  时，有最______值_____； (3)当_______  时，有最______值_____； (4)当，求的值 题型五：绝对值的几何意义应用 1．（23-24七年级上·广东汕头·期中）绝对值的几何意义：表示一个数在数轴上对应的点到原点的距离，表示x，y两数在数轴上对应两点之间的距离．则的最小值为(　  　)，的最大值为(　  　) A．1， B．1，5 C．5，5 D．1，1 2．（2024七年级·全国·竞赛）已知有理数满足，则式子的最大值是_________，最小值是_________． 3．（24-25七年级上·重庆巴南·阶段练习）已知，求的最大值与最小值的差是_________． 4．（22-23七年级上·广东汕头·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示6和2的两点之间的距离为＝　　；表示和2两点之间的距离为＝　　；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于，如果表示数a和的两点之间的距离是3，那么a＝　　． (2)若数轴上表示数a的点位于与3之间(包括与3两点)，求 的值； (3)当　　时，的值最小，最小值为　　． (4)当x，y满足时，的最大值为 　　． 5．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是__________；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于__________； (2)如果，那么__________； (3)找出所有符合条件的x，使，则__________； (4)已知，求的最大值和最小值. 6．（23-24七年级上·福建宁德·阶段练习）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．请根据数轴解决以下问题： （1）式子在数轴上的意义是_______； （2）当取最小值时，x可以取整数_______； （3）最大值为_______； 【解决问题】 （4）如图，一条笔直的公路边有四个居民区A、B、C、D和市民广场O，居民区A、B、C、D分别位于市民广场左侧，左侧，右侧，右侧．现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在何处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短？最短路程是多少？试说明理由．    7．（23-24七年级上·广东广州·期中）我们知道：的几何意义可以理解为数轴上表示数a的点与原点之间的距离．请大家运用相关知识继续探索数轴上多个点之间的距离问题：    (1)数轴上的点A、点B分别是数、3对应的点，则点A与点B之间的距离为． (2)再选几个点试试，猜想：若点A、点B分别是数a、b对应的点，则点A与点B之间的距离为． (3)若数轴上的点A对应的数为a，且，则点A对应的数为． (4)继续利用绝对值的几何意义，探索的最小值是． (5)已知数x，y满足，则的最小值是，最大值是． 8．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： (1)若，则x的值为______； (2)当取最小值时，x可以取正整数______；最大值为______； (3)当______时，的值最小，最小值为______； (4)如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人．现因物流需要，需要在该公路上建菜鸟驿站，用于接收这3个小区的快递，若快递的运输成本为1元/（千份·千米），那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？ 题型六：绝对值的综合问题 1．（23-24七年级上·陕西西安·期中）（1）若数轴上M，N两点分别表示数m与数n，则M，N两点之间的距离是，例如：表示2和在数轴上对应的两点之间的距离．数轴上x和的两点之间的距离可表示为______． （2）如图，数轴上的点A表示的是，点B表示的是4，P是数轴上任意一点，且点P表示的是x，求的最小值．    （3）古城某条街上有3家新开的自习室A，B，C．小浩是大学生，小浩参与了大学生创业计划，在政府的支持下，小浩想在自习室附近开设一家复印店，为来自习室学习的学生提供方便，复印店记为点P．如图，小浩家在O处，自习室A在小浩家西边60米处，B在小浩家东边180米处，C在小浩家东边240米处．请问：小浩把复印店开设在什么地方，复印店到三个自习室和家的距离之和最小，即的值最小？最小值是多少？    2．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读理解：我们知道的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离．举例：数轴上表示数a和的两点A和B之间的距离是． 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题． (1)①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________， ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是_________． (2)若数轴上表示数a的点位于与5之间，求的值是_________； (3)当取最小值时，相应的数a的取值范围是_________； (4)求的最小值是_________． 实际应用： (5)问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，，，，，…，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店P，点P选在______，才能使这2023户居民到点P的距离总和最小．（填住户标记字母） 拓展提升： (6)若数a，b满足，求的最小值为_________． 3．（23-24六年级上·山东烟台·期中）阅读理解：数轴上表示有理数的点到原点（有数数0表示的点）的距离，叫做这个有理数的绝对值例如：，它表示数轴上有理数2表示的点到原点0的距离，从数轴上容易发现，有理数2表示的点到原点0的距离是2个单位长度，即（如图1）． 同样的，数轴上表示m和表示n的两个有理数之间的距离可以用来表示．例如：数轴上表示的点到表示2的点的距离用表示，从数轴上容易发现，表示-3的点到表示2的点的距离是5个单位长度，即（如图2）． 以上这种借助直观的数轴来解决问题的方法就是研究数学问题常用的“数形结合”的方法．请你根据以上学到的方法完成下列任务解答： 任务一： 请根据以上阅读列式并计算（不必在卷面上画数轴）：数轴上表示2的点和表示的点之间的距离； 任务二： 根据绝对值的意义求字母的值： （1）若，求x所表示的有理数． 根据绝对值的意义，“”指数轴上表示x的点到表示3的点的距离是2个单位长度，x表示的有理数是______． （2）若，求x所表示的有理数． 根据绝对值的意义，“”指数轴上表示x的点到表示_______的点的距离是4个单位长度，x表示的有理数是______． 任务三： 设点P在数轴上表示的有理数是x，借助数轴解答下列问题： （1）当x取哪些有理数时，的值最小？最小值是多少？ （2）若，求x所表示的有理数； （3）若，求x所表示的有理数． 4．（23-24七年级上·福建泉州·期末）为响应垃圾分类，改善小区环境，物业公司在某小区内准备增设一个垃圾分类回收站，小区内有6栋楼，6栋楼依次编号为1号至6号，并且6栋楼按号数从小到大排列在同一条直线上，相邻两栋楼间隔都相同，回收站的位置成为居民关心的问题．小明结合数轴与绝对值的知识进行数学建模说明理由：1号楼至6号楼分别抽象为数轴上的连续的6个整数点（记1，2，3，4，5，6），回收站设置在其中相邻两栋楼之间，位置记为． (1)根据问题的实际意义，表示___________________； (2)当每栋楼住户相同时，回收站的最佳位置应该使得每栋楼的居民到回收站的距离之和最小，记，求的最小值和回收站的位置． (3)现该小区内1号楼有20个住户，2号楼有18个住户，3号楼有16个住户，4号楼为22个住户，5号楼为18个住户，6号楼为19个住户，求出小区所有住户到回收站的距离之和的最小值和回收站的位置． 5．（23-24七年级上·全国·单元测试）我们知道一个数的绝对值的几何意义是：在数轴上表示这个数的点离原点（表示数0）的距离，在数轴上表示两个数x，y的点之间的距离可以表示为．如可以表示点与点1之间的距离跟点与之间的距离的和，根据图示易知：当点的位置在点A和点B之间（包含点A和点B）时，点与点A的距离跟点与点B的距离之和最小，且最小值为3，即的最小值是3，且此时的的取值范围为．请根据以上阅读，解答下列问题： (1)表示3的点与的点之间的距离表示为； (2)的最小值是，此时的值为； (3)当的最小值是4.5时，求出的值及的值． 6．（24-25七年级上·湖南湘西·期中）陈英杰老师要求同学们，结合数轴与绝对值的相关知识回答下列问题： (1)探究： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______； ②数轴上表示和的两点之间的距离是_______； ③数轴上表示4和的两点之间的距离是_______； (2)归纳：一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离是_______； (3)应用： ①优秀的陈英杰老师发现代数式的几何意义是：表示有理数的点到表示数2的点和表示数_______的点距离之和；利用几何意义，可求得的最小值为_______； ②求的最小值． 7．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）（1）探索材料1（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为；数轴上表示数3和的两点距离为；的意义可理解为数轴上表示数和这两点的距离； （2）探索材料2（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？    ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A，B，C三点的距离之和最小？    ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小？    （3）结论应用（填空）： ①代数式的最小值是______，此时x的范围是_______； ②代数式的最小值是_______，此时x的值为______； ③代数式的最小值是______，此时x的范围是______． 8．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）阅读：已知点在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为． 理解： （）数轴上表示数和的两点之间的距离是_______；（用含的式子表示） （）当时，则的值为_____； （）当时，则的值为______； （）当代数式取最小值时，相应的的取值范围是______；最小值是_____． 应用： 某环形道路上顺次排列有四家快递公司：，它们顺次有快递车辆，辆，辆，辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． ( 15 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$