第16课 不等式的基本性质-2024-2025学年八年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第16课 不等式的基本性质 ( 目标导航 ) 学习目标 1.理解不等式的三个基本性质. 2.会运用不等式的基本性质进行不等式的变形. ( 知识精讲 ) 知识点01 不等式的基本性质 不等式的基本性质1： a<b,b<c a <c.这个性质也叫做不等式:的传递性； 不等式的基本性质2： 不等式的两边都加上(或减去)同一个数后得到的不等式仍成立； a>ba+c>b+c,a-c>b-c; a<ba+c<b+c,a-c<b-c. 不等式的基本性质3：不等式的两边都乘(或都除以)同一个正数，所得的不等式仍成立;不等式的两边都乘(或 都除以)同一个负数，必须改变不等号的方向，所得的不等式成立. a>b,且c>0ac> bc, a>b,且c< 0ac < bc, ( 能力拓展 )考点01 不等式的基本性质 【典例1】如果a＞b，下列各式中不正确的是（　　） A．a﹣4＞b﹣4 B．﹣2a＜﹣2b C．﹣1+a＜﹣1+b D． 【即学即练1】1．下列判断不正确的是（　　） A．若a＞b，则﹣4a＜﹣4b B．若2a＞3a，则a＜0 C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若ac2＞bc2，则a＞b 2．将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a“的形式： （1）x+3＜﹣1； （2）3x＞27； （3）﹣＞5； （4）5x＜4x﹣6． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．若a＞b，则下列不等式中不正确的是（　　） A．a+5＞b+5 B．a﹣b＞0 C．5﹣a＞5﹣b D．﹣5a＜﹣5b 2．若x＞y，则下列式子错误的是（　　） A．x﹣3＞y﹣3 B．3﹣x＞3﹣y C．x+3＞y+2 D． 3．如果4﹣a＜4﹣b，那么a、b的大小关系是（　　） A．a＝b B．a＜b C．a＞b D．以上答案都不对 4．已知a＜b，则有以下结论①a+c＜b+c；②；③c﹣a＞c﹣b；④a|c|＜b|c|，其中正确的结论的序号是（　　） A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 5．若a＜b，则a﹣2 　　b﹣2；﹣2a+1 　　﹣2b+1．（用“＞”，“＜”，或“＝”填空） 6．若m+1＜n+1，则﹣2m　 　﹣2n． 7．若a＜b，且c≠0，用“＞，＜”号连接下列各式： ①a﹣5　 　b﹣5；②a+3　 　b+3；③7a　 　7b；④﹣3a　 　﹣3b； ⑤　 　；⑥　 　；⑦﹣a+c　 　﹣b+c；⑧2c﹣a　 　﹣b+2c． 8. 已知﹣x+1＞﹣y+1，试比较5x﹣4与5y﹣4的大小． 9.根据不等式的性质，把下列不等式化为“x＞a”或“x＜a”的形式（a为常数）． （1）5x﹣1＜﹣6； （2）﹣＞﹣1； （3）3x+5＞4﹣x； （4）5﹣6x≥12； （5）＞﹣1． 题组B 能力提升练 10．下列说法不正确的是（　　） A．若a＜b，则（m2+1）a＜（m2+1）b B．若a＞b，则ac2＞bc2 C．若a＜b，则3﹣2a＞3﹣2b D．若ac2＜bc2，则a＜b 11．由x＜y得到ax＞ay的条件是（　　） A．a≥0 B．a≤0 C．a＞0 D．a＜0 12．不等关系在生活中广泛存在．如图，a、b分别表示两位同学的身高，c表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A．若a＞b，则a+c＞b+c B．若a＞b，b＞c，则a＞c C．若a＞b，c＞0，则ac＞bc D．若a＞b，c＞0，则＞ 13．若a＜b，则不等式（a﹣b）x＞a﹣b的解集是（　　） A．x＞﹣1 B．x＞1 C．x＜1 D．x＜﹣1 14．若x＜y，且（m﹣2）x＞（m﹣2）y，则m的取值范围是　　． 15.阅读下面的解题过程，再解题． 已知a＞b，试比较﹣2024a+1与﹣2024b+1的大小． 解：因为a＞b①， 所以﹣2024a＞﹣2024b②， 所以﹣2024a+1＞﹣2024b+1③． 问： （1）上述解题过程中，从第 　　步开始出现错误； （2）错误的原因 　 　． （3）请写出正确的解题过程． 16．用“＞”或“＜”填空． （1）若a＜b，则a+3 　　b+3； （2）若a＞b，则2a 　　2b； （3）若a＞b，则 　　； （4）若a﹣b＞0，则a﹣4 　　b﹣4； （5）若b＜0，则a+b 　　a． 17．在数学课学习不等式及其性质时，小智向老师提出“不等式x＞2x是不可能成立的，因为如果不等式两边同时除以x就会出现1＞2的错误结论”的观点，老师肯定了小智的质疑精神，但是指出了他的观点是错误的，并向同学们说明了理由，老师的理由是 　 　． 17．小燕子竟然推导出了0＞5的错误结论．请你仔细阅读她的推导过程，指出问题到底出在哪里？ 已知x＞y， 两边都乘以5，得5x＞5y；（1） 两边都减去5x，得0＞5y﹣5x；（2） 即0＞5（y﹣x）．（3） 两边都除以y﹣x，得0＞5．（4） 18.利用不等式的性质，将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式． （1）x+5＞﹣2； （2）4x＜36； （3）﹣x≥3； （4）﹣4x+2＜10； （5）3x﹣1≥x； （6）＞x﹣1． 题组C 培优拔尖练 19．若0＜y＜1，那么代数式y（1﹣y）（1+y）的值一定是（　　） A．正的 B．非负 C．负的 D．正、负不能唯一确定 20．能不能找到这样的a值，使关于x的不等式（1﹣a）x＞a﹣5的解集是x＜2． 20．现有不等式的性质： ①在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变； ②在不等式的两边都乘同一个数（或整式），乘的数（或整式）为正时不等号的方向不变，乘的数（或整式）为负时不等号的方向改变． 请解决以下两个问题： （1）利用性质①比较2a与a的大小（a≠0）； （2）利用性质②比较2a与a的大小（a≠0）． 21．【阅读思考】 阅读下列材料： 已知“x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围”有如下解法： 解：∵x﹣y＝2， ∴x＝y+2； 又∵x＞1， ∴y+2＞1 ∴y＞﹣1； 又∵y＜0， ∴﹣1＜y＜0．① 同理1＜x＜2．② 由①+②得﹣1+1＜x+y＜0+2， ∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2． 【启发应用】 请按照上述方法，完成下列问题： 已知x﹣y＝3，且x＞2，y＜1，则x+y的取值范围是 　 　； 【拓展推广】 请按照上述方法，完成下列问题： 已知x+y＝2，且x＞1，y＞﹣4，试确定x﹣y的取值范围． ( 15 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16课 不等式的基本性质 ( 目标导航 ) 学习目标 1.理解不等式的三个基本性质. 2.会运用不等式的基本性质进行不等式的变形. ( 知识精讲 ) 知识点01 不等式的基本性质 不等式的基本性质1： a<b,b<c a <c.这个性质也叫做不等式:的传递性； 不等式的基本性质2： 不等式的两边都加上(或减去)同一个数后得到的不等式仍成立； a>ba+c>b+c,a-c>b-c; a<ba+c<b+c,a-c<b-c. 不等式的基本性质3：不等式的两边都乘(或都除以)同一个正数，所得的不等式仍成立;不等式的两边都乘(或 都除以)同一个负数，必须改变不等号的方向，所得的不等式成立. a>b,且c>0ac> bc, a>b,且c< 0ac < bc, ( 能力拓展 )考点01 不等式的基本性质 【典例1】如果a＞b，下列各式中不正确的是（　　） A．a﹣4＞b﹣4 B．﹣2a＜﹣2b C．﹣1+a＜﹣1+b D． 【思路点拨】根据不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可． 【解析】解：A．∵a＞b， ∴两边同时减去4，不等号方向不变，正确，故选项A不符合题意； B．∵a＞b， ∴两边同时乘以﹣2，不等号方向改变，正确，故选项B不符合题意； C．∵a＞b， ∴两边同时减去1，不等号方向不变，错误，故选项C符合题意； D．∵a＞b， ∴两边同时除以3，不等号方向不变，正确，故选项D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键． 【即学即练1】1．下列判断不正确的是（　　） A．若a＞b，则﹣4a＜﹣4b B．若2a＞3a，则a＜0 C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若ac2＞bc2，则a＞b 【思路点拨】利用不等式的性质，注意判定得出答案即可． 【解析】解：A、若a＞b，则﹣4a＜﹣4b，此选项正确； B、若2a＞3a，则a＜0，此选项正确； C、若a＞b，则ac2＞bc2，没有注明c≠0，此选项错误； D、若ac2＞bc2，则a＞b，此选项正确． 故选：C． 【点睛】此题考查不等式的性质：性质1、不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个式，不等号的方向不变． 性质2、不等式两边都乘（或除以）同一个正数，正数不等号的方向不变． 性质3、不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变改变． 2．将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a“的形式： （1）x+3＜﹣1； （2）3x＞27； （3）﹣＞5； （4）5x＜4x﹣6． 【思路点拨】根据不等式的基本性质对各不等式进行逐一分析解答即可． 【解析】解：（1）根据不等式性质1，不等式两边都减3，不等号的方向不变，得x+3﹣3＜﹣1﹣3�即x＜﹣4； （2）根据不等式性质2，不等式两边都除以3，不等号的方向不变，得3x÷3＞27÷3即x＞9； （3）根据不等式性质2，不等式两边都乘以﹣3，不等号的方向改变，得﹣×（﹣3）＜5×（﹣3）�即x＜﹣15； （4）根据不等式性质1，不等式两边都减4x，不等号的方向不变，得5x﹣4x＜4x﹣6﹣4x即x＜﹣6． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质．熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．若a＞b，则下列不等式中不正确的是（　　） A．a+5＞b+5 B．a﹣b＞0 C．5﹣a＞5﹣b D．﹣5a＜﹣5b 【思路点拨】根据不等式的性质逐个判断即可． 【解析】解：A．∵a＞b， ∴a+5＞b+5，故本选项不符合题意； B．∵a＞b， ∴a﹣b＞0，故本选项不符合题意； C．∵a＞b， ∴﹣a＜﹣b， ∴5﹣a＜5﹣b，故本选项符合题意； D．∵a＞b， ∴﹣5a＜﹣5b，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式的性质，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键，注意：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变． 2．若x＞y，则下列式子错误的是（　　） A．x﹣3＞y﹣3 B．3﹣x＞3﹣y C．x+3＞y+2 D． 【思路点拨】看各不等式是加（减）什么数，或乘（除以）哪个数得到的，用不用变号． 【解析】解：A、不等式两边都减3，不等号的方向不变，正确； B、减去一个大数小于减去一个小数，错误； C、大数加大数依然大，正确； D、不等式两边都除以3，不等号的方向不变，正确． 故选：B． 【点睛】主要考查不等式的性质： （1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变； （2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； （3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 3．如果4﹣a＜4﹣b，那么a、b的大小关系是（　　） A．a＝b B．a＜b C．a＞b D．以上答案都不对 【思路点拨】根据不等式的基本性质进行判断即可． 【解析】解：∵4﹣a＜4﹣b， ∴﹣a＜﹣b， ∴a＞b． 故选：C． 【点睛】本题考查的是不等式的基本性质，属较简单题目． 4．已知a＜b，则有以下结论①a+c＜b+c；②；③c﹣a＞c﹣b；④a|c|＜b|c|，其中正确的结论的序号是（　　） A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【思路点拨】根据不等式的性质进行逐一分析． 【解析】解：①根据不等式的性质（1），故正确； ②当c≤0时，不成立，故错误； ③∵a＜b，∴﹣a＞﹣b，∴c﹣a＞c﹣b，故正确； ④当c＝0时，不成立，故错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了不等式的性质： （1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号的方向不变； （2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变； （3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变． 5．若a＜b，则a﹣2 　＜　b﹣2；﹣2a+1 　＞　﹣2b+1．（用“＞”，“＜”，或“＝”填空） 【思路点拨】不等式的性质：不等式的两边加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐一进行解答即可得． 【解析】解：若a＜b，根据不等式性质1，两边同时减去2，不等号方向不变，则a﹣2＜b﹣2； 若a＜b，根据不等式性质3，不等式两边同时乘以﹣2，不等号方向改变，则有﹣2a＞﹣2b，再根据不等式性质1，两边同时加上1，不等号方向不变，则﹣2a+1＞﹣2b+1． 故答案为：＜；＞． 【点睛】本题考查了不等式性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 6．若m+1＜n+1，则﹣2m　＞　﹣2n． 【思路点拨】根据不等式的基本性质进行解答即可． 【解析】解：∵m+1＜n+1， ∴m＜n， ∴2m＜2n， ∴﹣2m＞﹣2n． 故答案为：＞． 【点睛】本题考查的是不等式的基本性质，不等式的基本性质： （1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． （2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． （3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 7．若a＜b，且c≠0，用“＞，＜”号连接下列各式： ①a﹣5　＜　b﹣5；②a+3　＜　b+3；③7a　＜　7b；④﹣3a　＞　﹣3b； ⑤　＜　；⑥　＜　；⑦﹣a+c　＞　﹣b+c；⑧2c﹣a　＞　﹣b+2c． 【思路点拨】利用不等式性质，直接填空得出答案即可． 【解析】解：①a﹣5＜b﹣5；②a+3＜b+3；③7a＜7b；④﹣3a＞﹣3b； ⑤＜；⑥＜；⑦﹣a+c＞﹣b+c；⑧2c﹣a＞﹣b+2c． 故答案为：＜，＜，＜，＞，＜，＜，＞，＞． 【点睛】此题考查不等式的性质，掌握不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．是解决问题的前提． 8. 已知﹣x+1＞﹣y+1，试比较5x﹣4与5y﹣4的大小． 【思路点拨】首先根据不等式的性质，由﹣x+1＞﹣y+1，可得﹣x＞﹣y，进而判断出x＜y；然后根据不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，可得5x＜5y，进而判断出5x﹣4＜5y﹣4，据此解答即可． 【解析】解：因为﹣x+1＞﹣y+1， 所以﹣x＞﹣y，x＜y； 因为x＜y， 所以5x＜5y， 所以5x﹣4＜5y﹣4． 【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质： （1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； （2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变； （3）等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；解答此题的关键是判断出x、y的大小关系． 9.根据不等式的性质，把下列不等式化为“x＞a”或“x＜a”的形式（a为常数）． （1）5x﹣1＜﹣6； （2）﹣＞﹣1； （3）3x+5＞4﹣x； （4）5﹣6x≥12； （5）＞﹣1． 【思路点拨】（1）根据不等式的性质1得到5x＜﹣5，再根据不等式的性质2得到x＜﹣1； （2）根据不等式的性质3得到x＜2； （3）根据不等式的性质1得到4x＞﹣1，再根据不等式的性质2得到x＞﹣； （4）根据不等式的性质1得到﹣6x≥7，再根据不等式的性质3得到x≤﹣； （5）根据不等式的性质2得到1﹣2x＞﹣3，根据不等式的性质1得到﹣2x＞﹣4，根据不等式的性质3得到x＜2． 【解析】解：（1）两边同时加1得，5x＜﹣5， 两边同时除以5得，x＜﹣1； （2）两边同时除以﹣得， x＜2； （3）两边同时加x得，4x+5＞4， 两边同时减5得，4x＞﹣1， 两边同时除以4得，x＞﹣． （4）两边同时﹣5得，﹣6x≥7， 两边同时除以﹣6得，x≤﹣． （5）两边同时乘以3得，1﹣2x＞﹣3， 两边同时减1得，﹣2x＞﹣4， 两边同时除以﹣2得，x＜2． 【点睛】本题考查了不等式的性质，灵活运用不等式的三个性质是解题的关键． 题组B 能力提升练 10．下列说法不正确的是（　　） A．若a＜b，则（m2+1）a＜（m2+1）b B．若a＞b，则ac2＞bc2 C．若a＜b，则3﹣2a＞3﹣2b D．若ac2＜bc2，则a＜b 【思路点拨】根据不等式的性质分别判断即可． 【解析】解：A、若a＜b，则（m2+1）a＜（m2+1）b，故正确，不合题意； B、若a＞b，当c＝0时，ac2≥bc2，故错误，符合题意； C、若a＜b，则﹣2a＞﹣2b，则3﹣2a＞3﹣2b，故正确，不合题意； D、若ac2＜bc2，则a＜b，故正确，不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了不等式的性质，解题的关键是掌握：（1）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变． 11．由x＜y得到ax＞ay的条件是（　　） A．a≥0 B．a≤0 C．a＞0 D．a＜0 【思路点拨】根据不等式的基本性质进行解答即可． 【解析】解：∵由x＜y得到ax＞ay，不等号的方向发生了改变， ∴a＜0． 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式的性质： （1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变； （2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变； （3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变． 12．不等关系在生活中广泛存在．如图，a、b分别表示两位同学的身高，c表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A．若a＞b，则a+c＞b+c B．若a＞b，b＞c，则a＞c C．若a＞b，c＞0，则ac＞bc D．若a＞b，c＞0，则＞ 【思路点拨】根据不等式的性质判断即可． 【解析】解：由题意得，a＞b， ∴a+c＞b+c， ∴图中两人的对话体现的数学原理是若a＞b，则a+c＞b+c． 故选：A． 【点睛】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质性质是解答本题的关键． 13．若a＜b，则不等式（a﹣b）x＞a﹣b的解集是（　　） A．x＞﹣1 B．x＞1 C．x＜1 D．x＜﹣1 【思路点拨】首先判断a﹣b的符号，然后两边同时除以a﹣b即可． 【解析】解：∵a＜b， ∴a﹣b＜0， ∴原不等式的解集为：x＜， 即：x＜1． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质不等式的基本性质： （1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． （2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． （3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 14．若x＜y，且（m﹣2）x＞（m﹣2）y，则m的取值范围是　m＜2　． 【思路点拨】原不等式两边同时乘以m﹣2后不等号改变方向，则m﹣2＜0，则m＜2． 【解析】解：∵若x＜y，且（m﹣2）x＞（m﹣2）y，∴m﹣2＜0，则m＜2； 故答案为m＜2． 【点睛】本题考查了不等式的性质： （1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． （2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． （3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 15.阅读下面的解题过程，再解题． 已知a＞b，试比较﹣2024a+1与﹣2024b+1的大小． 解：因为a＞b①， 所以﹣2024a＞﹣2024b②， 所以﹣2024a+1＞﹣2024b+1③． 问： （1）上述解题过程中，从第 　②　步开始出现错误； （2）错误的原因 　不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变　． （3）请写出正确的解题过程． 【思路点拨】（1）由不等式的性质可得第②步开始出现错误； （2）由不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向要改变可得错误原因； （3）正确的运用不等式的性质解题即可得到答案． 【解析】解：（1）上述解题过程中，从第②步开始出现错误， 故答案为：②； （2）错误地运用了不等式的基本性质3，即不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变； 故答案为：不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变； （3）∵a＞b， ∴﹣2024a＜﹣2024b， ∴﹣2024a+1＜﹣2024b+1； 【点睛】本题考查的是不等式的基本性质的应用，熟记不等式的基本性质是解本题的关键． 16．用“＞”或“＜”填空． （1）若a＜b，则a+3 　＜　b+3； （2）若a＞b，则2a 　＞　2b； （3）若a＞b，则 　＜　； （4）若a﹣b＞0，则a﹣4 　＞　b﹣4； （5）若b＜0，则a+b 　＜　a． 【思路点拨】（1）根据“不等式的两边同时加上同一个数，不等号的方向不变”，可得出结论； （2）根据“不等式的两边同时乘以同一个正数，不等号的方向不变”，可得出结论； （3）根据“不等式的两边同时乘以同一个负数，不等号的方向改变”，可得出结论； （4）由a﹣b＞0，可得出a＞b，结合“不等式的两边同时减去同一个数，不等号的方向不变”，可得出结论； （5）根据“不等式的两边同时加上同一个含有字母的式子，不等号的方向不变”，可得出结论． 【解析】解：（1）若a＜b，则a+3＜b+3． 故答案为：＜； （2）若a＞b，则2a＞2b． 故答案为：＞； （3）若a＞b，则﹣＜﹣． 故答案为：＜； （4）若a﹣b＞0，则a＞b， ∴a﹣4＞b﹣4． 故答案为：＞； （5）若b＜0，则a+b＜a． 故答案为：＜． 【点睛】本题考查了不等式的性质，牢记不等式的基本性质是解题的关键． 17．在数学课学习不等式及其性质时，小智向老师提出“不等式x＞2x是不可能成立的，因为如果不等式两边同时除以x就会出现1＞2的错误结论”的观点，老师肯定了小智的质疑精神，但是指出了他的观点是错误的，并向同学们说明了理由，老师的理由是 　当x＜0时，x＞2x　． 【思路点拨】根据不等式的性质进行解答即可． 【解析】解：这种说法不对的理由如下： 当x＝0时，x＝2x； 当x＜0时，由1＜2得x＞2x． 故答案为：当x＜0时，x＞2x． 【点睛】本题考查了不等式的性质，掌握不等式两边加上（或减去）同一个数，不等号方向不变；不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变；不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变是关键． 17．小燕子竟然推导出了0＞5的错误结论．请你仔细阅读她的推导过程，指出问题到底出在哪里？ 已知x＞y， 两边都乘以5，得5x＞5y；（1） 两边都减去5x，得0＞5y﹣5x；（2） 即0＞5（y﹣x）．（3） 两边都除以y﹣x，得0＞5．（4） 【思路点拨】根据不等式的基本性质是解不等式的主要依据，分析中注意不等式的基本性质是有条件的，要确定符合其中的条件，本题第（4）步：由x＞y，可得y﹣x＜0，则运用不等式的基本性质3即可作出判断． 【解析】解：错在第（4）步．∵x＞y， ∴y﹣x＜0．不等式两边同时除以负数y﹣x，不等号应改变方向才能成立． 【点睛】本题考查了运用不等式的基本性质解不等式，必须熟练地掌握．要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变 18.利用不等式的性质，将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式． （1）x+5＞﹣2； （2）4x＜36； （3）﹣x≥3； （4）﹣4x+2＜10； （5）3x﹣1≥x； （6）＞x﹣1． 【思路点拨】（1）移项，合并同类项即可； （2）不等式的两边都除以4即可； （3）不等式的两边都乘以﹣2即可； （4）移项，合并同类项，系数化成1即可； （5）移项，合并同类项，系数化成1即可； （6）去分母，移项，合并同类项，系数化成1即可． 【解析】解：（1）x+5＞﹣2， 不等式的两边都减去5得：x＞﹣7； （2）4x＜36， 不等式的两边都除以4得：x＜9； （3）﹣x≥3， 不等式的两边都乘以﹣2得：x≤﹣6； （4）﹣4x+2＜10， ﹣4x＜10﹣2， ﹣4x＜8， x＞﹣2； （5）3x﹣1≥x， 3x﹣x≥1， x≥1， x≥； （6）＞x﹣1， 1+2x＞3x﹣3， 2x﹣3x＞﹣3﹣1， ﹣x＞﹣4， x＜4． 【点睛】本题考查了不等式的性质，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键． 题组C 培优拔尖练 19．若0＜y＜1，那么代数式y（1﹣y）（1+y）的值一定是（　　） A．正的 B．非负 C．负的 D．正、负不能唯一确定 【思路点拨】代数式为三个因式的积，先判断每个因式的符号，再确定代数式的符号． 【解析】解：∵0＜y＜1， ∴y＞0，（1﹣y）＞0，（1+y）＞0， ∴代数式y（1﹣y）（1+y）＞0．故选：A． 【点睛】几个因式的积的符号，由积中负因式的个数确定，当积中负因数个数为奇数个时，积的符号为负，当积中负因数个数为偶数个时，积的符号为正． 20．能不能找到这样的a值，使关于x的不等式（1﹣a）x＞a﹣5的解集是x＜2． 【思路点拨】根据已知不等式的解集得出1﹣a＜0，＝2，求出方程的解即可． 【解析】解：∵关于x的不等式（1﹣a）x＞a﹣5的解集是x＜2， ∴1﹣a＜0，＝2， 解得：a＝， 经检验a＝是方程＝2的解， 即能找到这样的a值，使关于x的不等式（1﹣a）x＞a﹣5的解集是x＜2． 【点睛】本题考查了不等式的性质，解一元一次方程，解一元一次不等式的应用，解此题的关键是得出1﹣a＜0，＝2，题目比较好，难度适中． 20．现有不等式的性质： ①在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变； ②在不等式的两边都乘同一个数（或整式），乘的数（或整式）为正时不等号的方向不变，乘的数（或整式）为负时不等号的方向改变． 请解决以下两个问题： （1）利用性质①比较2a与a的大小（a≠0）； （2）利用性质②比较2a与a的大小（a≠0）． 【思路点拨】（1）根据不等式的性质①，可得答案； （2）根据不等式的性质②，可得答案． 【解析】解：（1）a＞0时，a+a＞a+0，即2a＞a， a＜0时，a+a＜a+0，即2a＜a； （2）a＞0时，2＞1，得2•a＞1•a，即2a＞a； a＜0时，2＞1，得2•a＜1•a，即2a＜a． 【点睛】本题考查了不等式的性质，不等式两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变． 21．【阅读思考】 阅读下列材料： 已知“x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围”有如下解法： 解：∵x﹣y＝2， ∴x＝y+2； 又∵x＞1， ∴y+2＞1 ∴y＞﹣1； 又∵y＜0， ∴﹣1＜y＜0．① 同理1＜x＜2．② 由①+②得﹣1+1＜x+y＜0+2， ∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2． 【启发应用】 请按照上述方法，完成下列问题： 已知x﹣y＝3，且x＞2，y＜1，则x+y的取值范围是 　1＜x+y＜5　； 【拓展推广】 请按照上述方法，完成下列问题： 已知x+y＝2，且x＞1，y＞﹣4，试确定x﹣y的取值范围． 【思路点拨】【启发应用】先用y表示x，再根据x的大小确定不等式，求解即可； 【拓展推广】先用y表示x，再根据x的大小确定不等式，求解即可． 【解析】解：【启发应用】 1＜x+y＜5．理由如下： ∵x﹣y＝3， ∴x＝y+3， ∵x＞2， ∴y+3＞2， ∴y＞﹣1， 又∵y＜1， ∴﹣1＜y＜1．① 同理可得：2＜x＜4．② 由①+②得：﹣1+2＜x+y＜1+4． ∴x+y的取值范围是：1＜x+y＜5． 故答案为：1＜x+y＜5． 【拓展推广】 ∵x+y＝2， ∴x＝2﹣y， 又∵x＞1， ∴2﹣y＞1， ∴y＜1， 又∵y＞﹣4， ∴﹣4＜y＜1， ∴﹣1＜﹣y＜4．① 同理得：1＜x＜6．② 由①+②得：0＜x﹣y＜10， ∴x﹣y的取值范围是：0＜x﹣y＜10． 【点睛】此题考查的是不等式的性质、整式的加减，掌握其性质是解决此题的关键． ( 15 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$